DIPLOMARBEIT. Erneuerungsprozesse - Theorie und Anwendungen. Magister der Naturwissenschaften (Mag.rer.nat.) Titel der Diplomarbeit

DIPLOMARBEIT Titel der Diplomarbeit Erneuerungsprozesse - Theorie und Anwendungen angestrebter akademischer Grad Magister der Naturwissenschaften (Mag.rer.nat.) Verfasser: Pierre Frères Matrikelnummer: 226138 Studienkennzahl lt. Studienblatt: A 45 Studienrichtung lt. Studienblatt: Mathematik Betreuer: Ao. Univ.-Prof. Dr. Franz Hofbauer Wien, im April 21

Danksagung Ich möchte folgenden Personen für ihre Unterstützung bei dieser Diplomarbeit danken: Herrn Ao. Univ.-Prof. Dr. Franz Hofbauer für die Betreuung dieser Diplomarbeit und die Unterstützung bei den verschiedenen Problemstellungen. Meiner Familie, die mich während meines gesamten Studiums nicht nur nanziell, sondern auch moralisch unterstützte. Elisabeth Bourkel, die mir immer wieder neue Kraft gab und mir in allen Lebenslagen den Rücken stärkte. David Hirschmann, der mir während meiner Diplomarbeit immer mit Rat und Tat zur Seite stand, unabhängig davon, wie viel er selbst zu tun hatte. Laurence Bourkel, die mir mit ihrer fachlichen Kompetenz an vielen Stellen der Diplomarbeit eine groÿe Hilfe war. Magdalena Vass und Gudrun Weisz für ihre wertvolle moralische Unterstützung.

Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis Einleitung 1 Teil 1. Theorie 3 Kapitel 1. Die Erneuerungsfunktion 5 Kapitel 2. Der Erneuerungssatz 17 2.1. Beweis des Erneuerungssatzes 2 2.1.1. Methode 1 2 2.1.2. Methode 2 31 2.2. Folgerungen aus dem Erneuerungssatz 39 2.3. Ein zentraler Grenzwertsatz 42 Kapitel 3. Verallgemeinerungen und Variationen des Erneuerungsprozesses 45 3.1. Zeitverzögerter Erneuerungsprozess 45 3.2. Stationärer Erneuerungsprozess 47 3.3. Zusammenhängender Prozess 48 3.4. Kumulierter Prozess 5 3.5. Endender Erneuerungsprozess 51 Teil 2. Anwendungen 55 Kapitel 4. Versicherungsmathematik 57 4.1. Das Modell 57 4.2. Kleine Forderungen 59 4.3. Integralgleichung 62 Kapitel 5. Der Geigerzähler 69 5.1. Geigerzähler vom Typ I 69 5.2. Geigerzähler vom Typ II 72 Kapitel 6. Wachstum 75 Kapitel 7. Genetisches Modell mit Mutation 79 Zusammenfassung 83 Literaturverzeichnis 85 Lebenslauf 87

Abbildungsverzeichnis 1.1 Zusammenhang zwischen S n und N(t) 6 1.2 Alter, Restlebensdauer und Gesamtlebensdauer 7 2.1 Darstellung von t (x) 32 3.1 Darstellung eines zusammenhängenden Erneuerungsprozesses 49 3.2 Darstellung eines endenden Erneuerungsprozesses 52 4.1 Darstellung des Gewinnprozesses X t 58 4.2 Darstellungen von m G (t) 61 5.1 Geigerzähler vom Typ I 7 5.2 Geigerzähler vom Typ II 73 7.1 Darstellung von u k als Projektion von w k auf dem Simplex N 81

Einleitung Die Funktionsweise eines Geigerzählers, Mutation, Wachstum und Versicherungsmathematik enthalten Elemente, denen ein Prinzip zu Grunde liegt: die Erneuerung. Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit diesen Erneuerungsprozessen, einem Spezialgebiet der Stochastik. Die Erneuerungstheorie befasst sich mit stochastischen Systemen, deren Entwicklung über die Zeit Erneuerungen enthält, Zeiten bei denen, im statistischen Sinn, der Prozess von Neuem beginnt. Diese werden mit Hilfe von unabhängigen, identischverteilten, nichtnegativen Zufallsvariablen beschrieben, welche man sich als aufeinanderfolgende Lebensdauern vorstellen kann, die aber je nach Anwendung auch eine andere Bedeutung haben können. Die Erneuerungstheorie wird in der vorliegenden Arbeit im ersten Teil unter einem theoretischen Aspekt und im zweiten Teil unter einem praktischen Gesichtspunkt mit verschiedenen konkreten Anwendungen behandelt. Der erste Teil befasst sich mit der Theorie der Erneuerungsprozesse und dem Erneuerungssatz, welcher Aussagen über das asymptotische Verhalten der Lösungen sogenannter Erneuerungsgleichungen trit. Aufgrund seiner Wichtigkeit in der Erneuerungstheorie, wird der Erneuerungssatz ausführlich dargestellt und anhand von zwei Methoden hergeleitet. Schlieÿlich werden Verallgemeinerungen und Variationen des Erneuerungsprozesses behandelt. Im zweiten Teil werden Anwendungen aus verschiedenen Bereichen der Natur- und Wirtschaftswissenschaften, in welchen Erneuerungsprozesse vorhanden sind, dargestellt. 1

Teil 1 Theorie

KAPITEL 1 Die Erneuerungsfunktion Kapitel 1 widmet sich dem Begri der Erneuerungsfunktion, welche unabdingbar in der Erneuerungstheorie ist. Die Darstellungen in dem vorliegenden Kapitel halten sich, in weiten Zügen, an [7], [3] und [5]. Ein Erneuerungsprozess wird durch eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen (X j ) j 1 bestimmt, die alle dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung F haben. Die Zufallsvariablen werden als Lebensdauern interpretiert und F heiÿt Lebensdauerverteilung. Sie hat folgende Eigenschaften: Definition 1.1. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung F nennt man Lebensdauerverteilung, wenn F (t) = für t < und F () < 1 gilt. Folgende Denition dient dem besseren Verständnis: Definition 1.2. Eine Funktion K : R R nennt man Verteilung, wenn sie monoton wachsend und rechtsseitig stetig ist. Gilt zusätzlich lim t K(t) = 1 und lim t K(t) =, dann ist K eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Man deniert die Partialsummen S = S n = X 1 + X 2 +... + X n, für n 1 (1.1) und nennt S n den n-ten Erneuerungszeitpunkt. Der stochastische Prozess (S n ) n heiÿt dann Erneuerungsprozess mit Lebensdauerverteilung F. Weiters deniert man N t = {Anzahl der Indizes n für die < S n < t gilt} = max{n : S n t}. (1.2) Da bei der Untersuchung eines Erneuerungsprozesses die Anzahl N t der Erneuerungen im Zeitintervall [, t] eine wesentliche Rolle spielt, wird der Zusammenhang von N t und S n noch genauer betrachtet. Dabei lässt sich (1.2) wie folgt schreiben. Satz 1.3. Für k N und t gilt N t k S k t. Beweis. Es gilt N t k genau dann, wenn im Zeitintervall [, t] mindestens k Erneuerungen stattnden. Das ist genau dann der Fall, wenn die k-te Erneuerung vor oder zum Zeitpunkt t stattndet, also S k t gilt. 5

6 1. DIE ERNEUERUNGSFUNKTION Abbildung 1.1. Zusammenhang zwischen S n und N(t). Für n 1 sei F n (x) = P (S n x) die Verteilungsfunktion von S n. Später wird F n mit Hilfe der Faltungsformel berechnet werden. Aus Satz 1.3 folgt sowie P (N t k) = P (S k t) (1.3) = F k (t), für t, k = 1, 2,..., P (N t = k) = P (N t k) P (N t k + 1) (1.4) = F k (t) F k+1 (t), für t, k = 1, 2,... Beispiel. Das wohl bekannteste Beispiel für einen Erneuerungsprozess ist der kontinuierliche Austausch von Glühbirnen. Eine Glühbirne wird, sobald sie durchbrennt, sofort durch eine neue Glühbirne ersetzt. Diesen Vorgang der fortlaufenden Erneuerungen beschreibt man durch einen Erneuerungsprozess. Zum Zeitpunkt t = wird eine Glühbirne eingesetzt, welche zum Zeitpunkt X 1 ausfällt und durch eine neue Glühbirne mit derselben Lebensdauerverteilung F ersetzt wird. Diese zweite Glühbirne fällt zum Zeitpunkt X 1 + X 2 aus und wird durch eine dritte Glühbirne ausgetauscht. Somit brennt die n-te Glühbirne zum Zeitpunkt S n = n i=1 X i durch und wird unverzüglich ersetzt, usw. Es versteht sich von selbst, dass die nacheinanderfolgenden Lebenszeiten stochastisch unabhängig sind und alle dieselbe Lebensdauerverteilung F besitzen, sodass P (X k x) = F (x) gilt. Dabei erfasst N t in diesem Erneuerungsprozess die Anzahl der Erneuerungen (Auswechslungen der Glühbirnen) bis zum Zeitpunkt t. Damit Erneuerungsprozesse noch besser beschrieben werden können, werden noch zusätzlich die folgenden Zufallsvariablen eingeführt.

