Hans Walser, [007067a] Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung Anregung: D. M. und M. P. Problemstellung Wir lösen die Gleichung: x px + q = 0 Die Gleichung ist in einer in den Schulen unüblichen Form gegeben. Diese Form ist aber die eigentlich natürliche. Wir erhalten für die Lösungen: x = p + p q und x = p p q Beispiel: In der quadratischen Gleichung x 8x + = 0 ist p = 4 und q = und daher: x = p + p q = 4 + 6 = 6 x = p p q = 4 6 = Grafische Lösungen Wir besprechen drei verschiedene Methoden, die Gleichung grafisch zu lösen. Bei allen drei Methoden muss eine Einheitsstrecke e gegeben sein.. Die einfachste Methode Diese Methode findet sich vielerorts in der Literatur. Wir verwenden ein kartesisches Koordinatensystem (damit ist auch die Einheitslänge gegeben). Über der Strecke AB mit A( 0,) und B( p,q) zeichnen wir den Thaleskreis und schneiden ihn mit der x-achse. Die beiden Schnittpunkte sind C( x,0) und D( x,0). Die Figur illustriert den Fall p = 4, q =. Es ist x = 6 und x =.
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung / Konstruktionsprotokoll: Konstruktion Nr. Name Definition Algebra Punkt A Punkt auf yachse A = (0, ) Zahl p p = 4 Zahl q q = 4 Punkt B ( p, q) B = (8, ) 5 Punkt M Mittelpunkt von A, B M = (4, 6.5) 6 Kreis k Kreis mit Mittelpunkt M durch A k: (x - 4)² + (y - 6.5)² = 46.5 7 Punkt C Schnittpunkt von k, xachse C = (6, 0) 7 Punkt D Schnittpunkt von k, xachse D = (, 0).. Beweis Es ist M p, +q Kreisgleichung: ( ). Der Thaleskreis k hat den Radius r = p + ( q ) und damit die ( x p) + y +q ( ( )) = p + q Für den Schnitt mit der x-achse setzen wir y = 0 : ( x p) + 0 +q ( ) ( ( )) = p + q ( ) x px + p + 4 + q + q 4 = p + 4 q + q 4 x px + q = 0
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung / Die Schnittpunkte C und D führen also zu den Lösungen unserer quadratischen Gleichung. Das Verfahren funktioniert auch für negative p und/oder q.. Zweimalige Anwendung des Höhensatzes ( ), Q ( q,0) und Q ( q +,0 ). Über der Strecke OQ zeichnen wir Wir zeichnen O 0,0 den Thaleskreis und im Teilpunkt Q eine Senkrechte q. Das gibt auf dem Thaleskreis den Punkt A. Nun eine Parallele a zur Basislinie durch A. Auf der Parallelen a zeichnen wir den Punkt B mit der x-koordinate p. Nun zeichnen wir einen Kreis um B mit Radius p und schneiden ihn mit der x-achse. Die Schnittpunkte C und D haben die x-koordinaten x beziehungsweise x. Die Figur illustriert den Fall p = 4, q =. Es ist x = 6 und x =. Konstruktionsprotokoll: Konstruktion Nr. Name Definition Algebra Zahl p p = 4 Zahl q q = Punkt O O = (0, 0) 4 Punkt Q (q, 0) Q = (, 0) 5 Punkt Q (q +, 0) Q = (, 0) 6 Punkt M Mittelpunkt von O, Q M = (6.5, 0) 7 Gerade q x = q q: x = 8 Kreis t Kreis mit Mittelpunkt M durch O t: (x - 6.5)² + y² = 4.5 9 Punkt A Schnittpunkt von t, q A = (,.46) 0 Gerade a Gerade durch A parallel zu xachse a: y =.46
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung 4/ Gerade p x = p p: x = 4 Punkt B Schnittpunkt von a, p B = (4,.46) Kreis k Kreis mit Mittelpunkt B und Radius k: (x - 4)² + (y -.46)² = 6 p 4 Punkt C Schnittpunkt von k, xachse C = (6, 0) 4 Punkt D Schnittpunkt von k, xachse D = (, 0) 5 Punkt E Schnittpunkt von k, a E = (8,.46) 5 Punkt F Schnittpunkt von k, a F = (0,.46).. Beweis Aus dem Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck OQ A ergibt sich qe = q = q = h. ( ) = h. Aus dem Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck EFC ergibt sich x p x Somit haben wir: x ( p x ) = q x px + q = 0 Somit ist x eine Lösung der gegebenen quadratischen Gleichung. Analog für x. Das Verfahren funktioniert auch für p < 0, nicht aber für q < 0.
