WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Kapitel IV Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke 2
Was sind Graphen? Allgemeine Bedeutung: Eine graphische Darstellung von numerischen Daten in einem Koordinatensystem. i.d.r. der Graph (G f A B) einer Funktion f wobei G f = {(x,f(x)): x A)} Technische Bedeutung in der Diskreten Mathematik: Eine spezielle Klasse von diskreten Strukturen, die hilfreich zur Darstellung von Relationen ist. 3
Was sind Graphen? Strukturen gebildet aus einer endlichen Anzahl von Knoten, die durch Kanten verbunden sein können. 4
Anwendung von Graphen 5 Viele reale Probleme lassen sich durch Graphen darstellen und somit auf Graphentheoretische Fragestellungen zurückführen Georg Cantor, 1867: In der Mathematik ist die Kunst des Fragestellens öfter gebräuchlich als die des Lösens! Verkehrswege zwischen Städten kürzeste Wege Transportwege mit Kapazitäten maximale Flüsse Zugmöglichkeiten in Spielen Gewinnstrategien
Anwendung von Graphen 6 In der Graphentheorie interessieren uns ausschließlich die Beziehungen zwischen den Knoten (deren Topologie). Topologie (topos Ort, Platz, logos Lehre, Wissen) Die Lehre von den Eigenschaften von Räumen, die bei Abbildungen, die die Lagebeziehungen zwischen den Elementen des Raumes erhalten, unverändert bleiben (Verzerrungen, die nicht zum Zerreißen führen).
Einschub Topologie Beispiel U-Bahn Karte 7
Einschub Topologie A Topologist is someone who can't tell the difference between a doughnut and a coffee cup. Eine Kaffeetasse und ein Donut haben die gleiche Topologie. http://en.wikipedia.org/wiki/topology 8
Einschub Topologie In der (mengentheoretischen) Topologie untersucht man für jedes Element die Teilmengen, die man als die Umgebungen dieses Elements definiert hat. Hierbei spielt der Abstand der Elemente keine Rolle, ganz generell interessieren hierbei metrische Eigenschaften (wie Streckenlängen, Winkellängen, Krümmungen) in der Regel nicht. 9
Einschub Topologie Zwei topologisch äquivalente Graphen 10
Einschub Topologie Topologische Grundbegriffe: auf dem Rand, innen, außen, sich schneidend, geschlossen keine topologischen Grundbegriffe: eckig, rund, links, rechts, oben, unten, da sie z.b. bei Achsenspiegelungen nicht unverändert bleiben. 11
Anwendung von Graphen 12 In der Graphentheorie interessiert uns: Welcher Knoten ist mit welchen anderen verbunden. Komme ich über gegebene Verbindungen von einem Knoten zu einem anderen. Wieviele Verbindungen muss ich überqueren, um von einem Knoten zu einem anderen zu kommen. Welches ist der kürzeste Weg, um von einem Knoten zu einem anderen zu gelangen. Gibt es einen Weg der alle Knoten/Kanten genau einmal besucht.
Anwendung von Graphen Königsberger Brückenproblem: Kann man einen Spaziergang durch Königsberg machen und dabei über jede Brücke genau einmal gehen und nach dem Spaziergang wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren? 13
Anwendung von Graphen Königsberger Brückenproblem vom Problem zum Graph und dem graphentheoretischen Problem. 14
Anwendung von Graphen Das Haus vom Nikolaus: Entscheide, ob man das Haus zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu ziehen. 15
Anwendung von Graphen Städtetour: Entscheide, ob man beginnend in einem Knoten (einer Stadt) alle Städte genau einmal bereisen kann und wieder in der ersten Stadt ankommt. 16
Definition: Ein Graph G ist eine Tupel (V,E), wobei V eine (endliche) nicht-leere Menge von Knoten (vertices) ist, und E eine Menge von Paaren {u,v}, u v ist. Die Elemente der Menge E bezeichnet man als Kanten (edges). 17 Graphische Repräsentation eines Graphen