1. DIE ERNEUERUNGSFUNKTION 7 Abbildung 1.2. Alter, Restlebensdauer und Gesamtlebensdauer. Definition 1.4. Sei t >. Dann bezeichnen δ t das Alter, γ t die Restlebensdauer und β t die Gesamtlebensdauer der zum Zeitpunkt t in Betrieb stehenden Glühbirne, welche wie folgt deniert werden: δ t = t S Nt γ t = S Nt+1 t β t = δ t + γ t (Alter) (Restlebensdauer) (Gesamtlebensdauer) Beispiel. Ein weiteres Beispiel für einen Erneuerungsprozess können die Abfahrtszeiten einer Straÿenbahn an einer Haltestelle bilden. In dem Fall wäre γ t die Wartezeit auf die nächste Straÿenbahn, wenn man zum Zeitpunkt t zur Haltestelle kommt. Da es bei der Erneuerungstheorie von erheblicher Wichtigkeit ist, die erwartete Anzahl von Erneuerungen auf einem Zeitintervall zu berechnen, wird der Begri der Erneuerungsfunktion eingeführt. Definition 1.5. Sei R(t) = E(N t ) die durchschnittliche Anzahl von Erneuerungen im Zeitintervall [, t]. Die Funktion R : R + R + heiÿt Erneuerungsfunktion des Erneuerungsprozesses. Mit Hilfe der Denition der Erneuerungsfunktion und den Erkenntnissen aus (1.3) und (1.4), erhält man schlieÿlich Satz 1.6. Ist F k die Wahrscheinlichkeitsverteilung von S k, dann gilt R(t) = F k (t) für alle t. k=1

8 1. DIE ERNEUERUNGSFUNKTION Beweis. Die Zufallsvariable N t nimmt Werte in N an. Es folgt R(t) = E(N t ) = kp (N t = k) = k=1 P (N t k) = k=1 P (S k t) = k=1 F k (t), wobei sich die dritte Gleichheit durch Umgruppieren herbeiführen lässt. Um die Erneuerungsfunktion R weiter untersuchen zu können, muss ein Weg gefunden werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilungen F n von S n zu berechnen. Aus diesem Grund wird das Riemann-Stiltjes-Integral eingeführt. Das Riemann-Stiltjes-Integral einer Funktion f : (a, b] R bezüglich einer Verteilung K deniert man genauso wie das Riemann-Integral, jedoch miÿt man in diesem Fall die Länge des Intervalls (u, v] durch K(v) K(u). Sei a = t < t 1 < < t m = b eine Zerlegung des Intervalls (a, b]. Dann deniert man m (K(t j ) K(t j 1 )) sup f als die Obersumme und j=1 (t j 1,t j ] m (K(t j ) K(t j 1 )) inf f als die Untersumme. j=1 (t j 1,t j ] Sind das Inmum der Obersummen und das Supremum der Untersummen gleich, dann heiÿt die Funktion f integrierbar. Diesen gemeinsamen Wert bezeichnet man mit b f(x) dk(x). Integrale über unbeschränkte Intervalle kann man man durch Grenzübergänge a und b denieren. Gibt es für K eine Dichtefunktion k, a mit K(t) = k(x) dx, dann gilt b f(x) dk(x) = b f(x)k(x) dx. Es wird eine geeignete Menge von integrierbaren Funktionen gesucht. Für eine Linkstreppenfunktion a a h = r j=1 c j1 (sj 1,s j ] auf (a, b], wobei a = s < s 1 < < s r = b und c j R gilt, erhält man b h(x) dk(x) = r a j=1 c j(k(s j ) K(s j 1 )). Bemerkung. Bei Rechtstreppenfunktionen sind Schwierigkeiten vorhanden, wenn eine Sprungstelle von K mit einer Sprungstelle der Treppenfunktion zusammenfällt. Definition 1.7. Eine Funktion f heiÿt regulär, wenn lim x y f(x) und lim x y f(x) für alle y existieren. Gilt zusätzlich lim x y f(x) = f(y) für alle y, so nennt man f linksregulär. Gilt zusätzlich lim x y f(x) = f(y) für alle y, so nennt man f rechtsregulär. Hilfssatz 1. Für eine Funktion f : (a, b] R gilt: (a) Die Funnktion f ist linksregulär genau dann, wenn für jedes ɛ > eine Linkstreppenfunktion h auf (a, b] existiert mit sup x (a,b] f(x) h(x) < ɛ. (b) Wenn für jedes ɛ > eine linksreguläre Funktion g : (a, b] R existiert, sodass sup x (a,b] f(x) g(x) < ɛ gilt, dann ist f ebenfalls linksregulär. Analoge Aussagen gelten natürlich auch für rechtsreguläre Funktionen f : [a, b) R. Für einen Beweis sei auf die Analysis verwiesen. Aus Hilfssatz 1(a) ergibt sich, dass b f(x) dk(x) für jede linksreguläre Funktion f : (a, b] R existiert. Durch a Anwendung dieses Integral ergibt sich k=1

1. DIE ERNEUERUNGSFUNKTION 9 Definition 1.8. Sei g : [, ) R rechtsregulär. Sei K : R R + eine Verteilung mit K(x) = für x <. Die Funktion g K : [, ) R bezeichnet man als die Faltung von g mit K und wird deniert durch g K(t) = g(t x) dk(x). Aufgrund der Linksregularität von x g(t x), existiert dieses Integral. Aus diesen Eigenschaften ergeben sich ebenfalls einige einfache Eigenschaften der Faltung. Satz 1.9. Seien g und h rechtsreguläre Funktionen auf [, ) und K und L Verteilungen, die auf R gleich sind. Dann gilt: (a) g K(t) = g(t x) dk(x) für jedes a >. a (b) (g + h) K = g K + h K und g (K + L) = g K + g L. (c) g K(t) sup s [,t] g(s) K(t). Beweis. (a) Sei b > a. Da K(x) = für x < gilt, ist a g(t x) dk(x) =, b da jede Riemannsumme für dieses Integral gleich ist. Somit gilt b g(t x) dk(x) = a g(t x) dk(x). Lässt man b gegen gehen, so folgt (a). (b) Es gilt u(x) + v(x) dk(x) = u(x) dk(x) + a a a v(x) dk(x) für linksreguläre Funktionen u und v. Setzt man nun u(x) = g(t x) und v(x) = h(t x), so folgt die erste Aussage von (b). Für M = K + L gilt a u(x) dm(x) = a u(x) dk(x) + a u(x) dl(x), da diese Gleichung für die Ober- und Untersumme zu jeder Zerlegung erfüllt ist. Die zweite Aussage von (b) folgt, indem man u(x) = g(t x) setzt. (c) Weiters gilt a u(x) dk(x) sup u(s) (K(t) K( a)) s ( a,t] für linksreguläre Funktionen u : ( a, t] R, da diese Abschätzung für jede Ober- und Untersumme des Integrals gültig ist. Setzt man u(x) = g(t x), so folgt g K(t) sup s [,t+a) g(s) K(t), da K( a) = gilt und t s das Intervall [, t + a) durchläuft, wenn s das Intervall ( a, t] durchläuft. Da man a > beliebig nahe bei wählen kann und g rechtsregulär ist, folgt (c). Die Menge aller rechtsregulären Funktionen auf [, ) bildet einen Vektorraum V. Dieser enthält alle Verteilungen, die auf R gleich sind, wenn man sie auf [, )

