Bestimmung der Umkehrfunktionen c) bei reellen Funktionen geometrisch durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden y = x. y = x 3 y = x y = x y = (x+1)/2 y = x 1/3 y = 2x 1 Seite 27 Beispiel: a) f: R R, f(x) = x 2. injektiv: f(-1) = 1 und f(1) = 1. surjektiv: f(x) = -1 hat kein Urbild in R b) f: R + R, f(x) = x 2 c) f: R R +, f(x) = x 2.injektiv: x= f(x) eindeutig lösbar.surjektiv: siehe a) injektiv: siehe a).: f(x) 0, alle f(x) haben Urbild d) f: R + R +, f(x) = x 2..injektiv: siehe b).surjektiv: siehe c) Umkehrfunktion für d)? f -1 : R + R +,.. Seite 28
Wiederholung! Spezielle reelle Funktionen: Bekannt aus der Schule! Lineare Funktionen f(x) = ax + b Beispiel: f(x) = 4x 1 Polynome oder ganzrationale Funktionen f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 Beispiel: f(x) = 2x 3 x 2 + x 2 Gebrochen-rationale Funktionen, z.b. f(x) = 2x 3 / (x 2 3x) Trigonometrische Funktionen: sin x, cos x Weitere Funktionen f(x) = x etc Seite 29 Exponentialfunktionen zur Basis a: f(x) = a x mit einer Konstanten a > 0 (Basis) sind definiert für x R. Die Umkehrfunktion von f(x) = a x ist Logarithmus zur Basis a: log a x, D = (0, ). Spezialfall: f(x) = e x Exponentialfunktion zur Basis e 2,71 Die Umkehrfunktion von f(x) = e x ist der natürliche Logarithmus ln x, definiert für x (0, ). Seite 30
Rechenregeln: a n = a a a a; a 0 = a; a 1 = a a 1/n, n N a m/n, n,m N a x+y = a x a y, x,y R (a x ) y = a x y, x,y R a x b x = (a b) x, x R a -x = 1/a x = (1/a) x, x R a x = e x ln a, x R Wiederholung! Bekannt aus der Schule! Seite 31 Polynome: p(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 Sind reelle Funktionen, die sich ausschließlich mit den Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation berechnen lassen. n Allgemein: p(x) = Ʃ a k x k, mit a 0, a 1,, a n R k = 0 Ist a n 0, so ist n = deg p N der Grad des Polynoms p Beispiel: p 1 (x) = x 2 + x + 2, p 2 (x) = x 3, p 3 (x) = 2x 7 4x 4 + 3x 2 1 sind Polynome vom Grad,. bzw. Seite 32
Definition 4.6 Eine zweistellige Relation R auf Menge M ist eine Abbildung, die jedem Paar (x,y) M x M einen Wahrheitswert {wahr, falsch} zuordnet. Schreibweise: x R y, (x,y) R Seite 33 Beispiel: Bezeichnet M die Menge der Prozeduren in einer Programmiersprache (z.b. in C++) und N die Menge der (Programmier-)Klassen, so wird durch p R c : (p wird exportiert von c) für eine Prozedur p M und eine Klasse c N eine Relation zwischen M und N erklärt. Seite 34
Darstellung der Relationen: 1. als Paare: R = {(x,y) M x M: x < y} Beispiel: Sei Relation R ist < und M = {0,1,2,3}, dann R = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,3)} (0,0), (3,1) R, weil nicht gilt 0 < 0, 3 < 1 Seite 35 Darstellung der Relationen: 2. als Schema: R = {(x,y) N 0 xn 0 : x + y = 4} 0 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Seite 36
Darstellung der Relationen: 3. Als Graphen: Sei M = {A, B, C, D} R = {(A,B), (B,C), (B,D), (C, A), (C,B), (C,C), (C,D), (D,A)} A B C D Seite 37 Definition 4.7 Eine Relation R auf M heißt reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht, d.h. x M: x R x, z.b.: < ist. reflexiv, da 3 < 3 falsch ist ist. reflexiv, da 3 3 wahr ist Seite 38
