Elektrische Maschinen und Antriebe Vorlesungsinhalt 1. Einleitung. Drehfelder in elektrischen Maschinen. Mathematische Analyse von Luftsaltfeldern 4. Sannungsinduktion in Drehstrommaschinen 5. Die Schleifringläufer-Asynchronmaschine 6. Die Kurzschlussläufer-Asynchronmaschine 7. Antriebstechnik mit der Asynchronmaschine 8. Die Synchronmaschine 9. Erregereinrichtungen und Kennlinien 10. Gleichstromantriebe /1
. Mathematische Analyse von Luftsaltfeldern /
Elektrische Maschinen und Antriebe. Mathematische Analyse von Luftsaltfeldern.1 Grund- und Oberwellen von Luftsaltfeldern. FOURIER-Reihenentwicklung zur Ermittlung von Grund- und Oberwellen. FOURIER-Reihe von gleichstromerregten Polradfeldern /
Wellen versus Schwingungen - Periodische Welle: eine Größe ändert sich räumlich und zeitlich eriodisch - Schwingung: nur zeitlich eriodische Änderung Wechselstrom je Strang i(t): ist Schwingung Feldverteilung B (x,t) im Luftsalt ist Welle i W i U i V ~ B (x,t) t = 0 Phasenfolge U, V, W m =, q = /4
Grund- und Oberwellen - Treenförmige Luftsalt-Feldwelle B (x,t) kann als (unendliche) Summe von Grund- und Oberwellen dargestellt werden = FOURIER-Reihe m =, q = i V = i W = - i U / ~ B (x,t) 5. Oberwelle: Sinuswelle mit Wellenlänge = 10 Grundwelle: Sinuswelle mit Wellenlänge = /5
Grundwelle: Drehwelle versus Wanderwelle Drehwelle: x ist Ständer-Umfangskoordinate (rotierende Maschine) Wanderwelle: x ist Ständer-Längskoordinate (Linearmaschine) B x, t) Bˆ x cos 1 ( 1 f t Wellengeschwindigkeit: Mitbewegter Beobachter sieht konstante Phase: Argument des cos() = Konst. x f t Konst. ˆ x Welle in Gegen-Richtung: B 1( x, t) B 1cos( f t) x ( Konst. ft) syn dx dt /6 v d dt ( Konst. ft) f f syn v
Drehwelle im Kraftwerksgenerator Beisiel: f = 50 Hz: v syn in m/s so groß wie die Polteilung in cm: m / s cm v syn Zweioliger Turbogenerator ( = ) in kalorischem Kraftwerk: n syn = 000/min: - Bohrungsdurchmesser d si = 1. m, Polteilung = 1./ = 1.88 m = 188 cm - v syn = 188 m/s = 676 km/h = Umfangsgeschwindigkeit des Läufers, der synchron mit der Drehwelle läuft (Synchronmaschine!) f = 50 Hz: m / s cm v syn uelle: Wikiedia /7
Wechselfelder stehende Wellen Stehendes Feld (Wechselfeld): ändert die Lage der Knoten (Nullstellen) und Bäuche (Maxima) nicht, ulsiert aber in der Amlitude. Zeit t = 0: Maximum bei x = 0 hat Amlitudenwert t = T/8: Bˆ 1 /, t = T/4: Null, B t = T/: Bˆ1 usw. Bˆ1 ( x, t) Bˆ 1 cos x cos(f 1 t ) /8
Elektrische Maschinen und Antriebe Zusammenfassung: Grund- und Oberwellen von Luftsaltfeldern - Unterscheide Schwingungen und Wellen! - Unterscheide stehende und wandernde (drehende) Wellen! - Das Luftsaltfeld ist eine Drehwelle mit ausgerägter Sinus-Grundwelle - Für die elektromechanische Energiewandlung wird nur die Grundwelle genützt /9
Elektrische Maschinen und Antriebe. Mathematische Analyse von Luftsaltfeldern.1 Grund- und Oberwellen von Luftsaltfeldern. FOURIER-Reihenentwicklung zur Ermittlung von Grund- und Oberwellen. FOURIER-Reihe von gleichstromerregten Polradfeldern /10
