Simulation der Dynamik eines Piezoelements, Frequenzbereich, Zeitbereich, Aufstellen des Ersatzschaltbildes

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1 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, D:\Si040306\dgln\piezo\piezo4.doc, Seite /7 Homepage: Simulation der Dynamik eines Piezoelements, Frequenzbereich, Zeitbereich, Aufstellen des Ersatzschaltbildes i i ip u0 C Mechanik Gesamtes Piezoelement Das gesamte Piezoelement denken wir uns aufgebaut aus einer Kapazität C und parallel dazu eine noch unbekannte Mechanik, die vom elektrischen Strom ip durchflossen wird. C ist die rein elektrische Kapazität des Piezoelementes, die also auch dann wirkt, wenn die mechanische Bewegung des Piezoelementes behindert wird. Der Strom durch C ist i = C* du0/dt Die Mechanik modellieren wir als Feder-Masse-System mit Masse m, Feder D, Reibung r und erregender Kraft F, Auslenkung x, Geschwindigkeit v = dx/dt : D F m x Nach Newton gilt m* dv/dt = Summe der Kräfte auf m = externe Kraft F + Federkraft + Reibungskraft, also m * dv/dt = F - D * x - r *v ( DGL für v Ein Piezoelement hat zwei elektro-mechanische Effekte: Die Elektrik wirkt auf die Mechanik: Die am Piezoelement anliegende elektrische Spannung u0 erzeugt die mechanische Kraft F = km * u0 (mit km = Motorkonstante 2 Die Mechanik wirkt auf die Elektrik: Die mechanische Auslenkung x erzeugt die elektrische Ladung q = kg * x ==> Strom ip = dq/dt = kg * v (mit kg = Generatorkonstante Behauptung: kg = km Beweis mit Energieerhaltungssatz: mechanische Leistung Pmech (= F * v = elektrische Leistung Pel (= u0 * ip. Eingesetzt: F = km * u0, ip = kg*v ==> Pmech = F*v = km*u0 * v = Pel = u0*ip = u0*kg*v, also km * u0 * v = u0 * kg * v ==> km = kg Tephyszeilen Geschwindigkeit v = dx/dt ==> x = x + v * dt (Zeile 3 Aus obiger DGL dv/dt folgt v = v + ( km*u0 D*x r*v *dt/m (Zeile 4 Für u0 = Glockenimpuls zur Zeit t, Breite det, Amplitude a0: u0= a0 * exp ( -sqr( (t-t / det wird die zeitliche Ableitung du0/dt = -2*(t-t/(det*det * u0. Folglich Formel für i = du0/dt * C: i = -C*2*u0*(t-t / sqr(det ( Zeile 2 Tephys-Datei D:\DGLN\PIEZO\PIEZOY2.TXT u0 = a0*exp(-sqr((t-t/det { Spannungsquelle u0 =Glockenimpuls} 2 i = -C*2*u0*(t-t/sqr(det { i = C * du0/dt = Strom durch C } 3 x = x+v*dt { x= Auslenkung der Masse m des Piezoelementes } r

2 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, D:\Si040306\dgln\piezo\piezo4.doc, Seite 2/7 4 v = v+(kg*u0-d*x-r*v*dt/m { v= dx/dt = Geschwindigkeit der Masse m } 5 i = i+kg*v { i = Gesamtstrom = Summe aus Kondensatorstrom i und Piezostrom ip } 6 t = t+dt Kommentar zum File D:\DGLN\PIEZO\PIEZOY2.TXT Leitwert eines Piezo-Elementes, Heft 58, S.74, C= ParallelKapazitaet, m=masse, D=Feder, r=reibung, kg=generatorkonstante: elektr. Kraft = km*u0, Strom durch die