Spezielle Relativitätstheorie, allgemeine Relativitätstheorie, Gravitationslinsen Workshop MNU-Tagung Leipzig 2016 Technische Universität Dresden Dr. rer. nat. Frank Morherr
Albert Einstein und das Universum Kurzbiographie: 1879 geboren 14. März in Ulm 1896 Maturitätsexamen in Aarau. Physikstudium in Zürich 1902 Patentamt in Bern 1905 spezielle Relativitätstheorie 1908 Habilitation 1915 Allgemeine Relativitätstheorie 1921 Nobelpreis 1933 Umzug nach Princeton 1955 Stirbt am 18. April
Spezielle Relativitätstheorie Raum + Zeit = Raumzeit Zeitdehnung Längenkontraktion Massenzuwachs
Galilei-Transformation und Lorentz-Transformation Galilei-Transformation: Wir betrachten zwei Beobachter deren Koordinatensystem Σ und Σ' zur Zeit 0 denselben Ursprung hat, die sich aber mit der Geschw. v in x-richtung bewegt. Ihre Koordinaten sind dann folgendermaßen verknüpft: Die Galilei-Transformation lässt die euklidische Metrik Lorentz-Transformation (für Bewegung in x-richtung): invariant. Für v<<c geht diese Transformation in die Galilei-Transformation über. Sie lässt die Minkowski-Metrik invariant.
Formeln der speziellen Relativitätstheorie Zeitdilitation: Addition von Geschwindigkeiten u und v: Bewegte Uhren gehen langsamer. Längenkontraktion: Bewegte Maßstäbe erscheinen verkürzt. Massenzuwachs: Impuls: Energie: Energie-Impuls- Beziehung: Geht für klassische über in das
Einteilung der Achsen in Größenordnung der Lichgeschwindigkeit Horizontale Achse für Raumkoordinate, vertikale Achse für Zeit Geschwindigkeit von 0,6 c entspricht Länge von 0,8 Ls aufgrund des Lorenzfaktors Minkowski-Diagramm
Gleichzeitigkeit ist Systemabhängig
Garagenparadoxon
Relativistischer Dopplereffekt
Visualisierte Lorentz-Kontraktion
Visualisierte Lorentz-Kontraktion Wieso kann man die Rückseite sehen? Wenn die Platte sich schnell genug bewegt, genug bewegt, gelang Licht von der Rückseite zum Beobachter B Quelle: Fokus Sek II
Visualisierte Lorentz-Kontraktion
Nachweise der speziellen Relativitätstheorie
Herleitung von E=mc²
Paul Diracs Kunstgriff: Spin und Antimaterie aus der Relativitätstheorie (Nobelpreis 1933 mit E. Schrödinger))
Stern-Gerlach-Versuch: Nebelkammer mit eingebauter Bleiplatte zur Bestimmung der Flugrichtung und damit der Krümmungsrich
Allgemeine Relativitätstheorie Massen krümmen die Raumzeit, wodurch umlaufende Körper wie auf einer schiefen Ebene eine Kraft nach innen erfahren. Albert Einstein (1879-1955) Beschrieb Verhalten von Körpern unter Schwerkraft, doch Grund für deren Existenz fand er nicht. Isaac Newton (1643-1727)
Was ist Krümmung? Gerade soll Krümmung Null haben. Prototyp Kreis - großer Radius, kleine Krümmung: - kleiner Radius, große Krümmung: Daher liegt nahe zu definieren: Krümmung k = 1/R
Wie passt die Gerade hier rein? Erdoberfläche ist gekrümmt, trotzdem hielt sich hartnäckig bis ins 15.Jh. die Ansicht einer Scheibe. Grund: Erdradius so groß, dass man Krümmung auf 1. Blick nicht sieht. Gerade ist Kreis mit großem Radius.
Krümmung anderer Kurven der Gestalt Differentialrechnung: y 3.75 Steigung Kurve = Steigung Tangente = 2.5 1.25 0 Krümmung Kurve = Krümmung des Krümmungskreises -2.5-1.25-1.25-2.5 0 1.25 2.5 x Vorzeichen der Krümmung durch: ghghg Was ist der Krümmungskreis? Annäherung von P und P auf P ergibt Krümmungskreis mit Radius
Krümmung mit Vorzeichen Mathematisch positive Richtung ist entgegen dem Urzeigersinn, daher Positiv = Linkskrümmung Steigung der Ableitung wächst Negativ = Rechtskrümmung Steigung der Ableitung fällt
Krümmung von Kurven in anderen Darstellungen Für Kurven der Gestalt Beispiel Ellipse mit Parameter t gilt für die Krümmung
Herleitung der Krümmungsformel
Schnittkrümmung von Flächen Schnitt von Flächen mit Ebenen ergibt Schnittkurven mit Krümmung Hauptkrümmungen = minimale und maximale Krümmung Satz von Meusnier: Abhängigkeit Krümmung von Winkel der Schnittebene: Krümmungskreise aller ebenen Schnitte durch dasselbe Linienelement, d.h. Punkt mit zugehöriger Tangentenrichtung der Fläche liegen auf einer Kugel Hauptkrümmungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander.