1 1. DIE ERNEUERUNGSFUNKTION einschränkt. Es wird gezeigt, dass die Faltung nicht aus V hinausführt, das heiÿt, wenn g rechtsregulär ist, dann auch g K. Um dies zu zeigen, wird u > beliebig gewählt. Wegen Hilfssatz 1 existiert auf dem Intervall [, u) eine Rechtstreppenfunktion h = mit sup x [,u) g(x) h(x) < ɛ. Dann ist sodass man h(t x) = h K(t) = n c j 1 [sj 1,s j ) j=1 n c j 1 (t sj,t s j 1 ](x), j=1 n c j (K(t s j 1 ) K(t s j )) j=1 für t [, u) erhält. Aufgrund der Rechtsregularität von K, ist h K(t) als Linearkombination von rechtsregulären Funktionen ebenfalls rechtsregulär. Für t [, u) folgt wegen Satz 1.9(c) g K(t) h K(t) sup g(s) h(s) K(t) ɛk(t) ɛk(u). s [,t] Es wurde somit sup t [,u) g K(t) h K(t) ɛk(u) gezeigt. Wegen Hilfssatz 1 folgt, dass g K auf [, u) für alle u > rechtsregulär ist und somit auch auf [, ). Satz 1.1. Seien X 1 und X 2 unabhängige Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen H 1 und H 2, die beide auf R gleich null sind. Sei H die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X 1 + X 2. Dann gilt H(t) = H 1 (t) H 2 (t) für t. Beweis. Sei a > und t > und sei B = {(x, y) : x > a, y, x + y t}. Dann gilt P (X 1 + X 2 t) = P ((X 2, X 1 ) B), da X 1 und X 2 nur Werte annehmen. Für eine Zerlegung a = t < t 1 < < t n = t sei n B n = (t j 1, t j ] [, t t j 1 ]. j=1 Es wird eine Folge von immer feiner werdenden Zerlegungen, deren Maschenweite mit n gegen geht, gewählt, sodass die Obersummen n j=1 H 1(t t j 1 )(H 2 (t j 1 ) H 2 (t j )) gegen das entsprechende Integral H a 1(t x) dh 2 (x) gehen. Das ist möglich, da x H 1 (t x) eine linksreguläre Funktion und daher integrierbar ist. Da die Mengen B n monoton fallend gegen die Menge B gehen, gehen auch die Ereignisse (X 2, X 1 ) B n monoton fallend gegen das Ereignis (X 2, X 1 ) B, sodass P ((X 2, X 1 ) B) = lim n P ((X 2, X 1 ) B n )

1. DIE ERNEUERUNGSFUNKTION 11 aus dem Stetigkeitssatz folgt. Wegen der Unabhängigkeit von X 1 und X 2 erhält man n P ((X 2, X 1 ) B n ) = P (X 1 t t j 1, t j 1 X 2 t j ) = j=1 n H 1 (t t j 1 )(H 2 (t j 1 ) H 2 (t j )). j=1 Lässt man n gegen gehen, dann erhält man P (X 1 + X 2 t) = P ((X 2, X 1 ) B) = Wegen Satz 1.9(a) steht rechts die Faltung von H 1 mit H 2. a H 1 (t x) dh 2 (x). Seien X 1, X 2 und X 3 unabhängige Zufallsvariablen welche die Wahrscheinlichkeitsverteilungen H 1, H 2 und H 3 haben, die auf R gleich null sind. Dann gilt H 1 H 2 = H 2 H 1 wegen X 1 + X 2 = X 2 + X 1 und H 1 (H 2 H 3 ) = (H 1 H 2 ) H 3 wegen X 1 + (X 2 + X 3 ) = (X 1 + X 2 ) + X 3. Für Wahrscheinlichkeitsverteilungen, welche auf R gleich null sind, ist die Faltung eine kommutative und assoziative Verknüpfung. Sei F eine Lebensdauerverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen F n von S n können dann mit Hilfe der Faltung rekursiv berechnet werden. Wegen S n = S n 1 + X n, der Unabhängigkeit von S n 1 und X n und der Tatsache, dass F die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X n ist, gilt die Rekursion für n 2. F n = F n 1 F = F F n 1 Definition 1.11. Man schreibt F G, wenn F (t) G(t) für alle t R gilt. Satz 1.12. Seien F und G Lebensdauerverteilungen. Wenn F G gilt, dann auch F n G n für alle n 1. Beweis. Wegen F 1 = F und G 1 = G ist dies für n = 1 klar. Der Beweis wird durch Induktion geführt. Wenn F n G n gezeigt ist, dann folgt F n+1 (t) = F n (t x) df (x) und weiters wegen G n F (t) = F G n (t) F n+1 (t) F G n (t) = womit der Satz bewiesen ist. F (t x) dg n (x) G n (t x) df (x) = G n F (t) G(t x) dg n (x) = G n+1 (t) Satz 1.13. Sei R die Erneuerungsfunktion eines Erneuerungsprozesses mit Lebensdauerverteilung F. Dann gilt: (a) es existieren positive Konstanten c und d mit R(t) c + dt für alle t R +. (b) R ist monoton wachsend und rechtsregulär. (c) R(t) = F (t) + R(t x) df (x), das heiÿt R = F + R F.

12 1. DIE ERNEUERUNGSFUNKTION Beweis. (a) Da F () < 1 und F rechtsseitig stetig ist, gibt es ein a > mit F (a) < 1. Sei, für x <, G(x) = F (a), für x < a, 1, für x a. Dann gilt F G. Sei R die Erneuerungsfunktion zur Lebensdauerverteilung G. Aus Satz 1.6 und Satz 1.12 folgt R R. Durch Berechnen von R(t) ergibt sich R(t) = 1 ([ t ] + 1) 1 und man erhält durch Einsetzen 1 F (a) a ([ ] ) 1 t 1 R(t) + 1 1 t 1 F (a) a a(1 F (a)) + 1 1 F (a) womit (a) gezeigt ist. (b) Da jedes F k monoton wachsend ist, ist auch R = k=1 F k monoton wachsend. Um zu zeigen, dass R rechtsregulär ist, sei R n = n k=1 F k. Dann gilt für t > sup R(s) R n (s) = sup F k (s) = F k (t) s [,t] s [,t] k=n+1 k=n+1 da jedes F k positiv und monoton wachsend ist. Wegen (a) ist k=1 F k(t) konvergent und daher lim F k (t) =. n k=n+1 Für jedes t > konvergiert daher R n gleichmäÿig auf [, t) gegen R. Als endliche Summe von rechtsregulären Funktionen ist R n ebenfalls rechtsregulär. Als gleichmäÿiger Grenzwert der Funktionen R n ist dann auch R rechtsregulär auf [, t) für jedes t und daher auf R. Damit ist (b) gezeigt. (c) Die Gleichung aus (c) wird zuerst für R n mit Hilfe des Distributivgesetzes für die Faltung, das in Satz 1.9(b) gezeigt wurde, nachgerechnet n+1 n+1 R n+1 (t) = F k (t) = F 1 (t) + F k 1 F (t) k=1 Mit Hilfe von Satz 1.9(c) folgt k=2 = F (t) + R n F (t). R F (t) R n F (t) sup R(s) R n (s) F (t). s [,t] Im letzten Absatz wurde sup s [,t] R(s) R n (s) für n gezeigt. Mit n folgt daher R(t) = F (t) + R F (t) aus obiger Gleichung. Ab jetzt wird der Erwartungswert der zugrundeliegenden Lebensdauerverteilung F mit µ bezeichnet, sodass µ = E(X 1 ) = x df (x) = 1 F (x) dx gilt. Bevor die Restlebensdauer einer in Betrieb stehenden Glühbirne bestimmt werden kann, wird der folgende wichtige Hilfssatz bewiesen.

1. DIE ERNEUERUNGSFUNKTION 13 Hilfssatz 2. Seien X 1, X 2,... Zufallsvariablen mit Werten in R +, die alle Erwartungswert µ haben. Weiters sei N eine Zufallsvariable mit Werten in N, sodass die Ereignisse ( N k 1 und X k s für alle k N und s unabhängig sind. Dann gilt N ) E = µe(n). j=1 X j Beweis. Die Zufallsvariable U j für j 1 wird durch U j =, wenn N j 1, und U j = 1, wenn N j deniert. Dann gilt N j=1 X j = j=1 U jx j. Sei t. Aus der Unabhängigkeit der Ereignisse N j 1 und X j > t folgt Daraus erhält man E(U j X j ) = P (U j X j > t) = P (U j = 1, X j > t) = P (X j > t) P (U j =, X j > t) = P (X j > t) P (N j 1, X j > t) = P (X j > t) P (N j 1)P (X j > t) = P (X j > t)p (N j). P (U j X j > t) dt = P (N j) P (X j > t) dt = P (N j)µ. Aufgrund der Tatsache, dass für Zufallsvariablen X j mit j 1 und mit Werten in R + ( ) E X j = E (X j ) j=1 gilt, folgt nun ( N ) ( ) E X j = E U j X j = j=1 j=1 j=1 j=1 E(U j X j ) = µ P (N j) = µe(n). Mit Hilfe von Hilfssatz 2 lässt sich nun die durchschnittliche Restlebensdauer einer zum Zeitpunkt t in Betrieb stehenden Glühbirne berechnen. Satz 1.14. Für t > gilt E(S Nt+1) = µ(r(t)+1) und daher E(γ t ) = µ(r(t)+1) t. Beweis. Hilfssatz 2 wird auf S Nt+1 = N t+1 j=1 X j angewendet. Zuerst müssen die Voraussetzungen dieses Satzes, nämlich die Unabhängigkeit der Ereignisse N t + 1 k und X k+1 s für alle k 1 und s überprüft werden. Aus Satz 1.3 folgt j=1 N t + 1 k N t < k S k > t. Aus der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen S k und X k+1 folgt dann P (N t + 1 k, X k+1 s) = P (S k > t, X k+1 s) = P (S k > t)p (X k+1 s) = P (N t + 1 k)p (X k+1 s). Hilfssatz 2 besagt jetzt, dass E(S Nt+1) = µe(n t +1) = µ(r(t)+1) gilt. Durch Einsetzen von S Nt+1 = γ t + t folgt sofort E(γ t ) = µ(r(t) + 1) t.

