V6.4 - Erzwungene Schwingungen, Reonanz Michael Baron, Sven Pallu 31. Mai 2006 Zuammenfaung Im folgenden Veruch betrachten wir da Schwingungverhalten eine gedämpften, periodich erregten Ozillator in Form de Drehpendel nach Pohl. Wir tellen hierbei fet, da die Augangamplitude A in unmittelbarer Abhängigkeit zur Erregerfrequenz Ω teht, wa un letztlich zum Phänomen der Reonanz führt. Inhaltverzeichni 1 Aufgabentellung 1 2 Theoretiche Grundlagen 2 2.1 Bechreibende Differentialgleichung............... 2 2.2 Löung der Differentialgleichung................. 3 3 Veruchdurchführung 4 4 Veruchergebnie 4 4.1 Dämpfung 30........................... 4 4.2 Dämpfung 60........................... 4 4.3 Dämpfung 90........................... 4 4.4 Phaenverchiebung........................ 6 4.5 Konequenzen........................... 6 1 Aufgabentellung Ziel diee Experiment it die Unteruchung der Abhängigkeit von Augangamplitude A owie Erregerfrequenz Ω bei einer jeweil kontanten Dämpfung. Wir verwenden ein Drehpendel nach Pohl. Unter einem olchen Pendel 1
Abbildung 1: Drehpendel nach Pohl vertehen wir ein nach dem Prinzip der Wirbeltrombreme gedämpfte harmoniche Pendel. Ein olche Pendel ei in Abbildung 1 dargetellt. 2 Theoretiche Grundlagen 2.1 Bechreibende Differentialgleichung Zunächt tellen wir die Differentialgleichung auf, die dieen Veruch bechreibt. Offenichtlich wirkt auf einen bechleunigten Körper eine Kraft proportional zu einer Bechleunigung, diee bezeichnen wir mit F = ma = mẍ. Weiterhin wien wir vom harmonichen Ozillator - alo jedem Federpendel, da die rücktreibende Kraft proportional zur Aulenkung x it (F rück = Dx). Folglich müen wir beide Kräfte gleichetzen, um den ungedämpften Fall der linearen Schwingung zu bechreiben. Da die aber nur für lineare Schwingungen gilt, müen wir noch die Aulenkung x durch einen korrepondierenden Winkel φ und die Mae m durch 2
ein entprechende Trägheitmoment I eretzen. Die Federkontante D entpricht im Falle der Rotation einem Richtmoment k D. Somit folgt für die ungedämpfte Rotationchwingung der Zuammenhang: I φ + D φ = 0N (1) Da wir aber in dieem Experiment gedämpfte Schwingungen beobachten, und die Dämpfung in einem olchen Fall gleichgerichtet zur rücktreibenden Kraft und proportional der Momentangechwindigkeit it, folgt für dieen Fall die Formel: I φ + ρ φ + D φ = 0N (2) Dieer Zuammenhang gilt aber nur dann, fall keine äußeren Kräfte einwirken. Da wir e hier aber mit einer periodichen Erregung (F = F 0 co (Ωt)) zu tun haben, folgt: I φ + ρ φ + D φ = F 0 co (Ωt) (3) 2.2 Löung der Differentialgleichung Offenichtlich löt folgender Term die Differentialgleichung, wa man (leicht) nachrechnen kann: φ(t) = A co (Ωt φ 1 ) + Be δt co (ω 1 t + φ 0 ) (4) Die Löung it omit au zwei Teilen zuammengeetzt: einer ungedämpften harmonichen Schwingung der Frequenz Ω einer gedämpften harmonichen Schwingung der Frequenz ω 1 Für die Augangamplitude A(Ω) folgt omit: A(Ω) = A 0 ω 2 0 (ω 20 Ω 2 ) 2 + 4δ 2 Ω 2 (5) Hierbei it A 0 die Erregeramplitude. Für die Phaenverchiebung φ 1 gegenüber der erregenden Schwingung gilt: ( ) 2δΩ φ 1 (Ω) = arctan (6) ω0 2 Ω 2 Für die Reonanzfrequenz de gedämpften Sytem mit Dämpfungkontante δ gilt: ω 1 = ω0 2 δ2 (7) 3
