Goethe-Universität Frankfurt Wintersemester 2013/2014 Institut für Mathematik Hans Crauel Mathematik für Physiker 3 Inhaltsübersicht I. Differentialgleichungen II I.1 Explizit lösbare Differentialgleichungen; Trennung der Variablen Rechenverfahren, eispiele für Explosion: ẋ = x 2 und Nicht-Eindeutigkeit der Lösungen von AWP: ẋ = x I.2 Weitere explizit lösbare skalare Dgl getrennte Variablen nach ubstitution, homogene Dgl, ernoulli- und Ricatti-Dgl I.3 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz, atz von Picard-Lindelöf Äquivalenz von Dgl und Integralgleichung, (globale/lokale) Lipschitz-tetigkeit, Fixpunktsatz für Integralgleichung, Lemma von Gronwall, maximale Lösungen, lineares Wachstum für rechte eite I.4 Lineare Differentialgleichungen Allgemeines ẋ = A(t)x + b(t): Fundamentalsystem und Fundamentalmatrix für homogene ẋ = A(t)x, Wronski-Determinante, Variation der Konstanten für die inhomogene ẋ = A(t)x + b(t) I.5 Einführung in tabilitätstheorie: stabil, attraktiv, asymptotisch stabil (= stabil und attraktiv) tabilität linearer ysteme: attraktiv impliziert stabil, autonomone Dgl ẋ = Ax: tabilität durch Eigenwerte von A bestimmt I.6 tabilität von Ruhelagen nichtlinearer Dgl tabilität an Linearisierung ablesbar, sofern keine EW Realteil Null, atz von Grobman-Hartman I.7 Lyapunov-Funktionen II. Funktionentheorie Erinnerung komplexe Zahlen, Real-/Imaginärteil, etrag komplex konjugiert, Potenzreihen, Konvergenzradius
II.1 Analytische Funktionen komplexe Differenzierbarkeit, holomorph/analytisch, Holomorphie von Potenzreihen, Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, harmonische Funktionen II.2 Der Cauchy-Integralsatz komplexe Kurvenintegrale, Cauchy für Ableitungen analytischer Funktionen, für Integrale über Dreiecke, für Integrale in konvexen Gebieten, Homotopie-Version II.3 Hauptsätze zu analytischen Funktionen spezielle Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben, Äquivalenz von holomorph und analytisch, allgemeine Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben, Identitätssatz, Existenz von tammfunktionen, atz von Liouville, Fundamentalsatz der Algebra, Maximumprinzip der komplexe Logarithmus, Haupt- und Nebenzweige II.4 Isolierte ingularitäten hebbar, Pol, wesentlich; Riemann-Hebbarkeitssatz, atz von Casorati-Weierstraß, Großer atz von Picard meromorphe Funktionen, Laurent-Reihe zu einem Pol, Hauptteil und Residuum zu einem Pol, Ordnung eines Pols, Residuensatz, eispiele Verwendung Residuensatz III. Integration von Funktionen mehrerer Veränderlicher Nichtexistenz Lebesgue-Maß auf Potenzmenge von R ( Auswahlaxiom) III.1 Messbare Mengen σ-algebra, pur-σ-algebra, erzeugte σ-algebra, Generator/Erzeugendensystem orel-σ-algebra allgemein, orel-σ-algebra von R d, Erzeugendensysteme R d und R III.2 Maße σ-additiv, Dirac-Maß, Zählmaß, endliche sowie speziell Wahrscheinlichkeits-Maße, diskrete W-Räume Existenz Lebesgue-Maß: atz von Carathéodory, offene dichte Mengen in R Lebesgue-Maß ε tetigkeit von Maßen III.3 Messbare Abbildungen: Messbarkeit, orel-messbare Funktionen, stetig impliziert messbar, Grenzwerte messbarer Funktionenfolgen sind messbar Treppen- (Elementar-) Funktionen, Approximation nichtnegativer messbarer Funktionen durch monotone Folgen von Treppenfunktionen III.4 Integration, integrierbare Funktionen Definition Integral erst für Treppenfunktionen, dann für nichtnegative Funktionen atz von der monotonen Konvergenz