Piezomechanik ist ip = kg * v, i=strom durch ParallelKapazitaet. = C*du0/dt u0 = Eingepraegte Spannung= Glockenimpuls. Werte s. Heft 62,S. 43 Die benutzten Parameter sind so, dass der Verlauf der berechneten Übertragungsfunktion Y= i/u0 übereinstimmt mit dem experimentell ermittelten Leitwert Y. Insbesondere sind dafür wichtig die beiden charakteristischen Frequenzen f (entspricht der Frequenz des Maximums von Y und f2 (entspricht der Frequenz des Minimums von Y und dem Wert Y weitab von f und f2 ( das entspricht der Kapazität C und dem Betrag des Maximums von Y (dem entspricht die mechanische Reibung r. Tephysbild : Zeitbereich. u0= glockenförmige Spannung, i = Strom durch C, v= Geschwindigkeit der Masse m, i = Gesamtstrom i + kg*v (vgl. obige Schaltung. Tephysbild 4: Frequenzbereich zum obigen Tephysbild : u0 = Betrag des Spektrums der Spannung u0, i/u0 = Betrag der komplexen Übertragungsfunktion i/u0, Wi-Wiu0 = Winkel (in Grad dieser komplexen Übertragungsfunktion. Ortskurve = Ortskurve (Nyquist-Diagramm dieser komplexen Übertragungsfunktion i/u0, d.h. xy -Auftragung: Realteil in x-richtung, Imaginärteil in y-richtung Diese komplexe Übertragungsfunktion i/u0 ist der komplexe elektrische Leitwert Y. Man beachte die Tabelle im Bild: Das sind die Werte beim Maximum und beim Minimum der Übertragungsfunktion i/u0.

3 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, D:\Si040306\dgln\piezo\piezo4.doc, Seite 3/7 Tephysbild 5: Frequenzbereich zum obigen Tephysbild. u0= Betrag des Spektrums von u0, v/u0 = Betrag der komplexen Übertragungsfunktion v/u0, Ortkurve =komplexe Ortskurve von v/u0. Man erkennt, dass das Maximum von v/u0 bei der Frequenz f= Hz liegt. Das ist die gleiche Frequenz, bei der auch der elektrische Leitwert Y sein Maximum hat (vgl. obiges Tephysbild 4. Bei dieser Frequenz hast also das mechanische Feder-Masse-System ebenfalls seine Resonanzfrequenz.. Hingegen zeigt sich bei der Frequenz f2 = 3494 Hz.des Minimums des elektrischen Leitwerts Y (vgl. Tephysbild 4 keinerlei Auffälligkeit im Verlauf der mechanischen Übertragungsfunktion v/u0. Elektrisches Ersatz-Schaltbild des Piezoelements Um das elektrische Ersatzschaltbild zu finden, ersetzen wir in den bisherigen Gleichungen den Operator d/dt durch die Abkürzung s, also d/dt = s. Wenn man unbedingt will, kann man diesen Ersatz von d/dt durch s als Laplace-Tranformation mit verschwindenden Anfangsbedingungen bezeichnen. Aber es ist total unnötig, diese abschreckend kompliziert klingende Bezeichnung zu verwenden. Später werden wir das gefundene Ersatzschaltbild für sinusförmige Zeitverläufe anwenden. Dann wird s ersetzt durch das Produkt s = j * w mit j = Wurzel aus und w = Kreisfrequenz (w gelesen als omega. Strom i durch Kondensator C: i= C*du0/dt ==> i = s*c*u0 Newton: m*dv/dt + D*x + r*v = km*u0: Aus dv/dt = s*v, aus x= Integral (v*dt wird x= v/s, also m*s*v + D*v/s + r*v = km*u0 oder v ausgeklammert: (m*s + D/s +r *v = km*u0 Wird darin die mechanische Größe v ersetzt durch die elektrische Größe v = ip/kg (s.o., so wird daraus (m*s + D/s +r *ip/kg = km*u0 Bringen wir km auf die linke Seite und fügen das Produkt kg*km in die Klammer ein, so haben wir die Impedanz u0/ip = Zp= s* m/(kg*km + /s * D/(kg*km + r/(kg*km Diese Impedanz entspricht der Reihenschaltung (Index m soll heißen mechanisch Zp = s*lm + /(s* + Rm aus mechanischer Induktivität Lm = m/(kg*km, mechanischer Kapazät = kg*km/d, mechanischem Widerstand Rm = r/(kg*km

4 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, D:\Si040306\dgln\piezo\piezo4.doc, Seite 4/7 Parallel zu diesem mechanischen Teil des Piezoelementes liegt noch der rein elektrisch wirkende Kondensator C. Somit haben wir das elektrische Ersatzschaltbild des Piezoelementes gefunden. In der nachfolgenden Schaltung ist es dargestellt: i u0 C i ip Lm Rm Lm = m/(kg*km = kg*km/d Rm = r/(kg*km Elektrisches Ersatzschaltbild des Piezoelementes Die Auswertung der experimentell gemessenen Übertragungsfunktion i/u0 (=elektrischer Leitwert Y ergab folgende Werte der Bauteile: elektrische Kapazität C = 2.2 nanofarad (=2.2E-9 A*s/V mechanische Induktivität Lm = 0.49 V*s/A mechanische Kapazität = 0.86 nanofarad (= 0.86E-9 A*s/V mechanischer Widerstand Rm = 50 Ohm Hinweis: Die Methode der Auswertung wird später erklärt. Verwendung des Ersatzschaltbildes Wir wollen den Betrag und Winkel des komplexen Leitwertes Y =i / u0 der obigen Ersatzschaltung mit Tephys berechnen. Für Sinus-Zeitverläufe wird der Operator s ersetzt durch j*w (j = Wurzel aus, w = Kreisfrequenz. Der komplexe Leitwert Y = i/u0 des Piezoelementes gemäß obiger Ersatzschaltung ist Y = j * C + Rm + + = j *( Der Zähler wird ausmultipliziert und nach Realteil und Imaginärteil geordnet: Daraus ergibt sich C*( + j * C* Rm Y = Rm + j *( Realteil des Zählers RZ = - C*(Lm /( Imaginärteil des Zählers IZ = C*Rm Realteil des Nenners RN = Rm Imaginärteil des Nenners IN = Lm - /( Der Betrag des komplexen Leitwertes Y ergibt sich zu BeY = Betrag des Zählers geteilt durch Betrag des Nenners, also als Formel BeY = sqrt( RZ*RZ + IZ*IZ / sqrt( RN*RN + IN*IN j * C*( Rm + j*( Rm + j*( Der Phasenwinkel (=Wi von Y Wi = Winkel des Zählers minus Winkel des Nenners. Allerdings gibt es hier ein Problem, weil der Realteil des Zählers negativ werden kann, während der Imaginärteil positiv ist. In diesem Fall würde die bekannte Formel Winkel = arctan (Imaginärteil/ Realteil bei negativem Realteil einen Winkel im 2. Quadranten ( also im Bereich 0 bis 90 Grad liefern, während er in Wirklichkeit im 3. Quadranten liegt (also im Bereich 80 bis 270 Grad.

