Stochastische Analysis

Skrip Sochasische Analysis Seffen Schwarz 17. April 216 Dozen: PD Dr. Volker Paulsen Fakulä für Mahemaik Wesfälische Wilhelms-Universiä Münser

Inhalsverzeichnis Einleiung 1 I Sochasische Inegraion 1 1 Zeiseige Maringalheorie........................... 1 Pfadeigenschafen............................. 2 Äquivalenzklassen............................. 2 Zwei unerschiedliche Äquivalenzbegriffe............... 2 Maringalkonvergenzsaz......................... 5 Soppzeien................................. 11 Opional Sampling............................ 12 Charakerisierung eines Maringals................... 14 Anwendungen von Opional Sampling................. 18 Weiere Anwendungen von Opional Sampling............ 2 Doob sche Maximalungleichungen................... 22 Usual condiions.............................. 24 H p -Räume................................. 25 2 Das sochasische Inegral............................ 27 Elemenare Sraegien.......................... 28 Progressiv messbare Prozesse...................... 28 Previsible σ-algebra........................... 3 Beispiele für previsible Prozesse..................... 32 Das Doléans-Maß............................. 34 Das sochassische Inegral für elemenar previsible Prozesse... 36 Das sochasische Inegral für H L 2 (µ M ).............. 4 Der sochasische Inegralprozess.................... 49 Der sochasische Inegralprozess für elemenar previsible H... 5 Weiere Eigenschafen des Inegralprozesses............. 51 Soppen und Abschneiden........................ 54 3 Der quadraische Variaionsprozess....................... 6 Die Variaion................................ 6 Lebesgue-Sieljes Inegraion...................... 63 Die quadraische Variaion........................ 65 Der quadraische Variaionsprozess für beschränke, seige Maringale.............................. 66 Eigenschafen............................... 67 Der quadraische Variaionsprozess für seige L 2 -Maringale... 7 Der quadraische Variaionsprozess für sochasische Inegralprozesse............................... 76 Die quadraische Kovariaion...................... 77 Eigenschafen der quadraische Kovariaion............. 77 4 Lokalisaion..................................... 88 Lokalisierung des Inegraors...................... 88

II Der Iō-Kalkül 13 1 Iō-Formel...................................... 13 Parielle Inegraionsformel für F V -Funionen............ 16 Die Iō-Formel............................... 112 Mehrdimensionale Iō-Formel...................... 115 Doléans Exponenialsemimaringal................... 12 2 Lineare sochasische Differenialgleichungen................. 123 Die allgemeine Black-Scholes Modellierung der Preisenwicklung einer Akie........................... 123 Das klassische Black-Scholes Modell.................. 124 Der Ornsein-Uhlenbeck-Prozess.................... 124 Der Vasicek-Prozess............................ 126 Die allgemeine 1-dimensionale lineare sochasische Differenialgleichung............................. 127 3 Haupsäze der sochasischen Analysis.................... 128 Komplexe Semimaringale........................ 128 Das komplexe Doléans Exponenial.................. 129 Saz von Lévy............................... 131 Maringaldarsellungssaz, Teil I (Maringale)............ 133 Maringaldarsellungssaz, Teil II (lokale Maringale)........ 136 Allgemeine Bayes-Formel......................... 139 Saz von Girsanov, Teil I......................... 14 Saz von Girsanov, Teil II........................ 142 Saz von Girsanov, Teil III........................ 142 Anwendung 1: Maßwechsel........................ 145 Anwendung 2: Zum Saz von Lévy................... 146 III Sochasische Differenialgleichungen 148 1 Sarke Lösbarkei.................................. 148

Einleiung 2.1.15 Inhal der Vorlesung I Sochasische Inegraion 1. zeiseige Maringalheorie 2. Definiion des sochasischen Inegralprozesses 3. Definiion der quadraischen Variaion 4. Lokalisaion II Iō-Kalkül 1. Iō-Formel 2. lineare sochasische Differenialgleichungen 3. Haupsäze der sochasischen Analysis III Sochasische Differenialgleichungen 1. sarke Lösbarkei I Sochasische Inegraion 1 Zeiseige Maringalheorie Ziel: Bereisellung der Hilfsmiel für die sochasische Inegraion Seup 1.1. Wir haben einen Wahrscheinlichkeisraum (Ω, F, P). Definiion 1.1.1. Eine Filraion (F ) is eine aufseigende Familie von σ-algebren mi F F. F = σ ( F ) Definiion 1.1.2. Ein sochasischer Prozess X is eine Familie (X ) von Zufallsvariablen mi Weren in (R, B) Definiion 1.1.3. X is adapier bzgl. der Filraion (F ), wenn X messbar is bzgl. F für alle. 1

Definiion 1.1.4. Durch F X = σ (X s s ) für alle wird die zu X gehörige kanonische Filraion definier. X is bzgl. (F X ) adapier. Genauer: F X = σ ( s σ(x s )) = σ ( s Xs 1 (B)) Pfadeigenschafen Definiion 1.1.5. X ha seige Pfade, wenn seig is für alle und ω Ω X (ω) Definiion 1.1.6. X ha rechsseiig seige Pfade, wenn X (ω) rechsseiig seig is für alle und ω Ω Definiion 1.1.7. X is linksseiig limiierbar, wenn für jedes > der Limes lim s X s (ω) exisier für alle ω Ω Definiion 1.1.8. X ha cadlag-pfade, wenn X rechsseiig seig und linksseiig limiierbar is. Äquivalenzklassen Definiion 1.1.9. Ein A Ω heiß vernachlässigbar, falls es ein N F gib, mi P(N) = und A N. Definiion 1.1.1. Wir sagen, dass eine Eigenschaf E P-fas sicher erfüll is, wenn vernachlässigbar is. {ω ω erfüll nich E} Zwei unerschiedliche Äquivalenzbegriffe 2

Definiion 1.1.11. X heiß Modifikaion von Y, falls vernachlässigbar is für alle. {ω X (ω) Y (ω)} Definiion 1.1.12. X heiß nich unerscheidbar von Y, falls vernachlässigbar is. {ω X (ω) Y (ω)} = {ω X (ω) Y (ω)} Bemerkung. (i) Is X nich unerscheidbar von Y, so sind X und Y Modifikaionen. (ii) Haben X und Y P-f.s. rechsseiig seige Pfade und sind X und Y Modifikaionen, so sind X und Y auch nich unerscheidbar. Definiion 1.2. Ein (F ) adapierer sochasischer Prozess X heiß Maringal bzgl. (F ), falls gil: (i) E X < für alle (ii) E(X F s ) = X s für alle s Ensprechend Submaringal, falls (i) E X < für alle (ii) E(X F s ) X s für alle s und Supermaringal, falls (i) E X < für alle (ii) E(X F s ) X s für alle s Haupbeispiele sind die zum Wiener-Prozess gehörenden Maringale. Definiion 1.3. Ein bzgl. einer Filraion (F ) adapierer Prozess W heiß Wiener- Prozess, falls gil: (i) W = P-f.s. (ii) W W s is sochasisch unabhängig von F s für alle s (iii) W W s is vereil wie W s für alle s (iv) W N (, ) für alle 3

(v) W ha P-f.s. seige Pfade Der Wiener-Prozess sare aus der Null (i), ha unabhängige (ii) und saionäre (iii) Zuwächse, die normalvereil (iv) sind und ha seige Pfade (v). Der Wiener-Prozess is ein Beispiel für einen Lévy-Prozess (da er (ii) und (iii) erfüll). Konsruier werden kann ein Wiener-Prozess als Grenzwer einer Folge von skalieren 23.1.15 zenrieren Irrfahren. Idee: Sei (Y k ) k N eine Folge von idenisch vereilen, unabhängigen Zufallsvariablen mi P(Y k = 1) = 1 2 = P(Y k = 1) Definiere W (n) ( k n ) = 1 n k j=1 Y j. 1 2 3 Seze W (1) () = k=1 Y k. Durch lineare Inerpolaion erhäl man (W (1) ()). Erhöhe dann die Frequenz um den Fakor n und sauche die Höhe um n (da die Varianz auf n seig). 1 n 2 n 3 n 4 n 1 k n 2 3 Durch lineare Inerpolaion erhäl man (W (n) ()). Durch W (n) wird eine Folge von sochasischen Prozessen mi seigen Pfaden konsruier, die gegen einen Grenzprozess (W ()) konvergier. W ha die definierenden Eigenschafen eines Wiener-Prozesses. (Präzisier wird dies durch das Donskersche Invarianzheorem, vgl. WT II). Bemerkung 1.4. Sei W ein Wiener-Prozess bzgl (F ). Dann gil: (i) (W ) is ein (F ) -Maringal, (ii) (W 2 ) is ein (F ) -Maringal, (iii) (exp(ϑw 1 2 ϑ2 )) is ein (F ) -Maringal für ϑ R Beweis. (i) W is N (, ) vereil E W <. E(W F s ) = E(W s + W W s F s ) 4