Rechenregeln für Integrale über nichtnegative Funktionen Integrierbarkeit von f = f + f oder gleichbedeutend von f Übereinstimmung Lebesgue- und Riemann-Integral für stetige Funktionen Maße Dichten Lemma von Fatou, atz von der majorisierten Konvergenz Nullmengen und fast überall Lebesgue-Räume, L p - und L p -Räume, Hölder-Ungleichung Produktmaße, atz von (Tonelli und) Fubini Transformationssatz f d(t µ) = f T dµ, Transformationsformel Lebesgue-Maß: Ist Φ : X Y ein C 1 -Diffeomorphismus zwischen X R d und Y R d, so ist f dλ = (f Φ) det DΦ dλ für f : X R int bar X Y IV. Untermannigfaltigkeiten Definition k-dimensionale C r -Untermannigfaltigkeit von R d ; insb. Kurven (k = 1), Flächen (k = 2), Hyperflächen k = d 1 Karten, Atlanten, Kartenwechsel Untermannigfaltigkeiten als Urbilder regulärer Werte von f : R d (d k)-dimensionale Untermannigfaltigkeit Tangentialraum T p M in p M, Normalenraum N p = (T p M) R k : f 1 (c) ist Lebesgue-Maß auf Untermannigfaltigkeiten als ildmaß von Karten-Abbildungen (nur erwähnt, ohne Details) V. Vektoranalysis; Integralsätze von Green, Gauß, tokes ätze im R 2 R 2 ein Green-ereich atz von Green: rot f(x, y) d(x, y) = f Vektorfeld im R 2, rot f = f 2 x f 1 y R, rechte eite Kurvenintegral zweiter Art = f(x, y) d(x, y) b a f(γ(t)), γ(t) dt, γ Kurve, die den eindimensionalen Rand in mathematisch positiver Richtung parametrisiert
Umformulierungen sind atz von tokes in der Ebene: rot f(x, y) d(x, y) = T Tangenteneinheitsvektor an, T = atz von Gauß in der Ebene: divf(x, y) d(x, y) = n = f, T ds, γ(t), Integral rechts über die ogenlänge γ(t) f, n ds, [ ] [ ] T2 T 1 Normalenvektor an, T = T1 T 2 der Tangenteneinheitsvektor an ätze im R 3 bzw. im R d atz von tokes im R 3 : F rot f(x), n(x) dσ = F f(x) dx, F R 3 Fläche (zweidimensionale Untermannigfaltigkeit) im R 3, n Normaleneinheitsvektor auf F, σ Flächenintegral über F, rechte eite Kurvenintegral zweiter Art über den (eindimensionalen) Rand F R 3, Umlaufsinn und Richtung von n müssen zusammenpassen atz von Gauß im R 3 (und allgemeiner im R d ): divf(x) dx = f(x), n(x) dσ, R 3 ein (dreidimensionaler) tandardbereich, dessen Rand aus endlich vielen glatten Flächenstücken besteht auf der linken eite ein richtiges Integral im R 3, auf der rechten ein Flächenintegral, n wieder die äußere Normale auf der Fläche, dort als Kreuzprodukt von Tangentialvektoren darstellbar; die Aussage gilt auch im R d n Normale auf der Hyperfläche
Unter enutzung von div grad f = f für reellwertiges f erhält man weitere Formulierungen. Aus dem atz von Gauß erhält man die Green-Formeln: Für f, g : R 3 R C 2, R 3 tandardbereich stückweise glattem Rand, gilt 1. Green-Formel ( f(x) g(x) + f(x), g(x) ) dx = f(x) g n dσ, der Laplace-Operator und g die Richtungsableitung von g in Richtung der n äußeren Normale n auf ist. 2. Green-Formel ( ) f(x) g(x) g(x) f(x) dx = ( g f(x) (x) g(x) f n n (x)) dx; diese folgt direkt aus der ersten Green-Formel durch Vertauschen der Rollen von f und g und nachfolgender ubtraktion. Die Green-Formeln gelten entsprechend auch im R d.