FOURIER-Reihe: Eine eriodische Funktion V() mit der Periode kann in eine unendliche Summe von sinusförmigen Funktionen dargestellt werden. Ordnungszahlen: Amlituden:, FOURIER-Reihe: Ermittlung von Grund- und Oberwellen V ( ) V Mittelwert: 0 ˆ, a cos( ) V, b sin( ) 1,,,... Magnetische Sannungen der Luftsaltfelder: a) KEIN UNIPOLAR-Fluss: V 0 = 0 b) Funktion V abszissensymmetrisch: KEINE geraden Ordnungszahlen c) Funktion V gerade Funktion Nullunkt so gelegt, dass V() = V(-): KEINE Sinus-Terme 1,,,... ˆ 1 1 V, a V ( ) cos( ) d, b V ( ) sin( ) d 0 0 1 V0 V ( ) d 0 x 0 0 x /11
Eigenschaften des magnetischen Drehfelds B im Luftsalt B ( ) 0 V ( )/ Beisiel: q =, m =, ungesehnte Sulen, t = 0 V( ) V( ) V ( ) V 0 0 -/ 0 / x / Abszissensymmetrie: V ( ) V( ) V ( ), a cos( ) 1,5,7,... Weil das Luftsaltfeld von einer m = -strängigen Wicklung erregt wird, treten keine durch teilbaren Ordnungszahlen auf! /1
Luftsaltfeldkurve einer ungesehnter Sule (q = 1) Magnetische Sannung V c (x) ist Rechteckfunktion, Nut-Durchflutung: 1-Schicht-Wicklung: = N c i c, -Schicht-Wicklung: = N c i c Umfangswinkel: x / Beisiel: Vierolige Maschine: Halber Umfang = in "mechanischen Graden", sind aber zwei Polteilungen x =, daher =, in "elektrischen Graden" -Schicht-Wicklung: = N c i c B ( ) 0V c( )/ 1-Schicht-Wicklung: = N c i c /1
Mechanische versus elektrische Gradzählung Beisiel: = 4: el / m = 60 elektrisch Eine Wellenlänge = 60 elektrisch Umfang der Maschine = 60 mechanisch Umfang der Maschine = 60 mechanisch el / m /14
FOURIER-Reihe des Felds ungesehnter Sulen (q = 1) x / ˆ, cos( ) 1,,5,... V c ( ) Vc c, 1 4 Θ Θ 4 Vc ( )cos( ) d Vc ( )cos( ) d cos( ) d sin 0 c, Θ 4 Vc ( )cos( ) d sin 0 0 / V c ( ) Vc ( ) Abszissensymmetrie V c ( ) V c ( ) gerade Funktion 1,, 5,... 1,, 5,... 0 1,, 5,... /15
FOURIER-Reihe des Felds ungesehnter Sulen (q = 1) 4 / 1/5 vˆc, 1 1, x / ˆ, cos( ) 1,,5,... V c ( ) Vc ˆ c, V, 5, 7,... Θ 4 sin sin 1,-1,1,-1,... -1/7-1/ vˆ c, Θ c, 1 sin 4 1 5 7 1-1/ 1/5-1/7 /16
FOURIER-Reihe des Felds gesehnter Sulen (q = 1) W W Beisiel: -Schichtwicklung q = 1, W/ = /, m = c, 1 0 4 Vc ( )cos( ) d W 0 Θ 1, Θ cos( ) d, 5,... Vergleich zu ungesehnten Sulen: Amlituden um den "Sehnungsfaktor" k, kleiner: 4 W sin k, W sin /17
Sehnungsfaktor k, W sin Beisiel: W/ = 5/6 (q = ): = 1: k 1 = 0.966, = 5: k 5 = 0.59 Sonderfall: Ungesehnte Sulen: W/ = 1 k, W sin sin /18
Feldkurve einer Sulengrue q > 1 Beisiel: -Schichtwicklung q =, W/ = 1, m = +U+U -U-U +U+U Zonen des Strangs U Zonenbreite : /m = / /m = / Amlitude: q / bei q = : Amlitude ist m q 6 0 Nullunkt des Felds einer Sule Nullunkt des Felds einer Sulengrue /19
FOURIER-Reihe des Felds einer Sulengrue q > 1 Magnetische Sannung einer ungesehnten Sulengrue: = 1,, 5,... gr, 0 V gr q ( )cos( ) d sin( ) 4 sin m q sin( ) mq Beisiel: q =, W/ = 1, m = "Zonenfaktor q / W = k d, sin( ) m q sin( ) mq 0 /0
Zweischicht-Wicklung ungesehnt: Windungszahl je Strang qθ qn i c c qn a c aic N i gr, N i 4 sin k d, N c i c i a i c Einschicht-Wicklung: qθ qnci c qn a c aic N i gr, N i 4 sin k d, N c i c Zweischicht-Wicklung gesehnt: ˆ i 4 W Vgr, N sin kd, /1
