Funktionen. ) W(t) = l l min t ) W l ) t min W(t) l 9 ) Minuten; Werte von bis Minuten; Definitionsmenge ) Werte von bis l ) Der Graph ist eine Gerade. t min. a) ) ) ) - - - - - - - - - Funktion. Die Funktions- Keine Funktion. Dem -Wert Funktion. Die Funktionsgleichung ist die Gleichung = sind unendlich viele gleichung ist die Gleichung einer linearen Funktion mit -Werte zugeordnet. einer linearen Funktion mit Ordinatenabschnitt d = Ordinatenabschnitt d = und mit Steigung k =. und mit Steigung k =. b) ) ) ) - - - - - - - Funktion. Jedem -Wert ist Funktion. Jedem -Wert ist Keine Funktion. Dem genau ein -Wert genau ein -Wert -Wert = sind die zugeordnet. zugeordnet. -Werte = und = zugeordnet.. ) Richtig. Der Punkt P( ) ist der tiefste Punkt in seiner Umgebung. ) Falsch. Die Funktion ist wegen des Minimums bei = in ] ; [ streng monoton fallend. ) Falsch. Der Funktionsgraph schneidet die. Mediane auch im Punkt F( ). ) Richtig. Der Funktionsgraph schneidet die -Achse an zwei Stellen. ) Falsch. Der an der -Achse gespiegelte Punkt P ( ) des Punkts P( ) liegt nicht am Funktionsgraph. ) Richtig. Der Punkt ( ) liegt auf dem Funktionsgraphen. ) Falsch. Die Funktionsgleichung hat nicht die Form = k + d. - -
... ) steigend ) ] ; [ ) einen Tiefpunkt ) eine Nullstelle ), ) ein Hochpunkt bzw. ein Fipunkt. N( _ ), F( _ _ ) F - N - -. a) ) smmetrisch, ungerade ) periodisch, p = π ) N k (k π ), k Z; T k((k ) π ), k Z; H k((k + ) π ), k Z; ](k ) π ; (k + ) π [, k Z streng monoton steigend, ](k + ) π ; (k + ) π [, k Z streng monton fallend b) ) smmetrisch, gerade ) nicht periodisch ) N ( ), N ( ); T = ( ), T = ( ); H = ( ); ] ; [ streng monoton fallend, ] ; [ streng monoton steigend, ]; [ streng monoton fallend, ]; [ streng monoton steigend. a) ) - - - - ) Nullstelle: N,; keine Etrempunkte ) Anhand des Graphen vermutet man, dass die Funktion nicht smmetrisch ist. Rechnerische Begründung: f( ) = + f() bzw. f( ) = ( + ) = + f() - - - b) ) - - - - ) Nullstellen:,,,; Tiefpunkt: T(,,) ) Anhand des Graphen vermutet man, dass die Funktion nicht smmetrisch ist. Rechnerische Begründung: f( ) = f() bzw. f( ) = ( ) = + + f()
.. c) ) - - - - - ) Nullstelle: N = ; keine Etrempunkte ) Anhand des Graphen vermutet man, dass der Funktionsgraph smmetrisch zum Koordinatenursprung, die Funktion also ungerade ist. Rechnerische Begründung: f( ) = ( ) = = f() - d) ) - - - - ) Nullstellen:,,,; Tiefpunkt: T( ) ) Anhand des Graphen vermutet man, dass der Funktionsgraph smmetrisch zur -Achse, die Funktion also gerade ist. Rechnerische Begründung: f( ) = ( ) + = + = f() - - -.9 Die Funktion und die erste Mediane grafisch darstellen. Alle Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Mediane (zb mit TI-Nspire durch Angabe geeigneter Schranken) ermitteln, ergibt F (,...,...), F (,...,...), F ( ).. ) H N - - - - - - - - - 9 Die Funktion ist gerade, H( ) ist daher ein weiterer Hochpunkt, N( ) ist eine weitere Nullstelle. Falls die Funktion nur einen Tiefpunkt hat, muss dieser auf der -Achse eingezeichnet werden. - - - - - ) N - - - - - - - - - 9 Die Funktion ist ungerade, sie muss daher durch den Koordinatenursprung gehen, T( ) ist ein Tiefpunkt, N( ) ist eine weitere Nullstelle. T - - - - -
... a) ) b) ) ) Nullstellen =, =, ) Tiefpunkt T( ), die Funktion ist gerade. Die Funktion ist im angegebenen Definitionsbereich für < streng monoton fallend, für > streng monoton steigend. ) Nullstelle N =, ) keine Etrempunkte, die Funktion ist ungerade. Die Funktion ist im angegebenen Definitionsbereich streng monoton steigend. N N - - - - - T Der Graph hat die in ) angegebenen Eigenschaften. - - - N - - Der Graph hat die in ) angegebenen Eigenschaften.. ) = ) keine Polstelle ) = ) =. ) Größter Gewinn bei Stück; ablesen im Hochpunkt H( ). ) Gewinn ab Stück; dieser Wert entspricht der Nullstelle. ) Im Bereich von Stück bis Stück nimmt der Gewinn ab. ) In den Bereichen Stück bis Stück bzw. Stück bis Stück wächst der Gewinn. (Fasst man den Verlust als negativen Gewinn auf, lautet die Antwort: In den Bereichen Stück bis Stück bzw. Stück bis Stück wächst der Gewinn.) ) GE Gewinn bei Stück. ) Ca. Stück, ca. Stück bzw. Stück müssen verkauft werden.. ) Das Motorrad startet mit konstanter Beschleunigung, bis es eine Geschwindigkeit von ca. km h erreicht. Danach erhöht sich die Geschwindigkeit bei kleiner werdender Beschleunigung auf km km. Die Fahrt wird ca. Sekunden mit fortgesetzt. Anschließend wird die h h Geschwindigkeit mit größer werdender Verzögerung auf ca. km verringert und das Motorrad h schließlich mit konstanter Verzögerung bis zum Stillstand abgebremst. ) A) nach ca. Sekunden D) im Zeitbereich [ s; s] B) im Zeitbereich [ s; s] E) ca. km h C) im Zeitbereich [ s; s] F) nach ca. Sekunden bzw. nach ca. Sekunden ) Es sind individuell verschiedene Antworten möglich.
