Physik Schwingungen III
Wiederholung Komplexe Zahlen Harmonischer Oszillator DGL Getrieben Gedämpft
Komplexe Zahlen Eulersche Formel e i' = cos ' + i sin ' Komplexe Schwingung e i!t = cos!t + i sin!t
Schwingung Frequenz f = 1 T Amplitude A Periode T Phase' 0
Der harmonische Oszillator Ein Oszillator ist ein schwingfähiges System. Es ist harmonisch, wenn die Rückstellkraft linear zur Auslenkung ist. Die mathematische Beschreibung des Verhaltens und Ablaufs ist eine Differentialgleichung. Eine Lösung erfüllt die DGL und beschreibt die Ortskurve des Oszillators. Die Ableitungen beschreiben die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Oszillators. F = k x ẍ(t)+ k x(t) =0 m x(t) =A cos(! 0 t + ') v(t) =ẋ(t) a(t) =ẍ(t)
Lösungsverfahren Eine Lösung raten: x(t) =A cos! 0 t Ableitung bilden: ẋ(t) = ẍ(t) = A! 0 sin! 0 t! 2 0 A cos! 0 t =! 2 0x(t) Einsetzen in die Differentialgleichung:! 2 0x(t)+ k m x(t) = k m!2 0 x(t)! =0 ) k m =!2 0
Schwingungsfrequenz Je größer die Federkonstante desto höher die Schwingungsfrequenz Je größer die Masse desto kleiner die Schwingungsfrequenz In der Lösung steht eine Kreisfrequenz und keine Frequenz, weil das Argument des Kosinus im Bogenmaß ist. k m =!2 0! 0 =2 f 0 = 2 T
Zeitliches Verhalten der Energie Schwingung: E = 1 2 ka2 x(t) =A cos! 0 t E Potentielle Energie: E pot = 1 2 ka2 cos 2! 0 t t Kinetische Energie: E kin = 1 2 ka2 sin 2! 0 t
Gedämpfter harmonischer Oszillator ẍ +2 ẋ +! 2 0x =0 e t! d = q! 2 0 2 x + (t) =Ae t e i! dt http://de.wikipedia.org/wiki/schwingung
Getriebener harmonischer Oszillator ẍ +! 2 0x = F 0 m cos! At Die Kurve zeigt ein scharfes Maximum bei der Resonanzfrequenz Für kleine Frequenzen geht die Amplitude gegen die statische Auslenkung: F 0 m! 2 0 = F 0 k Für große Frequenzen geht die Amplitude gegen Null. A = F 0 m (! 2 0! 2 A )
Harmonischer Oszillator Getrieben und gedämpft DGL Lösungsansatz Spektrum (Resonanzkurven) Qualitativ: Phasenverschiebung
Getriebenen und gedämpft Differentialgleichung mẍ + µẋ + kx = F Reibung Antriebskraft Newton Rückstellkraft ẍ +2 ẋ +! 2 0x = F 0 m ei!t
Lösungsansatz Eine Lösung raten: Ableitung bilden: x(t) =Ae i!t ẋ(t) =i!ae i!t = i!x(t) ẍ(t) =! 2 Ae i!t =! 2 x(t) Einsetzen in die Differentialgleichung: ẍ +2 ẋ +! 2 0x = F 0 m ei!t
Lösung DGL: Einsetzen: ẍ +2 ẋ +! 2 0x = F 0 m ei!t! 2 + i!2 +! 2 0 Ae i!t = F 0 m ei!t Algebraische Gleichung: A = F 0 m 1! 2 0! 2 + i!2 Ohne Dämpfung: A = F 0 m (! 2 0! 2 A ) Die Amplitude ist eine komplexe Zahl!
Lösung A = A e i' A = F 0 m 1! 2 0! 2 + i!2 Der Betrag von A ist die Amplitude der Schwingung. Die Phase tritt als zusätzliche Phase in der Schwingung auf. A ' A
Wo sind die Resonanzkurven? Für komplexe Zahlen gilt: A 2 = A A Komplex konjugiert A = A e i' = F 0 m = F 0 m 1! 0 2! 2 + i2! ei' p (! 2 0 1! 2 ) 2 +(2!) 2 ei'
Verschiebung der Resonanzfrequenz 1 p (! 2 0! 2 ) 2 +2! Schwache Dämpfung Starke Dämpfung
Vereinfachungen In dieser Darstellung sind einige Dinge vereinfacht worden. Zur besseren Übersicht sind die Phasen ignoriert worden. Eigentlich steckt je eine in der Lösung und eine in der Antriebskraft. Es gibt auch ein Einschwingverhalten, die sogenannten Transienten. A = A e i' = F 0 m = F 0 m 1! 0 2! 2 + i2! ei' p (! 2 0 1! 2 ) 2 +(2!) 2 ei'
Literatur zum harmonischen Oszillator R. Feynman: The Feynman Lectures on Physics, Addison- Wesley (1970) Lehrbuch für Physiker Kapitel 21-25 Sowohl anschaulich als auch anspruchsvoll. U. Harten: Physik, Springer (2007) Lehrbuch für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Einfachere Darstellung, eher Überblick
Linearität Eine Funktion ist linear wenn f(a + b) =f(a)+f(b) Beispiel dafür: f(x) =x Beispiel dagegen: g(x) =x 2 f(3 + 4) = f(7) = 7 =3+4=f(3) + f(4) g(3 + 4) = g(7) = 49 = g(3) + g(4) = 9 + 16 = 25
Linearität des Differentialoperators f(a + b) =f(a)+f(b) Die Ableitung ist eine lineare Operation: d dt (f(t)+g(t)) = d dt f(t)+ d dt g(t) Daher können Lösungen von Differentialgleichungen addiert werden! Und sind dann wieder Lösungen.