Gaußsche Krümmung K Theorema Egregium: Gaußkrümmung K hängt nur von der Inneren Geometrie der Fläche ab, nicht von dem umgebenden Raum
Theorema Egregium von Gauß
Anwendung: Ist das Universum flach oder gekrümmt? Gauss, 1818: Messung der Winkelsumme im Dreieck Brocken-Inselsberg-Göttingen Erdkrümmung <1 Winkelsumme: 180 1 0 0 Winkelsumme: 180 1 Winkelsumme: 180 0 Messung durch Interferometer, z.b. Lisa (ursprünglich zum Nachweis von Gravitationswellen)
Mittlere Krümmung H Bei Minimalflächen = Flächen minimaler Oberfläche bei vorgegebenem Rand Beispiel: H = 0 Seifenhautgebilde Oberflächenenergie ist minimal
Geodäte ist lokal kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Fläche Teile von Geraden auf Ebenen Teile von Großkreisen auf Kugeln - Fluglinien Allgemein: Lösungen der Geodätengleichung Geodäten Hjjjk
Der Riemannsche Krümmungstensor Auf gekrümmten Flächen ändern Vektoren nach Paralleltransport ihre Richtung. Einführung des Symbols als Ableitung des Vektorfeldes Y in Richtung des Vektorfeldes X Riemannscher Krümmungstensor: In lokalen Koordinaten:
Einsteinsche Feldgleichung Ric : Riccitensor R : Skalarkrümmung, Spur von Ric, R = 2K, K G.-Krümmung T : Energie-Impuls-Tensor g : Metrik (Abstandsfunktion) Λ : Kosmologische Konstante Spezielle Lösung: Schwarzschildmetrik eines schwarzen Loches:
Die Schwarzschildmetrik
(mit Skalierung G = c = 1) Die Schwarzschildmetrik
Äußere Schwarzschildmetrik
Äußere Schwarzschildmetrik
Geometrie der Schwarzschildmetrik
Innere Schwarzschildmetrik
Innere Schwarzschildmetrik
Innere Schwarzschildmetrik
Raumkrümmung in der allgemeine Relativitätstheorie In großen Schwerefeldern vergeht die Zeit langsamer. Auf Neutronensternen könnte man seinen Hinterkopf sehen, da Licht um den Stern herumläuft.
Nachweise der allgemeinen Relativitätstheorie Periheldrehung des Merkur Schwarze Löcher als Gravitationslinse Scheinbare Positionsänderung von Sternen bei totaler Sonnenfinsternis
Periheldrehung des Merkur Keplersches Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht Beeinflussungen der Planeten untereinander führen zu Störungen, so dass sich der sonnennächste Punkt (Perihel) mit der Zeit verschieben kann Perihel des Merkur dreht sich auch abzüglich der Einflüsse der anderen Planeten noch zusätzlich um die Sonne mit einer Winkelgeschwindigkeit von 43,1±0,5 Bogensekunden pro Jahrhundert. Erst mit der Allgemeinen Relativitätstheorie konnte dieser Effekt erklärt werden. Um das relativistische Ergebnis mit dem klassischen vergleichen zu können, rekapitulieren wir zunächst Newtons klassische Überlegungen. Einsichtig wird dies so: Schneidet man die sich im Zentralkraftfeld ergebende Ellipse ein und drückt sie zusammen, so schließt sie sich nicht mehr sondern wird rosettenförmig und der Raum wird ein Kegel Göbel, Holger: Gravitation und Relativität
Geometrie der allgemeinen Relativitätstheorie Darstellung der zur Schwarzschild-Metrik geodätisch äquivalenten Metrik mittels einer Rotationsfläche. Die Zeitkoordinate t läuft in azimutaler Richtung um die Rotationsfläche, die Radiuskoordinate r läuft in Richtung der Symmetrieachse Freier Fall eines Körpers in der Darstellung mit der zur Schwarzschildmetrik geodätisch äquivalenten Metrik. Die Fallkurve ist in dieser Darstellung eine geodätische Linie, also eine Linie kürzesten Abstandes auf der Rotationsfläche Göbel, Holger: Gravitation und Relativität Darstellung eines Körpers, der mit unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten vom Erdboden (h=0) aus hochgeworfen wird. Mit niedriger Anfangsgeschwindigkeit (links) erreicht der Körper nur eine geringe Höhe, mit größerer Geschwindigkeit (rechts) steigt der Körper höher und bleibt länger in der Luft, bevor er zurück auf den Boden fällt.