... ) D h = [ min; min] ) D t = [ cm; cm]; W t = [ min; min] t min h(t) cm h cm t min Für die Wasserstandshöhe ergeben sich Werte von cm bis cm in -cm-schritten. h cm ) t(h) = ) h cm min cm ) 9 t(h) min,,,,,, t min 9 Der neue Graph ist wie der ursprüngliche Graph der Graph einer linearen Funktion. h cm. ) t_ h,,, s km s(t) km ) t(s) = h km s s km t(s) h,,,,,,,, t h, ), t h,,,,, s km Der neue Graph ist wie der ursprüngliche Graph der Graph einer linearen Funktion.
... ) ) die Umkehrfunktion.9 bis.: Auf die grafische Darstellung wird verzichtet..9 ) Relation, da dem -Wert unendlich viele -Werte zugeordnet werden. ) Funktion, da jedem -Wert genau ein -Wert zugeordnet wird. ) Relation, da es -Werte gibt, denen zwei -Werte zugeordnet sind. ) Funktion, bei der Spiegelung entsteht derselbe Graph.. a) Umkehrfunktion; f : = _ b) Umkehrfunktion; f : = _ + _ c) Umkehrfunktion und Funktion sind identisch; f : = + d) Die Umkehrrelation ist keine Funktion. a) c) Der Graph der Funktion ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend bzw. fallend. Die Umkehrrelation ist daher ebenfalls eine Funktion. d) Zu = gibt es unendlich viele -Werte. Die Umkehrrelation ist daher keine Funktion.. a) Die Umkehrrelation ist keine Funktion. b) Die Umkehrrelation ist keine Funktion. c) Umkehrfunktion; f : = d) Umkehrfunktion; f : = _ a) b) Zu jedem > gibt es zwei -Werte. Die Umkehrrelation ist daher keine Funktion. c) Der Graph der Funktion ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. Die Umkehrrelation ist daher ebenfalls eine Funktion. d) Der Graph der Funktion wird von allen Parallelen zur -Achse genau einmal geschnitten. Die Umkehrrelation ist daher eine Funktion.. ) A(b) = cm b b cm 9 A(b) 9 cm A cm A ) b(a) = 9 A cm 9 cm b(a) cm b cm 9
.. ) b cm 9 A cm Auf der -Achse und auf der -Achse werden jeweils verschiedene Größen eingetragen. ) Die Umkehrrelation ist eine Funktion; lineare Funktion. ) Die Definitionsmenge der Funktion ist die Wertemenge der Umkehrfunktion und umgekehrt. Beide Graphen sind linear, gehen durch den Koordinatenursprung und sind streng monoton steigend. Die Steigungen sind verschieden (k = cm, k =, cm ).. a) ) smmetrisch, gerade d) ) smmetrisch, gerade ) nicht periodisch ) periodisch ) lokales Maimum ( ) ) lokale Maima:... ( ), ( ), ( )... ) N (, ), N (, ) lokale Minima:... ( ), ( ), ( ), ( )... ) ] ; [ streng monoton steigend, ) Nullstellen:... ( ), ( ), ( ), ( ), ( )... ]; [ streng monoton fallend ) streng monoton steigend:... ] ; [, ] ; [, ]; [... streng monoton fallend:... ] ; [, ]; [, ]; [... b) ) nicht smmetrisch e) ) smmetrisch, gerade ) nicht periodisch ) nicht periodisch ) ) lokales Maimum: ( ) ) N(, ) lokale Minima: (, ), (, ) ) streng monoton steigend im ) N (,9 ), N (, ), N (, ), N (,9 ) gesamten Definitionsbereich ) streng monoton steigend: ],; [, ],; [ streng monoton fallend: ] ;,[, ];,[ c) ) smmetrisch, ungerade f) ) nicht smmetrisch ) nicht periodisch ) nicht periodisch ) ) lokale Maima: ( ), ( ), ) N( ) lokales Minimum: ( ) ) streng monoton fallend im ) N (, ), N (, ) gesamten Definitionsbereich ) streng monoton steigend: ] ; [, ]; [ streng monoton fallend: ]; [, ]; [. a) ) ) N( ); F (,...,...), F ( ), F (,...,...); keine Etrempunkte ) Anhand des Graphen vermutet man, dass der Funktionsgraph punktsmmetrisch bezüglich des Ursprungs, die Funktion also ungerade ist. f( ) = _ ( ) = _ = f() b) ) ) N ( ), N ( ); F (,...,...), F (,...,...); T( ) ) Anhand des Graphen vermutet man, dass der Funktionsgraph smmetrisch zur -Achse, die Funktion also gerade ist. f( ) = ( ) = = f() 9