5 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, D:\Si040306\dgln\piezo\piezo4.doc, Seite 5/7 Um den Winkel korrekt zu berechnen, wird 80 Grad dazu addiert, wenn der Realteil negativ ist. Mit Tephys geht das so: Winkel des Zählers ist arctan( IZ/RZ+ 80 * nein(rz (Hinweis: A= nein(x: if x <= 0 then A = else A= 0 Diese Formeln zur Berechnung des Leitwertes Y sind im nachfolgenden Tephys-Programm eingegeben (fett geschrieben. Die nicht fetten Zeilen beziehen sich auf die Berechnung von Y durch FFT-Auswertung der Impulsantwort (also aus dem Zeitbereich. Sie sind die gleichen wie die in der oben schon behandelten Datei piezo2y.txt D:\DGLN\PIEZO\PIEZOYC2.TXT u0 = a0*exp(-sqr((t-t/det 2 i = -C*2*u0*(t-t/sqr(det 3 x = x+v*dt 4 v = v+(kg*u0-d*x-r*v*dt/m 5 i = i+kg*v 6 f = kf*(t+off { f = Frequenz in Hz. off >0, um Division durch Null in Zeilen 8 u. zu vermeiden} 7 w = 2*pi*f { w = Kreisfrequenz } 8 RZ = -C*(Lm-/( { RZ = Realteil Zählers des Leitwerts Y ( = i/u0 } 9 IZ = C*Rm { IZ = Imaginärteil Zähler } 0 RN = Rm { RN = Realteil Nenner } IN = Lm-/( { IN = Realteil Nenner } 2 BeY = sqrt(rz*rz+iz*iz/sqrt(rn*rn+in*in { BeY = Betrag des Leitwerts Y } 3 Wi = (arctan(iz/rz-arctan(in/rn*80/pi+80*nein(rz { Wi = Winkel des Leitwerts Y (im Gradmaß mit Korrektur für negativen Realteil RZ } 4 t = t+dt Tephysbild F: Verlauf von des Betrags BeY und des Winkels Wi des komplexen Leitwerts Ydes Piezoelementes, berechnet aus dem Ersatzschaltbild des Piezoelementes, als Funktion der Frequenz f. Vergleiche den Text im Bild. Die Tabelle zeigt die Cursorwerte beim Maximum und beim Minimum von BeY. Diese Frequenzwerte stimmen mit den experimentellen Werten überein! Zum Vergleich mit der folgenden Figur: dort f= Hz, f2= 3494 Hz

6 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, D:\Si040306\dgln\piezo\piezo4.doc, Seite 6/7 Fig. F2: Der Frequenzbereich der gleichen Simulation wie in obiger Fig. F. Hier wurden die gleichen Verläufe gerechnet, nämlich der Betrag des komplexen Leitwerts (Y = i/u0 und sein Winkel. Aber diese Kurven wurden mit der Fourier-Analyse der Impulsantwort berechnet: Die obere Kurve zeigt den Betrag des Spektrums von u0, also der Eingangsspannung (Glockenimpuls. Die mittlere Kurve zeigt den Betrag des Spektrums der Übertragungsfunktion i/u0, also des Leitwertes Y und die untere Kurve zeigt den Winkel dieser Übertragungsfunktion. Die Übertragungsfunktion wird von Tephys wie folgt berechnet: komplexes Spektrum von i (also des Stromes dividiert durch komplexes Spektrum von u0 (also der Spannung. Aufgetragen sind Betrag und Winkel dieser Übertragungsfunktion (in diesem Falle also des Leitwertes Y. Zusätzlich ist noch die komplexe Ortskurve aufgetragen: Imaginärteil von Y als Funktion des Realteils von Y von Y. Die punktierte Kurve ist die Kreisnäherung der Ortskurve in der Nähe der Resonanzfrequenz. Experimentelle Bestimmung der charakteristischen Daten eines Piezoelementes Das verwendete Piezoelement war ein handelsüblicher Ultraschall-Piezo. Nimmt als Piezoelement einen Schwingquarz, so findet man die experimentellen Werte in ähnlicher Weise. Allerdings sind beim Schwingquarz die Resonanzfrequenzen meist sehr viel höher ( Megahertz-Bereich. Dadurch wird die experimentelle Bestimmu ng etwas komplizierter. Als Formel für den komplexen Leitwert Y hatte sich ergeben (s.o C*( + j * C* Rm