FOURIER-Reihe: Feld des Wicklungsstrangs q > 1, W/ 1 FOURIER-Analyse der Kurve V strang () eines Wicklungsstrangs: Strangstrom strang i 4, N k, kd,, i I cos( t) 1,, 5,... Die magnetische Sannungsverteilung ist eine Summe stehender, ulsierender Wellen ( Wechselfeld ). strang N 1, k, kd, I, 1,, 5,... V strang "Wicklungsfaktor" (, t) k strang, cos( ) cos( t) 1,,5,... k k w,, d, /
Beisiele gängiger Drehstrom-Wicklungen Sehnungs-, Zonen- und Wicklungsfaktoren für ungesehnte -strängige Drehstrom- wicklungen mit 6, 1 und 18 Nuten je Polaar / Beisiel 1: / = 6, q = 1, W/ = 1: elektrische erregte Synchron-Lichtmaschine (1-olig), TRANSRAPID-Wanderfeldwicklung für ele. erregten Synchron-Linearmotor Die Sehnung W/ = / mindert alle Amlituden gleichartig und wird daher in der Praxis nicht eingesetzt. Beisiel : / = 1, q =, W/ = 1: erm.erregte Synchronmaschine im Hybridauto (Toyota Prius II), 8-olig Die Sehnung W/ = 5/6 mindert selektiv Amlituden und wird daher in der Praxis häufig eingesetzt, aus Kostengründen erst bei größeren E-Maschinen. Beisiel : / = 18, q =, W/ = 7/9: vierolige Käfigläufer-Asynchronmaschine uelle: Siemens AG, Deutschland /
Beisiel: Gängige Drehstrom-Wicklungen Sehnungs-, Zonen- und Wicklungsfaktoren für gesehnte -Schicht-Drehstromwicklungen mit 6, 1 und 18 Nuten je Polaar / A B C q = 1, W/ = / / = 6 q =, W/ = 5/6 / = 1 q =, W/ = 7/9 / = 18 k, k d, k w, k, k d, k w, k, k d, k w, 1 0.866 1 0.866 0.966 0.966 0.9 0.940 0.960 0.90 5-0.866 1-0.866 0.59 0.59 0.067-0.174 0.18-0.08 7 0.866 1 0.866 0.59-0.59-0.067 0.766-0.177-0.16 11-0.866 1-0.866 0.966-0.966-0.9 0.766-0.177-0.16 1 0.866 1 0.866-0.966-0.966 0.9-0.174 0.18-0.08 17-0.866 1-0.866-0.59-0.59 0.067 0.940 0.960 0.90 19 0.866 1 0.866-0.59 0.59-0.067-0.940 0.960-0.90 Sehnungs- und Zonenfaktor SCHWÄCHEN bestimmte Oberwellenamlituden AB. Der Wicklungsfaktor ist eine PERIODISCHE Funktion der Ordnungszahl. /4
Einlegen von Formsulen als Zweischichtwicklung in einen vieroligen Stator (Asynchron-Windgenerator) Wickelkof = 7 Nuten 7 Sulen m = Stränge Statorblechaket Sulenenden = 4 Pole q = 6 Nuten ro Pol und Strang m q 46 7 /5 uelle: Winergy Deutschland
Komlettierte Zweischicht-Drehstromwicklung im Stator eines Asynchrongenerators = 7 Nuten 7 Sulen m = Stränge = 4 Pole q = 6 Nuten ro Pol und Strang m q 46 7 - Zweischichtwicklung mit Formsulen nach dem Tränken und Aushärten des Tränkharzes - Einige Harztrofen werden noch entfernt, um eine glatte Statorinnenoberfläche für den relativ kleinen Luftsalt zu erreichen uelle: Winergy, Deutschland /6
FOURIER-Reihe des Felds einer Drehstromwicklung Wechselfeld je Strang: Je um / räumlich versetzt (Stränge U, V, W). Die drei V V V U V W Stränge werden durch um je T/ hasenversetzte Sinuswechselströme geseist. (, t) strang, cos( ) cos( t) (, t) strang, cos( ( / )) cos( t / ) (, t), cos( ( 4 / )) cos( t 4 / ) strang Wechselfeld je Strang in gegen- und mitlaufende Drehwellen zerlegt mit trigono- V V V U V W metrischem Summensatz (, t) (, t) (, t) strang, cos cos /7 1 cos( ) cos( ) strang, cos( t) cos( t) strang, cos( t ) cos( t 4 4 strang, 4 4 cos( t ) cos( t ) strang, strang, -te Oberwelle )
Stehendes ulsierendes Feld als Summe zweier gegenläufiger Wanderwellen Stehendes ulsierendes Feld: V U (, t) cos( ) cos( t) Summe zweier gegenläufiger Wanderwellen: V U (, t) cos( t) cos( t) -v -v -v +v +v +v /8
Grundwelle des Luftsaltfelds = 1 Summenwirkung der drei Wechselfelder U, V, W: V V V V (, t) z. B.: = 1: Grundwelle ˆ strang,1 Vstrang (, t) cos( t) 4 ˆ strang,1 V (, t) cos( t ) 8 ˆ strang,1 V (, t) cos( t ) Summe ist Drehwelle: ( V (, t) V (, t) V (, t)) U V W 1,,5,... 1,,5,...,1 U1 t cos( ) strang,1 V1 t Mit cos( ) cos( 4 8 ) cos( ) 0, t cos( ) strang,1 W1 t ( Grundwelle ) cos( ) folgt : V ˆ 1( x, t) Vstrang, 1 cos( t) V (, t) Im B e j A e j ( 4 /) A B C Re C e B 0V 0 / j ( 8 /) /9
/0 Oberwellen des Luftsaltfelds > 1 (1) t t, = = 5 = 7 4 16 4 4 4 4 4 : 1 16 8 1 : : 7 7 5 5 7 7 5 5 7 7 5 5 c b a ) cos( ) cos( ) cos( c b a d 7 5 cos 0 0 cos 0 0 : a a d Summieren der MIT- und GEGEN-Felder je Oberwellen-Ordnungszahl GEGEN MIT GEGEN MIT GEGEN MIT
Oberwellen des Luftsaltfelds > 1 () Summenwirkung der drei Wicklungsstränge für > 1: V (, t) 0 0 0 V ˆ 5(, t) Vstrang, 5 cos(5 t) V ˆ 7(, t) Vstrang, 7 cos(7 t) V9 (, t) 0 0 0 Für =, 9, 15,... (Ordnungszahlen, die durch drei teilbar sind), ist die Summenwirkung der drei Stränge stets Null: die mit- und gegenlaufenden Teildrehwellen löschen einander aus. Für = 1, 7, 1, 19,... löschen sich die drei gegenlaufenden Teilwellen aus, die drei mitlaufenden Teildrehwellen addieren sich gleichhasig; diese Oberwellen laufen MIT der Grundwelle. Für = 5, 11, 17,... löschen sich die drei mitlaufenden Teilwellen aus, die drei gegenlaufenden Teildrehwellen addieren sich gleichhasig; diese Oberwellen laufen GEGEN die Grundwelle. Fazit: Eine dreisträngige Drehfeldwicklung, geseist von einem symmetrischen Drehstromsystem, erregt eine stufenförmige Durchflutungsverteilung V(x,t), die in Grund- und Oberwellen zerlegt werden kann. Es treten nur ungerade, nicht durch teilbare Ordnungszahlen = 1, 5, 7, 11, 1, 17, 19,... auf. /1
Feld-Summenwirkung der drei Stränge Summenwirkung der drei Wicklungsstränge: V ˆ (, t) Vstrang, cos( t) Strangfeldamlitude x / = Drehfeldamlitude! Allgemein: Summenwirkung der m Wicklungsstränge: m V ˆ (, t) Vstrang, cos( t) Strangfeldamlitude x m/ = Drehfeldamlitude! /
Ordnungszahl der Oberwellen des Luftsaltfelds V ( x, t) V 5 ˆ5 1 5x cos( x cos( t) 5x cos( t) t) 7 7x cos( t) V 11 ˆ11 11 x cos( t) 11 x cos( t ) 1 1x cos( t)... V ( x, t) 1, 5,7, 11,1,... x cos( t) Strangzahl m: meist m = : = 1, -5, 7, -11, 1, -17,... 1 m g g 0, 1,,,... 1 6 g 1, 5,7, 11,1,... /
Grund- und Oberwellen des Luftsaltfelds V ( x, t) V 1,... ( x, t) 1,... m N k w, I x cos( t) B ( ) 0 V ( ) / m = : = 1, -5, 7, -11, 1, -17,... Strangzahl m: meist Vorzeichenbehaftete Ordnungszahl: Die Umlaufgeschwindigkeiten der Oberwellen sinken mit 1/ : 1 mg g 0, 1,,,... v syn, f / Amlituden, bezogen auf Grundwelle: v syn /5 v syn /11 v syn /1 v syn / 7 Bˆ Bˆ 1 Fe v syn 1 f 1 k k w w1 /4