Einige spezielle Graphen Graphen dürfen in manchen Fällen auch Mehrfachkanten und Schleifen haben. Parallele Kanten Schleifen 18
Definition: Eine Schleife (oder Schlinge) ist eine Kante der Form {u, u}. u 19
Definition: Ist E eine Multimenge (d. h. Kanten treten mit Vielfachheit auf), dann sind die Kanten mit Vielfachheit 2 oder größer Mehrfachkanten. Ein Graph, der Mehrfachkanten enthält, heißt auch Multigraph. v 20 u
Einige spezielle Graphen Ein Graph heißt einfach, falls er keine Schlingen oder Mehrfachkanten enthält. Einfache ungerichtete Graphen korrespondieren zu symmetrischen, irreflexiven binären Relationen R. 21
Vollständige Graphen In vollständigen Graphen K n sind alle n Knoten miteinander verbunden. K1 K2 K3 K4 K5 K6 Frage: Wieviele Kanten gibt es in einem vollständigen Graphen mit n Knoten. 22
Vollständige Graphen K1 K2 K3 K4 K5 K6 23 Für die Anzahl der Kanten in einem vollständigen Graphen mit n Knoten (und damit für die maximale Anzahl von Kanten in einem einfachen Graphen) gilt: E n 2 nn ( 1) 2
Kreise In Kreisen C n sind alle n (n 3) Knoten zyklisch miteinander verbunden. C3 C4 C5 C6 C7 C8 24
Gittergraphen Definition: Ein Graph G = (V,E) heißt ein m-n-gitter (zweidimensionales Gitter mit den Seitenlängen m und n, M m,n ), falls V = {1,,m} {1,,n} und i, j, k, l E i k j l 1 Kante zwischen Knoten ( i, j) und Knoten ( k, l) 25
Gittergraphen Beispiele: 26
(Binärer) Hyperwürfel 27 Definition: Ein Graph G = (V,E) heißt n-dimensionaler binärer Hyperwürfel (Q n ), falls V = V n = {0, 1} n mit E = {{v,w} V n2 : Hamming-Abstand(v,w) = 1}. Hamming-Distanz: Maß für die Unterschiedlichkeit von Zeichenketten - an wie vielen Stellen unterscheiden sich zwei Zeichenketten.
(Binäre) Hyperwürfel 28
Q 4 : 4-dimensionaler Hyperwürfel 29
Q 8 : 8-dimensionaler Hyperwürfel 30
Hyperwürfel Für die Anzahl der Knoten in Q n gilt: V = 2 n Für die Anzahl der Kanten in Q n gilt: n 2 E n n 2 2 n 1 31
Bipartite Graphen Definition: Ein Graph G = (V,E) heißt bipartit, genau dann wenn V = V 1 V 2 und V 1 V 2 = und e E: v 1 V 1, v 2 V 2 : e = {v 1,v 2 }. 32 D.h. der Graph kann in zwei Teile zerlegt werden, so dass alle Kanten zwischen diesen Teilen verlaufen.
Bipartite Graphen Beispiele: Kreis C8 V1 V2 33
Bipartite Graphen werden auch in der Form G = (V 1, V 2, E) geschrieben. Definition: Ein bipartiter Graph G = (V 1, V 2, E) heißt vollständig, falls E = {{u,v}: u V 1 v V 2 }. (Notation: K m,n mit m = V 1, n = V 2 ) 34
Wege, Pfade, Kreise 35 Ein Weg der Länge k in einem Graphen G = (V,E) ist eine nichtleere Folge w = (v 0,,v k ) von Knoten aus V, so dass {v i,v i+1 } E für alle i = 0,,k-1. (Beachte: (v_0) ist ein Weg der Länge 0.) Ein Pfad in G ist ein Weg in G, in dem alle Knoten paarweise verschieden sind. Ein Kreis der Länge k (k 3) in G ist ein Weg w = (v 0,,v k ) in dem v 0,, v k-1 paarweise verschieden sind und v 0 = v k.
Pfade Definition: Der Graph P n ist der Graph (V,E) mit V = {v 1,,v n } und E = {v i, v i+1 }; i = 1,,n 1. 36
Wege und Pfade Beispiel: Ein Weg der Länge 7, der aber kein Pfad ist. 37
Teilgraphen Ein Graph H = (V H,E H ) heißt Teilgraph eines Graphen G = (V G,E G ), falls V H V G und E H E G. Gilt E H = E G M = {{u,v}: u V H v V H }, so nennt man H einen induzierten Teilgraphen von G und schreibt H = G[V H ]. 38
Induzierte Teilgraphen 39 G1 ist Teilgraph von G, aber nicht induziert; G2 ist der von {1, 2, 4, 5, 7} induzierte Teilgraph; G3 ist nicht Teilgraph von G.
Induzierte Teilgraphen Sei V V. Dann bezeichnet G \ V den durch V \ V induzierten Teilgraphen von G. Beispiel: G 4 = G \ {2, 3, 4, 7} 40
Induzierte Teilgraphen 41 Zur Konstruktion von induzierten Teilgraphen dürfen nur Kanten in Kombination mit den dazugehörigen Knoten entfernt werden.