= E(W s F s ) + E(W W s F s ) = W s + E(W W s ) = W s + E(W s ) = W s (ii) + (iii) analog. Bei Maringalen ineressier man sich für das Verhalen im Unendlichen. Eine erse Anwor liefer der Maringalkonvergenzsaz Saz 1.5 (Maringalkonvergenzsaz). Sei (X ) ein rechsseiig seiges Submaringal mi sup EX + <. Dann exisier eine F -messbare Abbildung X mi X X P-f.s. und E X < Beweis. Rückführung auf den zeidiskreen Fall. Wichig is, dass man auf die rechsseiige Seigkei der Pfade nich verzichen kann. Vgl. Revuz, Yor: Coninuous Maringales and Brownian Moion Bemerkung. -Jedes rechsseiig seige posiive Maringal konvergier P-f.s. exp(ϑw 1 2 ϑ2 ) konvergier P-f.s.: Da W gil: - Die Prozesse ϑw 1 2 ϑ2 = (ϑ W - (W s+ W s ) für alle s, 1 2 ϑ2 ) falls ϑ - ( W ) und - (cw c 2 ) für alle c > sind Wiener-Prozesse. -Der Wiener-Prozess selber is nich konvergen, d.h. P(sup W = + ) = 1 = P(inf W = ) Beweis. Zeige zuers, dass M = sup W die gleiche Vereilung ha wie cm, für alle c >. Da sowohl (W ) also auch (cw ) Wiener-Prozesse sind, gil c 2 M = sup W = sup W c 2 = 1 c sup cw c 2 5

Also cm = sup cw c 2 M Sei nun a = P(M = ) und sei F die Vereilungsfunkion von M, d.h. F () = P(M ) Zeige, dass F konsan is. Berache dazu und a = P(M = ) = P(M ) = F () F () F () = P( < M ) = P( < cmleqc) = P( < M ) = F (c) F () wobei wir hier die gleiche Vereilung von M und cm genuz haben. Also is F () = F (c) für alle < c R Da auch >, is F konsan auf ganz (, ). Wegen der rechsseiigen Seigkei der Vereilungsfunkion gil Hieraus folg: und F () = F (+) = F () = a für alle > P(M < ) = lim P(M ) = lim F () = a = P(M = ) P(M = ) = 1 a Es bleib zu zeigen, dass a =. Denn dann is P(M = ) = 1. P(M = ) P(W 1, W W 1 W 1 für alle ) = P(W 1, sup(w 1+ W 1 ) W 1 ) = E [P(W 1, sup(w 1+ W 1 ) W 1 W 1 )] = E [1 W1 P(sup(W 1+ W 1 ) W 1 W 1 )] = M P(M x) dp W 1 (x) =P(M=) 6

= P(M = ) P(W 1 ) = 1 2 Da P ein Wahrscheinlichkeismaß is, muss = P(M = ) = a sein. Das bedeue, dass P(M = ) = 1 is. Da ( W ) ein Wiener-Prozess is, gil P(inf W = ) = P( sup W = ) = P(sup W = ) = 1 Sa P-f.s.-Konvergenz, kann man sich fragen, wann L 1 -Konvergenz vorlieg. Wann gil E X X? Dafür is es sinnvoll, den Begriff der gleichgradig Inegrierbarkei einzuführen: Definiion 1.6. Sei I eine Indexmenge, ewa I = [, ). Eine Familie von reellwerigen Zufallsvariablen (X ) I heiß gleichgradig inegrierbar, wenn gil a sup E X 1 { X >a} I Häufig nüzlich is die folgende Charakerisierung: Saz 1.7. Sei (X ) I eine Familie reeller Zufallsvariablen. Dann sind äquivalen: (i) (X ) I is gleichgradig inegrierbar. (ii) a) sup I E X < (L 1 -Beschränkhei) b) ɛ > δ > A F P(A) < δ sup I E X 1 A < ɛ (iii) Es exisier eine nich negaive, monoon wachsende konvexe Funkion G [, ) [, ) mi G(x) lim x x = + und sup EG( X ) < I (iv) Es exisier eine nich negaive, messbare Funkion G [, ) [, ) mi Beweis. vgl. Skrip Alsmeyer G(x) lim x x = + und sup EG( X ) < I Bemerkung. a) Jede endliche Familie von inegrierbaren Zufallsvariablen is gleichgradig inegrierbar. 7

b) Sind (X ) I und (X ) J gleichgradig inegrierbar, so auch (X ) I J. c) Exisier eine inegrierbare Zufallsvariable Y mi X Y für alle I, so is (X ) I gleichgradig inegrierbar. d) Aus sup I E X < folg im Allgemeinen nich gleichgradige Inegrierbarkei. e) Is sup I E X p < für ein p > 1, is is (X ) I gleichgradig inegrierbar. Wichiges Beispiel: Beispiel 1.8. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeisraum und I eine Menge von Unerσ-Algebren von F. Dann is die Familie (E(Y G)) G I gleichgradig inegrierbar, sofern Y inegrierbar is. Beweis. Ein einfacher Beweis nuz die Jensensche Ungleichung für bedinge Erwarungswere, die besag: Is G R R konvex, so gil E(G(X) F) G(E(X F)). Y is gleichgradig inegrierbar. Es exisier also eine monoon wachsende konvexe Funkion G mi G(x) x x und EG( Y ) <. Jensen liefer: G( E(Y G) ) E(G( Y ) G) Also sup G I EG( E(Y G) ) < EG( E(Y G) ) EE(G( Y ) G) = EG( Y ) < Das Beispiel liefer, dass für Y L 1 (Ω, F, P) durch (E(Y F )) ein gleichgradig inegrierbares Maringal definier wird. Beweis. Die gleichgradige Inegrierbarkei folg aus dem Beispiel. Für die Maringaleigenschaf gil für alle s : E(E(Y F ) F s ) = E(Y F s ) mi Hilfe der Turmeigenschaf des bedingen Erwarungsweres. Miels gleichgradiger Inegrierbarkei kann auf L 1 -Konvergenz geschlossen werden. 26.1.15 Saz 1.9. Sei (X ) ein sochasischer Prozess mi E X < für alle und sei X eine weiere Zufallsvariable. Es gele: a) (X ) is gleichgradig inegrierbar, b) X X in Wahrscheinlichkei, das heiß, P( X X > ɛ) 8

Dann is X auch konvergen in L 1 gegen X, d.h. lim E X X = Beweis. Beh: X L 1, d.h. E X < Wegen (b) exisier eine Folge ( n ) n N mi n und X n X P-f.s. Lemma von Faou liefer E X = E lim inf n X n lim inf E X n n sup E X n n N sup E X < a) Zeige jez die L 1 -Konvergenz. Sei ɛ >. Wegen der gleichgradigen Inegrierbarkei exisier ein δ > mi P(A) < δ E X 1 A < ɛ 3 für alle und P(A) < δ E X 1 A < ɛ 3. Weier exisier ein T mi Für alle T gil also P( X X > ɛ ) < δ für alle T. 3 E X X = E X X 1 { X X ɛ 3 } + E X X 1 { X X > ɛ 3 } ɛ 3 P( X X ɛ 3 ) + E X 1 { X X > ɛ 3 } + E X 1 { X X > ɛ 3 } 3 ɛ 3 = ɛ Eine L p Formulierung von Saz 1.9 liefer: Saz 1.1. Sei p > 1 und (X ) ein sochasischer Prozess mi E X p < für alle. Sei ferner X eine weiere Zufallsvariable. Es gele: a) ( X p ) is gleichgradig inegrierbar, b) X X in Wahrscheinlichkei 9

Dann is X auch konvergen in L p gegen X, d.h. Beweis. lim E X X p = E X X p X X p in L p. Weier is X X p in Wahrscheinlichkei. Verbleib zu zeigen: ( X X p ) is gleichgradig inegrierbar. Wie in Saz 1.9 folg mi Faou E X p <. Wegen X X p 2 p 1 ( X p + X p ) folg die behaupee gleichgradige Inegrierbarkei, da ( X p ) { X p } gleichgradig inegrierbar is. Die gleichgradig inegrierbaren Maringale kann man mi L 1 (Ω, F, P) idenifizieren. Saz 1.11 (Isomerie I). Sei (F ) eine Filraion und M die Menge der gleichgradig inegrierbaren (F ) -Maringale. Dann is J M L 1 (Ω, F, P) X X = lim X ein Vekorraumisomorphismus mi Umkehrabbildung I L 1 (Ω, F, P) M Y (E(Y F )) Beweis. 1. Schri: (I J)(X) = X Die Wohldefinierhei von I und J folgen aus dem Maringalkonvergenzsaz und Beispiel 1.8. Sei X M. Dann exisier genau ein X L 1 mi X X P-fas sicher wegen des Maringalkonvergenzsazes. Da (X ) gleichgradig inegrierbar is, gil X X in L 1. Dies implizier X = E(X F ) P-f.s. für alle, denn: Für beliebiges gil P( X E(X F ) > δ) = P( E(X T F ) E(X F ) > δ) = P( E(X T X F ) > δ) 1 δ E E( X T X F ) Markov- Ungl. 1 δ EE( X T X F ) 1