.. c) ) ) N (,... ), N (,... ); F (,...,...), F (,9...,9...); T( ), H (,...,), H (,...,) ) Anhand des Graphen vermutet man, dass der Funktionsgraph smmetrisch zur -Achse, die Funktion also gerade ist. f( ) = ( ) + ( ) + = + + = f() d) ) ) N (,... ), N ( ), N (,... ); F (,...,...), F ( ), F (,...,...); T(,...,...); H(,...,...) ) Anhand des Graphen vermutet man, dass der Funktionsgraph punktsmmetrisch bezüglich des Ursprungs, die Funktion also ungerade ist. f( ) = ( ) ( ) = + = f(). ) Während der zweiten Stunde beträgt die Höhe des Wasserstands cm. ) Der Betrag der Steigung des Graphen während des Ablassens des Wassers ist kleiner als die Steigung des Graphen während des Befüllens. Daher dauert das Ablassen des Wassers länger als das Befüllen.. Es ist mit individuell recherchierten Daten zu arbeiten.. ) Falsch. Die Funktion = _ ist an der Stelle = nicht definiert und hat dort eine Polstelle. ) Richtig. Für jede Stelle gilt f() =. ) Richtig. Die Funktionswerte wiederholen sich nach der Periode p und auch nach Vielfachen der Periode p, also nach p, p usw. ) Richtig. Die lineare Funktion = hat zwei Nullstellen.. Polstellen bei = und = Polstellen befinden sich dort, wo die Funktion nicht definiert ist. Setzt man für im Funktionsterm die Werte bzw. ein, ergibt sich eine Division durch null. Diese ist nicht definiert. Stellt man den Funktionsgraphen dar, so erkennt man, - - - - - dass die Funktionswerte - bei Annäherung an jede der beiden Stellen ins Unendliche fallen bzw. - wachsen. Der Funktionsgraph nähert sich der senkrechten - Geraden = bzw. =. -
.9..9 a) Umkehrfunktion; f : = + c) Umkehrfunktion; f : = + b) Umkehrfunktion; f : = d) Die Umkehrrelation ist keine Funktion. a) c) Der Graph der Funktion wird von allen Parallelen zur -Achse genau einmal geschnitten. Die Umkehrrelation ist daher eine Funktion. d) Da zwei -Werte der ursprünglichen Funktion den gleichen -Wert haben (zb f() = f( ) = ), ist die Umkehrrelation keine Funktion.. ) V(t) = l l_ t; t [ d; d] d t_ d V(t) l 9 V l V ) t(v) = d l d ) V [ l; l]; t [ d; d] ) V_ l t(v) d t d 9 9 Die neue Funktion ist die Umkehrfunktion zur ursprünglichen Funktion. t d V l
.. ) I ] A; [ (theoretisch) I_ A R(I) Ω,,, 9,,...,,, R 9 R ] Ω; [ (theoretisch) ) I(R) = V R ) R ] Ω; [; I ] A; [ (theoretisch) ) R Ω I(R),,, 9,,...,,, 9 A I A Die Graphen sind zur. Mediane smmetrisch und daher identisch. I A R
.. ) v m s E(v) J E J v m s ) Der Graph der Funktion, der die kinetische Energie in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit darstellt, wird von allen Parallelen zur waagrechten Achse genau einmal geschnitten. Deshalb ist die Umkehrrelation eine Funktion, die die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der kinetischen Energie angibt. E v(e) = m v m s E J
Potenzen und Potenzfunktionen. ; Zähler: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Eponenten addiert, ( ) ( ) = ( ) + = ( ), Vorzeichenregel ( ) =. Nenner: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Eponenten addiert, = + ( ) = ; Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Eponenten subtrahiert, = = =.. ) a n a m Eine Potenz mit einer Summe als Eponenten kann in ein Produkt von Potenzen mit gleicher Basis und den einzelnen Summanden als Eponenten umgeformt werden. ) (a b) n Potenzen mit gleichem Eponenten werden multipliziert, indem man das Produkt der Basen mit dem Eponenten potenziert. ) (a n ) m Eine Potenz mit einem Produkt als Eponent kann in eine Potenz mit dem ersten Faktor als Eponent umgeformt werden, die mit dem zweiten Faktor potenziert wird.. a) b) c). a) d g d c) m 9 f c k n p. a) z b) p q c) c. a) 9 a b c b) a. a) u b) a. c = a + b Satz des Pthagoras r = A π Radius eines Kreises bei gegebenem Flächeninhalt d = a Diagonale eines Quadrats. a), da = c), da = e) _, da = und = b), da = d), da = und = f) _, da = und =. a) = c) = e), = _ b) = d) = f) =. a) k b) h b g c) a + d). a) f _ b) (a b) _ c) ( + ) _ d) w _ ( c) e) e) a _ b = _ =, f) (a + b) a d (v w) c f) (r + s) _. a) Da = 9 und = ist, muss näher bei liegen, zb bei mit =. b) Da = und = ist, muss näher bei liegen, zb bei mit = 9. c) Da 9 = 9 und = ist, muss gelten 9 < 9 <. Der geschätzte Wert für 9,. d) Da = und = ist, muss gelten < <. Der geschätzte Wert für e) Da = und = ist, muss f) Da = und = ist, muss. a) b) c) d) e) f) 9 ist ist,. 9 näher bei liegen, zb bei, mit, =,. näher bei liegen, zb bei, mit, =,9.