3 Veruchdurchführung Wir variieren nun die Erregungfrequenz Ω im Bereich zwichen 0.15 Umd und 0.80 Umd und meen jeweil bei einer Dämpfung von 30, 60 und 90 Einheiten die Differenz zwichen Minimal- und Maximalauchlag de Pendel. Weiterhin tellen wir den Zuammenhang zwichen Ω und A(Ω) graphich dar, owie den Zuammenhang zwichen Ω und der Phaenverchiebung φ 1 (Ω) - alo den Phaengang. 4 Veruchergebnie 4.1 Dämpfung 30 Bei einer Dämpfung von 30 meen wir zunächt im Intervall von [0.15 1 Ω 0.80 1] in 0.051 Schrittweite und um die Frequenz mit größter Amplitude (Ω = 0.55 1) nochmal in Schritten von 0.011. Infolge einer Regreion erhalten wir eine Pleueltangenamplitude von A 0 = 0.98 ± 0.04 Grad, eine Dämpfung von δ = 0.06 ± 0.004 1 owie eine Reonanzfrequenz von ω 0 = 3.36 ± 0.003 1. Aufgrund ehr chwacher Dämpfung beträgt die Augangamplitude A = A(ω 0 ) 28 Grad. Wir tellen die in Figur 2 graphich dar. 4.2 Dämpfung 60 Bei dieer Meung verzichten wir auf die Betimmung genauerer Amplituden um die Reonanzfrequenz herum, da die Reonanz tark gedämpft wird (A(ω 0 ) 7.5 Grad). Für die Erregungamplitude erhalten wir hier A 0 = 1.01 ± 0.01 Grad, in der Tat eine gute Approximation, da A 0 kontant it. Die Dämpfungkontante ermitteln wir hier mit δ = 0.232 ± 0.004 1, die Reonanzfrequenz mit ω 0 = 3.39 ± 0.004 1. (iehe Abbildung 3) 4.3 Dämpfung 90 Bei einer Dämpfung von 90 ermitteln wir A 0 mit 1.05 ± 0.02 Grad, δ mit 0.52 ± 0.01 1, owie eine Reonanzfrequenz von ω 0 = 3.40 ± 0.01 1. Die Amplitude A(ω 0 ) beträgt bei dieer Dämpfung nur noch 3.5 Grad. Wir tellen dieen Zuammenhang in 4 dar und vergleichen alle drei Amplituden in 5 (Diee ind dort chwarz, rot und blau dargetellt). 4
Abbildung 2: A(Ω) bei einer Dämpfung von 30 Abbildung 3: A(Ω) bei einer Dämpfung von 60 5
Abbildung 4: A(Ω) bei einer Dämpfung von 90 4.4 Phaenverchiebung Hierbei beobachten wir, da die Phae de frei chwingenden Sytem unterhalb der Reonanzfrequenz negativ gegenüber der Phae der Erregung it und oberhalb der Reonanzfrequenz poitiv. Während der Reonanz it die Phae beider Syteme gleich. Weiterhin verändert ich die Phae umo chneller, je chwächer die Dämpfung de Sytem it. Dieen Sachverhalt tellen wir in Grafik 6 dar. 4.5 Konequenzen Wie man ieht it eine Schwingung-Dämpfung zur Vermeidung großer Amplituden äußert innvoll, da ungedämpfte Syteme bei Erregung mit ihrer Reonanzfrequenz relativ chnell ungeahnte Amplituden entwicklen können - und zwar unabhängig von der Amplitude der Erregung, wie man ieht. Mangelhafte Dämpfung war inbeondere die Urache für den Tacoma Narrow Bridge Collape - da Paradebeipiel für Reonanz. 6
Abbildung 5: A(Ω) im Vergleich (Dämpfung von 30, 60, 90) 7
Abbildung 6: φ 1 (Ω), - Dämpfung 30, - Dämpfung 60, - Dämpfung 90 8