14 1. DIE ERNEUERUNGSFUNKTION Mit Hilfe von Satz 1.14 kann jetzt das asymptotische Verhalten der Erneuerungsfunktion bestimmt werden. Satz 1.15 bezeichnet man auch noch als den elementaren Erneuerungssatz. Satz 1.15. Für einen Erneuerungsprozess mit µ = E(X 1 ) < gilt R(t) lim t t = 1 µ. Beweis. Aus der Denition von N t folgt S Nt+1 > t und daher µ(r(t) + 1) t aus Satz 1.14. Man erhält R(t) 1 t µ 1 t woraus folgt. Um jetzt noch zu zeigen, sei c > beliebig und G(t) = lim inf t lim sup t R(t) t R(t) t 1 µ 1 µ { F (t), für t < c, 1, für t c, sodass F G gilt. Sei R die Erneuerungsfunktion zur Lebensdauerverteilung G. Aus Satz 1.6 und Satz 1.12 folgt R R. Sei ( S k ) k 1 ein Erneuerungsprozess mit Lebensdauerverteilung G und Ñt die Anzahl der Erneuerungen im Zeitintervall [, t] für diesen Prozess. Die Zufallsvariablen X k = S k S k 1 können keine Werte > c annehmen, da P ( X k c) = G(c) = 1 gilt. Insbesondere folgt SÑt+1 SÑt c und SÑt+1 t + c, wegen SÑt t. Sei µ der Erwartungswert von G. Aus Satz 1.14 folgt sodass man erhält. Es folgt Wegen R(t) R(t) wurde gezeigt. Schlieÿlich gilt µ R(t) E( SÑt+1 ), R(t) t lim sup t lim sup t 1 µ + c t µ R(t) t R(t) t lim µ = µ, c 1 µ. 1 µ

1. DIE ERNEUERUNGSFUNKTION 15 aufgrund von So erhält man µ = µ = womit der Satz bewiesen ist. 1 F (x) dx und 1 G(x) dx = lim sup t R(t) t c 1 µ, 1 F (x) dx.

KAPITEL 2 Der Erneuerungssatz Als erstes wird in dem vorliegenden Kapitel der Begri der Erneuerungsgleichung eingeführt, welche eine wichtige Rolle für den Erneuerungssatz spielt. Die folgenden Darstellungen wurden, in weiten Teilen, aus [5] und [7] entnommen. Als Erneuerungsgleichungen werden Gleichungen der Form A(t) = a(t) + A(t x) df (x) bezeichnet, wobei F eine Lebensdauerverteilung ist und A, a auf R + deniert sind. Es wurde bereits in Satz 1.13(c) gezeigt, dass R eine Erneuerungsgleichung mit a = F erfüllt. Der Erneuerungssatz gibt das asymptotische Verhalten einer Lösung A einer Erneuerungsgleichung an. Für dessen Formulierung benötigt man noch folgende Denition. Definition 2.1. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung F heiÿt Gitterverteilung, wenn ein d > und c n für n Z existieren, sodass F = n Z c n1 [nd, ) gilt. Man nennt d die Gitterweite und c n die Sprunghöhe im Punkt nd. Satz 2.2 (Erneuerungssatz). Sei F eine Lebensdauerverteilung mit Erwartungswert µ = x df (x) <. Sei a : [, ) R eine endliche Linearkombination von positiven monoton fallenden rechtsregulären Funktionen a j mit a j (x) dx <. Sei A : [, ) R eine Lösung der Erneuerungsgleichung A(t) = a(t) + die auf kompakten Intervallen beschränkt ist. Ist F keine Gitterverteilung, dann gilt lim A(t) = t { 1 µ A(t x) df (x), (2.1) a(x) dx, falls µ <,, falls µ =. Ist F eine Gitterverteilung mit Gitterweite d, dann gilt (2.2) lim A(nd) = n { d µ n= a(nd), falls µ <,, falls µ =. (2.3) Bevor mit dem Beweis des Erneuerungssatzes begonnen wird, wird ein Zusammenhang zur Erneuerungsgleichung hergestellt. 17

18 2. DER ERNEUERUNGSSATZ Mit Hilfe der Erneuerungsfunktion R zur Lebensdauerverteilung F kann man eine Formel für die Lösung der Erneuerungsgleichung angeben. Sei R(t) = für t <, sodass R(t) = k=1 F k(t) für alle t R gilt. Wegen Satz 1.13(b) ist R eine Verteilung. Satz 2.3. Sei a eine beschränkte, rechtsreguläre Funktion auf R +. Die einzige Lösung der Erneuerungsgleichung A(t) = a(t) + die auf kompakten Intervallen beschränkt ist, ist dann durch gegeben. A(t) = a(t) + A(t x) df (x), (2.4) a(t y) dr(y) (2.5) Beweis. Für diesen Beweis werden Satz 1.9 und das Assoziativgesetz (g G) H = g (G H) aus Kapitel 1 verwendet. Man zeigt zuerst, dass A = a + a R eine auf kompakten Intervallen beschränkte Lösung ist. Wegen sup A(x) sup a(x) + sup a(x) R(t) < x [,t] x R + x R + ist A auf [, t] beschränkt für jedes t >. Mit Satz 1.13(c) folgt A = a + a R = a + a (F + R F ) = a + a F + a (R F ) = a + a F + (a R) F = a + (a + a R) F = a + A F, womit gezeigt ist, dass A die Erneuerungsgleichung löst. Sei jetzt A eine Lösung von A = a+a F, die auf kompakten Intervallen beschränkt ist. Setzt man diese Gleichung in sich selbst ein, so folgt A = a + (a + A F ) F = a + a F + A F 2. Wiederholt man dies immer wieder und setzt R n = n k=1 F k, so erhält man A = a + a R n + A F n+1 für alle n. Man lässt n gegen gehen. Wegen Satz 1.13(a) gilt j=1 F j(t) = R(t) <. Ist G n (t) = j=n+1 F j(t), dann folgt lim n F n+1 (t) = und lim n G n (t) = für t. Wegen A F n+1 (t) sup x [,t] A(x) F n+1 (t) erhält man lim n A F n+1 (t) = für t. Wegen a R(t) a R n (t) = a G n (t) sup x R + a(x) G n (t) folgt lim n a R n (t) = a R(t) für t. Für n folgt also A = a + a R, womit gezeigt ist, dass das die einzige Lösung von A = a + A F ist, die auf kompakten Intervallen beschränkt ist.

Beispiel. Sei 2. DER ERNEUERUNGSSATZ 19 a(y) = { 1, für y < h,, für h y. Die zugehörige Lösung der Erneuerungsgleichung ist A(t) = a(t) + = R(t) R(t h), für t > h. Aus dem Erneuerungssatz folgt wenn F keine Gitterverteilung ist. a(t x) dr(x) lim t (R(t) R(t h)) = h µ, Satz 2.4. Für jedes y > existiert ein γ(y), sodass R(t + y) R(t) γ(y) für alle t gilt. Beweis. Für a(t) = 1 F (t) ist A(t) = 1 eine beschränkte Lösung der Erneuerungsgleichung. Nach Satz 2.3 folgt 1 = a(t) + a(t y) dr(y) für t. Für x (, t] erhält man daraus 1 x t x a(t y) dr(y) a(x)(r(t) R(t x)). Ist δ > so, dass F (δ) < 1 gilt und x (, δ], dann folgt R(t) R(t x) 1 ([ 1 F (δ) für alle t. Sei γ(y) = 1 y ] ) [ 1 F (δ) δ + 1. Da sich jedes Intervall (t, t + y] in y ] δ + 1 Intervalle der Länge δ zerlegen lässt, folgt für alle t R und y >. R(t + y) R(t) γ(y)