.9 zb TI- a) n ^ = e) =,... b) n =,9... f) n ^ =,9... c) n =,9... g) =,... d) ^ =,... h) n ^ =,9.... Durch das Erweitern im dritten Umformungsschritt wird der Radikand im fünften Umformungsschritt quadriert und ändert dabei sein Vorzeichen. Der dritte Umformungsschritt ist daher nicht zulässig.. 9 =, = Es werden individuell zu erstellende Anleitungen verlangt.. Bei negativen Eponenten: Basis. Bei gebrochenen Eponenten: Ist der Nenner des Eponenten gerade, darf die Basis nicht negativ sein. a s _ = a r n a s _ m = a r n + s m = a r m + s n a r m + s n m b) a r n = a r m = a r a s a s_ m a _ s n = m a r n a s = a r m + ( _ s ) n = a r m _ s n = a r n s m n m = n m a r n s m n.9 a) ( ) b) c) d) Dieser Ausdruck lässt sich nicht vereinfachen, da alle drei Radikanden verschieden sind.. a) (a a) b b) Dieser Ausdruck lässt sich nicht vereinfachen, da alle drei Radikanden verschieden sind.. a) n a r m n m = n m. ), ) Gleich die Wurzeln berechnen, da beide Radikanden Quadratzahlen sind. ) Zuerst mit gemeinsamem Wurzelzeichen anschreiben und die Division ausführen. Der Quotient ist eine Quadratzahl, die Wurzel kann gezogen werden. ) Mit gemeinsamem Wurzelzeichen anschreiben und die Division ausführen.. a) b) c) d). a) b) c) a b. a) b) c) b c. a) ( ) a b). = d) d) u v. ) und ) lassen sich nicht allgemein beantworten, da die Ergebnisse je nach verwendeter Technologie unterschiedlich sind..9 a) b). a) a b) a c) d) c) ab e) d) f).9. g) h). Die Wurzel eines Bruchs ist die Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners. Die sechste Wurzel aus eins ist eins.
... Die m-te Wurzel der n-ten Wurzel von a kann auf die (m n)-te Wurzel von a umgeformt werden und auch auf die n-te Wurzel der m-ten Wurzel von a.. a) a. b) c) M. a) 9 b) c) d). a) a b) a c) d) _ d) e) f) A. a) c) e) g) i) k) b) d) f) h) j) l) c) c d c d e) 9 z z b) p q r p q d) a b c b c f) u v w v. ) a) n r s r t ) und ) lassen sich nicht allgemein beantworten, da die Ergebnisse je nach verwendeter Technologie unterschiedlich sind..9 a) b) c) d) e) f). a) _ b) c) d) e) _ f) _. a). a) c b) b) w v. a) + b) + + c) c) m n d) d) a b c) ( ) d) (a ) (a + ) e) e) b f) f e) f) s_. Das Ergebnis ist.. Schritt: Den vor der Wurzel stehenden Faktor unter die Wurzel bringen.. Schritt: Berechnen des Radikanden durch Ausmultiplizieren.. Schritt: Berechnen der dritten Wurzel. Eintippen der Rechnung in einen normalen Taschenrechner ergibt ebenfalls das Ergebnis.. a) c) e) g) i) k) b) d) f) h) 9 j) l). ) a) c) d (d) d) c n m a b) r r e) n m ) und ) lassen sich nicht allgemein beantworten, da die Ergebnisse je nach verwendeter Technologie unterschiedlich sind.. ) a) + b) + c) 9 d) + e) f) + ) und ) lassen sich nicht allgemein beantworten, da die Ergebnisse je nach verwendeter Technologie unterschiedlich sind. r 9 f) w v w
. ) a) a + b b) a b d) a ab + a b b b a b b + ab a + ab ab a b a ab + b a b e) a b + b a.. c) + a a f) a a b ) und ) lassen sich nicht allgemein beantworten, da die Ergebnisse je nach verwendeter Technologie unterschiedlich sind..9 ) A), +,. B), +, ), ) und ) lassen sich nicht allgemein beantworten, da die Ergebnisse je nach verwendeter Technologie unterschiedlich sind. ) und ) und. Einsetzen von null ergibt eine Division durch null. Diese ist nicht definiert. - - - - - - - -. a) b) - - - - - - Für < < wird der Graph in Für < < wird der Graph in -Richtung gestaucht, für > wird -Richtung gestaucht, für > wird der Graph in -Richtung gestreckt. Aus der der Graph in -Richtung gestreckt. Aus Parabel. Ordnung wird eine Parabel der Parabel. Ordnung wird eine Parabel. Ordnung mit demselben Scheitel.. Ordnung mit demselben Scheitel. - -
.. c) d) 9 - - - - - - - - - - - Für < < wird der Graph in Aus einer Hperbel. Ordnung wird -Richtung gestreckt, für > wird eine Parabel. Ordnung. Die -Koordinate der Graph in -Richtung gestaucht. Für des Scheitels von ist die Polstelle < wird der Graph zusätzlich an der von. -Achse gespiegelt. Aus einer Hperbel. Ordnung wird eine Hperbel. Ordnung mit derselben Polstelle.. a) 9,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9 b),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, -9 c),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, d),,...,...,,,,,,,9...,...,, nicht def. nicht def.,,,,9...,...,,,,,,...,... Der Graph wird in Der Graph wird in Der Graph wird in Der Graph wird in -Richtung gestreckt. -Richtung gestaucht -Richtung gestreckt. -Richtung gestaucht. und an der -Achse gespiegelt.. : C; : E A: = _ ; B: = ; D: = ; F: = Auf die grafischen Darstellungen wird verzichtet.
