74 Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen 44 Lokale Extrema und die Hessesche Form Sei jetzt wieder U R n offen und f:u R eine Funktion Unter einem lokalen Extremum der Funktion f verstehen wir folgendes: 428 Definition Die Funktion f hat an der Stelle p U ein isoliertes lokales Maximum (bzw Minimum), wenn es ein ǫ > gibt mit f(v) < f(p) (bzw f(v) > f(p)) für alle p v K ǫ (p) U Man spricht von einem nichtisolierten Maximum bzw Minimum, wenn statt der strikten Ungleichungen jeweils nur bzw gelten Ein notwendiges Kriterium für lokale Extrema lautet: 429 Satz Sei f:u R auf U partiell differenzierbar Hat f an der Stelle p U ein lokales Extremum, dann ist xj f(p) = für alle j = 1,,n Beweis Nehmen wir an, f hat bei p ein lokales Maximum Wählen wir jetzt eine Koordinatenrichtung e j aus Dann gilt insbesondere f(p+te j ) f(p) für genügend kleine t Also hat die Zuordnung t f(p+te j ) bei t = ein lokales Maximum und daher folgt aus der eindimensionalen Theorie xj f(p) = d dt f(p+te j) t= = Dies gilt für alle j = 1,,n qed Diejenigen Punkte p, bei denen die partiellen Ableitungen verschwinden, sind also Kandidaten für lokale Extrema Man nennt sie deshalb auch die kritischen Punkte von f Ist p ein kritischer Punkt, in dem weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum vorliegt, so spricht man von einem Sattelpunkt Wir fassen jetzt die partiellen Ableitungen von f an der Stelle p zu einem Vektor in R n zusammen Man spricht hier auch vom Gradienten von f an der Stelle p und verwendet die folgende Schreibweise: f(p) = ( x1 f(p),, xn f(p)) für p U 43 Beispiele 1 f(x,y) = x 2 +y 2 für x,y R Dann ist f(x,y) = (2x,2y) Das Differential von f verschwindet nur im Nullpunkt, und dort hat f ein isoliertes lokales (und absolutes) Minimum, denn x 2 +y 2 > für alle (x,y) (,) 2 f(x,y) = xy für x,y R Hier ist f(x,y) = (y,x) Wiederum verschwindet das Differential nur im Nullpunkt Dort hat f aber weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum, sondern einen Sattelpunkt Denn zu jedem ǫ > finden wir Punkte p ǫ = (ǫ,ǫ) und q ǫ = (ǫ, ǫ) in K ǫ() mit f(p ǫ ) = 1 4 ǫ2 > und f(q ǫ ) = 1 4 ǫ2 < In Richtung der Winkelhalbierenden liegt also ein lokales Minimum, in Richtung der Antidiagonalen ein lokales Maximum vor
44 Lokale Extrema und die Hessesche Form 75 3 Ein Sattelpunkt kann auch eine andere Gestalt haben Die Funktion f(x,y) = x 3 +y 2 zum Beispiel hat im Nullpunkt ebenfalls einen Sattelpunkt Aber hier haben wir in y-richtung ein lokales Minimum und in x-richtung einen (eindimensionalen) Sattel 4 f(x,y) = x 3 3 2 x2 + y 2 für x,y R Hier ist f(x,y) = (3(x 2 x),2y), es gibt also zwei kritische Punkte, nämlich (,) und (1,) Im Nullpunkt liegt ein Sattelpunkt vor (denn in x-richtung haben wir hier ein lokales Maximum und in y-richtung ein lokales Minimum) An der Stelle (1,) befindet sich ein lokales Minimum, denn sowohl in x-richtung, als auch in y-richtung ist hier ein lokales Minimum 5 f(x,y) = 1 (x 2 1) 2 y 2 für x,y R Dann ist f(x,y) = ( 4(x 2 1)x, 2y) Hier gibt es drei kritische Punkte, nämlich (±1,) und (,) In den Punkten (±1, ) hat f jeweils ein isoliertes lokales Maximum Denn offenbar ist f(x,y) 1, und Gleichheit gilt genau dann, wenn x 2 = 1 und y = ist Im Nullpunkt liegt ein Sattelpunkt vor Denn für < t 2 < 1 ist einerseits f(t,) = 1 (t 2 1) 2 > und andererseits f(,t) = t 2 < 6 f(x,y) = cosx für x,y R