2 2. DER ERNEUERUNGSSATZ 2.1. Beweis des Erneuerungssatzes In diesem Kapitel werden zwei Methoden für den Beweis des Erneuerungssatzes dargestellt. 2.1.1. Methode 1. Dieser Beweis hält sich, in weiten Zügen, an [5] und [2]. Der Beweis des Erneuerungssatzes wird zuerst für den leichteren Fall geführt, wo eine Gitterverteilung F mit Gitterweite d auftritt. Für den Beweis benötigt man folgenden Hilfssatz und Satz 2.5, welcher auch noch als diskreter Erneuerungssatz bezeichnet wird. Hilfssatz 3. Sei a n (t) R, sodass a n = lim t c a n (t) für alle n existiert. Wenn es ein d n R + mit n= d n < und a n (t) d n für alle t und alle n gibt, dann gilt a n = lim a n (t). t c n= Beweis. Sei ɛ > beliebig. Man wähle n so, dass n=n d n < ɛ ist. Daraus 3 folgt dann, dass m n=n a n (t) m n=n d n < ɛ für alle t und alle m n 3 gilt. Durch Grenzübergang t c erhält man m n=n a n ɛ für alle m n 3. Insbesondere sind die Reihen n= a n(t) und n= a n absolut konvergent. Dann kann eine Umgebung U von c so gewählt werden, dass a n (t) a n < ɛ 3n für t U und n n 1 gilt. Für t U und m n erhält man m m n 1 m m ɛ a n (t) a n a n (t) a n + a n (t) + a n < n + ɛ 3n n=n n=n 3 + ɛ 3 = ɛ. n= n= n= Lässt man jetzt m gegen gehen, so folgt daraus n= a n(t) n= a n < ɛ für alle t U, womit n= a n = lim t c n= a n(t) gezeigt ist. Satz 2.5 (Diskreter Erneuerungssatz). Sei (a n ) n 1 eine Folge in R +, sodass n=1 a n = 1 und ggt{n 1 : a n > } = 1. Sei u n = a 1 u n 1 + a 2 u n 2 +... + a n u o für n 1 und u = 1. Dann gilt lim n u n = 1 α mit α = n=1 na n, wobei α auch sein darf. n= Beweis. Der Beweis wird in sechs Schritte unterteilt: (i) Es gilt u n für n und u = 1. Ist u n 1 für alle n < m gezeigt, dann folgt u m m n=1 a n 1. Dieser Induktionsbeweis zeigt, dass u n 1 für alle n gilt. (ii) Sei r n = k=n+1 a k, sodass α = n= r n. Wegen a n = r n 1 r n und r = 1 folgt n k= r ku n k = n 1 k= r ku n k 1 für alle n und daher n k= r ku n k = r u = 1 für alle n. (iii) Sei λ = lim sup n u n [, 1]. Also gilt lim k u nk = λ für eine Teilfolge (n k ) k 1 und zu jedem ɛ > gibt es ein n ɛ mit u n λ + ɛ für alle n n ɛ. Es wird gezeigt, dass lim k u nk j = λ für alle j mit a j > gilt. Angenommen, das gilt nicht. Dann existiert ein λ < λ, sodass für ɛ = 1a 4 j(λ λ) und unendlich viele m sowohl u m j < λ als auch u m > λ ɛ gilt. Sei N > j so groÿ, dass

2.1. BEWEIS DES ERNEUERUNGSSATZES 21 r N < ɛ. Ist m wie oben und zusätzlich noch m N + n ɛ dann erhält man unter Benutzung von u n 1 u m a 1 u m 1 + a 2 u m 2 +... + a N u m N + ɛ < (a 1 +... + a j 1 + a j+1 +... + a N )(λ + ɛ) + a j λ + ɛ (1 a j )(λ + ɛ) + a j λ + ɛ λ + 2ɛ a j (λ λ) = λ 2ɛ. Das ist ein Widerspruch zu u m > λ ɛ. Somit ist lim k u nk j = λ gezeigt. (iv) Wenn a j > gilt, kann der Beweis in (iii) auch auf die Teilfolge (n k j) k 1 anwendet werden und man erhält lim k n nk 2j = λ. Wiederholt man das, so erhält man lim k u nk lj = λ für alle l N und alle j mit a j >. Ebenso folgt lim k u nk l 1 j 1 l 2 j 2 = λ, wenn a j1 > und a j2 > gelten. Nun gibt es j 1, j 2,..., j p mit a ji >, deren gröÿter gemeinsamer Teiler 1 ist. Es gibt ein M, sodass für jedes m M natürliche Zahlen l 1, l 2,..., l p existieren mit m = l 1 j 1 + l 2 j 2 +... + l p j p. Deshalb folgt wie oben, dass lim k u nk m = λ, wenn m M gilt. Sei jetzt K beliebig. Wenn n k K + M, dann folgt aus (ii), dass K i= r iu nk M i 1 gilt. Für k folgt daraus, dass λ K i= r i 1. Da K beliebig war, erhält man λα 1, also λ 1. Das heiÿt lim sup α n u n 1. α (v) Sei jetzt λ = lim inf n u n [, 1]. Es wird wie in (iii) vorgegangen. Für eine Teilfolge (n k ) k 1 gilt lim k u nk = λ und zu jedem ɛ > gibt es ein n ɛ mit u n λ ɛ für alle n n ɛ. Es wird lim k u nk j = λ für alle j mit a j > gezeigt. Angenommen, das gilt nicht. Dann existiert ein λ > λ, sodass für ɛ = a j( λ λ) und unendlich viele m sowohl u 3+λ m j > λ als auch u m < λ + ɛ gilt. Sei N > j so gewählt, dass r N < ɛ gilt. Ist m wie oben und zusätzlich noch m N + n ɛ dann erhält man unter Benutzung von u n u m a 1 u m 1 + a 2 u m 2 +... + a N u m N > (a 1 +... + a j 1 + a j+1 +... + a N )(λ ɛ) + a j λ > (1 a j ɛ)(λ ɛ) + a j λ > λ ɛ λɛ + a j ( λ λ) = λ + 2ɛ. Das ist ein Widerspruch zu u m < λ + ɛ. Also ist lim k u nk j = λ gezeigt. (vi) Genauso wie in (iv) mit Hilfe von (iii) wird jetzt mit Hilfe von (v) gezeigt, dass ein M existiert mit lim k u nk m = λ für m M. Sei jetzt K so groÿ, dass r K < ɛ gilt. Wenn n k K +M, dann folgt aus (ii), dass K i= r iu nk M i +ɛ 1 gilt. Für k folgt daraus, dass λ K i= r i + ɛ 1, also λα + ɛ 1 gilt. Da ɛ > beliebig war, erhält man λ 1. Das heiÿt lim inf α n u n 1. α Der Beweis des Erneuerungssatzes für eine Gitterverteilung F mit Gitterweite d lässt sich wie bereits erwähnt auf Satz 2.5 zurückführen. Für n sei v n = A(nd) und c n = a(nd). Nach Voraussetzung gilt n= c n <. Weiters sei b n die Sprunghöhe

22 2. DER ERNEUERUNGSSATZ von F im Punkt nd. Da F eine Lebensdauerverteilung ist, gilt n= b n = 1 und b < 1. Aus der vorausgesetzen Erneuerungsgleichung folgt dann n v n = c n + v n k b k (2.6) für n. Es kann ggt{n : b n > } = 1 angenommen werden. Sonst wäre ein Vielfaches von d ebenfalls Gitterweite. Sei u n durch u = 1 und u n = b 1 1 b u n 1 +... + bn 1 b u für n 1 deniert. Wegen = 1 folgt aus Satz 2.5, dass j=1 b j 1 b lim u n = 1 b n k=1 kb k gilt. Daraus ist lim n v n zu bestimmen. Folgende erzeugende Funktionen werden eingeführt: B(x) = b n x n, C(x) = c n x n, U(x) = n= k= u n x n, V (x) = n= Aus der Denition der u n folgt U(x) = B(x)U(x) + 1 b. n= v n x n. Aus (2.6) erhält man V (x) = B(x)V (x) + C(x). Eliminiert man B(x) aus diesen beiden Gleichungen, so erhält man Durch Koezientenvergleich ergibt sich (1 b )V (x) = C(x)U(x). (1 b )v n = n c j u n j für n. Mit Hilfe von Hilfssatz 3 folgt nun für n, dass lim v k= n = c k n k=1 kb k gilt. Da k=1 dkb k der Erwartungswert µ von F ist, ist das bereits die Behauptung des Erneuerungssatzes. j= n= Wenn F keine Gitterverteilung ist, dann ist der Beweis wesentlich aufwändiger. Es wird mit einigen Sätzen aus der Analysis begonnen, die zum Beweis notwendig sind. Hilfssatz 4. Sei K n eine Folge von Verteilungen mit K n () =, sodass für jedes x R ein c x existiert mit K n (x) c x für alle n. Dann existiert eine Teilfolge n k und eine Verteilung K, sodass lim k K nk (t) = K(t) für alle t R gilt, in denen K stetig ist. Für diese Teilfolge gilt lim k f(x) dk n k (x) = f(x) dk(x) für alle