... a) b) c) d) - - - - - - - - - - 9-9 - - - - - - - - - - - -9-9 - - - - - - - - - - Der Graph ist eine Der Graph ist eine Der Graph ist eine Der Graph ist eine Parabel. Ordnung. Parabel. Ordnung. Hperbel. Ordnung. Hperbel. Ordnung. Verglichen mit dem Verglichen mit dem Verglichen mit dem Verglichen mit dem Graph der Funktion Graph der Funktion Graph der Funktion Graph der Funktion = ist der Graph = ist der Graph = ist der Graph = ist der Graph um Einheiten nach um Einheiten nach um Einheiten nach um Einheiten nach oben verschoben. unten verschoben. oben verschoben. unten verschoben.. a) b) c) d) 9-9 - - - - - - - - 9 9 - - -9 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9 Der Graph ist eine Der Graph ist eine Der Graph ist eine Der Graph ist eine Parabel. Ordnung. Parabel. Ordnung. Hperbel. Ordnung. Hperbel. Ordnung. Verglichen mit dem Verglichen mit dem Verglichen mit dem Verglichen mit dem Graph der Funktion Graph der Funktion Graph der Funktion Graph der Funktion = ist der Graph = ist der Graph = ist der Graph = ist der Graph um Einheiten nach um Einheiten nach um Einheiten nach um Einheiten nach links verschoben. rechts verschoben. links verschoben. rechts verschoben. 9
... a) b) c) d) 9 - - - - - - - - - - - - - - - - -9 - - 9 - - - - - - - - - - Der Graph ist eine Der Graph ist eine Der Graph ist eine Der Graph ist eine Parabel. Ordnung. Parabel. Ordnung. Hperbel. Ordnung. Hperbel. Ordnung. Verglichen mit dem Verglichen mit dem Verglichen mit dem Verglichen mit dem Graph der Funktion Graph der Funktion Graph der Funktion Graph der Funktion = ist der Graph = ist der Graph = ist der Graph = ist der Graph um Einheiten nach um Einheiten nach um Einheiten nach um Einheiten nach rechts und um links und um rechts und um links und um Einheiten nach Einheiten nach Einheiten nach Einheiten nach oben verschoben. unten verschoben. oben verschoben. unten verschoben.. a) b) c) d) - - - - - - - - - - - - - - - -9 - - - - - - 9 - - - - - - - - - -9 - - 9 - - -9 - - - - - - - - Der Graph ist eine Der Graph ist eine Der Graph ist eine Der Graph ist eine Parabel. Ordnung. Parabel. Ordnung. Hperbel. Ordnung. Hperbel. Ordnung. Verglichen mit dem Verglichen mit dem Verglichen mit dem Verglichen mit dem Graph der Funktion Graph der Funktion Graph der Funktion Graph der Funktion = ist der Graph = ist der Graph = ist der Graph = ist der Graph um Einheiten nach um Einheit nach um Einheiten nach um Einheiten nach rechts und um links und um rechts und um links und um Einheit nach Einheiten nach Einheiten nach 9 Einheiten nach unten verschoben. unten verschoben. unten verschoben. oben verschoben..9 a) = ( + ) +, = + b) = ( ) +, = +. a) : A; : C; : D; B: = ; E: = b) : A; : C; B: = ; D: = ; E: =
... rot: Der Graph ist im Intervall ] ;,[ und im Intervall ],; [ streng monoton steigend und im Intervall ],;,[ streng monoton fallend. Er hat im Punkt (, ) ein Maimum und im Punkt (,,9) ein Minimum. Bei,, bei = und bei, hat der Graph jeweils eine Nullstelle. blau: Der Graph hat an der Stelle = eine Polstelle. Die Gerade = ist Asmptote. Der Graph ist im Intervall ] ; [ streng monoton steigend und im Intervall ]; [ streng monoton fallend. Bei, und bei, hat der Graph jeweils eine Nullstelle. grün: Der Graph ist im gesamten Verlauf streng monoton steigend und hat im Punkt ( ) eine Nullstelle. Dieser Punkt ist auch der Scheitel der Kurve.. a) - - - - - - - - - b) - -. ) n gerade ungerade positiv ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) negativ ( ), ( ) ( ), ( ) - - - - c) - n = : ( ), ( ) ) n gerade ungerade d) - - - - - - - positiv - - - - - - negativ - - - - - - - - -