= 1 δ E X T X T. 2. Schri: Zur Surjekiviä von J. Für Y L 1 (Ω, F, P) is (E(Y F )) ein gleichgradig inegrierbares Maringal. Nach dem Maringalkonvergenzsaz exisier ein X L 1 (Ω, F, P) mi Mi dem 1. Schri folg X = E(Y F ) X P-fas sicher E(Y F ) = X = E(Y F ) für alle zu zeigen: Y = X P-f.s., denn dann is J(X) = Y. Zeige hierzu: EY 1 A = EX 1 A für alle A F, denn dann is Y = E(Y F ) = X P-fas sicher. Für A F gil: EY 1 A = E(Y F )1 A = EX 1 A = EE(X F )1 A = EX 1 A F bilde ein -sabiles Erzeugendensysem für F. Da {A F EY 1 A = EX 1 A } ein Dynkinsysem is, folg die Behaupung. Zu bemerken is, dass die Aussage und der Beweis an einer kleinen Selle ewas ungenau is. Die Frage is, was genau der Vekorraum der gleichgradig inegrierbaren Maringale is, denn diese sind ja nich eindeuig besimm. Wichig is, wie späer noch bemerk wird, dass es zu einem Maringal X eine Modifikaion mi cadlag Pfaden gib, die bis auf Nichunerscheidbarkei eindeuig besimm is. Aus der Äquivalenzklasse der Modifikaionen von X wird deshalb als Repräsenan die bis auf Nichunerscheidbarkei eindeuige Version mi cadlag Pfaden gewähl. Deshalb kann man annehmen, dass jedes Maringal X cadlag Pfade ha. Ziel: Zusammenhang zu Glücksspielen. Soppzeien Definiion 1.12. Sei (F ) eine Filraion. Eine Soppzei τ is eine Abbildung τ Ω [, ) {+ } mi {τ } F für alle Die Enscheidung vor zu soppen, häng nur von der Informaion bis ab. Durch F τ = {A F A {τ } F für alle } wird die σ-algebra der durch τ-beobachbaren Ereignissen definier. Eine Definiion der Form F τ = {A F A {τ } F für alle } liefer das Gleiche. 11

Bemerkung. Für σ, τ Soppzeien gil: (i) σ τ(= min(σ, τ)), σ τ(= max(σ, τ)), σ + τ sind Soppzeien (ii) Gil σ τ, so is F σ F τ. (iii) Is X ein cadlag-prozess, so is X τ 1 {τ< } F τ messbar. (iv) Es gil: F τ σ = F τ F σ. (v) Is (τ n ) n N eine Folge von Soppzeien, so is sup τ n n eine (F ) Soppzei und eine (F + ) Soppzei. inf n τ n (vi) Eine Zufallsvariable X is F τ messbar genau dann, wenn X1 {τ } messbar is bezüglich F für alle. Dies wird späer noch im Zusammenhang mi progressiv messbaren Prozessen genauer beleuche. Opional Sampling Saz 1.13 (Opional Sampling I). Sei X ein (F ) -Maringal mi cadlag Pfaden und τ eine beschränke Soppzei, d.h. es exisier ein T > mi τ T P-f.s. Dann gil: (i) E(X T F τ ) = X τ P-f.s. (ii) EX τ = EX Bemerkung. Dieser Saz gil auch für Submaringale: Is (X ) ein cadlag Submaringal bezüglich einer Filraion (F ) und is τ eine, durch T > beschränke, Soppzei, so gil: (i) E(X T F τ ) X τ (ii) EX T EX τ Beweis von Saz 1.13. (i) 1. Schri: τ habe nur endlich viele Were 1 2... N T 12

Für A F τ und k {1,..., N} A {τ = k } = (A {τ k })/(A {τ k 1} ) F k F k F k 1 Dann is Also für alle A F τ : A {τ= k } X τ dp = X dp = k F k A {τ= k } A {τ= k } X T dp A X τ dp = N k=1 A {τ= k } X τ dp = N k=1 A {τ= k } X T dp = A X T dp E(X T F τ ) = X τ 2. Schri: Approximiere τ durch (τ n ) n N mi τ 1 τ 2... τ und τ n habe endlich viele Were. Das geschieh durch: τ τ n T τ T Wähle hierzu eine geschachele Folge von Zerlegungen (n) < (n) 1 <... < (n) l(n) = T mi l(n) die maximale Anzahl der Zerlegungspunke und mi max i (n) i 1 (n) n i. Definiere τ n (ω) = inf{ (n) i Dann is τ 1 τ 2... lim n τ n (ω) = τ(ω). Wegen Schri 1 gil dann (n) i τ(ω)} X τn = E(X T F τn ) für alle n N (X τn ) n N is gleichgradig inegrierbar. Zusäzlich is n X τn X τ P-fas sicher (cadlag-pfade) Also X τn n X τ in L 1. Für A F τ gil deshalb: Also is EX T 1 A = EX τ 1 A für alle A F τ. X τ = E(X T F τ ). (ii) folg aus (i) durch EX T 1 A = EX τn 1 A n EX τ 1 A EX = EE(X T F ) = EX T = EE(X T F τ ) = EX τ 13

Beschränke Soppzeien kann man als Sraegien inerpreieren, die ein Spieler für einen Auszahlungsprozess X realisieren kann. Lieg ein Maringal vor, kann ein Spieler sich im Miel nich durch eine Sraegie verbessern. Insofern is das Maringal ein faires Glücksspiel. Umgekehr is in diesem Sinne auch der Auszahlungsprozess eines fairen Glücksspieles ein Maringal. Charakerisierung eines Maringals Saz 1.14. Sei X ein (F ) adapierer Prozess mi cadlag Pfaden und E X < für alle. Dann sind äquivalen: 28.1.15 (i) X is ein Maringal (ii) Für jede beschränke Soppzei τ gil Beweis. siehe Saz 1.13 Zeige E(X F s ) = X s für alle s. zu zeigen: EX 1 A = EX s 1 A für alle A F s. Zu A F s definiere eine Soppzei τ durch EX τ = EX s τ(ω) = falls ω A falls ω A Dann gil: EX 1 A = EX EX 1 A C = EX EX τ 1 A C = EX (EX τ E τ 1 A ) (ii) = EX EX +EX τ 1 A = = EX s 1 A Beache: (ii) liefer für τ : EX = EX τ = EX Die Aussage kann verbesser werden, wenn man gleichgradig inegrierbare Maringale berache, denn dann kann auf die Beschränkhei der Soppzei verziche werden. 14

Saz 1.15 (Opional Sampling II). Sei X ein (F ) adapieres gleichgradig inegrierbares Maringal mi cadlag Pfaden. Dann gil: (i) Es exisier eine F -messbare Abbildung X mi E(X F τ ) = X τ P-fas sicher für jede Soppzei τ. (ii) EX τ = EX für jede Soppzei τ. Bemerkung. Auch dieser Saz gil für Submaringale: Sei (X ) ein gleichgradig inegrierbares Submaringal bezüglich einer Filraion (F ) mi cadlag Pfaden, so gil: (i) Es exisier eine F messbare Abbildung X mi E(X F τ ) X τ P-fas sicher für jede Soppzei τ. (ii) EX τ EX für jede Soppzei τ. Beweis von Saz 1.15. (i) Wegen Saz 1.11 exisier ein X L 1 mi X = E(X F ) für alle. Sei τ eine beliebige Soppzei. Für A F τ gil: A {τ T } F τ F T = F τ T τ T is eine beschränke Soppzei. Also gil: A {τ T } X τ dp = A {τ T } F τ T X τ T dp = A {τ T } = A {τ T } = A {τ T } E(X T F τ T )dp X T dp X dp Weier gil: E(X F τ T ) = X τ T für alle T 15

denn E(X F τ T ) = E(E(X F T ) F τ T ) = E(X T F τ T ) = X τ T Dies liefer die gleichgradige Inegrierbarkei von (X τ T ) T. Zusammen mi der punkweisen Konvergenz gegen X τ folg die Inegrierbarkei von X τ und die L 1 -Konvergenz von X τ T T X τ Somi folg mi der majorisieren Konvergenz A {τ< } X τ dp = lim T A {τ T } = lim T A {τ T } = X dp A {τ< } X τ dp X dp Zusammen mi folg (ii) A X τ dp = X dp A {τ= } A {τ= } X τ dp = X dp für alle A F τ A EX τ = EE(X F τ ) = EX = EX Man erhäl folgende Charakerisierung: Saz 1.16. Sei (X ) ein bzgl (F ) adapierer Prozess mi cadlag Pfaden und sei X eine F -messbare Zufallsvariable. Genau dann is (X ) ein gleichgradig inegrierbares Maringal mi lim X = X, wenn für jede Soppzei τ X τ inegrierbar is und EX τ = EX 16

