5 Stationäre Prozesse (Version Januar 2012)

5 Statioäre Prozesse (Versio Jauar 2012) 5.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud defiiere, wa eie solche Trasformatio ergodisch bzw. misched heißt. Parallel dazu etwickel wir de Begriff eies statioäre Prozesses ud erarbeite die Beziehug zwische diese Begriffe. Höhepukt des Kapitels ist der Ergodesatz, Satz 5.12. Im gaze Kapitel ist (Ω, F, P) ei fester Wahrscheilichkeitsraum. Defiitio 5.1. Sei (E, E) ei Messraum. Ei (E, E)-wertiger Prozess X = (X ) N heißt statioär, we gilt L((X ) N ) = L((X +1 ) N ). Bemerkug: Iduktiv folgt da für jedes k N L((X ) N ) = L((X +k ) N ). Bemerkug: Ei (E, E)-wertiger Prozess X ist statioär, geau da we für jedes k N gilt. L((X 1, X 2,..., X k )) = L((X 2, X 3,..., X k+1 )) Bemerkug: Statt N wird oft auch N 0 als Idexmege eies statioäre Prozesses verwedet. Warug: Ma beachte, dass es i obiger Defiitio keieswegs geügt, dass L(X ) = L(X +1 ) für alle N gilt: Sid zum Beispiel Y 1, Y 2,... uabhägig N (0, 1)-verteilt ud X 1 = X 2 = Y 2 ud X k := Y k für k 3, da gilt L(X ) = L(X +1 ) = N (0, 1) für alle N, aber der Prozess (X ) N ist icht statioär, da zum Beispiel L(X 1, X 2 ) L(X 2, X 3 )! Beispiel: Jede Folge vo u.i.v. Zufallsgröße (mit Werte i eiem beliebige Messraum (E, E)) ist ei statioärer Prozess. Defiitio 5.2. Eie Abbildug T : Ω Ω heißt maßerhaltede Trasformatio auf (Ω, F, P), we T F-F-messbar ist ud PT 1 = P gilt. Bemerkug: Die messbare Abbildug T : Ω Ω ist maßerhalted geau da, we PT 1 (A) = P(A) für alle A aus eiem -stabile Erzeuger vo F gilt. Lemma 5.3. Sei T eie maßerhaltede Trasformatio auf (Ω, F, P) ud Y eie (E, E)- wertige Zufallsgröße auf (Ω, F, P). Da ist X 1 := Y, X 2 := X 1 T, X 3 := X 2 T,... statioär. 1

Beweis. Für N ud A 1,..., A E gilt P{X 1 A 1,...X A } = PT 1 {X 1 A 1,...X A } = P{X 1 T A 1,..., X T A } = P{X 2 A 1,..., X +1 A }. Da {A 1... A Ω...; N, A 1,..., A E} ei -stabiler Erzeuger vo E N ist, folgt die Behauptug. Es stellt sich die Frage ach eier Umkehrug vo Lemma 5.3. Nu ka ma sehr leicht sehe, dass es zu eiem gegebee statioäre Prozess X = (X ) N auf eiem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P) im allgemeie keie maßerhaltede Trasformatio T auf (Ω, F, P) ud Zufallsgröße Y gibt, so dass X 1 = Y, X 2 := X 1 T, X 3 := X 2 T,... gilt (siehe das Beispiel weiter ute). Es gilt aber folgedes: X : (Ω, F, P) (E N, E N ) ist messbar. Sei ˆP = PX 1 die Verteilug vo X ud T : E N E N der Liksshift defiiert als T ((x 1, x 2,...)) = (x 2, x 3,...). Da ist T maßerhalted auf (E N, E N, ˆP) (wie ma sehr leicht überprüft). Daher ist der