... ) ) Der Graph der Funktion hat einen völlig anderen Verlauf als die Graphen der Funktionen und. Er hat drei Etremwerte und drei Nullstellen. - -. a) b) c) - - - - - - - - - - - - - - - - - eine Nullstelle bei, drei Nullstellen,,, zwei Nullstellen,,, =,,,. ) Polnomfunktion ) Polnomfunktion ) Potenzfunktion. ) : n ist mindestens fünf, da der Graph n = Etremstellen hat. : n ist mindestens vier, da der Graph n = Etremstellen hat. : n ist mindestens drei, da der Graph n = Etremstellen hat. ) : Der Graph hat eine Nullstelle zwischen = und =, die zugleich ein Maimum ist. Der Graph hat eine weitere Nullstelle bei =. Der Graph hat eine dritte Nullstelle zwischen = und =, die zugleich ein Minimum ist. Der Graph hat einen weiteres Minimum bei = und ein weiteres Maimum bei =. Der Graph ist smmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Graph ist zunächst monoton steigend, danach monoton fallend, im Bereich des Koordinatenursprungs monoton steigend, danach erneut monoton fallend und schließlich monoton steigend. : Der Graph hat Nullstellen bei = und bei =. Der Graph hat jeweils ein Minimum zwischen = und = bzw. zwischen = und =. Der Graph hat ein Maimum bei =. Der Graph ist smmetrisch zur -Achse. Der Graph ist zunächst monoton fallend, danach monoton steigend, dann erneut monoton fallend und schließlich monoton steigend. : Der Graph hat eine Nullstelle zwischen = und =, ein Maimum bei = und ein Minimum bei =. Der Graph ist nicht smmetrisch. Der Graph ist zunächst monoton steigend, danach monoton fallend und schließlich monoton steigend.
... ) Der Graph wird an der -Achse gespiegelt. ) Zu und : Der Graph wird stark verändert. hat einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt, hat keine Etrempunkte. ist streng monoton steigend, dann streng monoton fallend und schließlich wieder streng monoton steigend, ist streng monoton fallend. Im Bereich des Koordinatenursprungs ist der Verlauf der beiden Graphen ähnlich. Beide Funktionen sind ungerade. Zu und : Der Graph wird stark verändert. hat nur einen Tiefpunkt im Koordinatenursprung, hat zusätzlich zwei Hochpunkte. ist streng monoton fallend für < und streng monoton steigend für >. ist streng monoton steigend, streng monoton fallend, streng monoton steigend und schließlich streng monoton fallend. Im Bereich des Koordinatenursprungs ist der Verlauf der beiden Graphen ähnlich. Beide Funktionen sind gerade..9 ) A. Die Graphen von B und C gehen nicht durch den Punkt N ( ). ) B. Die Graphen von A und C haben mindestens zwei Minima und mindestens zwei Maima. ) Keiner. Alle drei Graphen sind zuerst streng monoton fallend.. Der Grad der Funktion ist n =, also ungerade, daher muss es mindestens eine Nullstelle geben. Da ( ) = kleiner als null und () = größer als null ist, und da die Funktion keine Polstellen und keine Definitionslücken hat, muss sie zwischen = und = eine Nullstelle haben.. Der Grad der Funktion ist n =, also gerade, daher muss es keine Nullstelle geben. Für jedes R gilt und. Daraus folgt, dass = + + für jedes R größer oder gleich eins ist. Der gesamte Graph liegt daher im ersten und im zweiten Quadranten und schneidet oder berührt die -Achse nicht.. n = : Die Polnomfunktion ist vom Grad, sie kann höchstens drei Nullstellen haben. Da n ungerade ist, muss die Funktion mindestens eine Nullstelle haben. n = : Die Polnomfunktion ist vom Grad, sie kann höchstens vier Nullstellen haben. Da n gerade ist, muss die Funktion keine Nullstelle haben.. Zum Beispiel haben die Funktionswerte von f() = für > und für < jeweils gleiches Vorzeichen und daher verschiedenes Monotonieverhalten. Es muss daher im Intervall [ ; ] mindestens eine Etremstelle liegen. Analoge Überlegungen gelten für alle Polnomfunktionen n-ten Grads, wenn n gerade ist. Die Funktionswerte haben für sehr kleine und für sehr große -Werte gleiches Vorzeichen.. Zum Beispiel haben die Funktionswerte von f() = für > und für < jeweils verschiedenes Vorzeichen und daher gleiches Monotonieverhalten. Es muss daher im Intervall [ ; ] nicht notwendig eine Etremstelle liegen. Analoge Überlegungen gelten für alle Polnomfunktionen n-ten Grads, wenn n ungerade ist. Die Funktionswerte haben für sehr kleine und für sehr große -Werte verschiedenes Vorzeichen.