Y = Rm + j *( Wir wollen diese Formel benutzen, um die Werte C, Lm,, Rm experimentell zu bestimmen Die charakteristischen Frequenzen bekommen wir mit der Näherung Rm = 0 heraus. Mit der Näherung Rm = 0 wird aus der Formel Y C*( = j *( Lm Das Maximum des Leitwertes ergibt sich für Nenner gleich null gesetzt, Kreisfrequenz w, also w*lm = /(w* oder w*w*lm*= oder w=/sqrt(*lm. Man erkennt an dieser Formel, dass w die Resonanzkreisfrequenz der Reihenschaltung von und Lm ist. Experiment: Frequenz beim Maximum von Y ist f=30.25 khz

7 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, D:\Si040306\dgln\piezo\piezo4.doc, Seite 7/7 Das Minimum des Leitwertes Y ergibt sich für Zähler gleich Null gesetzt, Kreisfrequenz w2 : 0=-w2*C*(w2*Lm-/(w2* oder ausmultipliziert: 0=+ C/- w2*w2*c*lm, oder durch C dividiert 0=/C+/-w2*w2*Lm. Daraus folgt w2= sqrt( ( /C+/ / Lm Man erkennt an dieser Formal, dass w2 die Resonanzkreisfrequenz der Reihenschaltung von Lm und C und ist Experiment: Frequenz beim Minimum von Y ist f2=3.5 khz Division der Quadrate von w2 und w ergibt sqr(w2/w = (/C+//Lm * *Lm = +/C. Daraus /C = sqr(w2/w. Da w2 nur wenig größer als w ist, folgt zunächst, dass << C ist. Aus den gemessenen Kreisfrequenzen w (entspricht Maximum des Leitwerts Y und w2 (entspricht Minimum von Y kann man also das Verhältnis der mechanischen Kapazität zur elektrischen Kapazität C berechnen. Aus den gemessenen Frequenzen f und f2 ergibt sich /C= sqr(f2/f = sqr (3.5/30.25 = = , also /C= Wie kann man C messen? Bei Frequenzen weit unterhalb der Resonanzfrequenzen w und w2 wirkt überwiegend C allein. Das erkennt man an der Formel für Y: bei kleinen Werten w bleibt im Nenner das Glied j/(. Entsprechend bleibt im Zähler + C/. Also für kleine w wird Y=j**(+C/ oder Y = j*(+c. Diese Formel kann man auch unmittelbar aus der Schaltung des elektrischen Ersatzschaltbildes ablesen: Im Parallelzweig spielt für kleine w die Impedanz von Lm (und von Rm keine Rolle gegenüber der Impedanz von. Also ist für kleine w der Leitwert Y = j*(c+. Eine entsprechende Überlegung ergibt sich für hohe Frequenzen. Direkt aus dem Ersatzschaltbild abgelesen: Impedanz von Lm groß gegen Impedanz von (und von Rm. Also wird der gesamte Leitwert Y der Leitwert der Parallel-Schaltung von C und Lm, also Y = j*c + /(j*lm oder der Y = j*( C- /(Lm. Aus diesen Überlegungen ergab sich der experimentelle Wert C= 2.2 nf. Da jetzt C bekannt ist, ergibt sich auch : Mit Hilfe der obigen Formel /C = sqr(w2/w folgt = C*( sqr(f2/f = 2.2 nf* ( = 2.2 nf* = nf. Also =0.856 nf. Jetzt kann man auch Lm berechnen: Aus der obigen Überlegung für das Maximum von Y hatte sich die Kreisfrequenz w=/sqrt(*lm ergeben. Daraus ergibt sich Lm = /( * w * w = /( * sqr(2*pi*f = /(0.856 nf* 4*pi*pi*30250 Hz*30250 Hz = V*sec/A, also Lm = V*sec/A Jetzt Berechnung des Widerstandes Rm. Dazu betrachten wir die Formel für Y, aber Rm nicht =0 gesetzt! Bei der Kreisfrequenz w (entspricht Maximum von Y ist w*lm =/(w*, also wird der Nenner Rm. Im Zähler bleibt +j*w*c*rm. Also wird für w=w Y = /Rm + j*w*c. Da sich experimentell ergibt, dass bei w der Verlauf von Y ein deutliches Maximum hat und außerdem Y reell ist, ist für diesen Maximalwert der Wert Rm ausschlaggebend, also gilt näherungsweise für den Betrag von Y beim Maximum Ymax = /Rm, also Rm = /Ymax Aus der Messung ergibt sich Rm= 50 Ohm.