Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a) Zeigen Sie, dass λ = 3 ein Eigenwert von A ist, und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenraum. b) Zeigen Sie, dass x = 2 R 3 ein Eigenvektor von A ist, und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert. c) Zeigen Sie, dass A reell diagonalisierbar ist, und geben Sie eine invertierbare Matrix P = GL 3 (R) sowie eine Diagonalmatrix D R 3 3 mit P A P = D an. 2.2 (Herbst 23, Thema 3, Aufgabe 2) Betrachten Sie die reelle 3 3 Matrix 2 3 2 B = 2 2. a) Berechnen Sie die Determinante von B. b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von B. c) Ermitteln Sie alle Eigenräume von B, indem Sie für jeden Eigenraum eine Basis angeben. d) Entscheiden Sie, ob B diagonalisierbar ist. 2.3 (Herbst 24, Thema, Aufgabe 2) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix M = 2. 3 a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von M. b) Entscheiden Sie, ob M ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.
2.4 (Herbst 25, Thema 2, Aufgabe ) Gegeben sei die reelle Matrix M =. Bestimmen Sie eine reelle Diagonalmatrix D und eine invertierbare reelle Matrix T derart, dass D = T MT. 2.5 (Frühjahr 2, Thema, Aufgabe 2) a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix 2 4 5 M :=. 2 4 5 b) Ist die Matrix M diagonalisierbar? 2.6 (Frühjahr 22, Thema 2, Aufgabe 4) Sei 4 3 3 A :=. 2 3 a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A. b) Prüfen Sie, ob A über R diagonalisierbar ist. 2.7 (Frühjahr 23, Thema, Aufgabe 3) Zeigen Sie, dass die Matrix 4 2 A := 8 8 3 6 2 reell diagonalisierbar ist und bestimmen Sie eine Basis des Vektorraums R 3 bestehend aus Eigenvektoren von A. 2.8 (Frühjahr 24, Thema, Aufgabe 3) Betrachten Sie die Matrix 4 A := 5. Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A, zeigen Sie, dass A diagonalisierbar über R ist und bestimmen Sie eine Basis aus Eigenvektoren.
2.9 (Frühjahr 25, Thema, Aufgabe 5) a) Berechnen Sie die Eigenräume der Matrix 2 A =. 2 Ist A diagonalisierbar? b) Ist A invertierbar? c) Bestimmen Sie eine Basis des R 4, welche möglichst viele Eigenvektoren von A enthält. 2. (Herbst 25, Thema, Aufgabe 2) Gegeben sei die reelle Matrix A = 2 3 4 2 a) Zeigen Sie, dass die Zahlen und Eigenwerte der Matrix A sind und bestimmen Sie die geometrischen Vielfachheiten dieser Eigenwerte. b) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A. c) Entscheiden Sie, ob A diagonalisierbar ist. 2. (Herbst 2, Thema 2, Aufgabe 5) 2 2 Die Vektoren v =, v 2 = 2 und v 3 = sind Eigenvektoren einer 5 Matrix A R 3 3 zu den Eigenwerten λ =, λ 2 = und λ 3 =. Berechnen Sie eine mögliche Matrix A! 2.2 (Herbst 22, Thema, Aufgabe 2) Es sei V der Vektorraum der reellen 3 3 Matrizen. Gegeben sei die Matrix A =. a) Berechnen Sie A 22. b) Zeigen Sie, dass die Matrizen A und A A 2 jeweils nur einen reellen Eigenwert haben und zeigen Sie ferner, dass die dazugehörenden Eigenvektoren übereinstimmen. c) Es sei U der von den Matrizen A, A 2 und A 3 aufgespannte Unterraum von V. Finden Sie ein x R 3, welches Eigenvektor zu jedem B U ist.
2.3 (Herbst 27, Thema 2, Aufgabe 3) Gegeben sei die symmetrische Matrix 2 M := 2 2 2 Bestimmen Sie eine Basis des R 3, die aus Eigenvektoren von M besteht. 2.4 (Herbst 22, Thema 2, Aufgabe 2) a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix 2 A = 2. 2 b) Zeigen Sie, dass die Matrix den Eigenwert 3 besitzt. c) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und alle Eigenvektoren der Matrix A. 2.5 (Herbst 28, Thema 3, Aufgabe 4) Betrachtet werde die Matrix 2 A = 2. 2 2 3 Geben Sie eine orthogonale 3 3 Matrix S an derart, dass S t AS Diagonalform besitzt. 2.6 (Frühjahr 2, Thema 2, Aufgabe 2) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix S = R 3 3. a) Berechnen Sie die Eigenwerte dieser Matrix. b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix P O 3 (R) und eine Diagonalmatrix D R 3 3 mit P t SP = D an. 2.7 (Frühjahr 2, Thema 3, Aufgabe 4) Gegeben sei die Matrix 5 2 4 S = 2 8 2. 4 2 5 Zeigen Sie, dass v = (2,, 2) t ein Eigenvektor von S ist. Bestimmen Sie alle Eigenwerte von S und eine orthogonale Matrix T so, dass die Matrix T t ST Diagonalform besitzt.