kaoische Prozess ˆX auf (E N, E N, ˆP), defiiert durch ˆX (x 1, x 2,...) := x statioär. Es gilt L( ˆX) = L(X) = ˆP ud für Y (x 1, x 2,...) := x 1 gilt ˆX 1 = Y, ˆX2 = Y T 2, ˆX3 = Y T 3,... Beispiel: Sei Ω = {a, b, c}, F = P(Ω) ud P({a}) = 1/2, P({b}) = P({c}) = 1/4. Weiter gelte: X (a) = 1, X (b) = X (c) = 0, falls gerade ist ud X (a) = 0, X (b) = X (c) = 1, falls ugerade ist, also X(a) = (0, 1, 0, 1, 0, 1,...) X(b) = X(c) = (1, 0, 1, 0, 1, 0...). X ist statioär. Es existiert aber keie maßerhaltede Trasformatio T auf (Ω, F, P), so dass X 2 = X 1 T. Ageomme doch, da gilt 1 = X 2 (a) = X 1 (T (a)), dh. T (a) {b, c}. Ageomme es gilt T (a) = b, da gilt 1/4 = P({b}) = PT 1 ({b}) P({a}) 1/2, was icht möglich ist. Dasselbe gilt im Fall T (a) = c. Defiitio 5.4. Sei T eie maßerhaltede Trasformatio auf (Ω, F, P). a) A F heißt T -ivariat, we T 1 (A) = A gilt. b) T heißt ergodisch, we für jede T -ivariate Mege A gilt: P(A) {0, 1}. 2

Bezeichug ud Bemerkug: Ist T eie maßerhaltede Trasformatio auf (Ω, F, P), so wird die Familie aller T -ivariate Mege mit J bezeichet. Ma überprüft uschwer, dass J eie Teil-σ-Algebra vo F ist. Ma et J die ivariate σ-algebra (bezüglich T ). Defiitio 5.5. Eie maßerhaltede Trasformatio T auf (Ω, F, P) heißt misched, we für alle A, B F gilt: lim P(A T B) = P(A) P(B). Propositio 5.6. Jede mischede Trasformatio ist ergodisch. Beweis. Ist A F T -ivariat, so gilt P(A) = P(A A) = P(A T A) P(A) P(A), das heißt P(A) = (P(A)) 2, also P(A) {0, 1}. Lemma 5.7. Sei T eie maßerhaltede Trasformatio auf (Ω, F, P) ud D ei -stabiler Erzeuger vo F. We lim P(A T B) = P(A) P(B) für alle A, B D gilt, da ist T misched. Beweis. 1. Schritt: Für B D sei D B := {A F : P(A T B) P(A) P(B)}. Da überprüft ma sehr leicht, dass D B ei Dykisystem ist. Für B D gilt also D D B F ud mit dem Hauptsatz über Dykisysteme folgt D B = F. 2. Schritt: Für A F sei E A := {B F : P(A T B) P(A) P(B)}. Da überprüft ma ebeso leicht, dass E A ei Dykisystem ist. Nach dem erste Schritt folgt E A D ud daher mit dem Hauptsatz über Dykisysteme E A = F. 5.2 Beispiele Beispiel 5.8. Sei D := {z C : z = 1} der Rad des komplexe Eiheitskreises, B D die Borel-σ- Algebra auf D ud λ D das ormierte Lebesguemaß auf (D, B D ). Weiter sei für c D die Abbildug T c : D D defiiert durch T c (ω) := c ω. Da ist T c maßerhalted ud es gilt: a) T c ist ergodisch geau da we c keie Eiheitswurzel ist. b) T c ist für kei c misched. 3