Beispiel A B C D nur (C,C) R..reflexiv, da (A,A), (B,B), (D,D) R Wird reflexiv, wenn alle Schleifen existieren! Seite 39 Definition 4.7 (Fortsetzung) symmetrisch, wenn x,y M: aus x R y y R x, z.b: ist symmetrisch, da aus 3 5 folgt 5 3 ist symmetrisch, da aus 3 5 nicht folgt 5 3 Seite 40
Beispiel A B C D (B,C) R und (C,B) R.. symmetrisch: (A,C), (A,D), (B,A), (D,B), (D,C) R Seite 41 Beispiel 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Es gilt Kommutativgesetz in N 0 : a + b = b + a, deshalb symmetrisch: wenn 0 R 4, dann auch 4 R 0 etc. Seite 42
Beispiel A B C D.. Seite 43 Definition 4.7 (Fortsetzung) transitiv, wenn x,y,z M: aus (x R y) und (y R z) x R z, z.b.: ist transitiv, da aus 3 5 und 5 7 folgt: 3 7 ist.. transitiv, da aus 3 5 und 5 3 nicht folgt 3 3 Seite 44
Beispiel A B C D Transitivitätsbedingung für z.b. B, C, D: (B,C) R, (C,D) R folgt nicht transitiv: für z.b. A, B und D: (B,C) R und (C,A) R, aber Seite 45 Beispiel 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Aus 1 R 3 und 3 R 1, folgt nicht 1 R 1 1 + 3 = 4 und 3 + 1 = 4, aber 1 + 1 4 transitiv Seite 46
Beispiel A B C D reflexiv, symmetrisch und transitiv. (A,B) R und (B,D) R, aber (A,D) R Seite 47 Einige wichtige Relationen in der Informatik sind: Äquivalenzrelationen, Ordnungen, Verbände Anwendungsgebiete: Objektorientierte Programmierung, relationalen Datenbanken, Prozessplanung etc Seite 48
Definition 4.8 Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine reflexive, symmetrische und transitive Relation auf M. Beispiel 4.6 Auf der Menge M aller Studierenden im Hörsaal wird durch x R y x und y haben denselben Geburtsmonat eine Äquivalenzrelation erklärt, deren Äquivalenzklassen gerade die verschiedenen Geburtsmonate sind. Seite 49 Beispiel 4.7 Auf der Menge Z eine Relation R definiert durch x R y haben gleichen Rest bei Division durch 3, d.h. x R y (x y) = 3k, k M. Überprüfe, ob diese Relation eine Äquivalenzrelation ist. reflexiv: (x x) = 0 = 3k; also ist durch 3 teilbar symmetrisch: wenn (x y) = 3k, dann y x= transitiv: sei (x y) = 3k 1 und (y z) = 3k 2, dann (x z) = d.h. Seite 50
Beispiel 4.7 (Fortsetzung) Somit x R y ( x y teilbar durch 3 ) ist eine Äquivalenzrelation. Diese Äquivalenzrelation teilt die Menge Z in 3 Äquivalenzklassen: Z = [0] [1] [2] 1) alle ganzzahligen Vielfachen der 3 (Rest 0): [0] 2) alle ganzen Zahlen, die sich mit Rest 1 durch 3 teilen lassen: [1] 3) alle ganzen Zahlen, die sich mit Rest 2 durch 3 teilen lassen: [2] Seite 51 Übung: Überprüfen, ob die Relation x R y := x y = 0 eine reflexive, symmetrische und transitive Relation auf Menge N 0. 1) Reflexivität:..Z.B. 1 R 1, da 1 1 0 2) Symmetrie:.Wenn x R y, dann y R x. 3) Transitivität:..Z.B: 1 R 0, 0 R 2, aber 1 R 2. Somit ist R keine Äquivalenzrelation! Seite 52