2.1. BEWEIS DES ERNEUERUNGSSATZES 23 linksregulären Funktionen f mit kompaktem Träger, die in den Sprungstellen von K stetig sind. Beweis. Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar, das heiÿt Q kann durchnummeriert als {r 1, r 2,...} geschrieben werden. Die Folge K n (r 1 ) für n N ist beschränkt und hat daher eine konvergente Teilfolge. Es gibt eine unendliche Teilmenge N 1 von N, sodass lim n N1 K n (r 1 ) existiert. Nun ist K n (r 2 ) für n N 1 eine beschränkte Folge, sodass eine unendliche Teilmenge N 2 von N 1 existiert, für die lim n N2 K n (r 2 ) existiert. Da jetzt K n (r 3 ) für n N 2 eine beschränkte Folge ist, ndet man eine unendliche Teilmenge N 3 von N 2, sodass lim n N3 K n (r 3 ) existiert. Dies kann man immer weiter tun. Man ndet N 1 N 2 N 3... sodass lim n Nj K n (r j ) für alle j existiert. Jetzt sei n 1 = min N 1 und für j 2 sei n j = min{n N j : n > n j 1 }. Für jedes k 1 gilt dann {n k, n k+1, n k+2,...} N k, sodass lim m K nm (r k ) für alle k existiert. Für jedes r Q existiert also eine Zahl g r mit lim m K nm (r) = g r. Da jede der Funktionen K nm monoton wachsend ist, folgt g r g s für r < s. Für x R sei K(x) = inf{g r : r Q, r > x}. Aus dieser Denition folgt, dass K : R R monoton wachsend und rechtsseitig stetig ist. Es wird lim j K nj (x) = K(x) für alle x R, in denen K stetig ist, gezeigt. Sei r Q und r > x. Dann gilt K nj (x) K nj (r) für alle j und daher lim sup j K nj (x) lim sup j K nj (r) = g r. Da das für alle r Q mit r > x gilt, erhält man lim sup j K nj (x) inf{g r : r Q, r > x} = K(x). Sei r Q und r < x. Dann gilt K nj (x) K nj (r) für alle j und daher lim inf j K nj (x) lim inf j K nj (r) = g r. Da das für alle r Q mit r < x gilt, erhält man lim inf j K nj (x) sup{g r : r Q, r < x}. Ist y R und y < x, dann gilt K(y) sup{g r : r Q, r < x}, da Q (y, x) ist. Daher folgt lim inf j K nj (x) K(x ) = sup{k(y) : y R, y < x}. Somit ist K(x ) lim inf j K nj (x) lim sup j K nj (x) K(x) für x R bewiesen. Ist K im Punkt x stetig, dann gilt K(x ) = K(x) und daher lim j K nj (x) = K(x). Es bleibt noch die zweite Aussage des Satzes zu zeigen. Seien a und b in R so gewählt, dass f auÿerhalb von (a, b] gleich Null ist, und a und b Stetigkeitspunkte von K sind. Dann gilt f(x) dk n(x) = b a f(x) dk n(x) für alle n und f(x) dk(x) = b f(x) dk(x). a Sei c so gewählt, dass K n (a) c und K n (b) c für alle n gilt, woraus auch K(a) c und K(b) c folgt. Sei ɛ > gegeben. Da f linksregulär ist und in den Sprungstellen von K stetig ist, gibt es eine Zerlegung a = u < u 1 <... < u m = b des Intervalls (a, b] durch Punkte u j, in denen K stetig ist, und eine Treppenfunktion g = k j=1 v j1 (uj 1,u j ] mit sup f g < ɛ 4c+1. Es folgt für alle n 1 b a b a f(x) dk(x) f(x) dk n (x) b a b a g(x) dk(x) < g(x) dk n (x) < 2cɛ 4c + 1 2cɛ 4c + 1. Die Integrale von g sind dann b g(x) dk a n(x) = m j=1 v j(k n (u j ) K n (u j 1 )) und b g(x) dk(x) = m a j=1 v j(k(u j ) K(u j 1 )). Da K in den Punkten u j stetig ist, wurde b lim k g(x) dk a n k (x) = b g(x) dk(x) im ersten Teil des Beweises gezeigt. Daher a und

24 2. DER ERNEUERUNGSSATZ existiert ein n mit b a g(x) dk nk (x) b a g(x) dk(x) < ɛ 4c + 1 für alle n n. Zu vorgegebenem ɛ > wurde ein n gefunden, sodass f(x) dk nk (x) f(x) dk(x) < ɛ für alle n n gilt. Damit ist alles gezeigt. Definition 2.6. Eine Folge von Funktionen g n : R R heiÿt gleichgradig stetig, wenn für jedes x R und jedes ɛ > ein δ > existiert, sodass g n (x) g n (y) < ɛ für alle y (x δ, x + δ) und alle n gilt. Hilfssatz 5. Sei g n : R [ c, c] eine Folge von gleichgradig stetigen Funktionen. Dann existiert eine Teilfolge n k und eine stetige Funktion g : R [ c, c] mit lim k g nk (x) = g(x) für alle x R. Die Konvergenz ist gleichmäÿig auf kompakten Intervallen. Beweis. Da die Folge g n (r) für jedes r Q beschränkt ist, ndet man genauso wie zu Beginn des Beweises von Hilfssatz 4 eine Teilfolge n k, sodass die Folge g nk (r) für jedes r Q konvergiert. Insbesondere ist jede dieser Folgen eine Cauchyfolge. Es wird gezeigt, dass g nk (x) eine Cauchyfolge für jedes x R ist. Sei also x R und ɛ > vorgegeben. Da die Folge g n gleichgradig stetig ist, existiert ein δ >, sodass g n (x) g n (y) < ɛ 3 für alle y (x δ, x + δ) und für alle n gilt. Man wählt ein r Q (x δ, x + δ) und ndet ein k, sodass g nk (r) g nm (r) < ɛ 3 für alle k, m k gilt. Für k, m k folgt dann g nk (x) g nm (x) < ɛ. Damit ist gezeigt, dass g nk (x) eine Cauchyfolge ist. Es existiert ein g(x) R mit lim k g nk (x) = g(x). Es wird gezeigt, dass die Konvergenz gleichmäÿig auf kompakten Teilmengen ist. Sei M R kompakt und ɛ > vorgegeben. Für jedes x M existiert eine Umgebung U(x), sodass g n (x) g n (y) < ɛ 3 für alle y U(x) und alle n gilt und daher auch g(x) g(y) < ɛ 3. Es gibt endlich viele x 1, x 2,..., x m mit M m j=1 U(x j). Es gibt ein k, sodass g nk (x j ) g(x j ) < ɛ 3 für 1 j m und für k k gilt. Sei jetzt y M beliebig. Es gibt ein x j mit y U(x j ). Dann gilt g nk (y) g(y) g nk (y) g nk (x j ) + g }{{} nk (x j ) g(x j ) + g(x }{{} j ) g(y) < ɛ, }{{} < ɛ 3 wenn k k ist. Damit ist die gleichmäÿige Konvergenz auf M gezeigt. Als gleichmäÿiger Grenzwert von stetigen Funktionen ist g stetig auf allen kompakten Teilmengen von R, also auf ganz R. Da g n (x) [ c, c] für alle n gilt, folgt g(x) [ c, c]. < ɛ 3 < ɛ 3

2.1. BEWEIS DES ERNEUERUNGSSATZES 25 Die zwei folgenden Sätze stammen aus der Maÿtheorie. Der erste folgt aus der Tatsache, dass die einzigen translationsinvarianten Maÿe auf R die Vielfachen des Lebesguemaÿes sind. Beim zweiten handelt es sich um den Satz über die dominierte Konvergenz. Hilfssatz 6. Sei K eine Verteilung, sodass f(x t) dk(x) für jedes stetige f mit kompaktem Träger unabhängig von t ist. Dann gilt K(t) = αt + β für ein α und ein β R. Hilfssatz 7. Sei f n : R R eine Folge integrierbarer Funktionen, die gegen eine integrierbare Funktion f : R R konvergiert, und sei F eine Verteilung. Wenn eine integrierbare Funktion h : R R + existiert mit h(x) df (x) < und f n h für alle n gilt, dann gilt lim n f n df = f df. Nun wird die Voraussetzung, dass F keine Gitterverteilung besitzt, ausgenutzt. Definition 2.7. Sei H eine Verteilung. Man nennt x einen Dichtepunkt der Verteilung H, wenn H(x) H(x ɛ) > für alle ɛ > gilt. Weiters sei D H die Menge aller Dichtepunkte von H. Hilfssatz 8. Für zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen G, H gilt D G H D G +D H. Insbesondere enthält die Menge k=1 D F k mit zwei Punkten auch deren Summe. Beweis. Um die erste Aussage zu zeigen, sei s D G, t D H und ɛ >. Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen, sodass X die Verteilung G und Y die Verteilung H hat. Dann gilt und Daraus erhält man dann P (s ɛ 2 < X s) = G(s) G(s ɛ 2 ) > P (t ɛ 2 < Y t) = H(t) H(t ɛ 2 ) >. G H(s + t) G H(s + t ɛ) = P (s + t ɛ < X + Y s + t) P (s ɛ 2 < X s, t ɛ 2 < Y t) = P (s ɛ 2 < X s)p (t ɛ 2 < Y t) >, womit gezeigt ist, dass s + t D G H gilt. Sind s, t k=1 D F k, dann muss s D Fl und t D Fm für ein l und ein m gelten. Aus dem ersten Teil des Satzes folgt dann s + t D Fl F m = D Fl+m D Fk. Hilfssatz 9. Wenn F keine Gitterverteilung ist, dann existiert für jedes δ > ein t, sodass I k=1 D F k für jedes Intervall I der Länge δ, das in [t, ) enthalten ist, gilt. k=1