2.8 (Frühjahr 2, Thema, Aufgabe 4) Bestimmen Sie zur Matrix 2 A = 2 2 eine Drehmatrix R und eine Diagonalmatrix D so, dass 2.9 (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 5) Sei A die Matrix A = D = R A R.. a) Zeigen Sie, dass A nur die Eigenwerte ±2 besitzt. b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix M, die die Matrix A diagonalisiert. 2.2 (Frühjahr 29, Thema, Aufgabe 3) a) Untersuchen Sie die folgenden Matrizen auf reelle Diagonalisierbarkeit und begründen Sie das Ergebnis: 2 3 2 3 A = 2 2, B = 2, C = 2. 3 2 3 b) Beweisen oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel die folgende Aussage über reelle 2 2 Matrizen: Sind die Matrizen A und B reell diagonalisierbar, dann ist auch ihr Produkt A B reell diagonalisierbar. 2.2 (Frühjahr 24, Thema 3, Aufgabe 2) Entscheiden Sie (mit Begründung), welche der folgenden vier Matrizen reell diagonalisierbar sind: 2 4 7 3 5 8 2 M := 6 9 3 4, M 2 :=, 5 2 3 M 3 :=, M 4 :=.
2.22 (Frühjahr 27, Thema 2, Aufgabe 2) In Abhängigkeit vom reellen Parameter t R sei die Matrix A t = t t + R 3 3 t + t + gegeben. a) Zeigen Sie, dass das charakteristische Polynom χ t von A t gegeben ist durch χ t (λ) = (λ + )(λ t)(λ ). b) Untersuchen Sie A t in Abhängigkeit von t R auf Diagonalisierbarkeit. c) Nun sei t =. Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix P GL 3 (R) und eine Diagonalmatrix D R 3 3 mit P A P = D. 2.23 (Frühjahr 24, Thema 2, Aufgabe 3) Sei s R ein Parameter und sei A s die von s abhängige Matrix A s = s s s. a) Bestimmen Sie die Eigenwerte A s in Abhängigkeit von s. b) Für welche s R ist A s diagonalisierbar? Begründen Sie Ihre Antwort. 2.24 (Frühjahr 23, Thema 2, Aufgabe 4) Sei A die reelle, von einem Parameter c R abhängige Matrix c c A =. a) Für welche Werte von c R sind alle Eigenwerte von A reell? b) Für welche Werte von c R ist A über R diagonalisierbar? 2.25 (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 3) Untersuchen Sie die reelle 3 3 Matrix t t 2 C t = 2 in Abhängigkeit vom Parameter t R auf reelle Diagonalisierbarkeit. 2.26 (Herbst 22, Thema, Aufgabe ) α Gegeben sei die reelle Matrix A = 2, wobei α R. a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die reellen Eigenwerte von A. b) Untersuchen Sie, für welche Zahlen α die Matrix A zu einer reellen Diagonalmatrix ähnlich ist.