Der Gradient lautet f(x,y) = ( sinx,), kritische Stellen sind also die Punkte p k = (kπ,y) (k Z, y R) Ist k gerade, so liegt bei p k ein nichtisoliertes Maximum vor Ist k ungerade, so hat f bei p k ein nichtisoliertes Minimum 7 Die Funktion f(x,y) = (x 2 y x 1) 2 + (x 2 1) 2 hat genau zwei kritische Punkte bei p 1 = (1,2) und p 2 = ( 1,) Denn f(x,y) = (2(x 2 y x 1)(2xy 1)+2(x 2 1)2x,2x 2 (x 2 y x 1)) = (,) genau dann, wenn x 2 y x 1 = und x 2 = 1 Bei p 1 und p 2 nimmt f jeweils sein Minimum an Hier gibt es also zwei isolierte Minima und weder Sattelpunkte noch lokale Maxima Im eindimensionalen Fall wäre so etwas unmöglich Mithilfe der zweiten Ableitungen kann man - wie bei Funktionen in einer Variablen - in den meisten Fällen entscheiden, ob an einer bestimmten kritischen Stelle ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt Wir nehmen dazu jetzt an, die ersten partiellen Ableitungen von f seien wiederum partiell differenzierbare Funktionen Durch nochmaliges partielles Ableiten erhält man die zweiten partiellen Ableitungen an der Stelle a U: x k x j (a) := x k ( f x j (v)) v=a und 2 f (a) := ( f (v)) x 2 v=a k x k x k Es wird auch die Bezeichnung k j f(a) verwendet Für die Wahl der Zahlenpaare (k,j) gibt es insgesamt n 2 Möglichkeiten und entsprechend viele zweite partielle Ableitungen, die zu einer quadratischen Matrix zusammengestellt werden
76 Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen 431 Definition Die n n-matrix H f (a) := (a) x i x j i,j wird als Hessesche Matrix von f bei a bezeichnet Nehmen wir jetzt zusätzlich an, dass die zweiten partiellen Ableitungen von f überall stetig sind Man schreibt dafür f C 2 (U) 432 Lemma Sei f C 2 (U) Dann gilt die Matrix H f (a) ist symmetrisch Auf den Beweis verzichten wir hier ( x 2 y x x y y 2 x i x j (a) = 2 f x j x i (a) für alle i,j Das heisst, 433 Beispiele 1 f(x,y) = x 2 ) +y 2 für x,y R Dann ist f(x,y) = (2x,2y) und H f (x,y) = = 2 2 f(x,y) = xy für x,y R Hier ist f(x,y) = (y,x) und H f (x,y) = 1 1 3 f(x,y) = 1 (x 2 1) 2 y 2 für x,y ( R Dann erhalten ) wir f(x,y) = 12x ( 4(x 2 1)x, 2y) und H f (x,y) = 2 +4 Um nun das notwendige Kriterium für lokale Extrema formulieren zu können, brauchen wir die im vorigen Kapitel untersuchten Eigenschaften quadratischer Formen 434 Definition Eine symmetrische, reelle n n-matrix A heisst positiv definit, wenn die entsprechende quadratische Form q A (ausser bei ) nur positive Werte annimmt, das heisst q A (v) = v T Av > für alle v R n, v Entsprechend heisst A negativ definit, wenn q A (ausser bei ) nur negative Werte annimmt Wie im vorigen Kapitel gezeigt, können wir diese Eigenschaft folgendermassen charakterisieren: 435 Satz Eine symmetrische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn all ihre Eigenwerte positiv sind Sie ist genau dann negativ definit, wenn all ihre Eigenwerte negativ sind Hat die Matrix A sowohl negative als auch positive Eigenwerte, dann nennen wir A indefinit 436 Bemerkung Eine symmetrische invertierbare 2 2-Matrix A ist genau dann indefinit, wenn deta < ist Sie ist positiv (bzw negativ) definit, wenn deta > und Spur(A) > (bzw Spur(A) < ) ist