Eine Relation R auf einer Menge M heißt antisymmetrisch, wenn x,y M: aus x R y und y R x x = y, z.b: a b : a teilt b auf M=N, oder ist antisymmetrisch Zahlenbeispiele Tafel ist nicht antisymmetrisch, da aus 3 5 und 5 3 folgt nicht, dass 3 und 5 identisch sind. Hinweis: aus R ist nicht symmetrisch folgt nicht R ist antisymmetrisch aus R ist antisymmetrisch folgt nicht R ist symmetrisch Beispiel : = sowohl symmetrisch, als auch antisymmetrisch Fazit: für verschiedene x und y sind beide Relationen: x R y und y R x nicht möglich. Wenn, dann nur eine Relation!!! Seite 53 Definition 4.9 Die Relation R heißt eine partielle Ordnung auf einer Menge M, falls R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Beispiel: eine partielle Ordnung auf einer Menge M a) reflexiv: ja, da für alle x gilt: x x b) antisymmetrisch: ja, da gilt: wenn x y und y x dann und nur dann, wenn x = y. c) transitiv: ja, da gilt: wenn x y und y z, dann ist auch x z. Seite 54
Beispiel: Überprüfe, ob R ist eine Äquivalenz- oder eine partielle Ordnungsrelation auf M. M = {1, 2, 3}, R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3)} a) reflexiv:., da für alle x gilt: x R x (1,1), (2,2), (3,3) b) symmetrisch:.. (1,2) R, aber (2,1) R c) antisymmetrisch:, da gilt: wenn x R y und y R x dann und nur dann, wenn x = y. Es gibt keine Paare (y,x) mit y x, (2,1), (3,1) R a) transitiv:.., da gilt: wenn x R y und y R z, dann ist auch x R z. (1,2) R, (2,2) R (1,2) R (1,1) R, (1,3) R (1,3) R etc.!!! partielle Ordnungsrelation Seite 55 Definition 4.10 Es sei eine partielle Ordnung auf einer Menge M. Dann heißt eine totale Ordnung, wenn für alle (x,y) M x M gilt: x y oder y x. Das bedeutet, dass je zwei Elemente hinsichtlich vergleichbar sind. ist totale Ordnung auf R reflexiv antisymmetrisch transitiv Seite 56
Beispiel: 1. auf P (M) ist nicht total, wenn M 2 ist. reflexiv antisymmetrisch transitiv partielle Ordnungsrelation Total? entweder x y oder y x (x y) Sei M = {a,b,c}, dann P (M) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}. nicht total z.b. für {b} und {c} gilt: weder {b} {c}, noch {c} {b}. 2. M = {1,2,3}, R = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)}: totale Ordnung? Nein! Per Definition: (x,y) R oder (y,x) R, aber z.b. (2,3) R und (3,2) R Seite 57 Darstellung partieller Ordnungen (auf endlichen Mengen) wird durch Hasse-Diagramme veranschaulicht. a) Sei (M, ) eine partiell geordnete Menge mit M= {1,2,3,4,6} Seite 58
Bemerkung: Hasse-Diagramm einer totalen Ordnung ist eine Linie. Sei (A, ) eine total geordnete Menge mit A = {1,2,3,4}. Seite 59 b) Sei (P (M), ) eine partiell geordnete Menge mit M = {1,2,3}. P (M) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Seite 60
c) Tafel Sei (M, ) eine partiell geordnete Menge mit M = T(12) = = {1, 2, 3, 4, 6, 12}...... Seite 61 Hinweise zu Erstellung eines Hasse-Diagramms für Teil(- er)menge T(a): Primfaktorzerlegung von a durchführen: z.b. a = 12 = 2 2 31 hat zwei Primfaktoren. Bei einem Primfaktor (z.b. 16 = 2 4 oder 3 5 oder 11 35 ) ist das Hasse-Diagramm eindimensional (eine Linie). Bei zwei Primfaktoren (z.b. 15 = 3 5, 500 = 2 2 5 3 etc.) ist das Hasse-Diagramm zweidimensional (Quadrat bzw. Gitter, das aus mehreren Quadraten besteht). Seite 62