... ) und ) ) Die Zuordnung, die der gespiegelte Graph darstellt, ist keine Funktion. = 9 - - - - = 9 = -. ) a = O ) a = V. Die Funktion beschreibt den Radius r in Abhängigkeit vom Volumen V. V. ) r(v) = π ) ) - - Die Funktionswerte sind Die Funktionswerte Der Graph ist um zwei nach doppelt so groß. betragen das -Fache. unten verschoben. ) ) ) Die Funktionswerte sind Der Graph ist um zwei nach Der Graph ist um zwei nach halb so groß. oben verschoben. rechts verschoben.
..9 ) - - Der Graph ist um zwei nach links verschoben..9 B, D, C, A, E Zu jeder Gleichung passt ein Graph und umgekehrt..9 und.9: Auf die grafische Darstellung wird verzichtet..9 a) D = R + ; f : = _ c) D = R ; f : = _ e) D = [; [; f : = b) D = R + ; f : = d) D = R + ; f : =.9 a) D = R + ; f : = _ c) D = R + ; f : = _ b) D = R + ; f : = +.9 a) O = V d) D = R + ; f : = b) V = O + e) D = [ ; [; f : =.9 ) s(v) = V π ) r(m) beschreibt den Radius des gleichseitigen Kegels in Abhängigkeit von der Größe des Kegelmantels. r(m) = M π.9 ) A(V) = V ) Der Seitenflächeninhalt wird auf das -Fache vergrößert..9 ) r(v) = ) r(t) = π V min t.9 ) v(h) = gh ) v(h) beschreibt jene Geschwindigkeit, die notwendig ist, um eine Höhe von Meter zu erreichen, wenn das Wasser auf der Höhe h austritt. π l.9 T s,,,,,,,, m l,,,,,,,,,9
.99..99 ) ) durch Quadrieren ) ja ) + = 9 = Die Lösung der entstandenen Gleichung erfüllt die ursprüngliche Gleichung nicht.. ) + ergibt einen positiven Wert oder null. ) ist immer positiv ist immer negativ und die Wurzel kann nicht berechnet werden. ) ist kleiner als + die Differenz ist kleiner null.. a) D = {k R k }; L = {} d) D = {v R v }; L = { } b) D = {m R m }; L = {} c) D = { R _ e) D = { t R t _ } ; L = {} } ; L = { }. a) D = { R _ } ; =, L = { } d) D = { m R m _ b) D = { a R a _ } ; a =, L = { } e) D = { h R h _ c) D = { n R n _ z R z _ } ; n =, L = { } f) D = { } ; L = { } ; L = { _ } ; L = { } } }. a) D = { R }; L = {} b) D = { R }; =, L = { }. a) D = { R _ 9 } ; L = { _ b) D = { R }; L = { } }. a) D = { R }; =, L = { } b) D = { R }; =, L = { }. a) ) Der Faktor zwei wurde nicht quadriert. = ( ) ) Der Radikand wurde nicht in Klammern geschrieben. = ( ) b) ) Es wurde aus einer Summe partiell die Wurzel gezogen. + = + 9 ) Auf der linken Seite wurde nur die Wurzel und nicht der gesamte Term quadriert. + + = + 9. a) Richtig. Bei einem Produkt kann jeder Faktor einzeln quadriert werden. b) Falsch. Summanden können nicht getrennt potenziert werden. c) Falsch. Von Summanden kann nicht getrennt die Wurzel gezogen werden. d) Falsch. Die Summanden müssen einzeln berechnet werden. e) Richtig. Jeder der Faktoren wird mit potenziert, dh. der Kehrwert gebildet. f) Richtig. Von Zähler und Nenner kann getrennt die Wurzel gezogen werden. g) Falsch. Von Minuend und Subtrahend kann nicht getrennt die Wurzel gezogen werden. h) Richtig. Anwenden einer binomischen Formel liefert das angegebene Ergebnis..9 a) 9 b) (ab) e) r_ s f) t g) cd c), d) und h) Zusammenfassen nicht möglich, weil verschiedene Radikanden.. ) a _ ) a _ ) a _ ) a _ ). a) b) Kann nicht vereinfacht werden. c) 9 d) Kann nicht vereinfacht werden.. a) 9 b) c). ) ) )
. a) b) c). a) b) 9 c). a) a a b) z z c) a c. a) b). a) 9 b) + c).9 a) f m m f b) b a abc d) z.. a z. a),,, b),,. ) + = ( _ ) _ = _ = ( _ ) _ = _ = = = ( _ ) _ = _ = _ _ _ = _ = _ = _ = _ _ = ( _ = ( _ ) _ ) _ = = = = _ = ( _ _ = _ = _ = _ = _ = _ = _, ) _ = = = _ _ = ( _ ) _ = = Die Struktur der beiden angegebenen Beispiele ist gleich. Im Nenner des Bruchs steht jeweils das um eins verminderte Quadrat des Zählers. Der erste Summand bzw. der Faktor vor der Wurzel und der Zähler des Bruchs sind gleich. Anwenden dieser Struktur mit und = ergibt ein weiteres Beispiel. ) LS: a a + = a a (a ) + a = a a = a a a, RS: a a a a ) + =. a). a. a) b) + b) + a b) 9b c) c) mn d) c) + + d) d) R + ω L R + ω L, LS = RS e) e) f + f f e) a a + b a a b. bis.: Auf die grafische Darstellung wird verzichtet.. a) g = _ b) g = c) g = d) g =. a) g = b) g = _ c) g = d) g =. a) verläuft flacher als, steiler c) verläuft steiler als, flacher b) verläuft gleich steil wie, flacher d) verläuft flacher als, steiler. a) S( ) b) S( ) c) S( )