44 Lokale Extrema und die Hessesche Form 77 Hier nun das gewünschte Kriterium: 437 Satz Seif C 2 (U)füreineoffeneTeilmenge U R n Sei a U einekritische Stelle von f Dann gilt: 1 Ist die Hessesche Matrix H f (a) positiv definit, so hat f bei a ein isoliertes lokales Minimum 2 Ist die Hessesche Matrix H f (a) negativ definit, so hat f bei a ein isoliertes lokales Maximum 3 Ist H f (a) indefinit, so hat f bei a kein lokales Extremum, sondern einen Sattelpunkt Für n = 1 ist f(a) = (f (a)), kritische Stellen sind also gerade die Nullstellen von f Ausserdem hat die Hessesche Matrix dann den Typ 1 1 und ist genau dann positiv (bzw negativ) definit, wenn f (a) positiv (bzw negativ) ist Also verallgemeinert dieser Satz das bekannte Kriterium für Funktionen einer Variablen Für den Beweis des Satzes benötigt man einen anderen Zugang zur Differenzierbarkeit und eine Taylorentwicklung im Mehrdimensionalen Diese Dinge werden im nächsten Kapitel nachgetragen Überprüfen wir nun zunächst die Aussagen des Satzes an den oben angegebenen Beispielen 438 Beispiele 1 f(x,y) ( = x 2 +y ) 2 für x,y R Die Hessesche Matrix im Nullpunkt lautet H f (,) = Diese Matrix hat den doppelten Eigenwert 2 2, ist also positiv definit Deshalb hat f im Nullpunkt ein isoliertes Minimum, wie wir bereits oben direkt gesehen haben 2 f(x,y) = xy für x,y ( R Die) einzige kritische Stelle ist wiederum der Nullpunkt und H f (,) = Diese Matrix hat die Eigenwerte ±1, ist also 1 1 indefinit Und tatsächlich hat f im Nullpunkt einen Sattelpunkt 3 f(x,y) = 1 (x 2 1) 2 y 2 für x,y ( R Die Hessesche ) Matrix an einer 12x Stelle (x,y) lautet hier H f (x,y) = 2 +4 Für den Nullpunkt 4 erhalten wir H f (,) = Diese Matrix ist indefinit, denn sie hat die Eigenwerte 4 und 2 Also hat f im Nullpunkt einen Sattelpunkt An den 8 beiden anderen kritischen Stellen haben wir H f (±1,) = Hier ist die Hessesche Matrix negativ definit und deshalb hat f dort jeweils isolierte Maxima, in Übereinstimmung mit dem früheren Ergebnis 4 Sei jetzt f(x,y) = x 3 + xy + y 2 für x,y R Der Gradient von f lautet f(x,y) = ( 3x 2 + y,x+2y) Er verschwindet genau dann, wenn x = 2y
78 Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen und 12y 2 + y = sind Die Funktion f hat also zwei kritische Punkte: p 1 = (,) und p 2 = ( 1, 1 ) Die Hessematrix an der Stelle (x,y) lautet: 6 12 6x 1 H f (x,y) = Für den Nullpunkt erhalten wir H f (,) = 1 Diese Matrix hat die Spur 2 und Determinante 1, also müssen die Eigenwerte verschiedenes Vorzeichen haben und H f (,) ist indefinit Also liegt im Nullpunkt ein Sattelpunkt vor Für den zweiten kritischen Punkt ist 1 1 H f (p 2 ) = Hier ist die Spur gleich 3 und die Determinante ist gleich 1 Also sind beide Eigenwerte positiv, H f (p 2 ) ist positiv definit und an der Stelle p 2 liegt ein Minimum vor cosx 5 Für f(x,y) = cosx ist f(x,y) = ( sinx,) und H f (x,y) = ( ) coskπ An den kritischen Stellen p k = (kπ,) ist H f (kπ,) = = ( 1) k+1 Die Hessesche Matrix ist hier also weder positiv noch negativ definit, noch indefinit, und über diesen Fall macht der Satz keine Aussage 439 Bemerkung Ist a ein kritischer Punkt von f und ist H f (a) positiv semidefinit, das heisst, sind sämtliche Eigenwerte von H f (a) grösser oder gleich Null und ist mindestens ein Eigenwert positiv, dann kann f bei a ein isoliertes oder nichtisoliertes lokales Minimum oder einen Sattelpunkt haben Aber ein lokales Maximum ist ausgeschlossen 44 Beispiele Die Funktion ( f(x,y) ) = x 2 +y 3 hat im Nullpunkt einen Sattelpunkt und H f (,) = Die Funktion f(x,y) = x( 2 +y 4 hat ) im Nullpunkt ein isoliertes Minimum, und wiederum ist H f (,) =