Beweis. Es ist klar, dass T c für jedes c D maßerhalted ist. a) Sei c D eie Eiheitswurzel. Da existiert ei N mit c = 1. Sei A B D eie beliebige Mege mit der Eigeschaft 0 < λ D (A) < 1 1 ud B := A T c (A)... Tc ( 1) (A). Da ist B B D, Tc 1 (B) = B (da Tc (A) = A) ud 0 < λ D (B) < 1. Also ist J icht trivial ud damit T c icht ergodisch. Sei u c keie Eiheitswurzel. Für die folgede Überlegug ist es ageehmer, D mit [0, 1) zu idetifiziere ud T c mit der Abbildug T c (x) = x + c mod 1 (wobei u c [0, 1) irratioal ist). Statt λ D schreibe wir ur λ für das Lebesguemaß auf [0, 1). Sei also A B [0,1) ivariat uter T c. Da { e 2πikt, k Z} eie ONB des komplexe L 2 ([0, 1), λ) ist ud 1 A L 2 ([0, 1), λ), existiert (i L 2 ) eie Darstellug der Form 1 A (t) = k Z c k e 2πikt, mit k c k 2 <. Da A ivariat ist, folgt 1 A (t) = 1 A (T c (t)) = k Z c k e 2πik(t+c). Da die Darstellug durch eie ONB eideutig ist, folgt für jedes k Z c k = c k e 2πikc, also etweder c k = 0 oder kc Z. Da c ach Voraussetzug irratioal ist, ka kc allefalls für k = 0 gazzahlig sei ud daher gilt c k = 0 für alle k 0. Es folgt also, dass 1 A fast sicher gleich der Kostate c 0 ist (welche otwedigerweise 0 oder 1 ist). Also folgt λ(a) {0, 1} ud damit die Trivialität vo J, d.h. T c ist ergodisch. b) Es geügt, die Behauptug i dem Fall zu zeige, i dem c keie Eiheitswurzel ist. Dazu beachte ma zuerst, dass da die Mege C := {c N 0 } dicht i D liegt, de die Folge hat (da D kompakt ist) midestes eie Häufugspukt ω 0 i D. Sei ε > 0 ud m > 0 so dass c ω 0 < ε ud 2 cm ω 0 < ε. Da gilt mit der Dreiecksugleichug 0 < 2 cm 1 < ε ud damit existiert für jedes ω D ei k N 0, so dass ω c (m )k < ε, d.h. C ist dicht i D. Um zu zeige, dass im Fall, i dem c keie Eiheitswurzel ist, T c icht misched ist, wähle wir die Mege A = B = { e 2πix : 0 x 1 }. Da C dicht i D ist, existiert eie Folge 4 k so dass A T k (A) = ud daher P(A T k(a)) = 0 1 = 16 P(A)2. Beispiel 5.9. Sei (E, E, µ) ei Wahrscheilichkeitsraum. Da ist der Liksshift T : (E N, E N, µ N ) (E N, E N, µ N ) maßerhalted ud misched. Beweis. Es ist klar, dass T maßerhalted ist. Sei A = A 1... A k E... ud B = B 1... B m E... mit A 1,..., B m E. Da gilt für k µ N (A T (B)) = µ(a 1 )...µ(a k )µ(b 1 )...µ(b m ) = µ N (A)µ N (B). Da Mege A ud B der obige Form eie -stabile Erzeuger vo E N bilde, folgt aus Lemma 5.7, dass T misched ist. 4

5.3 Birkhoffscher Ergodesatz Nu wolle wir de Birkhoffsche Ergodesatz formuliere ud beweise. Dafür bedürfe wir des folgede Lemmas. Im gaze Abschitt sei T eie maßerhaltede Trasformatio auf (Ω, F, P) ud J die ivariate σ-algebra. Lemma 5.10. Ist Y L 1 (Ω, F, P) ud E(Y J ) < 0 lim sup Y T j 0 P-f.s., so gilt: P-f.s. Beweis. Erklärt ma 1 M := max{0, Y, Y + Y T, Y + Y T + Y T 2,..., Y T j }, so gilt: 0 M (ω) M +1 (ω). Isbesodere