Addition der Lösungen Harmonischer Oszillator Lösung 1: Lösung 2: x 1 (t) x 2 (t) ) d2 dt 2 x 1 +! 2 0x 1 =0 ) d2 dt 2 x 2 +! 2 0x 2 =0 Lösung 3: x(t) =x 1 (t)+x 2 (t) d 2 dt 2 x +!2 0x = d2 dt 2 (x 1 + x 2 )+! 2 0(x 1 + x 2 ) = d2 dt 2 x 1 + d2 dt 2 x 2 +! 2 0x 1 +! 2 0x 2 = d2 dt 2 x 1 +! 2 0x 1 + d2 =0 dt 2 x 2 +! 2 0x 2
Addition der Lösungen Getriebener Oszillator: Transienten Sei x 0 Lösung zu: ẍ 0 +2 ẋ 0 +! 2 0x 0 =0 Sei x a Lösung zu: ẍ a +2 ẋ a +! 2 0x a = F a Dann ist x = x 0 + x a Lösung zu: ẍ +2 ẋ +! 2 0x = F a Beweis: ẍ +2 ẋ +! 2 0x = d2 dt 2 (x 0 + x a )+2 d dt (x 0 + x a )+! 2 0(x 0 + x a )=F a +0=F a Die Schwingung x 0 ist gedämpft und verschwindet nach einiger Zeit. Das ist der Einschwingvorgang, die Bewegung wird eine Transiente genannt.
Addition der Lösungen Getriebener Oszillator: zwei Antriebsfrequenzen Gegeben seien zwei verschiedene Antriebskräfte mit unterschiedlichen Antriebsfrequenzen: F a = F 0,a e i! at F b = F 0,b e i! bt Sei x a Lösung zu: ẍ a +2 ẋ a +! 2 0x a = F a Sei x b Lösung zu: ẍ b +2 ẋ b +! 2 0x b = F b Was ist dann mit einer Kraft F = F a + F b?
Superpositionsprinzip Natürlich ist die Summe der Einzellösungen die Lösung für die Summe der Kräfte! F = F a + F b ) x = x a + x b ẍ +2 ẋ +! 0x 2 = d2 dt 2 (x a + x b )+2 d dt (x a + x b )+! 0(x 2 a + x b ) =ẍ a +2 ẋ a +! 0x 2 a +ẍ b +2 ẋ b +! 0x 2 b = F a + F b = F Das ist das Superpositionsprinzip: Lösungen von linearen Gleichungssytemen können addiert werden und sind dann wieder Lösungen!
Superposition Zwei Sinus-Schwingungen in Superposition Ein Beispiel für Superposition: Addition von zwei Sinus-Schwingungen. Jede Schwingung hat eine eigene Amplitude, Frequenz und Phase. Die Superposition ist die tatsächliche Bewegungskurve. Schwingung 1 Schwingung 2 Superposition
Radio! a! b Sender A Sender B Elektronen der Antenne = schwingfähiges System Empfänger
Radio A Resonanzfrequenz! 0 Sender B Kleine Amplitude = nicht zu hören Sender A Große Amplitude = gut zu hören! b! a!
Radio Jeder Sender hat seine eigene Sende- bzw. Antriebs -Frequenz Die Elektronen in der Antenne werden gleichzeitig von allen eintreffenden Radiowellen in Schwingungen versetzt.! a Zwei Kräfte mit zwei Frequenzen und. Die Kraftamplituden sollen ungefähr gleich groß sein. Jede Kraft einzeln sorgt für unterschiedlich große Schwingungsamplituden (Sender einzeln angeschaltet). Aber auch in Summe kommt genau dieses Schwingungsverhalten heraus (beide Sender gleichzeitig an).! b Am Radio wird die Resonanzfrequenz eingestellt.