26 2. DER ERNEUERUNGSSATZ Beweis. Man ndet Punkte a und b in k=1 D F k mit a < b < a + δ. Solche Punkte ndet man bereits in D F, auÿer D F = {c, c 1,...} mit c < c 1 <... und c j+1 c j + δ. Gibt es Punkte u und v in D F mit u Q, dann ndet man Zahlen v l und m in Z mit < lu + mv < δ. Wegen Hilfssatz 8 sind dann a = l u + m v und b = ( l + l)u + ( m + m)v in k=1 D F k und es gilt a < b < a + δ. Es kann angenommen werden, dass u Q für alle u,v D v F gilt. Sei d 1 = ggt(c, c 1 ) > und d j = ggt(d j 1, c j ) > für j 2. Wenn D F = {c, c 1,...c α } gilt, dann ist F eine Gitterverteilung mit Gitterweite d α. Also ist D F unendlich. Ist d = d j für alle j j, dann ist F eine Gitterverteilung mit Gitterweite d. Da jedes d j 1 ein Vielfaches von d j ist, folgt lim j d j =. Man nehme ein j mit d j < δ. Es existieren Zahlen m j Z mit j j= m jc j = d j (, δ). Wegen Hilfssatz 8 sind dann a = j j= m j c j und b = j j= ( m j + m j )c j in k=1 D F k und es gilt a < b < a + δ. Sei w D F beliebig mit w >. Sei d = b a (, δ) und n N so, dass nd > w gilt. Die Punkte jw + (n m)a + mb = jw + na + md mit j 1 und m n liegen in [w + na, ), sodass zwei aufeinanderfolgende Punkte höchstens Abstand d haben. Wegen Hilfssatz 8 liegen alle diese Punkte in k=1 D F k. Mit t = w + na erreicht man das gewünschte Resultat. Hilfssatz 1. Seien F und G Verteilungen, die auf R gleich null sind. Für eine beschränkte linksreguläre Funktion h : R R gilt h(y + z) df (y)dg(z) = h(y) df G(y), wenn entweder h kompakten Träger hat oder F und G Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind. Für eine rechtsreguläre Funktion g : [, ) R gilt g (F G) = (g F ) G. Beweis. Die erste Gleichung gilt für die Funktion u = 1 (a,b] mit a < b. Man sieht das, weil und u(y + z) df (y)dg(z) = F (b z) F (a z) dg(z) = F G(b) F G(a) u(y) df G(y) = F G(b) F G(a) gilt. Da Integrale linear sind, gilt diese Gleichung auch für alle Linkstreppenfunktionen. Sei h n = h1 ( n,n]. Da h n wegen Hilfssatz 1 gleichmäÿiger Grenzwert einer Folge von Linkstreppenfunktionen ist und bei diesem Grenzübergang die in der Gleichung vorkommenden Integrale konvergieren, gilt die Gleichung auch für h n. Wenn h kompakten Träger hat, dann gilt h = h n für ein n und man ist fertig. Ansonsten sei c eine obere Schranke für h. Dann gilt h n c für alle n und lim n h n = h. Die Gleichung für die Funktion h folgt nun aus Hilfssatz 7, da die Integrale der konstanten Funktion c den Wert c haben, wenn F und G Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind.

2.1. BEWEIS DES ERNEUERUNGSSATZES 27 Die Funktion f = g1 [,t+1) von R nach R ist rechtsregulär mit kompaktem Träger. Es gilt g (F G)(t) = Aus der soeben bewiesenen Gleichung erhält man g (F G)(t) = f(t y) df G(y). f(t z y) df (y)dg(z). Das innere Integral ist g F (t z) für z t und = für z > t. Es folgt g (F G)(t) = g F (t z) dg(z) = (g F ) G(t). Hilfssatz 11. Sei F eine Lebensdauerverteilung, die keine Gitterverteilung ist. Sei g : R R beschränkt und gleichmäÿig stetig und g() = max x R g(x). Wenn g(x) = g(x y) df (y) für alle x R gilt, dann ist g konstant. Beweis. Es wird mit Induktion gezeigt, dass g(x) = g(x y) df k(y) für alle k 1 gilt. Für k = 1 ist diese Gleichung in den Voraussetzungen enthalten. Wenn sie für k = m schon bewiesen ist, dann folgt g(x) = g(x y z) df (y)df m(z) unter nochmaliger Verwendung der Voraussetzung. Setzt man h(t) = g(x t) in Hilfssatz 1 ein, dann erhält man g(x) = = g(x y) df F m (y) g(x y) df m+1 (y), die Gleichung für k = m + 1. Es wird gezeigt, dass lim x g(x) = g() sein muss. Sonst gibt es ein ɛ > und eine Folge x j mit x j und g( x j ) g() 2ɛ. Da g gleichmäÿig stetig ist, gibt es ein δ > und oene Intervalle I j mit Mittelpunkt x j und Länge δ, sodass g( x) g() ɛ für alle x j=1 I j gilt. Nach Hilfssatz 9 gibt es ein j und ein k, sodass I j D Fk ist. Es gibt also Punkte a und b mit < a < b, sodass F k (b) F k (a) > und g( x) g() ɛ für alle x (a, b] gilt. Jetzt folgt g( y) df k (y) (g() ɛ)(f k (b) F k (a)) + g()(1 F k (b) + F k (a)) = g() ɛ(f k (b) F k (a)) < g(), ein Widerspruch zu g() = g( y) df k(y). Somit gilt lim x g(x) = g(). Sei c = sup g. Angenommen, es gibt ein u mit g(u) < g(). Man wählt ɛ = g() g(u) 2c+2 und ndet ein t, sodass g(x) > g() ɛ für alle x < u t. Wegen Satz 1.6 und Satz 1.13(a) gilt lim k F k (t) = für alle t. Daher gibt es ein k mit F k (t ) < ɛ. Aus der

28 2. DER ERNEUERUNGSSATZ Gleichung g(u) = g(u y) df k(y) folgt nun g(u) c df k (y) + (g() ɛ) cf k (t ) + (g() ɛ)(1 F k (t )) g() ɛ(2c + 1). t df k (y) Das ergibt einen Widerspruch zur Wahl von ɛ. Somit ist g(u) = g() für alle u R gezeigt. Satz 2.8. Sei a : R + R eine beschränkte, rechtsreguläre Funktion mit kompaktem Träger, der in [m, m+l) enthalten ist. Sei F keine Gitterverteilung, R die Erneuerungsfunktion zur Lebensdauerverteilung F und A(t) = a(t) + a(t y) dr(y). Dann gilt: (a) A ist auf R + durch sup a (1 + γ(l)) beschränkt. (b) Wenn a stetig ist, dann ist A gleichmäÿig stetig. (c) Wenn a stetig ist, dann ist lim t A(t + u) A(t) = für alle u >. Beweis. (a) Da der Träger von y a(t y) im Intervall (t m l, t m] enthalten ist, folgt A(t) sup a + sup a (R(t m) R(t m l)) sup a (1 + γ(l)) für alle t, womit (a) bereits gezeigt ist. (b) Wenn a stetig ist mit kompaktem Träger, dann ist a gleichmäÿig stetig. Sei ɛ ɛ > gegeben und δ < 1 so, dass a(x) a(y) < gilt, wenn x y < δ 1+γ(l+1) ist. Für s (, δ) gilt dann A(t + s) A(t) a(t + s) a(t) + a(t + s y) a(t y) dr(y) ɛ 1 + γ(l + 1) + ɛ 1 + γ(l + 1) 1 (t m l,t m+1](y) dr(y) ɛ 1 + γ(l + 1) + ɛ γ(l + 1) 1 + γ(l + 1) = ɛ. Damit ist (b) gezeigt. (c) Um (c) zu zeigen, wird zuerst angenommen, dass a stetig dierenzierbar ist. Dann ist a stetig, beschränkt und hat Träger in [m, m + l). Sei b h (x) = a(x+h) a(x). Wegen b h h (x) = a (ξ x ) für ein ξ x zwischen x und x + h ist b h ebenfalls beschränkt und hat Träger in I = [m 1, m + l + 1), wenn h < 1 ist. Es existiert ein c > mit b h c1 I. Aus A(t) = a(t) + a(t y) dr(y) folgt A(t + h) A(t) h = b h (t) + b h (t y) dr(y). Da aber lim h b h (t) = a (t) gilt und c1 I(t y) dr(y) < ist, folgt die Gleichung A (t) = a (t) + a (t y) dr(y) mit Hilfe von Hilfssatz 7. Aus (a) und (b) erhält man, dass A beschränkt und gleichmäÿig stetig ist. Um (c)