erfüll. Beweis. siehe Saz 1.14 Zeige: X = E(X F ) für alle. Für τ is X = X τ inegrierbar und Für τ is X = X τ inegrierbar und Definiere für A F eine Soppzei τ durch EX = EX τ = EX EX = EX τ = EX τ(ω) = falls ω A falls ω A Dann gil Also folg EX = EX = EX τ = EX 1 A + EX 1 A C EX 1 A = EX 1 A Man kann dies auf gesoppe Prozesse anwenden. Saz 1.17. Sei X ein (F ) -Maringal mi cadlag Pfaden und τ eine Soppzei. Dann is der durch τ gesoppe Prozess X τ, definier durch ein (F ) -Maringal. X τ = X τ = X 1 { τ} + X τ 1 {>τ} Beweis. X τ is ein Prozess mi cadlag Pfaden und adapier bzgl (F ), da F τ F. Für jede beschränke Soppzei σ gil: EX τ σ = EX τ σ = EX = EX τ Wichige Beispiele von Soppzeien sind Erseinriszeien. Beispiel 1.18. Sei (X ) ein adapierer Prozess bzgl einer Filraion (F ). Für eine Borelmenge B is τ B = inf{ X B} die Erseinriszei in B. Behaupung: Ha X seige Pfade und is B abgeschlossen, so is τ B eine Soppzei bzgl. (F ). 17

Beweis. Definiere offene Mengen B n = {x R d(x, B) < 1 n } für alle n N Erreich X die Menge B vor, so erreich X auch jedes B n vor. Wegen der Seigkei der Pfade ri X vor in B n auch zu einem raionalen Zeipunk ein. Genauer: {τ B } = {X B} {X q B n } F So haben wir nur noch abzählbare Vereinigungen und Durchschnie, können dami also die Messbarkei folgern. klar, wegen Offenhei der B n und Seigkei der Pfade {X B} {τ B } Is ω n N q Q{X q B n } (q n ) n Q [, ) mi X qn B n. q< Is B offen, so is τ B im Allgemeinen keine Soppzei. Die Informaion muss infiniesimal vergrößer werden. Seze dazu n N q Q q< F + = F +ɛ ɛ> Behaupung: Ha X rechsseiig seige Pfade, so is τ B eine (F + ) -Soppzei für jedes offene B. Beweis. Es gil: τ B is eine (F + ) -Soppzei {τ B } F + für alle {τ B < } F für alle Es gil {τ B < } = {X q B} F q Q q< Anwendungen von Opional Sampling Beispiel 1.19. Sei (W ) ein Wiener-Prozess bezüglich einer Filraion (F ). Dann erreich der Wiener-Prozess mi Wahrscheinlichkei 1 jedes a R. Genauer: Sei a R und 2.11.15 τ a = inf{ W = a} inf =. Dann is P(τ a < ) = 1 18

Beweis. OEdA is a >, da ( W ) auch ein Wiener-Prozess is. Für λ > berache das Maringal Dann gil: M λ () = exp(λw 1 2 λ2 ). M λ ( τ a ) e λa (M τa λ ()) is ein beschränkes Maringal und dami gleichgradig inegrierbar. Also konvergier M τa λ () für gegen exp(λa 1 2 λ2 τ a )1 {τa< }, da auf {τ a = } Es gil mi Opional Sampling M τa λ () = M λ(). Also folg 1 = EM τa τa λ () = EMλ ( ) = E exp(λa 1 2 λ2 τ a )1 {τa< } = e λa Ee 1 2 λ2 τ a 1 {τa< } Monoone Konvergenz liefer Ee 1 2 λ2 τ a 1 {τa< } = e λa für alle λ > P(τ a < ) = lim λ Ee 1 2 λ2 τ a 1 {τa< } = lim λ e λa = 1 Eigenlich is die Laplaceransformiere von τ a besimm worden: Es gil: L τa [, ) [, ) ν Ee ντa L τa (ν) = Ee ντa = ν= 1 2 λ2 2ν=λ e 2νa Die Laplaceransformiere besimm die Vereilung von τ a. Man erhäl, dass τ a die Diche ha, denn Es gil: Ee ντa = g a () = 1 exp( 1 a 2 2π 3 2 )1 (, )() e ν g a ()d = e 2νa für alle ν > Eτ a = g a ()d = Das bedeue, dass man im Miel unendlich lange brauch, um ein beliebiges a R zu erreichen. Und doch erreich man jedes a R. 19

Weiere Anwendungen von Opional Sampling Beispiel 1.2. Sei W ein Wiener-Prozess bezüglich einer Filraion (F ) und definiere τ durch τ = inf{ W = a oder W = b} für a, b >. Dann is P(τ < ) = 1 und W τ ein beschränkes Maringal, was die gleichgradige Inegrierbarkei implizier. Deshalb gil: Zusammen mi folg = EW τ = EW τ = EW τ = ap(w τ = a) + bp(w τ = b) P(W τ = a) = P(W τ = a) + P(W τ = b) = 1 b a + b und P(W τ = b) = a a + b Weier is (W 2 ) ein Maringal. Mi Opional Sampling folg Wegen monooner Konvergenz gil E(W 2 τ T τ T ) = EW 2 τ T = Eτ T E(τ T ) E(τ) (W 2 τ T ) is ein beschränker Prozess, also folg mi majorisierer Konvergenz: Andererseis gil aber auch EW 2 τ = lim T E(W 2 τ T ) = lim T E(τ T ) = Eτ EWτ 2 = a 2 P(W τ = a) +b 2 P(W τ = b) = ab b a a+b a+b Also gil Eτ = ab Beispiel. Definiere, für (W ) ein Wiener-Prozess, die Soppzei τ durch Definiere τ = inf{ W = b oder W = b} M = W 4 6W 2 + 3 2 für alle ( ) Dann is (M ) ein Maringal (überprüfen durch Nachrechnen) und es gil = EM τ = E(W 4 τ 6(τ )W 2 τ + 3(τ ) 2 ) 2

Wegen monooner Konvergenz konvergier und es gil E(τ ) 2 Eτ 2 (τ )W 2 τ τb 2 Da τ inegrierbar is, liefer die majorisiere Konvergenz: E((τ )W 2 τ ) E(τW 2 τ ) = b 2 E(τ) = b 4 (W 4 τ ) is beschränk, also liefer majorisiere Konvergenz: b 4 = W 4 τ = lim EW 4 τ Insgesam ergib das Wegen E(τ) = b 2 is also 3E(τ 2 ) = 6b 4 b 4 = 5b 4 Var(τ) = 2 3 b4 Ziel: Einführung der H p -Räume. Hierzu dienen die Doob schen Maximalungleichungen: Saz 1.21. Sei E eine konvexe Teilmenge von R (i) Is X ein Maringal mi Weren in E und is f E R konvex, so dass E f(x ) < für alle, so is (f(x )) ein Submaringal. (ii) Is X ein Submaringal in E und f E R konvex und monoon wachsend mi E f(x ) < für alle, so is (f(x )) ein Submaringal. Beweis. Dies folg aus der Jensenschen Ungleichung für bedinge Erwarungswere: (i) E(f(X ) F s ) f(e(x F s )) = f(x s ) für s (ii) E(f(X ) F s ) f(e(x F s )) f(x s ) für s Anwendung finde dies in 21

(i) X Maringal X Submaringal (ii) X Maringal und E X p < für alle ( X p ) Submaringal (iii) X Maringal X + Submaringal Die Maringaleigenschaf kann von (F ) auf (F + ) ausgeweie werden. (Erinnerung: F + = ɛ> F +ɛ ) Saz 1.22. Sei (X ) ein rechsseiig seiges Maringal bezüglich einer Filraion (F ). Dann is X auch ein Maringal bezüglich (F + ). Beweis. Sei fes gewähl und T >, sowie ( n ) n N mi n. Wegen der rechsseiigen Seigkei konvergier X n X. Da X n = E(X T F n ) für alle n N, is (X n ) n N gleichgradig inegrierbar. Aus der punkweisen Konvergenz und der gleichgradigen Inegrierbarkei folg die Konvergenz von X n X in L 1. Dami folg für alle A F + EX 1 A = EX T 1 A denn Beache EX T 1 A = EX n 1 A n EX 1 A EX n 1 A EX 1 A E X n X 1 A E X n X n Saz 1.23 (Doob sche Maximalungleichungen). Sei (X ) ein rechsseiig seiges Maringal oder ein posiives Submaringal bezüglich einer Filraion (F ). Dann gil für XT = sup T X : (i) λ p P(X T λ) E X T p 1 {X λ} E X T p für alle p 1 (ii) λ p P(X > λ) sup E X p für alle p 1 (iii) X T p p p 1 sup T X p für alle p > 1 (iv) X p p p 1 sup X p für alle p > 1 Bemerkung. Die Aussagen (iii) und (iv) bezeichne man auch als Doob sche L p Ungleichung. Diese sind äquivalen mi E XT p ( p p p 1 ) sup E X p T für alle p > 1, < T 22

