Hans Walser, [20150318] Brennpunkte der Ellipse 1 Worum geht es? Eine Ellipse sei durh fünf Punkte,...,P 5 gegeben (Abb. 1). P5 P 4 P 3 Abb. 1: Eine Ellipse durh fünf Punkte Gesuht sind die Brennpunkte der Ellipse. Gibt es ein Verfahren ohne Rehnen? Bemerkung 1: durh fünf Punkte kann auh eine Hyperbel oder eine Parabel gegeben sein. Wir konzentrieren uns zunähst auf den Fall der Ellipse. Wie es bei Hyperbeln oder Parabeln geht, weiß ih niht. Bemerkung 2: In den Abbildungen ist jeweils die Ellipse magenta eingezeihnet. Dies hat aber rein dekorative Bedeutung. Die Ellipse wird für die Konstruktionen niht verwendet. Bemerkung 3: Im Folgenden wird das Konstruktionsverfahren beshrieben. Die Beweise überlassen wir dem der Lust hat.
Hans Walser: Brennpunkte der Ellipse 2 / 8 2 Pappos-Pasal Gemäß dem Satz von Pappos-Pasal kann zu den fünf gegebenen Punkten auf beliebig viele Arten ein sehster Ellipsenpunkt konstruiert werden. Das geht so (Abb. 2). Q 1 P5 P 4 q Q 3 P 6 Q 2 P 3 Abb. 2: Sehster Punkt Q 1 sei der Shnittpunkt der Geraden und P 4 P 5. Durh Q 1 legen wir eine beliebige Gerade q (hier haben wir einen Freiheitsgrad). Q 2 sei der Shnittpunkt von P 3 mit q. Q 3 sei der Shnittpunkt von P 3 P 4 mit q. Die Geraden P 5 Q 2 und Q 3 shneiden sih in einem Punkt P 6, und dies ist ein weiterer Ellipsenpunkt. In unserer Konstruktion war die Gerade q beliebig durh Q 1 gewählt worden. 3 odifikation Die Abbildung 3 zeigt eine odifikation. P P5 4 Q 1 P 6 q Q 2 Q 3 P 3 Abb. 3: odifikation Wir wählen durh eine beliebige Gerade (in Abb. 3 blau gezeihnet). Q 3 sei nun der Shnittpunkt dieser blauen Geraden mit P 3 P 4. Weiter sei Q 2 der Shnittpunkt von P 3 mit Q 1 Q 3. Der Shnittpunkt P 6 von (das ist die blaue Gerade) Q 3 mit P 5 Q 2 ist nun der sehste Ellipsenpunkt.
Hans Walser: Brennpunkte der Ellipse 3 / 8 Wir können also zu einem der fünf Startpunkte in beliebiger Rihtung einen sehsten Ellipsenpunkt finden. 4 Eine Ahse Wir zeihnen durh und zwei parallele Geraden und darauf je einen weiteren Ellipsenpunkt P 6 beziehungsweise P 7 (Abb. 4, die Detailkonstruktionen sind niht angegeben). und 2 seien die ittelpunkte der Streken P 6 respektive P 7. Die Gerade 2 ist eine Ahse der Ellipse, das heißt, eine Gerade, welhe durh den ittelpunkt der Ellipse verläuft. Hintergrund: affines Bild eines Kreises. P 6 P7 2 5 ittelpunkt der Ellipse Abb. 4: Ahse Wir konstruieren nun noh eine zweite Ahse (Abb. 5). Der Shnittpunkt der beiden Ahsen ist der ittelpunkt der Ellipse. Abb. 5: ittelpunkt
Hans Walser: Brennpunkte der Ellipse 4 / 8 6 Konjugierte Durhmesserrihtungen Durh den ittelpunkt legen wir eine Parallele zu den Rihtungen, welhe wir bei der Konstruktion der ersten Ahse verwendet haben (Abb. 6). Diese Parallele und die erste Ahse haben konjugierte Durhmesserrihtungen. Abb. 6: Konjugierte Durhmesserrihtungen Leider haben wir nur die Rihtungen der konjugierten Durhmesser und niht die Durhmesser selbst. Wir sind also noh niht über dem Berg. 7 Durhmesser Um die Endpunkte der konjugierten Durhmesser zu finden, verfahren wir wie folgt. Wir starten mit der Konfiguration mit der Ahse der Abbildung 7, welhe auf der Abbildungen 4 und 6 basiert. 2 Abb. 7: Ausgangslage
Hans Walser: Brennpunkte der Ellipse 5 / 8 Es sei Q der Shnittpunkt der Ahse mit der Geraden. Zur Streke Q zeihnen wir den Thaleskreis (Abb. 8). Q 2 Abb. 8: Thaleskreis Weiter sei nun N der ittelpunkt der Streke 2 und R der Shnittpunkt des Lotes in N auf mit dem Thaleskreis (Abb. 9). Q R N 2 Abb. 9: Shnittpunkt mit Lot
Hans Walser: Brennpunkte der Ellipse 6 / 8 In errihten wir ebenfalls das Lot auf und shneiden dieses mit der Geraden QR. Das gibt den Shnittpunkt S (Abb. 10). Q S R N 2 Abb. 10: Shnittpunkt Die beiden Shnittpunkte C 1 und C 2 des Kreises um durh S mit der Ahse sind Ellipsenpunkte und daher die Endpunkte des Ellipsendurhmessers auf der Ahse (Abb. 11). Q S R C 1 N 2 C 2 Abb. 11: Ellipsendurhmesser
Hans Walser: Brennpunkte der Ellipse 7 / 8 8 Konjugierte Durhmesser Wir ergänzen nun gemäß Abbildung 12. d C 1 N 1 2 N 2 C 2 Abb. 12: Ergänzung Damit können wir analog die Länge des konjugierten Durhmessers bestimmen (Abb.13). D 1 C 1 C 2 D 2 Abb. 13: Konjugierte Durhmesser
Hans Walser: Brennpunkte der Ellipse 8 / 8 9 Halbahsen Nun können wir mit dem Verfahren von Rytz die Halbahsen konstruieren (Abb. 14). 10 Brennpunkte Abb. 14: Halbahsen Damit finden wir shließlih die Brennpunkte F 1 und F 2 (Abb. 15). F 2 F 1 Abb. 15: Brennpunkte