.9..9 a) Blauer Graph: a =, b =, c =, = ( + ) + Grüner Graph: a =, b =, c =, = + Roter Graph: a =, b =, c =, = ( ) + b) Blauer Graph: a =, b =, c =, = ( + ) + Grüner Graph: a =, b =, c =, = Roter Graph: a =, b =, c =, = ( ). ) Smmetrisch zur -Achse bedeutet f( ) = f() und daher für die angegebene Funktion ( ) n = n. Das ist richtig, da n für n Z entweder null oder eine gerade ganze Zahl ist. Wird ( ) damit potenziert, ist das Ergebnis positiv. Damit gilt LS = RS. ) Punktsmmetrisch zum Ursprung bedeutet f( ) = f() und daher für die angegebene Funktion ( ) n + = n +. Das ist richtig, da n + für n Z eine ungerade ganze Zahl ist. Wird ( ) damit potenziert, ist das Ergebnis negativ. Damit gilt LS = RS.. Der Graph der Funktion =, also =, ist eine Gerade. Die Funktion beschreibt die erste Mediane.. f () = für n =. Potenzen mit dem Eponenten null haben immer den Wert eins. Da nicht definiert ist, muss die Definitionsmenge hier auf D f = R\{} eingeschränkt werden. f () R für ungerade n. Beim Potenzieren mit einer ungeraden Zahl ändert sich das Vorzeichen nicht. Für > ist daher f() > für < ist daher f() <. f () R + für gerade n. Beim Potenzieren mit einer geraden Zahl ist das Ergebnis immer positiv oder null. Für > und für < ist daher f() >.. a) f () = für n =. Potenzen mit dem Eponenten null haben immer den Wert eins. Das negative Vorzeichen wird nicht potenziert und bleibt daher erhalten. Da nicht definiert ist, muss die Definitionsmenge hier auf D f = R\{} eingeschränkt werden. f () R für ungerade n. Beim Potenzieren mit einer ungeraden Zahl ändert sich das Vorzeichen nicht. Wegen des negativen Vorzeichens ist für > daher f() <, für < daher f() >. f () R für gerade n. Beim Potenzieren mit einer geraden Zahl ist das Ergebnis immer positiv oder null. Wegen des negativen Vorzeichens ist für > und für < daher f() <. f () = für n =. Potenzen mit dem Eponenten null haben unabhängig vom Vorzeichen immer den Wert eins. Da nicht definiert ist, muss die Definitionsmenge hier auf D f = R\{} eingeschränkt werden. f () R für ungerade n. Beim Potenzieren mit einer ungeraden Zahl ändert sich das Vorzeichen nicht. Wegen des negativen Vorzeichens ist für > daher f() <, für < daher f() >. f () R + für gerade n. Beim Potenzieren mit einer geraden Zahl ist das Ergebnis immer positiv oder null. Das negative Vorzeichen fällt beim Potenzieren mit einer geraden Zahl weg. Für > und für < ist daher f() >. - - - b) - - - - - - - - - c) - - - - - - -
.. d) - - - - - - - e) - - - -. ) Falsch. Der Graph von = hat genau eine Nullstelle. ) Falsch. Nur der Graph der Funktion = ist smmetrisch zur -Achse. Alle anderen zur -Achse smmetrischen Graphen sind Graphen von Relationen. Der Graph einer Polnomfunktion kann daher nicht smmetrisch zur -Achse sein. Der Graph der Funktion ist smmetrisch zur -Achse. ) Falsch. Wegen ( + ) = ist die Funktion an der Stelle = nicht definiert. ( + ) ) Falsch. Der Graph von = ist eine Hperbel mit der -Achse ( = ) und der -Achse ( = ) als Asmptoten.. t(s) = s g s m 9 g s(t) =. t t s t s t(s) =. g s 9 s m. ) v(s) = μgs ) v m s =, =, =, s m 9 9 ) Die Behauptung ist falsch. Der Fahrer ist mit,... km gefahren. Schritttempo" entspricht h einer Geschwindigkeit von, km h. 9
... a) D = { R ( ) ( )}; L = {} b) D = R; L = {} c) D = R; L = { }. a) D = R; L = {} b) D = { R }; L = {} c) D = R; = ±, L = { }.9 a) D = { R }; L = {} c) D = { R }; =, L = { } b) D = { R }; L = { 9 }. a) D = { R }; L = {} c) D = { R }; L = {} b) D = { R }; L = {}