Beweis. (i) Sei p 1, T >. O.E.d.A. is E X p < für alle. Dann is ( X p ) ein Submaringal und wegen der Version für Submaringale des Opional Sampling Sazes 1.13 gil E X τ p E X T p für jede durch T beschränke Soppzei τ. Berache für λ > die Soppzei Dann gil: τ = inf{ X λ} (ii) E X T p 1 {τ T } = E X T p E X T p 1 {τ>t } E X τ T p E X T p 1 {τ>t } = E X τ p 1 {τ T } λ p P(τ T ) = λ p P(X T λ) P(X > λ) = P(sup X > λ) P(τ < ) = lim T P(τ T ) (i) 1 lim T λ E X p T p = 1 λ sup E X p p (iii) erhäl man aus (i) und der Hölderungleichung: 4.11.15 Für jedes K > gil: X L p, X L q, 1 p + 1 q = 1 E XY X p Y q E(X T K) p = E = E Fubini = X T K K K py p 1 dy py p 1 1 {X T y}dy py p 1 P(X T y)dy 23

Also Und somi Dami folg: (i) mi = p=1 Fubini = E K py p 2 E X T 1 {X T y}dy K = E X T p = pe X T py p 1 X T 1 {X T y}dy K X T K y p 2 1 {X T y}dy y p 2 dy p = p 1 E X T (XT K) p 1 Hölder p p 1 (E X T p ) 1 p (E(X T K) (p 1)q ) 1 q 1 p + 1 q = 1 1 q = 1 1 p = p 1 p q = p p 1 p = p 1 (E X T p ) 1 p (E(X T K) p ) p 1 p (E(XT K) p ) p ( p p p 1 ) E X T p (E(XT K) p ) p 1 E(XT K) p ( p p p 1 ) E X T p E(XT ) p = lim E(XT K) ( p p T p 1 ) E X T p (iv) X T konvergier monoon gegen X. Also gil: E(X ) p mon. = Konv. lim T E(X T ) p p p 1 lim T E(X T ) p = p p 1 sup E X p Usual condiions Sei (F ) eine Filraion. Definiion 1.24. (F ) erfüll die usual condiions, falls gil: (i) (F ) is rechsseiig seig, d.h. F = F + für alle, 24

Voreile: (ii) F enhäl alle vernachlässigbaren Mengen. 1. Modifikaionen von adapieren Prozessen sind wieder adapier, 2. Einriszeien in Borelsche Mengen sind Soppzeien, 3. Maringale lassen eine Pfadregulierung zu. Genauer: Erfüll (F ) die usual condiions, so gib es zu jedem (F ) -Maringal X eine Modifikaion mi cadlag Pfaden. Diese cadlag Version is bis aus Nichunerscheidbarkei eindeuig besimm. Deshalb kann bei Vorhandensein der usual condiions o.e.d.a. angenommen werden, dass X cadlag Pfaden ha P-fas sicher. Konsrukion einer Filraion, die die usual condiions erfüll: Sei (F () ) eine Filraion. Sei N die Menge der vernachlässigbaren Mengen. Definiere: F (1) = σ(f () N ) für alle F (1) enhäl alle vernachlässigbaren Mengen. Seze F = F (1) + = F (1) +ɛ für alle ɛ> Dann erfüll (F ) die usual condiions per Konsrukion. Die so definiere Filraion nenn man die Vervollsändigung von (F () ). Bemerkung. Is X ein Maringal bzgl (F () ), so is X auch ein Maringal bezüglich der vervollsändigen Filraion (F ) und es gib eine Modifikaion mi rechsseiig seigen Pfaden. Bemerkung. Is W ein Wiener-Prozess bzgl (F () ), so is W auch ein Wiener Prozess bezüglich der vervollsändigen Filraion (F ). Die Annahme, dass eine Filraion die usual condiions erfüll, is also keine wirklich einschränkende Annahme. H p -Räume Definiion 1.25. Für p > 1 kann der Raum H p definier werden durch H p = {X X is ein cadlag Maringal bzgl (F ) mi sup E X p < } 25

( Menge der L p -beschränken Maringale) Dabei is (F ) eine Filraion, die die usual condiions erfüll. Jedes X H p is in L p beschränk und dami gleichgradig inegrierbar. Also is H p M = {X X gleichgradig inegrierbares cadlag Maringal} Auf H p kann man eine Norm definieren durch X Hp = sup(e X p ) 1 p = sup X p = (sup 1 E X p p ) Saz (Isomerie II). Durch J H p L p (Ω, F, P) X X = lim X wird eine Isomerie zwischen Banach-Räumen definier mi der Umkehrabbildung Dabei bedeue Isomerie, dass gil: I L p (Ω, F, P) H p X (E(X F ) J(X) p = X p = X Hp für alle X H p Beweis. Gezeig worden is in Saz 1.11, dass J und I zueinander inverse Isomorphismen zwischen M und L 1 sind. Zu zeigen verbleib, dass die Teilräume ensprechend abgebilde werden und die Isomerieeigenschaf erfüll is: Behaupung: Is X H p, so is J(X) = X L p und X Hp = J(X) p = X p Beweis. Nuze die Doob sche Maximalungleichung: Weier is X p X p p p 1 sup X p = eine inegrierbare Majorane von ( X p ). Also liefer die majorisiere Konvergenz: X p = X Hp X p = (sup X p ) 1 p p p 1 X H p < E X p = lim E X p = sup E X p = X Hp 26

Behaupung: Is X L p, so is I(X ) H p. Beweis. I(X ) = (E(X F )) Weier is E( E(X F ) p ) EE( X p F ) = E X p < I(X ) H p Insbesondere is für p = 2 der H 2 Raum ein Hilber-Raum, isomerisch isomorph zu L 2 (Ω, F, P). Definiere H 2,c = {X H 2 X ha seige Pfade} Saz 1.26. Sei (F ) eine Filraion, die die usual condiions erfüll. Dann is H 2,c ein abgeschlossener Teilraum von H 2. Beweis. Klar is, dass H 2,c ein Teilraum von H 2 is. zur Abgeschlossenhei: Sei (X (n) ) n N eine Folge in H 2,c mi Grenzwer X H 2 (, da H 2 Hilber-Raum). Das heiß: X (n) n X H2 also sup Doob sche L 2 -Ungleichung liefer: E(sup X (n) Also sup X (n) X 2 in L 1. Also exisier eine Teilfolge (n k ) k N mi Also auch Da X (n k) Pfade. E(X (n) X) 2 n. X ) 2 4 sup E X (n) X 2 n sup X (n k) X 2 P-fas sicher sup X (n k) X P-fas sicher P-fas sicher seige Pfade ha, ha X als gleichmäßiger Limes auch seige 2 Das sochasische Inegral 9.11.15 Ziel: Wir wollen eine sinnvolle Definiion für T H()dS() = [,T ] geben, wobei H und S sochasische Prozesse sind. Inerpreaion in der Finanzmahemaik: H()dS() 27

(H()) T Handelssraegie eines Händlers. Dabei ensprich H() der Anzahl an Akien, die zum Zeipunk gehalen werden. (S()) T Preisenwicklung der Akie, S() ensprich dem Preis der Akie zum Zeipunk. H()dS() Gewinn, den ein Händler durch die Sraegie H über den Zeiraum [,T ] [, T ] erziel. Präzisieren kann man dies für elemenare Sraegieren. Elemenare Sraegien Definiion 2.1. Eine elemenare Sraegie lieg dann vor, wenn nur zu endlich vielen Zeipunken < 1 <... < n = T eine Umschichung in der Porfoliozusammensezung vorgenommen werden kann. Das bedeue, in k 1 wird das Porfolio zufällig gemäß einer F k 1 -messbaren Zufallsvariable h k gebilde und bis k gehalen. Formal bedeue das: T h 1 h 2 h k H(, ω) = h k (ω)1 (k 1, k ]() k=1 1 2 k 1 k Der Händler erziel in [, T ] einen Gewinn von Fragen: [,T ] H()dS() = T k=1 h k (S( k ) S( k 1 )) = = S( k ) T k=1 h k S( k ) - Wie kann man die elemenaren Sraegieren verallgemeinern? - Welche Prozesse kann man inegrieren? 1. Anwor: Ha S Pfade mi beschränker Variaion, so können progressiv messbare Prozesse H inegrier werden, deren Pfade Lebesgue Sieljes-inegrierbar sind. Zum Beispiel können adapiere Prozesse mi seigen Pfaden inegrier werden. 2. Anwor: Die wichigsen Preisprozesse in der Finanzmahemaik haben keine Pfade von beschränker Variaion. Deshalb is eine Ausdehnung nowendig. Progressiv messbare Prozesse Definiion 2.2. Bezeichne mi B [,] die Borelsche-σ-Algebra auf [, ] für alle. Sei weier eine Filraion (F ) gegeben. Eine Abbildung X [, ] Ω R 28