2.27 (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 4) Es sei a b A = 2 a b 2 a mit a, b R. Zeigen Sie, dass A genau dann reell diagonalisierbar (d.h. zu einer reellen Diagonalmatrix ähnlich) ist, wenn b und a 2 > 4 b gilt. 2.28 (Herbst 25, Thema 3, Aufgabe ) Geben Sie eine diagonalisierbare reelle 3 3 Matrix S so an, daß S 2 = Y mit Y = 2. 2 2.29 (Frühjahr 29, Thema 2, Aufgabe 4) Gegeben sei die Matrix A = ( ) 9 2. 2 6 a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren für A. b) Bestimmen Sie eine orthogonale 2 2 Matrix T und eine Diagonalmatrix D so, dass T A T = D. c) Folgern Sie aus b), dass für alle n N gilt A n = T D n T. d) Zeigen Sie mit c) A n = 5 n ( 2 n+2 + ) 2 n+ 2 2 n+ 2 2 n + 4 für alle n N. 2.3 (Frühjahr 22, Thema, Aufgabe 5) Zeigen Sie: a) Für Matrizen A M(n n, R) und S GL n (R) gilt SA 2 S = ( SAS ) 2. b) Ist B M(n n, R) diagonalisierbar und hat B nur nicht-negative Eigenwerte, so existiert eine Matrix A M(n n, R) mit A 2 = B. Bestimmen Sie c) eine Matrix A M(2 2, R), so dass ( ) 6 A 2 =. 9 5
2.3 (Frühjahr 26, Thema 2, Aufgabe ) 2 s Es sei s R und A s = s 2. 2 s a) Zeigen Sie, dass ein Eigenvektor von A s ist und berechnen Sie den zugehörigen Eigenwert λ s. Für welche s ist λ s =? b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von s R den Rang von A s. c) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von s R die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A s x =. 2.32 (Herbst 28, Thema 2, Aufgabe 3) Es sei B eine reelle n n Matrix mit B 2 = I n, wobei I n die n n Einheitsmatrix bezeichnet. Zeigen Sie: a) Für jeden Eigenwert λ von B gilt λ = oder λ =. b) Ist der einzige Eigenwert von B, so gilt B = I n. (Hinweis: Betrachten Sie für einen Spaltenvektor x R n das Produkt von B mit dem Vektor x Bx.) 2.33 (Frühjahr 22, Thema 3, Aufgabe 5) Sei A eine invertierbare reelle n n Matrix mit A = A. Die n n Einheitsmatrix wird mit E n bezeichnet. Zeigen Sie: a) Ist λ ein Eigenwert von A, so ist λ = oder λ =. b) (A + E n ) (A E n ) =. c) Ist kein Eigenwert von A, so ist A = E n. Ist kein Eigenwert von A, so ist A = E n. 2.34 (Frühjahr 23, Thema 2, Aufgabe 5) Sei A eine reelle n n Matrix mit A 2 + 2A =. a) Bestimmen Sie alle solchen Matrizen, welche invertierbar sind. b) Sei A wie oben, aber möglicherweise nicht invertierbar. Zeigen Sie: Für jeden Vektor v R n sind Av und v + Av entweder Null oder Eigenvektoren von 2 A. c) Zeigen Sie: A ist über R diagonalisierbar. 2.35 (Herbst 2, Thema, Aufgabe 3) Für n N mit n 2 werde eine reelle n n Matrix B betrachtet; es bezeichne B die zu B transponierte Matrix. Man beweise oder widerlege: a) Ist l R ein Eigenwert von B, so auch von B. b) Ist x R n ein Eigenvektor von B, so auch von B. c) Ist B diagonalisierbar, so auch B.
2.36 (Frühjahr 26, Thema, Aufgabe ) Es sei A eine reelle 2 2 Matrix mit den (nicht notwendig reellen) Eigenwerten λ und λ 2. Bekanntlich heißt A reell diagonalisierbar, wenn A ähnlich zu einer reellen Diagonalmatrix D ist, d.h., wenn es eine invertierbare reelle 2 2 Matrix T gibt mit A = T DT. Welche der folgenden Aussagen a),..., d) sind richtig, bzw. falsch? Geben Sie jeweils einen Beweis, bzw. ein Gegenbeispiel an! a) λ und λ 2 sind reell mit λ λ 2 = A ist reell diagonalisierbar; b) det(a) < = A ist reell diagonalisierbar; c) A ist nicht reell diagonalisierbar = λ und λ 2 sind nicht reell; d) A 2 ist reell diagonalisierbar = A ist reell diagonalisierbar. 2.37 (Herbst 26, Thema 2, Aufgabe 2) Es sei n 2 und A eine reelle n n Matrix. Zeigen Sie: a) A ist genau dann invertierbar, wenn kein Eigenwert von A ist. b) Ist λ R ein Eigenwert von A, so ist λ 2 ein Eigenwert von A 2. Ist zudem A invertierbar, so ist λ ein Eigenwert von A. c) Ist A reell diagonalisierbar, so gilt dies auch für A 2. d) Ist A 2 reell diagonalisierbar, so braucht dies für A nicht zu gelten. Hinweis: Betrachten Sie etwa spezielle Matrizen der Form ( ) a A = mit a. a 2.38 (Herbst 29, Thema, Aufgabe ) Es sei b R n und A eine reelle n n Matrix. Die affine Abbildung f : R n R n sei definiert durch f(x) = A x + b, x R n. Zeigen Sie: a) Die Menge der Fixpunkte von f Fix(f) = {x R n : f(x) = x} ist ein affiner Unterraum von R n oder sie ist leer. b) Wenn kein Eigenwert von A ist, dann hat f genau einen Fixpunkt.