Grund- und Oberwellenamlituden des Luftsaltfelds Amlituden, bezogen auf Grundwelle: 1-5 7-11 1-17 19 q = 1, W/ = /, / = 6 100-0 14. -9.1 7.7-5.6 5. Bˆ Bˆ 1 Fe 1 k k Bˆ / Bˆ 1 q =, W/ = 5/6, / = 1 100 1.4-1.0-9.1 7.7-0.4 0.8 w w1 (%), unterstrichen: Nutharmonische q =, W/ = 7/9, / = 18 Nutharmonische Oberwellen: haben denselben Wicklungsfaktor wie Grundwelle! 1 ( / ) g g 1,,,... 100-0.8 -. -1.4-0. 5.9-5. 1 6 g 11 g 118 g /5
Beisiel: Ständer-Luftsaltfeld: Grund- und Oberwellen Beisiel: m =, q =, Sehnung 5/6 Sule Grundwelle Unterschicht Oberschicht Beisiel: i U = - i V = - i W Nutharmonische Oberwellen Oberwellen: Amlitude, Wellenlänge, Geschwindigkeit sinken mit steigender Ordnungszahl /6
Beisiel: FOURIER-Sektrum: Grund- und Oberwellen Bˆ Bˆ 1 1 k k 1.0 1.0 w w1 Beisiel: m =, q =, Sehnung 5/6 1 mg 1 6g g 0, 1,,,... 1, 5, 7, 11, 1, 17, 19,, 5, 9, 1,... 0.5 Nutharmonische: Selber Wicklungsfaktor wie Grundwelle! 1 ( / ) g 11g 11, 1,, 5,... g 1,,,... 0 1/11 1/1 1/ 1/5 1 5 7 11 1 17 19 5 9 /7
Elektrische Maschinen und Antriebe Zusammenfassung: FOURIER-Reihenentwicklung zur Ermittlung von Grund- und Oberwellen - Ordnungszahl einer Welle = Wellenlängenzahl ro Polaar - Dreisträngige Wicklungen: Es treten nur ungeradzahlige, nicht durch teilbare Ordnungszahlen auf - Die Wellenamlitude ist roortional zu Wicklungsfaktor/Ordnungszahl - Negative Ordnungszahlen = gegen die Grundwelle laufende Oberwellen - Nutharmonische Oberwellen haben relativ große Amlitude /8
Elektrische Maschinen und Antriebe. Mathematische Analyse von Luftsaltfeldern.1 Grund- und Oberwellen von Luftsaltfeldern. FOURIER-Reihenentwicklung zur Ermittlung von Grund- und Oberwellen. FOURIER-Reihe von gleichstromerregten Polradfeldern /9
Gleichstromerregtes Polradfeld Luftsaltfeld H : zweioliges Polrad (Läufer) einer Schenkelol-Synchronmaschine, Läuferdurchflutung N fpol. I f, (N fpol : Sulenwindungszahl ro Pol) Luftsalt vergrößert sich zu den Pollücken als Funktion der Umfangskoordinate (x). H r x = x r : Rotorfeste Umfangskoordinate Berechnung der Radialkomonente B des Luftsaltfelds mit Durchflutungssatz C H ds N I V H ( x) H H ( x) fpol Fe : C-Anteil im Eisen Im Eisen: Fe : H Fe = 0 f f B Fe Fe V f ( x) 0H ( x) 0 ( x) /40
Feldkurve ist abszissensymmetrische Funktion r r : nur Oberwellen mit ungeradzahliger Ordnung FOURIER-Reihe von gleichstromerregten Polradfeldern Feldkurve z. B. als FOURIER-Cosinus-Reihe: 1,, 5, 7, 9,... Form der Feldkurve ist durch Funktion (x) ( = Kontur des Polschuhs) bestimmt; hier auch durch teilbare Ordnungszahlen! B B ( ) B ( ) ( ) r Bˆ 1,,5,... cos( ) r r r : Rotorfester Umfangswinkel /41
Elektrische Maschinen und Antriebe Zusammenfassung: FOURIER-Reihe von gleichstromerregten Polradfeldern - Einsträngige gleichstromerregte Läuferwicklung = stehende Feldwelle - FOURIER-Reihenentwicklung der Feldkurve muss i.a. numerisch erfolgen - Dominante Grundwelle, Oberwellen unerwünscht - Läuferoberwellen induzieren Ständerwicklung höherfrequent /4