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung 5/. Stur nach Formel Wir zeichnen die Lösungsformel x = p + p q und x = p p q nach. Die Figur illustriert den Fall p = 4, q =. Es ist x = 6 und x =. Konstruktionsprotokoll: Konstruktion Nr. Name Definition Algebra Zahl p p = 4 Zahl q q = Punkt O O = (0, 0) 4 Punkt P (p, 0) P = (4, 0) 5 Punkt P (p, p) P = (4, 4) 6 Punkt P (0, p) P = (0, 4) 7 Punkt P4 (p, -p) P4 = (4, -4) 8 Vieleck P Vieleck O, P, P, P P = 6 8 Strecke o Strecke[O, P] von Vieleck P o = 4 8 Strecke p Strecke[P, P] von Vieleck P p = 4
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung 6/ 8 Strecke p Strecke[P, P] von Vieleck P p = 4 8 Strecke p Strecke[P, O] von Vieleck P p = 4 9 Punkt Q (q, 0) Q = (, 0) 0 Punkt Q (q, p - ) Q = (, ) Punkt Q (q, p) Q = (, 4) Punkt Q4 (0, p - ) Q4 = (0, ) Vieleck Q Vieleck Q4, Q, Q, P Q = Strecke q4 Strecke[Q4, Q] von Vieleck Q q4 = Strecke q Strecke[Q, Q] von Vieleck Q q = Strecke q Strecke[Q, P] von Vieleck Q q = Strecke p Strecke[P, Q4] von Vieleck Q p = 4 Gerade a Gerade durch Q, Q a: x = 5 Gerade d Gerade durch P, P d: x = 4 6 Gerade b Gerade durch Q4, Q b: y = 7 Punkt A Schnittpunkt von b, d A = (4, ) 8 Gerade c Gerade durch P, A c: x + 4y = 6 9 Punkt B Schnittpunkt von a, c B = (, ) 0 Gerade e Gerade durch B parallel zu e: y = xachse Punkt C Schnittpunkt von d, e C = (4, ) Punkt D Schnittpunkt von e, yachse D = (0, ) Punkt M Mittelpunkt von C, P4 M = (4, -.5) 4 Kreis k Kreis mit Mittelpunkt M durch C k: (x - 4)² + (y +.5)² = 6.5 5 Punkt E Schnittpunkt von k, xachse E = (6, 0) 5 Punkt F Schnittpunkt von k, xachse F = (, 0) Beschreibung des Vorgehens: Wir zeichnen p als Quadrat mit den Ecken O( 0,0)P ( p,0)p ( p, p)p ( 0, p). Dann zeichnen wir das Rechteck q mit den Ecken Q ( q, p )Q ( q, p)p ( 0, p)q 4 ( 0, p ) und verwandeln dieses Rechteck mit dem Gnomonverfahren in ein flächengleiches Rechteck CP P D mit der Länge p. Das Differenzrechteck P CDO hat nun den Flächeninhalt p q. Um daraus die Wurzel zu ziehen, verwenden wir den Höhensatz. Wir zeichnen den Thaleskreis k über der Strecke CP 4 mit P 4 ( p, p) und schneiden diesen Thaleskreis mit der x-achse. Das gibt die ( ) ( und F p p q,0) Punkte E p + p q,0 und F sind die Lösungen der quadratischen Gleichung. Das Verfahren funktioniert auch für negative p und/oder q.. Die x-koordinaten der Punkte E
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung 7/ Komplexe Lösungen Für p =, q = ergibt sich die quadratische Gleichung x x + = 0 mit den beiden konjugiert komplexen Lösungen x, = ± i. Wie sieht das bei unseren grafischen Verfahren aus?. Die einfachste Methode Der Kreis k schneidet die x-achse nicht. Keine reelle Lösung Um das Problem zu Lösen, gehen wir in den Raum. Die x-achse soll die bisherige Rolle weiterspielen, die y-achse halten wir frei für die imaginäre Richtung, so dass die x,y- Ebene die Rolle der Gaußschen Zahlenebene übernimmt, und die z-achse soll die Rolle der bisherigen y-achse übernehmen. Das sieht dann zunächst so aus: z 0 0 0 y x Im Raum