Bei drei Primfaktoren ist das Hasse-Diagramm dreidimensional (Quader). Für a = p 1 q 1 r 1 siehe das Beispiel für T(30) in der Mitschrift. Allgemein das Hasse-Diagramm für T(a), vorbei a die Form von p 1 q1 r1 hat, hat das gleiche Hasse-Diagramm wie T(30) (einstöckiger Quader). Seite 63 Wenn einer der drei Primfaktoren eine zweite Potenz enthält, z.b. a = p 1 q2 r1, dann wird der Quader zweistöckig (siehe Übung 6.5 b)). Hasse-Diagramme für T(a), wobei in der Primfaktorzerlegung von 4 Primfaktoren oder zwei der drei Primfaktoren eine höhere Potenz als die zweite haben, sind nicht mehr überschaubar. Seite 64
Beispiel (Tafel): Erstellen Sie die Hasse-Diagramm für T(a):= (M, ), wobei: T(250), T(70) T(250) =... zwei Primaktoren Gitter T(70) =... drei Primfaktoren Quader Seite 65 In geordneten Mengen wird durch die Ordnungsrelation eine Anordnung ihrer Elemente vorgenommen. Definition 4.11 Sei M eine Menge und R Relation auf M. Dann heißt kϵ M kleinstes Element (bzw. größtes Element) von M, wenn für alle xϵ M gilt, dass krx (bzw. xrk) ist. Beispiel a) (M, ), M={2, 3, 4, 5}; 2 - kleinstes El.; 5- größtes El. b) (N 0, ), hat 0 als kleinstes Element und klein größtes. Seite 66
In partiell geordneten Mengen existieren es nicht immer bzw. ein kleinstes/größtes Element. Sei (M, ) = ({1, 2, 3, 4, 6}, ). kleinstes Element: 1, weil 1 teilt alle Zahlen aus M größtes Element: kein, da es keine Zahl Z gibt, die durch alle x M teilbar ist. Wie kann man die Menge M erweitern, so dass es ein größtes Element bzgl. gibt? Seite 67 Beispiel: Ist (M, ) eine partiell geordnete Menge, dann x M ein kleinstes Element, falls y M gilt x y. Entsprechend ist z M ein größtes Element, falls y M gilt y z. Z.B. bzgl. P (M) = {,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}.. das kleinste und. das größte Element. Seite 68
Betrachten wir jetzt die Teilmengen der geordneten Menge (R, ): Sei A = [a, + ) = {x R : x a}, dann.. - kleinstes Element und es existiert. größtes Element. Sei B = (a, + ) = {x R : x > a}, dann hat B.. kleinstes.. größtes Element. Dennoch ist die Zahl... in gewisser Weise optimal als untere Schranke für B, da es keine andere Zahl x gibt: x > a und x B. Für a gibt es spezieller Begriff! Seite 69 Definition 4.12 Es sei (M, R) eine geordnete Menge mit Relation R und A M eine Teilmenge, dann: 1. Ein Element b M heißt obere Schranke von A, falls für x A die Relation x R b gilt. 2. Ein Element u M heißt untere Schranke von A, falls für x A die Relation u R x gilt. Beispiel 4.8: Sei A = (a,b) eine Teilmenge von (R, ), dann ist a die untere Schranke für A und b die obere Schranke für A. Es gilt auch: x A: (a-1) x, daraus folgt, dass auch (a-1) eine untere Schranke für A ist. Es könnte mehrere untere/obere Schranken geben. Seite 70 a b