existiert also M(ω) := lim M (ω). Wir zeige, dass M < fast sicher gilt. Nu ist Y + M T = max{y, Y + Y T, Y + Y T + Y T 2,..., Y T j } ud (Y + M T ) + = max{0, Y + M T } = M +1, bzw. für : (Y + M T ) + = M. Wege Y (ω) <, folgt hieraus: d.h. für A := {M = } gilt: M(ω) = (M T )(ω) = M(T (ω)) =, T 1 (A) = {ω T (ω) A} = {M T = } = {M = } = A J. Allgemei gilt für reelle Zahle a, b : (a + b) + = b mi(b, a). Agewadt auf M ergibt dies: M +1 = (Y + M T ) + = M T mi{m T, Y } M, d.h. E(1 A M T ) E(1 A mi{m T, Y }) E(1 A M ). Weil A ivariat ud T maßerhalted ist, gilt: E(1 A M T ) = E(1 T 1 (A) M T ) = E(1 A T M T ) = E(1 A M ), bzw. da der letzte Ausdruck edlich ist E(1 A mi(m T, Y )) 0. Hieraus folgt schließlich mit dem Satz vo der beschräkte Kovergez: E(1 A mi{m T, Y }) 0. }{{} =1 A ( Y ) 5

Mithi gilt E(1 A Y ) 0, woraus sich wege E(Y J ) < 0 P - f.s. sofort P(A) = 0 ergibt, d.h. M < P -f.s. Aus Y T j 1 M 1 M folgt da die Behauptug. Lemma 5.11. Ist Z eie reelle J messbare Zufallsgröße, so gilt: Z T = Z. Beweis. Für jede reelle Zahl a ist Z 1 ({a}) J, d.h. Z 1 ({a}) = T 1 (Z 1 ({a})) = (Z T ) 1 ({a}), also gilt: Z(ω) = a (Z T )(ω) = a, bzw. Z = Z T. Der Birkhoffsche Ergodesatz lautet u wie folgt. Satz 5.12. Falls X L 1 (Ω, F, P) ist, gilt: lim X T j = E(X J ) P-f.s.. Beweis. Für beliebiges ε > 0 ud Y := X E(X J ) ε gilt Y L 1 (Ω, F, P) ud E(Y J ) = ε < 0. Nach Lemma 5.11 ist E(X J ) T j = E(X J ) für alle j, also: bzw. Y T j = X T j E(X J ) ε X T j = E(X J ) + ε + Y T j. Mit Lemma 5.10 folgt hieraus: lim sup X T j E(X J ) + ε. Die gleiche Überlegug mit X L 1 (Ω, F, P) liefert: Isgesamt folgt also: ( lim sup ) X T j E(X J ) + ε ε + E(X J ) lim if X T j lim sup X T j E(X J ) + ε, 6

also lim X T j = E(X J ) P-f.s.. Nu formuliere wir als Folgerug aus dem Birkhoffsche Ergodesatz de Ergodesatz für statioäre Prozesse. Satz 5.13. Sei X = (X 1, X 2,...) ei reellwertiger, statioärer Prozess mit E X 1 < defiiert auf eiem Raum (Ω, F, P). Da gilt 1 X j E(X 1 X 1 (J )) f.s., j=1 wobei J die ivariate σ-algebra des Liksshifts T auf (R N, B N, ˆP) ist, wobei ˆP = PX 1 ist. Beweis. Nach Satz 5.12 gilt für π 1 : R N R, π 1 (x) := x 1 lim π 1 T j (x) = E(π 1 J )(x) ˆP-f.s., da E ˆP π 1 (x) = E X 1 <. Ersetzt ma x durch X(ω), so folgt lim X j+1 (ω) = E(π 1 J )(X(ω)) P-f.s.. Wir müsse also och zeige, dass E(π 1 J )(X(ω)) = E(X 1 X 1 (J ))(ω) P-fast sicher gilt, also (i) E(π 1 J )(X(ω)) ist X 1 (J )-messbar ud (ii) A E(π 1 J )(X(ω)) dp(ω) = A X 1 dp für alle A X 1 (J ). Zu (i): Dies folgt, da Kompositioe messbarer Abbilduge messbar sid. Zu (ii): Stelle A X 1 1 (J ) i der Form A = X (Ã) mit à J dar. Da gilt E(π 1 J )(X(ω)) dp(ω) = E(π 1 J )(x) d ˆP(x) X 1 (Ã) à = π 1 (x) d ˆP(x) = π 1 (X(ω)) dp(ω) = X 1 (ω) dp(ω), à X 1 (Ã) X 1 (Ã) womit die Behauptug gezeigt ist. Als Korollar erhalte wir das starke Gesetz der große Zahle für u.i.v. Zufallsgröße. 7