Nachbarschaft und Grad 42 Definition: Für einen Knoten v V eines Graphen G = (V,E) definiert man die Nachbarschaft (v) durch (v) := {u V: {v,u} E} Der Grad (degree) von v bezeichnet die Anzahl von Nachbarn von v: deg(v) := (v). Wenn v V gilt: deg(v) = k, dann ist G k-regulär.
Wenn G = (V,E) ist, dann heißen u und v adjazent, wenn {u,v} E, heißen u und v Endknoten der Kante {u,v} E, heißen u V und e E inzident, wenn u Endknoten der Kante e ist, ist u V erreichbar von v V, falls es einen Pfad P mit Anfangsknoten v und Endknoten u gibt. 43
Wenn G = (V,E) ist, dann ist Erreichbarkeit eine Äquivalenzrelation auf V, nennen wir die auf den einzelnen Äquivalenzklassen induzierten Untergraphen die (zusammenhängenden) Komponenten von G, heißt G zusammenhängend, wenn er nur eine Komponente hat. 44
Darstellung von Graphen Neben der bisherigen Darstellung können Graphen in Form von Adjazenzmatrizen und Inzidenzmatrizen dargestellt werden. Bei Nummerierung der Ecken (u 1,,u n ) und Kanten (e 1,,e m ) ist die Adjazenzmatrix die n x n-matrix A mit Einträgen a ij 1 falls u u 0 sonst. i j K 45
Darstellung von Graphen Neben der bisherigen Darstellung können Graphen in Form von Adjazenzmatrizen und Inzidenzmatrizen dargestellt werden. 46
Darstellung von Graphen Neben der bisherigen Darstellung können Graphen in Form von Adjazenzmatrizen und Inzidenzmatrizen dargestellt werden. Bei Nummerierung der Ecken (u 1,,u n ) und Kanten (e 1,,e m ) ist die Inzidenzmatrix die n x m-matrix B mit Einträgen b ij 1 falls u 0 sonst. i k j 47
Darstellung von Graphen 48
Darstellung von Graphen 49
Isomorphe (strukturgleiche) Graphen Zwei Graphen G(V,E) und G (V,E ) heißen isomorph (in Zeichen G G ), falls gilt: (Bijektion : V V ): {u,v} E { (u), (v)} E. Die Abbildung Knotenmenge V ist dann eine Permutation der
Isomorphe (strukturgleiche) Graphen 3 d 4 2 e c 0 1 Die Abbildung ist: 0 1 2 3 4 a b c d e Die Graphen sind offensichtlich isomorph. a b
Isomorphe (strukturgleiche) Graphen 3 4 2 e c d 0 1 Unter der Abbildung 0 1 2 3 4 a e d b a c wird jede Kante {u,v} E auf eine Kante { (u), (v)} E abgebildet. Die Graphen sind also isomorph. b
Isomorphe Graphen Sind die beiden folg. Graphen isomorph? Beachte die Gradfolgen (aufsteigend geordnete Folge der Knotengrade) der beiden Graphen. 53
Zusammenhängende Graphen Definition: 54 Ein Graph G = (V,E) heißt zusammenhängend, wenn für jedes Paar von Knoten u,v V ein Pfad von u nach v in G existiert. Ansonsten heißt der Graph unzusammenhängend. Die Relation R G µ V V mit u R G v gdw. es einen Pfad von u nach v gibt ist eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen von R G heissen Zusammenhangskomponenten.
Zusammenhangskomponenten eines Graphen Lässt sich die Knotenmenge V eines Graphen G(V,E) darstellen als 55 V k i so dass zwei Knoten u,v genau dann über einen Pfad verbunden sind, wenn u,v V i, dann sind die Teilgraphen G[V i ] die Zusammenhangskomponenten des Graphs. 1 V i
Zusammenhangskomponenten eines Graphen Beispiel: Ein Graph bestehend aus drei Zusammenhangskomponenten 56
Frage: Gibt es eine Beziehung zwischen den Graden der Knoten und der Anzahl von Kanten in einem Graph? 57
Frage: Gibt es eine Beziehung zwischen den Graden der Knoten und der Anzahl von Kanten in einem Graph? Antwort: Satz (Handshaking Theorem): Für jeden Graphen G = (V,E) gilt: 58 v V deg( v) 2 E.