heiß progressiv messbar, falls für jedes > X [, ] Ω R messbar is bezüglich B [,] F. Das heiß, dass für alle B B gil: {(s, ω) [, ] Ω X s (ω) B} B [,] F Bemerkung 2.3. Jeder adapiere Prozess mi rechsseiig seigen Pfaden is progressiv messbar. Beweis. Sei >. Zerlege [, ] in = (n) < (n) 1 <... < (n) = und seze l(n) auf [, ] Ω und X (n) = l(n) 1 k= X (n) X (n) k = X 1 (n) [ k,(n) k+1 ) Wegen der Adapierhei is X (n) messbar bezüglich B [,] F und wegen der rechsseiigen Seigkei konvergier X (n) gegen X auf [, ] Ω, was die Messbarkei von X [,] Ω bezüglich B [,] F implizier. Bemerkung 2.4. Is X ein progressiv messbarer Prozess und τ eine Soppzei, so is X τ 1 {τ< } eine F τ -messbare Abbildung. Beweis. Es gil: X τ 1 {τ< } is F τ -messbar genau dann, wenn X τ 1 {τ } F -messbar is, für alle : Für B B gil: - Is B, so is (X τ 1 {τ } ) 1 (B) = X 1 τ (B) {τ } - Is B, so is (X τ 1 {τ } ) 1 (B) = (X 1 τ (B) {τ }) {τ > } Sei X τ 1 {τ< } F τ messbar. Dann is in beiden obigen Fällen (X τ 1 {τ } ) 1 (B) F. Also is X τ 1 {τ } F messbar für alle. Sei nun X 1 {τ } F messbar für alle. Dann is X 1 τ (B) {τ } = (X τ 1 {τ } ) 1 (B) B (X τ 1 {τ } ) 1 F (B) {τ } B. Also is X τ 1 τ< messbar bezüglich F τ. Sei nun >. Dann is τ = τ eine messbare Abbildung von (Ω, F ) ([, ] B [,] ), denn {τ s} = {τ s} F s F für alle s < und {τ = } = {τ = } = {τ } = {τ < } C F 29

Weier is ω (τ (ω), ω) eine messbare Abbildung von (Ω, F ) nach ([, ] Ω, B [,] F ). Also is X τ 1 {τ } (ω) = X(τ (ω), ω)1 {τ } (ω) als Hinereinanderausführung von messbaren Abbildungen wieder eine F -messbare Abbildung. Bemerkung 2.5. Es seien alle Nullmengen schon in F enhalen, d. h. N F. Is X dann ein progressiv messbarer Prozess mi X s (ω) ds < P-fas sicher für alle so wird durch Y = X s ds ein adapierer Prozess mi P-fas sicheren seigen Pfaden definier. Beweis. Sei (T n ) Folge mi T 1 < T 2 <..., T n. Für jedes n N is eine B [,Tn] F Tn messbare Abbildung. Es gib eine Nullmenge N Tn mi X [, T n ] Ω R T n X s (ω) ds < für alle ω N Tn Für ω N Tn is X s(ω)ds wohldefinier, seig und F Tn -messbar in ω. Seze N = n N N Tn. Dann is N vernachlässigbar und für alle ω N is Y (ω) = X s (ω)ds wohldefinier für alle. Weier is Y (ω) seig und adapier, da X progressiv messbar is. Previsible σ-algebra Auf [, ) Ω soll die σ-algebra der previsiblen Mengen eingeführ werden. Sei (F ) eine Filraion, die die usual condiions erfüll. 1. Schri: Das Sysem der previsiblen Rechecke is definier durch R = {{} F F F } {(s, ] F s s,, F s F s } 3

R is ein Halbring denn (i) R R 1 R 1 R 2 R2 (ii) R 1, R 2 R R 1 R 2 R ( -sabil) (iii) Zu R 1, R 2 R gib es disjunke Mengen H 1,..., H m R mi ( ( ] ] s 1 s2 1 2 R 1 /R 2 = m H i i=1 2. Schri: Aus dem Halbring R gewinn man einen Mengenring A, in dem man das Sysem der endlichen Vereinigungen von Elemenen aus R bilde: A A Es gib endlich viele R 1,..., R n R mi A = n i=1 R i Bemerkung. Zu A A exisieren paarweise disjunke R 1,..., R n R mi A = n i=1 R i. Beweis. A = R 1... R n = R (R 2 /R 1 ) (R 3 /(R 1 R 2 ))... (R n /(R 1... R n 1 )) R 3. Schri: 11.11.15 Definiion. Die von A erzeuge σ-algebra P = σ(a) = σ(r) wird als σ-algebra der previsiblen Mengen bezeichne. ([, ) Ω, P) is ein messbarer Raum. Definiion 2.7. Ein sochasischer Prozess X wird als previsibel bezeichne, wenn messbar is bezüglich P. X [, ) Ω R Bemerkung. Jeder previsible Prozess is progressiv messbar. Beweis. 1. Schri: Zu zeigen:jeder linksseiig seiger, adapierer Prozess is progressiv messbar. Der Beweis geh analog zum Beweis von Bemerkung 2.3. Erseze einfach das Inervall, (n) ) durch ((n), (n) [ (n) k k+1 k k+1 ]. 2. Schri: Sei A die σ-algebra der progressiv messbaren Mengen. Das bedeue, jeder linksseig seiger, adapierer Prozess is messbar bezüglich A. 31

3. Schri: Es is bekann, dass P die kleinse σ Algebra is, bezüglich welcher alle linksseiig seigen, adapieren Prozess messbar sind. Also is P A 4. Schri: Also is jeder previsible Prozess progressiv messbar. Beispiele für previsible Prozesse Beispiel 2.8. a) Is Y eine F s -messbare Abbildung, so is Y 1 (s,] ein previsibler Prozess Beweis. 1. Y : Dann exisier eine Folge (Y (n) ) von Zufallsvariablen der Form mi F n,k F s und Y (n) Y. Dann is messbar bezüglich P. Y (n) = X (n) = Y (n) 1 (s,] = N(n) α n,k 1 Fn,k k=1 N(n) α n,k 1 (s,] Fn,k k=1 is messbar bezüglich P. 2. Y = Y + Y : is messbar bezüglich P. Y 1 (s,] = lim n Y (n) 1 (s,] Y 1 (s,] = Y + 1 (s,] Y 1 (s,] b) Is ((s n, n ]) n N eine paarweise disjunke Folge von Inervallen und (Y n ) eine Folge von Zufallsvariablen, sodass Y n messbar is bezüglich F sn für alle n N, so is messbar bezüglich P. Dies erhäl man aus Y n 1 (sn,n] n N Y n 1 (sn,n] = lim n Y k 1 (sk, k ] n N k=1. c) Is X ein sochasischer Prozess mi linksseiig seigen Pfaden, so is X previsibel. Beweis. Durch linksseiige Approximaion: Berache eine geschachele Folge von Giern = (n) < (n) 1 < (n) 2 <... n mi max (n) i i (n) n i 1 32

Definiere dann X (n) () = X 1 {} () + k N X (n) k 1 (n) ( für alle k,(n) k+1 ] Das is eine Folge von previsiblen Prozessen, die punkweise gegen X konvergier. Also is X previsibel. Bemerkung 2.9. Die previsible σ-algebra is die kleinse σ-algebra bezüglich der alle linksseiig seigen adapieren Prozesse messbar sind. Beweis. Definiere L = Menge der linksseiig seigen, adapieren Prozesse. Dann is σ(l) per Definiionem die kleinse σ Algebra, bezüglich der alle X L messbar sind, wenn (i) σ(l) eine σ Algebra is und (ii) Is G eine weiere σ Algebra, so dass jedes X L messbar is bezüglich G, so gil σ(l) G. Zu zeigen: P = σ(l). : Jedes X L is previsibel, also messbar bezüglich P. Also gil mi (ii): σ(l) P. : Es genüg zu zeigen: R σ(l). Jede Indikaorfunkion 1 R mi R R is linksseiig seig und adapier, also messbar bezüglich σ(l). R σ(l) P σ(l) Die previsible σ-algebra kann auch durch Soppzeien beschrieben werden: Für Soppzeien σ τ is das sochasische Inervall Bemerkung 2.1. Sei Dann gil: (σ, τ] = {(, ω) [, ) Ω σ(ω) < τ(ω)} E = {(σ, τ] σ, τ Soppzeien mi σ τ} {{} F F F } P = σ(e) Beweis. : {} F is in P. Für Soppzeien σ, τ is 1 (σ,τ] adapier und linksseiig seig, also previsibel, d.h. (σ, τ] P. : Wir zeigen R E, woraus σ(r) σ(e) folg. Trivial: {} F. Also berache (s, ] F s mi s, F s F s Idee: Finde σ, τ mi (s, ] F s = (σ, τ]. s ω F s Definiere τ und σ(s) =. ω F s Dann sind σ, τ Soppzeien und es gil: Also is R E. (σ, τ] = {(u, ω) σ(ω) < u τ(ω)} = (s, ] F s 33