Berechnung der Periheldrehung Klassisches Ergebnis
Ergebnis mittels Schwarzschildmetrik
Damit gilt:
Lichtablenkung
Einsteinlinsen, Einsteinkreuze und Anwendung
Dunkle Materie Dunkle Materie, die nicht direkt sichtbar, aber mit Gravitations-Wechselwirkung behaftet ist, wird in der Kosmologie postuliert, weil im Standardmodell der Kosmologie nur so die Bewegung der sichtbaren Materie erklärt werden kann, insbesondere die Geschwindigkeit, mit der sichtbare Sterne das Zentrum ihrer Galaxie umkreisen. In den Außenbereichen ist diese Geschwindigkeit deutlich höher, als man es allein auf Grund der Gravitation der Sterne, Gas- und Staubwolken erwarten würde. Indirekt ist die Dunkle Materie durch ihre Gravitationswechselwirkung dennoch beobachtbar, z. B. durch Gravitationslinsen in der Astronomie
Zukunft des Universums Robertson-Walker-Metrik (Grundlage kosmologisches Prinzip: Dichte und Druck homogen und Weltall nach jeder Richtung isotrop)
Robertson-Walker-Metrik Daraus resultierender Energie- Impuls-Tensor Weltmodelle liefert Friedmannmodell mit und effektivem Potential Es gilt mit Heutiger Kosmos Einstein-de-Sitter Kosmos
Räumliche Krümmung, zeitliche Krümmung und raumzeitliche Krümmung: Eine Veranschaulichung Einzelheiten: Siehe Sterne und Weltraum Feb. Seite 38/März Seite 50
Relativitätstheorie im Alltag Was Navigationssysteme mit Einstein zu tun haben Global Position System (GPS)
Literaturverzeichnis [1] Kühnel, Wolfgang: Differentialgeometrie, Kurven Flächen Mannigfaltigkeiten; Vieweg 2008 [2] Oloff, Rainer: Geometrie der Raumzeit; Vieweg 2008 [3] Fließbach, Thorsten: Allgemeine Relativitätstheorie, Spektrum Verlag [4] Gläser, Georg; Polthier, Konrad: Bilder der Mathematik; Spektrum Verlag [5] Übelacker, Erich: Moderne Physik: Tessloff Verlag 1986 [6]http://www.spektrum.de [7] http://www.pm-magazin.de [8] http://library.kiwix.org/wikipedia_de_all/a/gro%c3%9fkreis.html [9] http://commons.wikimedia.org/wiki/file:enneper_jd.png [10] http://commons.wikimedia.org/wiki/file:henneberg_jd.png [11] http://commons.wikimedia.org/wiki/file:katenoid_jd.png [12] http://www.lilano.de/catalog/kugel-berliner-fernsehturm-p- 334.html?language=de [13] http://www.christiankopka.de/kopiestudserver/diplomarbeit/ Dupin/dupin.html [14] http://www.mathematische-basteleien.de/platonisch.htm
[15] Kaufmann, Joe: Mein erstes Buch von Himmel und Erde; Otto Maier Verlag 1978 [16] http://www.google.de/search?q=olympiastadion+m%c3%bcnchen&safe= off&hl=de&rlz=1t4meda_dede336de338&source=lnms&tbm=isch&sa= X&ei=RqGXUauIOYObtQbfqoD4Bw&ved=0CAoQ_AUoAQ&biw=881&bih=437 [17] http://www.google.de/search?q=escher&safe=off&hl=de&rlz=1t4meda_ dede336de338&source=lnms&tbm=isch&sa=x&ei=u5- XUYzQIYbhtQbZjoHgAQ&ved=0CAoQ_AUoAQ&biw=881&bih=437 [18] http://commons.wikimedia.org/wiki/file:scherksche_minimalflaeche.png [19] http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec15.html [20] http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/module/kurven/pages/node21.htm [21] http://www.google.de/search?safe=off&hl=de&site=imghp&tbm=isch&source =hp&biw=881&bih=437&q=torus&oq=torus&gs_l=img.3..0l10.2868.4543.0. 4931.5.5.0.0.0.0.263.914.0j4j1.5.0...0.0...1ac.1.14.img.ntJHHqU-01Y [22] http://www.takimo.de/lexikon/urknall2.html [23] http://www.nasa.gov [24] http://www.einsteingalerie.de/bio/atom.html [25] Göbel, Holger: Gravitation und Relativität, De Gruyter Verlag 2014 [26] Roger Erb et al.: Fokus Physik Gesamtband SII, Cornelsen-Verlag 2014