Beweis des Handshaking Theorems: Wir verwenden das Prinzip der doppelten Abzählung. Auf der linken Seite der Gleichung wird jede Kante zweimal gezählt, nämlich für die beiden Endknoten der Kante. Auf der rechten Seite wird jede Kante auch zweimal gezählt. 59
Frage: Angenommen es wären n Leute auf einem Empfang, von denen sich im Verlauf des Empfangs einige die Hand geben, andere nicht. Können wir etwas über die Anzahl von Leuten sagen, die einer ungeraden Anzahl von Leuten die Hand geben? 60
Antwort: Wir repräsentieren Händeschütteln durch einen Graphen G(V,E), wobei die Knoten v V des Graphen die Leute repräsentieren, und eine Kante e E zwischen zwei Knoten bedeutet, dass sich die korrespondierenden Leute die Hand geben. 61
Antwort: Es gilt: V = V g V u wobei V g und V u die Knoten mit geradem bzw. ungeradem Grad sind. 62
Antwort: Es gilt: V = V g V u wobei V g und V u die Knoten mit geradem bzw. ungeradem Grad sind. Also ist: deg( v) deg( v) deg( v) 2 E v V v V v V g u 63
Antwort: 64 Da deg( v) deg( v) deg( v) 2 E v V v V v V muss der zweite Summand gerade sein. Die Summe von k ungerade Zahlen ist aber nur gerade, wenn k gerade ist, woraus das Korollar folgt: Für jeden Graphen G = (V,E) ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. g u
Graphkomponenten Satz: Jeder Graph G = (V,E) enthält mindestens V - E viele Zusammenhangskomponenten. Beweis: Durch Induktion über m= E. Basis: m=0. Dann gibt es V = V -m Komponenten. Schritt: m>0. Wir nehmen eine Kante e weg. Der resultierende Graph G hat mindestens V - (m-1) Komponenten (Induktionsannahme). Wir fügen nun e erneut zu G hinzu. Das reduziert die Anzahl der Komponenten um höchstens 1. Der Graph G hat also mindestens V - (m-1) -1 = V -m Komponenten. 65
Graphkomponenten Satz: Für jeden zusammenhängenden Graph G = (V,E) gilt: E V - 1. Beweis: Da ein zusammenhängender Graph aus genau einer Komponente besteht, folgt aus dem vorherigen Satz, dass V - E 1. 66
Bisher haben wir ausschließlich ungerichtete Graphen besprochen, d.h. die Kantenmenge besteht aus ungeordneten Paaren {u, v}. Ein Graph heißt ein gerichteter Graph, falls E eine Menge von geordneten 2-Tupeln (u, v) ist, d.h. E V V. 67
Gerichtete Graphen Definition: d (v) ist der Aus-Grad von v, d. h. die Anzahl der Kanten mit Anfangsknoten v. d + (v) ist der In-Grad von v, d. h. die Anzahl der Kanten mit Endknoten v. d(v) = d (v) + d + (v) ist der (Gesamt-)Grad von v. 68
Gerichtete Graphen 69 Definition: d (v) ist der Aus-Grad von v, d. h. die Anzahl der Kanten mit Anfangsknoten v. d + (v) ist der In-Grad von v, d. h. die Anzahl der Kanten mit Endknoten v. d(v) = d (v) + d + (v) ist der (Gesamt-)Grad von v. Es gilt: v V d ( v) d ( v) E v V
Gerichtete Graphen Ein gerichteter Pfad ist eine Folge von verschiedenen Knoten u 1,,u n mit u i u i+1 (d.h. es existiert eine gerichtete Kante von u i nach u i+1 ) für alle i. Ein gerichteter Kreis wird analog definiert. In Graph G, der keinen gerichteten Kreis enthält, heißt azyklisch. 70
Gerichtete Graphen Anwendung Prozessabhängigkeiten: Programm A benötigt Ergebnisse von B und C Programm B benötigt Ergebnisse von D und E Programm C benötigt Ergebnisse von B und D Programm D benötigt keine Ergebnisse Programm E benötigt Ergebnisse von A und C Frage: Funktioniert ein so konstruiertes Programm? 71
Gerichtete Graphen Anwendung Prozessabhängigkeiten Bei Darstellung als Graph erkennen wir einen Zyklus: A wartet auf B B wartet auf E E wartet auf A! 72
Gerichtete Graphen Azyklische gerichtete Graphen G spielen eine zentrale Rolle in Transportproblemen. G enthält immer spezielle Knoten, sog. Quellen, aus denen Kanten nur ausgehen, und sog. Senken, in die Kanten nur eingehen, da jeder azyklische Graph mindestens einen Knoten v mit d + (v) = 0 und mindestens einen Knoten w mit d (w) = 0 besitzt. In Transportproblemen wollen wir möglichst viel von den Quellen zu den Senken transportieren. 73
Beispiel dag (directed acyclic graph) 74