Anwendungsbeispiel: (S()) Preisprozess einer Akie und a < S < b mi a Einsiegskurs, b Verkaufskurs und S Akienanfangspreis. Definiere die Soppzeien σ = inf{ S a} und τ = inf{ S b} Dann ensprich 1 (σ,τ] der Sraegie, eine Akie zu kaufen, wenn sie a wer is und solange zu halen, bis sie b wer is. Enwickel sich das einsezbare Kapial zufällig mi der Zei, so kann man auch H = Y σ 1 (σ,τ] berachen. Y σ is dann durch das in σ verfügbare Kapial besimm und dami zufällig. Folgerung 2.11. Sei (τ n ) n N eine aufseigende Folge von Soppzeien und sei (Y n ) n N eine Folge von F τn -messbaren Zufallsvariablen. Dann is ein previsibler Prozess. Y n 1 (τn,τn+1 ] n N Das Doléans-Maß Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeisraum und (F ) eine Filraion, die die usual condiions erfüll. Zu einem L 2 -Maringal M, d.h. einem Maringal, das quadrainegrierbar is, mi cadlag- Pfaden, soll ein Maß µ M auf der σ-algebra P der previsiblen Mengen konsruier werden: 1. Schri: Auf dem Halbring der previsiblen Rechecke definiere sowie µ M ((s, ] F s ) = E1 Fs (M 2 M 2 s ) = E1 Fs (M M s ) 2 für alle s, F s F s µ M ({} F ) = für alle F F µ M R [, ) is ein Inhal, das heiß, es gil (i) µ M ( ) = (ii) Sind R 1,..., R n R paarweise disjunk und n i=1 R i R, so gil µ M ( n R i ) = i=1 n i=1 µ M (R i ) 34

Beweis. (i) gil nach Definiion (ii) Es reich die Behaupung für n = 2 zu zeigen: Mögliche R 1, R 2 : R 1 = (s 1, 1 ] F s1, R 2 = (s 2, 2 ] F s2, R 1 R 2 R, R 1 R 2 = F s1 F s2 ( ] ( ] s 1 1 s2 2 ABER: Vereinigung lieg nich in R. Einzige Möglichkeien: Fall 1): Fall 2): F s1 F s2 F s1 ( ]( ] s 1 1 = s 2 2 Fall 1): (s 1, 1 ] (s 2, 2 ] = O.E.d.A: 1 2. Da R 1 R 2 R s 2 = 1 und F s1 = F s2 Somi gil für R = R 1 R 2 = (s 1, 2 ] F s1 : F s2 ( ] s 1 = s 2 1 = 2 µ M (R) = E1 Fs1 (M 2 2 M 2 s 1 ) = E [1 Fs1 (M 2 2 M 2 s 2 ) + (M 2 s 2 M 2 s 1 )] F s1 =F s2 = s 2 = 1 E1 Fs2 (M 2 2 M 2 s 2 ) + E1 Fs1 (M 2 1 M 2 s 1 ) = µ M (R 2 ) + µ M (R 1 ) Fall 2): (s 1, 1 ] (s 2, 2 ] F s1 F s2 = s 1 = s 2, 1 = 2 R = R 1 R 2 = (s 1, 2 ] (F s1 F s2 ) µ M (R) = E1 Fs1 F s2 (M 2 1 ) Ms 2 1 s 1 =s = 2 E1 Fs1 (M 1 = 2 1 Ms 2 1 ) + E1 Fs2 (M 2 2 Ms 2 2 ) 2 = µ M (R 1 ) + µ M (R 2 ) 2. Schri: 35

Ein Inhal auf einem Halbring kann immer zu einem Inhal auf dem vom Halbring erzeugen Mengenring forgesez werden durch mi A = n i=1 R i, R i R. Dann erfüll µ M : (i) µ M ( ) = µ M A [, ) A n i=1 µ M (R i ) (ii) µ M (A 1 A 2 ) = µ M (A 1 ) + µ M (A 2 ) für alle A 1, A 2 A mi A 1 A 2 = 3. Schri: Man kann zeigen, dass auf Grund der Maringaleigenschaf von M der Inhal µ M Prämaß auf A is, das heiß: Is (A n ) n N A, so is µ M σ-addiiv, das heiß, es gil ein µ M ( A n ) = µ M (A n ) n N n N Nach dem Forsezungssaz von Carahéodory exisier eine eindeuige Forsezung zu einem Maß µ M auf σ(a) = P. Definiion 2.12. Das Doléans-Maß des L 2 -Maringals M is genau diese eindeuige Forsezung und wird mi µ M bezeichne. Beispiel. Is W ein Wiener-Prozess, so is µ W = λ P. Beweis. µ W ((s, ] F s ) = E1 Fs (W W s ) 2 W W s unab. = von F s P(F s )E(W W s ) 2 = P(F s )( s) = (λ P)((s, ] F s ) Ziel: Konsrukion des sochasischen Inegrals als Isomerie zwischen 16.11.15 L 2 (µ M ) = L 2 ([, ) Ω, P, µ M ) und L 2 (P) = L 2 (Ω, F, P) = {X E X 2 < }. Das sochassische Inegral für elemenar previsible Prozesse 36

Definiion 2.13. Ein sochasischer Prozess H heiß elemenar previsibel, wenn es α 1,..., α n R und R 1,..., R n R gib mi H = n i=1 α i 1 Ri Bemerkung. Bezeichne mi E die Menge aller elemenar previsiblen Prozessen. Dann gil: (i) E is eine Algebra, d.h. H 1, H 2 E H 1 + H 2 E H E, λ R λh E H 1, H 2 E H 1 H 2 E (ii) Zu H E exisieren paarweise disjunke R 1,..., R n R und α 1,..., α n R, so dass H = n i=1 α i 1 Ri (iii) E L 2 (µ M ), denn µ M (R) < für alle R R. Definiion. Für H E wird das sochasische Inegral I als lineare Abbildung erklär: I E L 2 (P) H HdM Für H = 1 R mi R = (s, ] F s R definiere Für H = 1 R mi R = {} F R definiere Seze dies linear nach E for: I(H) = HdM = 1 Fs (M M s ) I(H) = HdM = Definiion. Für H = n i=1 α i 1 Ri mi paarweise disjunken R 1,..., R n R und α 1,..., α n R definiere I(H) = HdM = n i=1 α i 1 Ri dm Eine wichige Eigenschaf is die Isomerieeigenschaf, das heiß, die Abbildung I veränder keine Absände. 37

Saz 2.14 (Isomerieeigenschaf für H E). Die Abbildung is eine Isomerie, das heiß I E L 2 (µ M ) L 2 (P) H L2 (µ M ) = I(H) L2 (P) bzw. für alle H E. H 2 dµ M = EI(H) 2 Beweis. Für H E gib es eine Darsellung H = n i=1 α i 1 Ri mi α 1,.., α n R und paarweise disjunken R 1,..., R n R mi R = {} F, R i = (s i, i ] F si für i = 1,..., n. Also is n I(H) 2 = ( = i=1 n i=1 2 α1 Fsi (M i M si )) αi 2 1 Fsi (M i M si ) 2 + α i α k 1 Fsi 1 Fsk (M i M si )(M k M sk ) i k Die gemischen Terme verschwinden im Erwarungswer, denn aus folg enweder R i R k = F si F sk = oder (s i, i ] (s k, k ] = Is F si F sk = 1 Fsi 1 Fsk = 1 Fsi F sk =. Is (s i, i ] (s k, k ] =, so sei oeda i s k. Dann gil E1 Fsi 1 Fsk (M i M si )(M k M sk ) = EE [1 Fsi 1 Fsk (M i M si )(M k M sk ) F sk ] Also folg: I(H) L2 (P) = EI(H) 2 = E1 Fsi 1 Fsk (M i M si ) E [(M k M sk ) F sk ] = =, da M Maringal n = E αi 2 1 Fsi (M i M si ) 2 i=1 38

n = αi 2 µ M (1 (si, i ] F si ) = i=1 n i=1 α 2 i µ M (R i ) n 2 = ( α i 1 Ri ) dµ M i=1 = H 2 dµ M = H L2 (µ M ) Beispiel. Sei M ein L 2 -Maringal mi cadlag Pfaden und M = P-fas sicher. Dann gil: (i) Für jede beschränke Soppzei τ gil µ M ((, τ]) = EM 2 τ (ii) Für jede Soppzei τ mi µ M ((, τ]) < is der gesoppe Prozess M τ ein H 2 Maringal und dami gil µ M ((, τ]) = EM 2 τ Beweis. zu (i): Es gil: zu (ii): Es gil: Also is auch µ M ((, τ]) = 1 2 (,τ] dµ M 2 Isomerie = E ( 1 (,τ] dm) = E(M τ M ) 2 = EM 2 τ E(M τ ) 2 = EM 2 τ = µ M ((, τ ]) µ M ((, τ]) < sup E(M τ ) 2 < was M τ H 2 bedeue. Es bleib zu zeigen: µ M ((, τ]) = EM 2 τ Da M τ H 2 is, gil mi dem Maringalkonvergenzsaz (Saz 1.5): EM 2 τ = E(M τ ) 2 = lim E(M τ ) 2 = lim EM 2 τ 39