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung 8/.. Zwischenspiel: Hyperboloid Wenn wir in der Kugelgleichung x + y + z = ein Vorzeichen abändern, zum Beispiel zu x y + z =, erhalten wir ein einschaliges Rotationshyperboloid mit gleichseitigen Hyperbeln als Profillinien. Der Kehlkreis (Breitenkreis mit kleinstem Umfang) hat in diesem Beispiel den Radius. z 0 0 0 y x Rotationshyperboloid Wir verwenden nun solche Hyperboloide zur Konstruktion der grafischen Lösungen der quadratischen Gleichung.
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung 9/.. Beispiel Im Beispiel p =, q = verwenden wir den gezeichneten Kreis als Kehlkreis eines Hyperboloides. Dieses ist durch den Kehlkreis eindeutig festgelegt. Das Hyperboloid schneiden wir mit der x,y-ebene, also mit der Gaußschen Ebene. Die Schnittfigur ist eine Hyperbel, deren Scheitel sind die Lösungen. z 6 5 4 0 0 0 y 4 x 5 Schnitt mit der Gaußschen Zahlenebene.. Allgemein Dieses Verfahren funktioniert auch im reellen Fall. Die Hyperbel erscheint dann um 90 gedreht. Die Scheitel liegen auf der x-achse. Somit haben wir allgemein: Wir zeichnen zunächst in der x,z-ebene den Kehlkreis und dazu das Hyperboloid. Der schnitt mit der x,y-ebene, also der Gaußschen Zahlenebene, ergibt eine Hyperbel. Deren Scheitelpunkt sind die Lösungen der quadratischen Gleichung. Beweis: Der Kehlkreis hat die Gleichungen: ( x p) + z +q Das Hyperboloid hat daher die Gleichung: ( ) = p + q y = 0 ( )
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung 0/ Schnitt mit z = 0 ergibt: Dies lässt sich vereinfachen zu: ( x p) y + z +q ( x p) y + +q ( ) = p + q ( ) ( ) = p + q ( x p) y = p q ( ) Das ist die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel in der x,y-ebene. Fallunterscheidung: (I) p q > 0 Die Hyperbel schneidet die x-achse. Für y = 0 erhalten x = p + p q und x = p p q. Die Figur illustriert den Fall p = 4, q =. Es ist ( x 4) y = 4, sowie x = 6 und x =. (II) p q = 0 Die Hyperbel degeneriert zu zwei Geraden: Hyperbel mit Scheitelpunkten ( ) y = ± x p Die beiden Scheitel fallen zusammen und sind reell. Wir haben eine Doppellösung. Die Figur illustriert den Fall p = 4, q = 6. Es ist ( x 4) y = 0, sowie x = x = 4.
Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung / (III) p q < 0 Doppellösung Die Hyperbel ( x p) y = p q hat die Scheitelpunkte auf der Symmetrieachse x = p. Für x = p ergibt sich y = p q < 0 y = q p > 0 y = ± q p ( ) Die Scheitelpunkte haben also die Koordinaten p,± q p x = p + i q p und x = p i q p. ; es ist also Die Figur illustriert den Fall p =, q =. Die Hyperbel hat die Gleichung ( x ) y =. Es ist x, = ± i. Komplexer Fall. Andere Methoden In den Methoden Zweimalige Anwendung des Höhensatzes und Stur nach Formel kann völlig analog mit dem Hyperboloid gearbeitet werden.