Definition 4.13 Es sei (M, R) eine geordnete Menge mit Relation R und A M eine Teilmenge, dann: 1. Eine obere Schranke b M heißt Supremum von A, kurz b = sup A, wenn b die kleinste obere Schranke von A ist. a 2. Eine untere Schranke u M heißt Infimum von A, kurz u = inf A, wenn u die größte untere Schranke von A ist. Im Beispiel 4.8: a = inf A; (a-1) dagegen ist nur untere Schranke. 3. Ist b A (bzw. u A), so nennen wir b = max A das Maximum (bzw. das Minimum) von A. b Seite 71 Beispiel 4.9 Sei R eine geordnete Menge: (R, ). Falls: 1. A = (a,b), dann.. = inf A;. = sup A, aber es gibt kein min A und kein max A. 2. A = (a,b], dann. = inf A; = sup A, es gib kein min A. 3. A = [a,b], dann. inf A;..= sup A. Seite 72
Beispiel 4.10 Sei N eine partiell geordnete Menge: (N, ). Wir betrachten die folgenden Teilmengen von (N, ): 1. A 1 = ({3,6,9}, ), dann: a) 1 und 3 sind untere Schranken von A 1. b) inf A 1 = 3 = min A 1 ; Infimum: ggt c) obere Schranken: Zahlen, die von 3,6 und 9 geteilt werden, z.b: 36, 54, 162 oder 18,. d) sup A 1 = 18. Supremum: kleinste gemeinsame Vielfache 2. A 2 = ({12,18}, ), dann: a) untere Schranken: 1,2,3,6 b) inf A 2 = 6; c) obere Schranken: 36, 72, 144 d) sup A 2 = 36. min A 2 ; max A 2 - kein Seite 73 Beispiel: Suprema und Infima lassen sich aus dem Hasse- Diagramm leicht ablesen: so sind z.b., {2} untere Schranken der Teilmenge A = {{1,2}, {2,3}} P (M). Da {2}, gilt: inf A = inf {{1,2}, {2,3}} = {2}. Infimum - Schnittmenge Das minimale Element von P(M) steht am weitesten unten und ist kleiner als jedes andere Element in der gegebenem Ordnungsrelation. Seite 74
Obere Schranken der Teilmenge A ={{1}, {3}} sind {1,3} und {1,2,3}. Wegen {1,3} {1,2,3} gilt: sup A = sup {{1}, {3}} = {1,3}. Supremum - Vereinigungsmenge Das maximale Element von P(M) steht am weitesten oben und ist größer als jedes andere Element von P(M) ist. Seite 75 Definition: Eine geordnete Menge V ist ein Verband, in der das Supremum und das Infimum jeder beliebigen zweielementigen Teilmenge stets existieren und sind Elemente V. Teilerverband kein Verband Beispiel: z.b. für {6,10}: Infimum ist 2 Supremum ist 30. für {b,c} existieren untere Schranken: d,e und f, aber kein Infimum, da f nicht das größte Element; und keines von d und e größte untere Schranke Seite 76
Übung: Sei A = {pq, q 2, qr, wobei p,q,r N - Primzahlen, p q r} und (A, ). Geben Sie, falls existieren: das kleinste Element/das größte Element; untere/obere Schranken; Infimum/Supremum an. max A kein; min A - kein untere Schranken: 1, q; obere: p q 2 r; inf A = q; sup A = p q 2 r Seite 77 Übung: Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm für (M, ), mit M = {t N : t teilt 30}. Geben Sie min M, max M, Infimum und Supremum an. Sei A = {2, 5, 10} M. Bestimmen Sie min A, max A, untere Schranken, Infimum, obere Schranken und Supremum. min A kein; max A = 10; untere Schranke: 1; obere Schranken 10,30 Seite 78 inf A = 1, sup A = max A = 10
Die Begriffsbildung des Verbandes geht auf Richard Dedekind zurück. Anwendungen: - Semantik der Programmiersprachen, - logische Schaltungen - der Programmanalyse - Algorithmik. Richard Dedekind (1831-1916) le:dedekind.jpeg Bildquelle: http://en.wikipedia a.org/wiki/richard_dedekind#mediaviewer/fil Seite 79