2.1. BEWEIS DES ERNEUERUNGSSATZES 29 zu zeigen, beweist man, dass lim t A (t) = gilt. Sei η = lim sup t A (t). Es existiert eine Folge t n mit t n und A (t n ) η. Sei g n (t) = A (t n + t) für t t n und = A () für t < t n. Die Folge g n ist gleichgradig stetig, da A gleichmäÿig stetig ist, und die Werte der Funktionen g n liegen in [ c, c] mit c = sup A. Aus Hilfssatz 5 folgt die Existenz einer Teilfolge n k und einer stetigen Funktion g : R [ c, c] mit g nk (t) g(t) für alle t R. Die Konvergenz ist gleichmäÿig auf kompakten Teilmengen. Nach Satz 2.3 gilt A (t) = a (t) + A (t y) df (y) für t, das heiÿt g n (t) = a (t n + t) + n+t g n (t y) df (y) für t t n. Setzt man n k für n ein und lässt k gegen gehen, dann folgt g(t) = g(t y) df (y) für ein t R mit Hilfe von Hilfssatz 7, da g n c für alle n gilt. Wegen lim k A (t nk ) = η und lim k A (t nk + t) η für alle t R folgt g(t) g() = η. Da A gleichmäÿig stetig ist, gibt es zu jedem ɛ > ein δ >, sodass aus s t < δ die Ungleichung A (t nk + s) A (t nk + t) < ɛ folgt, woraus durch Grenzübergang auch g(s) g(t) < ɛ erhalten wird. Damit ist die gleichmäÿige Stetigkeit von g gezeigt. Jetzt folgt aus Hilfssatz 11, dass g(t) = g() = η für alle t gilt. Für jedes u > gilt A(t nk + u) A(t nk ) = ua (t nk + ξ k ) = ug nk (ξ k ) für ein ξ k (, u). Da g nk gleichmäÿig auf kompakten Mengen konvergiert, folgt lim A(t n k + u) A(t nk ) = uη. k Da A beschränkt ist und dieser Grenzwert für alle u > gilt, muss η = sein. Somit ist lim sup t A (t) = gezeigt. Analog kann man lim inf t A (t) = zeigen. Somit gilt lim t A (t) =. Es folgt lim A(t + u) A(t) = lim t t ua (t + ξ t ) = für alle u >. Sei jetzt a stetig mit Träger in [m, m + l). Sei ɛ >. Es gibt ein stetig dierenzierbares b mit Träger in [m, m + l), für das sup a b < ɛ 3+3γ(l) gilt. Sei B(t) = b(t) + b(t y) dr(y). Es wurde lim t B(t + u) B(t) = gezeigt. Es gibt also ein t mit B(t + u) B(t) < ɛ 3 für t > t. Wie im Beweis von (b) erhält man A(s) B(s) ɛ 3 für alle s. Für t t folgt nun A(t + u) A(t) A(t + u) B(t + u) + B(t + u) B(t) + B(t) A(t) < ɛ. Damit ist auch lim t A(t + u) A(t) = gezeigt. Mit diesen Sätzen kann der Erneuerungssatz bewiesen werden. Für y, deniere man die Verteilungen K y durch K y (t) = R(t + y) R(y). Es gilt g(x) dk y (x) = g(x y) dr(y)

3 2. DER ERNEUERUNGSSATZ für linksreguläre Funktionen g mit kompaktem Träger, wie man mit Hilfe von Riemannsummen leicht sieht. Sei Q eine unbeschränkte Folge in R +. Wegen K y (t) γ(t) für alle y folgt aus Hilfssatz 4 die Existenz einer Verteilung K und einer Teilfolge y k in Q, sodass lim k f(x) dk yk (x) = f(x) dk(x) für alle linksregulären Funktionen f mit kompaktem Träger, die in den Sprungstellen von K stetig sind, gilt. Man beachte, dass K auf R nicht sein muss. Sei a : R R eine stetige Funktion mit kompakten Träger, die auf R gleich ist. Sei A(t) = a(t) + a(t x) dr(x) = a(t) + a(t x) dr(x) für alle t R. Aus den im letzten Absatz gezeigten Resultaten erhält man A(y k + t) = a(y k + t) + a(t x) dk yk (x) und lim A(y k + t) = a(t x) dk(x) k für t R. Wegen Satz 2.8(c) hängt dieser Grenzwert nicht von t ab. Aus Hilfssatz 6 folgt, dass K(t) = αt + β für ein α und ein β R gilt. Sei a : R R eine beschränkte, rechtsreguläre Funktion mit kompaktem Träger, die auf R gleich ist. Sei A(t) = a(t) + a(t x) dr(x) für t R. Da man jetzt weiÿ, dass K keine Sprungstellen hat, folgt wie im letzten Absatz lim A(y k + t) = k a(t x) dk(x) für t R. Wegen a(y) = für y < und K(t) = αt + β folgt lim A(y k + t) = α k a(x) dx für t R, insbesondere lim k A(y k ) = α a(x) dx. Sei a : R + R + monoton fallend, rechtsregulär und a(x) dx <. Sei a j = a1 [j,j+1) für j. Sei A j (t) = a j (t)+ a j(t x) dr(x) für t. Wegen Satz 2.3 erfüllt A j die Erneuerungsgleichung zu a j. Aus Satz 2.8(a) erhält man sup t A j (t) d j mit d j = a(j)(1 + γ(1)). Wegen a(x) dx < folgt j=1 d j <. Mit Hilfe von Hilfssatz 7 folgt, dass A(t) = j=1 A j(t) die Erneuerungsgleichung zu a erfüllt und daher die eindeutige auf kompakten Intervallen beschränkte Lösung nach Satz 2.3 ist. Im letzten Absatz wurde lim k A j (y k ) = α a j (x) dx gezeigt. Wegen Hilfssatz 3 folgt lim A(y k) = lim A j (y k ) = α a j (x) dx = α a(x) dx. k k j=1 j=1 Für a = 1 F ist A = 1 die auf kompakten Intervallen beschränkte Lösung der Erneuerungsgleichung. Aus dem soeben gezeigten Grenzübergang ergibt sich 1 = α 1 F (x) dx.

2.1. BEWEIS DES ERNEUERUNGSSATZES 31 Da 1 F (x) dx der Erwartungswert µ von F ist, folgt α = 1. µ Würde lim t A(t) = α a(x) dx nicht gelten, dann fände man eine unbeschränkte Folge Q in R + und ein ɛ > mit A(t) α a(x) dx > ɛ für alle t Q. Beginnt man oben mit dieser Folge Q, dann sind alle y k in Q und man hat einen Widerspruch. Damit ist lim A(t) = 1 a(x) dx < t µ gezeigt. Sind jetzt a 1, a 2,..., a k solche Funktionen und a = k j=1 c ja j, dann ist A = k j=1 c ja j die auf kompakten Intervallen beschränkte Lösung der Erneuerungsgleichung für a, wenn A j diese Lösung der Erneuerungsgleichung für a j ist. Da für alle j gezeigt wurde, folgt auch lim t A j(t) = 1 µ lim t A(t) = 1 µ womit der Erneuerungssatz vollständig bewiesen ist. a j (x) dx a(x) dx, 2.1.2. Methode 2. Die zweite Methode anhand welcher der Erneuerungssatz gezeigt wird, geschieht mit Hilfe von Fouriertransformierten. Dieser Beweis hält sich, in weiten Zügen, an [4] und [2]. Definition 2.9. Sei f : R R integrierbar. Dann heiÿt ˆf(t) = e itx dx die Fouriertransformierte von f. Beispiel. Es gilt e ixy 1 [ t,t] (y) dy = R t R e ixy dy = eixy ix t t = 2 sin(xt). x Sei X t = 1 1 2t [ t,t]. Dann folgt ˆX t (x) = sin(tx). Sei tx t = X t X t. Aus der Faltungsformel für die Fouriertransformation folgt ˆ ) 2. ) 2. t (x) = Sei Ψt (x) = Aus ( sin(tx) tx ( sin(tx) tx der Umkehrformel für die Fouriertransformation erhält man ˆΨ t (x) = 2π t (x). Man berechnet, dass gilt:, für x 2t 1 x + 1, für 2t x t (x) = 4t 2 2t 1 x + 1, für x 2t 4t 2 2t, für x 2t