Für > is µ M ((, τ ]) <, also Da folg die Behaupung. µ((, τ ]) (i) = E(M 2 τ ) µ M ((, τ ]) µ M ((, τ]) Beispiel. Sei M ein L 2 Maringal mi cadlag Pfaden und sei τ eine beliebige Soppzei. Dann is das Doléans-Maß des gesoppen Maringals M τ gegeben durch für alle A P µ M τ (A) = A 1 (,τ]dµm = µ M (A (, τ]) Beweis. µ M τ ( ) und µ M ( (, τ]) definieren σ-endliche Maße auf P. Da E ein -sabiler Erzeuger von P is, reich es, die Behaupung für R = 1 (s,] Fs zu zeigen: Es gil und Das heiß Zusammengesez ergib das µ M τ (R) = E1 Fs (M τ M τ s ) 2 = E1 Fs 1 {τ>s} (M τ M τ s ) 2 2 siehe = E ( 1 Fs 1 {τ>s} 1 (s τ, τ] dm) Beispiel 2.16 (s, ] F s (, τ] = (s, ] F s (, τ ] 1 (s,] Fs 1 (,τ ] = 1 Fs 1 (s τ, τ] = 1 Fs 1 {τ>s} 1 (s τ, τ] µ M ((s, ] F s (, τ]) = 1 Fs 1 {τ>s} 1 (s τ, τ] dµ M = 1 2 F s 1 2 {τ>s} 12 (s τ, τ] dµ M 2 Isomerie = E ( 1 Fs 1 {τ>s} 1 (s τ, τ] dm) = µ M τ (R) Das sochasische Inegral für H L 2 (µ M ) Durch ein Approximaionsargumen kann das sochasische Inegral von den elemenar previsiblen Prozessen auf die quadraisch inegrierbaren previsiblen Prozesse forgesez werden. Wichig is dabei der folgende Approximaionssaz: 4

Saz 2.15. Zu H L 2 (µ M ) exisier eine Folge von elemenaren pevisiblen Prozessen (H (n) ) n N, so dass H (n) H L2 (µ M ) Dies bedeue, dass E dich lieg in L 2 (µ M ). Beweis. Der Beweis folg durch Sandardargumene der Inegraionsheorie. Dies is der Grund, weshalb eine Isomerie von E zu einer Isomerie auf dem Abschluss E = L 2 (µ M ) forgesez werden kann, denn: Zu H E berache (H (n) ) n N in E mi H (n) H L2 (µ M ) Dann is (H (n) ) n N eine Cauchy-Folge in E und da I eine Isomerie is, is auch (I(H (n) ) n N eine Cauchy-Folge in L 2 (P). Denn Cauchy-Folge heiß I(H (n) ) I(H (m) ) L2 (P) = I(H (n) H (m) ) L2 (P) = H (n) H (m) L2 (µ M ) Da L 2 (P) vollsändig is, exisier ein U L 2 (P) mi also U = L 2 lim I(H (n) ). U I(H (n) ) L2 (P) n,m Definiion. Das eben definiere U wird als Bild von H uner I definier, d.h.: I(H) = U = L 2 lim n I(H (n) ) Dami is das sochasische Inegral I für quadraisch inegrierbare Prozesse H L 2 (µ M ) definier. Saz (Isomerieeigenschaf für H L 2 (µ M )). Man erhäl so eine lineare Isomerie I L 2 (µ M ) L 2 (P) H I(H) Das heiß, es gil: (i) (Lineariä) H 1, H 2 L 2 (µ M ) I(H 1 + H 2 ) = I(H 1 ) + I(H 2 ) H L 2 (µ M ), λ R I(λH) = λi(h) (ii) (Isomerie) I(H) L2 (P) = H L2 (µ M ) 41

Beweis. (i) Sei H (n) 1 H 1, H (n) 2 H 2. Dann is auch H (n) 1 + H (n) 2 H 1 + H 2. Dami gil I(H 1 + H 2 ) = L 2 lim I(H (n) 1 + H (n) 2 ) = L 2 lim(i(h (n) 1 ) + I(H (n) 2 )) = L 2 lim I(H (n) 1 ) + L 2 lim I(H (n) 2 ) = I(H 1 ) + I(H 2 ) Für λ R is λh (n) λh in L 2 (µ M ). Dann gil: I(λH) = L 2 lim I(λH (n) ) = L 2 lim λi(h (n) ) = λl 2 lim I(H (n) ) = λi(h) (ii) Aus H (n) H L2 (µ M ) folg, dass H (n) L2 (µ M ) H L2 (µ M ). Also folg einerseis I(H (n) ) L2 (P) = H (n) L2 (µ M ) H L2 (µ M ) Andererseis gil wegen auch Zusammen gil dami I(H (n) ) I(H) L2 (P) I(H (n) ) L2 (P) I(H) L2 (P) I(H) L2 (P) = H L2 (µ M ) Beispiel 2.16. Sukzessive soll das sochasische Inegral für elemenare Handelssraegien berechne werden. Ziel: Es soll gelen: Y 1 (σ,τ] dm = Y (M τ M σ ) = Y 1 (σ,τ] dm falls Y eine beschränke F σ -messbare Abbildung is. 1. Schri: Seien σ, τ Soppzeien mi endlich vielen Weren und σ τ. Behaupung: Für alle F F σ gil: 1 F 1 (σ,τ] dm = 1 F (M τ M σ ) 42

Beweis. Das sochasische Inervall (σ, τ] is eine disjunke Vereinigung von previsiblen Rechecken: (σ, τ] = n ( i 1, i ] {σ i 1, τ i } i=1 wobei σ, τ nur Were in annehmen kann, denn: Sei F i = {ω σ(ω) i 1, i τ(ω)} F i 1 Dann is = < 1 < 2 <... < n 1 < n (σ, τ] = {(, ω) σ(ω) < τ(ω)} = n {(, ω) ( i 1, ], σ(ω) i 1, τ(ω) i } i=1 =( i 1, i ] F i prev. Rechecke ( ) = n ( i 1, i ] F i i=1 zu ( ): : (, ω) N i σ(ω) i 1 < i τ(ω) Also σ(ω) < τ(ω) (, ω) (σ, τ] : (, ω) (σ, τ] i {1,..., n} ( i 1, i ) und σ < τ. i {1,..., n} ( i 1, i ) und σ(ω) i 1, τ(ω) i 1 (, ω) N i Dami gil dann weier: 1 (σ,τ] 1 F dm = n i=1 n n i n = N i 1 F 1 {σ i 1, i τ}(m i M i 1 ) = 1 F 1 {σ=k,τ= j }(M i M i 1 ) i=1 j=i k= n j 1 j j=1 k= i=k+1 = Teleskop- = summe = n j 1 1 F 1 {σ=k,τ= j }(M i M i 1 ) 1 F 1 {σ=k,τ= j }(M j M k ) j=1 k= n j=1 1 F 1 {τ=j }(M j M σ ) = 1 F (M τ M σ ) 43

2. Schri: Seien σ τ Soppzeien mi endlich vielen Weren und Y eine F σ -messbare 18.11.15 Abbildung mi endlich vielen Weren, d.h. Y = n k=1 y k 1 Fk Behaupung: Es gil: Y 1 (σ,τ] dm = Y (M τ M σ ) Beweis. Dies folg durch Lineariä: Y 1 (σ,τ] dm = I(Y 1 (σ,τ] ) n = I (( y k 1 Fk )1 (σ,τ] ) k=1 n = I ( y k 1 Fk 1 (σ,τ] ) = 1. Schri = k=1 n k=1 n k=1 y k I(1 Fk 1 (σ,τ] ) = Y (M τ M σ ) y k 1 Fk (M τ M σ ) 3. Schri: Seien σ τ beschränke Soppzeien, d.h. T > σ τ T. Sei Y eine F σ -messbare Abbildung mi endlich vielen Weren. Behaupung: Es gil: Y 1 (σ,τ] dm = Y (M τ M σ ) Beweis. Approximiere σ und τ durch Soppzeien mi endlich vielen Weren: σ n (ω) = inf k τ n (ω) = inf k { k 2 n k 2 n σ(ω)} { k 2 n k 2 n τ(ω)} Dann is (Y 1 (σn,τ n]) n N eine Folge in L 2 (µ M ), die Y 1 (σ,τ] in L 2 (µ M ) approximier, d.h. Y 1 (σn,τ n] Y 1 (σ,τ] L2 (µ M ) Denn der Unerschied zwischen (σ n, τ n ] und (σ, τ] is gerade (σ, σ n ] und (τ, τ n ]: (Y 1 (σn,τ n] Y 1 (σ,τ] ) 2 dµ M = Y 2 (1 (σn,τ n] 1 (σ,τ] ) dµ M 44