Korollar 5.14. Seie X 1, X 2,... u.i.v. i L 1 (Ω, F, P). Da folgt lim 1 j=1 X j = EX 1 f.s. Beweis. Sei ˆP die Verteilug vo X = (X 1, X 2,...), d.h. ˆP = L(X 1 ) N. Nach Beispiel 5.9 ist der Liksshift T : (R N, B N, ˆP) (R N, B N, ˆP) ergodisch. Daher ist die zugehörige ivariate σ-algebra J trivial, also auch X 1 (J ), d.h. E(X 1 X 1 (J )) = EX 1 f.s. ud die Behauptug folgt aus Satz 5.13. 5.4 Aweduge des Ergodesatzes Eie Awedug des Ergodesatzes ist die folgede Propositio. Propositio 5.15. Eie maßerhaltede Trasformatio T auf (Ω, F, P) ist ergodisch geau da, we für alle A, B F gilt Beweis. (ach [1], Seite 426) lim P(A T k (B)) = P(A)P(B). k=0 Sei T ergodisch ud A, B F. Da folgt aus dem Ergodesatz 1 A T (B)(ω) = 1 A(ω) k k=0 1 1 B (T k ω) 1 A (ω)e1 B f.s., k=0 ud mit beschräkter Kovergez folgt die Kovergez der Erwartugswerte, d.h. die Behauptug. Sei A J (ud B := A). Da gilt P(A) = lim P(A T k (A)) = P(A) 2, k=0 also folgt P(A) {0, 1}. Also ist T ergodisch. 5.5 Markovkette Sei X 0, X 1, X 2,... eie irreduzible, statioäre Markovkette defiiert auf (Ω, F, P) mit Werte i eier abzählbare Mege E. Auf E wähle wir die Potezmege E als σ-algebra. Weiter sei ˆP die Verteilug der (statioäre) Markovkette auf dem Raum (E N 0, E N 0 ) ud T : E N 0 E N 0 der Liksshift. Da ist T maßerhalted. Weiter gilt der folgede Satz. Satz 5.16. Es gilt 8

a) T ist ergodisch. b) T ist misched geau da we die Markovkette aperiodisch ist. Beweis. a) Sei A E N 0 ivariat, d.h. T 1 (A) = A. Zu zeige ist ˆP(A) {0, 1}. Sei π : E N 0 E die Projektio auf die -te Kompoete ud F := σ(π m, m ) F = F = E N 0, N 0. Für x E sei h(x) := E x (1 A )(= E(1 A π 0 = x) = ˆP(A π 0 = x)), wobei E der Erwartugswert bezüglich ˆP ist. Nu ist E(1 A F ), N 0 ei F-Martigal, welches regulär ist ud daher für fast sicher ud i L 1 gege 1 A kovergiert. Weiter gilt für ω E N 0 ud N 0 E(1 A F )(ω) = E(1 A T F )(ω) = E(1 A T π )(ω) = ˆP(T (A) π = ω ) = ˆP((π, π +1...) A π = ω ), = ˆP(A π 0 = ω ) = h(π (ω)), wobei wir beim zweite ud vorletzte Gleichheitszeiche die Markoveigeschaft beutzte. Da (π ) N0 rekurret ist ud h(π ) fast sicher gege 1 A kovergiert, folgt etweder h 0 oder h 1, also ˆP(A) {0, 1}. b) Wir ehme zuerst a, dass T aperiodisch ist ud bezeiche die Übergagswahrscheilichkeite der Markovkette mit p i,j, i, j E ud die Verteilug vo X 0 mit µ (µ ist die eideutige ivariate Verteilug der Markovkette). Weiter sei { {x D := E N 0 } } : x 0 = v 0,..., x m = v m : m N0, v 0,..., v m E. D ist ei -stabiler Erzeuger vo E N 0. Nu sei A := {x E N 0 : x 0 = v 0,..., x m = v m } ud B := {x E N 0 : x 0 = w 0,..., x k = w k }, wobei v 0,..., v m, w 0,..., w k E. Da gilt für m mit der Markoveigeschaft ˆP(A T (B)) = P({X 0 = v 0,..., X m = v m } {X = w 0,..., X +k = w k }) = P({X = w 0,..., X +k = w k } X m = v m )P(X 0 = v 0,..., X m = v m ). Der zweite Faktor ist gleich P(A) ud der erste ist gleich p ( m) v m,w 0 p w0,w 1...p wk 1,w k. Da die Kette aperiodisch ist, kovergiert p ( m) v m,w 0 ach dem Hauptsatz für Markovkette für gege µ w0 ud damit kovergiert P({X = w 0,..., X +k = w k } X m = v m ) gege P(B). Die Behauptug folgt u aus Lemma 5.7. 9

Wir müsse och die Umkehrug zeige, d.h. zeige, dass eie irreduzible ud statioäre Markovkette, die periodisch ist, icht misched sei ka. Da dies sehr eifach ud gleichzeitig eie gute Übugsaufgabe ist (dere Lösug i [1], Seite 428 steht), verzichte wir auf de Beweis. 5.6 Ergäzuge Oft ist der folgede Begriff ützlich. Defiitio 5.17. Eie maßerhaltede Trasformatio T auf (Ω, F, P) heißt schwach misched, we für alle A, B F gilt: lim P(A T k B) P(A) P(B) = 0. k=0 Offesichtlich ist jede mischede Trasformatio schwach misched. Aus Propositio 5.15 folgt sofort, dass jede schwach mischede Trasformatio ergodisch ist. Das folgede Beispiel zeigt, dass aus ergodisch icht schwach misched folgt. Es gibt Beispiele vo schwach mischede Trasformatioe, die icht misched sid. Beispiel 5.18. Sei Ω = {0, 1} mit der Potezmege als σ-algebra ud der Gleichverteilug P als Wahrscheilichkeitsmaß. Die Abbildug T defiiert durch T (0) = 1, T (1) = 0 ist offesichtlich maßerhalted ud ergodisch aber icht schwach misched, wie ma sieht, we ma A = {0} ud B = {1} wählt. Ei Hauptgrud für die Eiführug des Begriffes schwach misched ist die folgede Aussage, dere Beweis sich i [2] fidet. Satz 5.19. Sei T eie maßerhaltede Trasformatio auf (Ω, F, P) ud T T : (Ω, F, P) (Ω, F, P) defiiert durch T T (ω 1, ω 2 ) := (T (ω 1 ), T (ω 2 )). Da sid äquivalet i) T ist schwach misched ii) T T ist ergodisch iii) T T ist schwach misched. Ma beachte, dass daher aus der Ergodizität vo T icht die Ergodizität vo T T folgt. Sie gilt sogar ie, we T ur ergodisch aber icht schwach misched ist. Ma überzeuge sich davo, dass i obigem Beispiel T T i der Tat icht ergodisch ist! Refereces [1] Kleke, A. (2006). Wahrscheilichkeitstheorie. Spriger, Berli. [2] Walters, P. (1975). Ergodic Theory - Itroductory Lectures. Spriger LNM 458, Berli. 10