3. Funktionen mehrerer Veränderlicher 3.1 Definition Nov 5 16:37 Nov 9 14:27 Prof. Dr. B. Grabowski 1
Nov 9 14:30 3 D Plotter https://netmath.vcrp.de/downloads/systeme/sage/funktionsplotter3d.html Nov 9 09:23 Prof. Dr. B. Grabowski 2
Computerprogramme, z.b. Matlab Nov 9 09:42 3.2 Höhenlinien Beispiel: Gegeben sei f(x,y)= 3x+2y +1 Gesucht: a) Skizze von f(x,y) b) Höhenlinien mit Skizze Nov 9 09:15 Prof. Dr. B. Grabowski 3
Nov 9 14:41 Nov 9 14:45 Prof. Dr. B. Grabowski 4
Nov 9 14:49 Aufgabe: f(x,y)= 4 x y Berechnen und Skizzieren sie die Höhenlinien von f(x,y) für c=0,1,2,3 Nov 9 09:45 Prof. Dr. B. Grabowski 5
Nov 9 09:37 Nov 9 15:11 Prof. Dr. B. Grabowski 6
Vl und Übung Mathe 3 (Funktionen in 2 Variablen) MB Beispiel: Funktion und ihre Höhenlinien Nov 9 09:43 Landkarten: Höhenlinien Wetterkarten: Isobare, Isotherme Nov 9 09:32 Prof. Dr. B. Grabowski 7
Die Richtungsableitung Nov 5 16:43 Def.: Nov 5 16:44 Prof. Dr. B. Grabowski 8
Nov 9 15:22 Es ist wegen Nov 9 15:28 Prof. Dr. B. Grabowski 9
Nov 9 15:36 Nov 9 15:41 Prof. Dr. B. Grabowski 10
Grafische Darstellung von f(x,y), P0 und der Schnittkurve, sowie der Tangenten an die Schnittkurve im Punkt Po: Tangente Richtungsgerade; Schnittkurve Anstieg der Tangenten Nov 9 15:37 Partielle Ableitungen, Gradient und seine Eigenschaften Nov 5 16:43 Prof. Dr. B. Grabowski 11
Nov 9 15:49 Nov 9 16:07 Prof. Dr. B. Grabowski 12
Nov 9 16:13 Nov 9 16:18 Prof. Dr. B. Grabowski 13
Nov 9 16:21 Nov 9 16:26 Prof. Dr. B. Grabowski 14
Nov 9 16:29 Nov 9 16:34 Prof. Dr. B. Grabowski 15
Nov 9 16:36 Satz: z=f(x,y) 1) Der Gradient grad(po) steht senkrecht in Po auf der Höhenlinie, zu der Po gehört. 2) Er zeigt stets in Richtung des steilsten Anstieges von f(x,y) von Po aus gesehen (lokales Maximum) Aufgabe: f(x,y)= 4 x y a) Berechnen und Skizzieren sie die Höhenlinien von f(x,y) für c=0,1,2,3 b) Tragen Sie den Gradienten an die Höhenlinien ab in den Punkten P1=(1,1) P2=(2,0), P2=(0,2) Nov 9 09:55 Prof. Dr. B. Grabowski 16
Nov 9 09:37 Nov 9 09:58 Prof. Dr. B. Grabowski 17
Vl und Übung Mathe 3 (Funktionen in 2 Variablen) MB Praxis: Gradientensuchverfahren zur Extremwertsuche Nov 9 10:04 Nov 9 10:07 Prof. Dr. B. Grabowski 18
Tangentialebene und Totales Differential Nov 5 16:44 früher: Funktion in einer Variablen x Nov 9 16:57 Prof. Dr. B. Grabowski 19
In Analogie zum eindimensionalen Fall erhalten wir die Gleichungen für den Fall einer Funktion in mehreren Veränderlichen: Nov 9 17:09 Nov 9 17:11 Prof. Dr. B. Grabowski 20
Nov 9 09:31 Beispiel: Wie ändert sich der Gesamtwiederstand, wenn R1 um Δ1 von 100 und R2 um Δ2 von 200 abweicht? Aufgabe:...HA Nov 5 16:47 Prof. Dr. B. Grabowski 21
Extremwerte Satz: Wenn gradf(po)=0, so ist Po Extremwert (lokales Minimum oder lokales Maximum) (oder falls f: R R,ein Sattelpunkt) von f(p). Nov 5 16:47 Extremwerte von Funktionen in 2 Veränderlichen Nov 9 09:14 Prof. Dr. B. Grabowski 22
Nov 9 17:25 Beispiele: Berechnen Sie alle lokalen Extremwerte und Sattelpunkte von a) f(x,y)= 4 x y Übung G1+G2, 9.11.17 b) f(x,y)= x + y + 1000x + 1000y Nov 9 10:13 Prof. Dr. B. Grabowski 23
Nov 9 18:06 Nov 9 18:00 Prof. Dr. B. Grabowski 24
Nov 9 18:14 Klausurthemen 1) Integralrechnung: (bestimmt, unbestimmt) PI, Substitution, PBZ, (Max: 2 reelle) arctan Integral Flächenberechnung Polynomendivision bei unecht gebr. Polynomen!!! 2) Differentialgleichungen 1. Ordnung, AWP's TdV, VdK Zerlegungssatz (als Text Aufgabe und als reine Rechenaufgabe) Nov 9 10:25 Prof. Dr. B. Grabowski 25
3) Dgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, AWP's (als Textaufgabe, als reine Rechenaufgabe) Zerlegungssatz Allgemeine homogene bestimmen (Charakteristische Gleichungen lösen) Spezielle Lösung der inhomogenen bestimmen 4) Funktionen mehrerer Veränderlicher Richtungsableitungen 120 Minuten 5 Aufgaben Nov 9 10:37 Nov 10 11:34 Prof. Dr. B. Grabowski 26