Einführung in die Mechanik

Transkript

1 Kinematik Wa Ein Airbu A380, eine Vorrichtung zur Gechwindigkeitmeung von Fahrzeugen und Galileo Galilei gemeinam haben, da erfahren ie in dieem Kapitel. Bildquellen: Multanova.ch und Wikipedia Kantonchule Solothurn Reto Baler Stotzer

2 Inhaltverzeichni Kinematik.... Einleitung Modelle: von Vortellungen, Illuionen und Wirklichkeit Von Einheiten Da internationale Einheitenytem: die SI - Einheiten da Meter die Sekunde und da Kilogramm Zuammengeetzte Einheiten ''Alte'' Einheiten Die Vorilben Die Zehnerpotenzen Koordinatenyteme Ein Schachbrett al Koordinatenytem Die Kinematik de Maenpunkte Bewegungen in einer Dimenion Die allgemeine Änderung von Gröen Graphiche Dartellung einer Bewegung Die gleichförmige Bewegung Die gleichmäige Bewegung Würfe...

3 Kinematik. Einleitung Uner geamte Umfeld it voll von intereanten Dingen und Zuammenhängen. Die Naturwienchaften veruchen, Effekte zu vertehen und zu erklären. Ziel it e, unere Neugierde gegenüber der Natur zu befriedigen und eventuell neue techniche Verfahren zu entwickeln. Die verchiedenen Naturwienchaften arbeiten dabei Hand in Hand miteinander. Ein Beipiel wäre da Vergammeln von Fleich. Der Biologe kümmert ich darum, welche Tierchen daran beteiligt ind und unter welchen Bedingungen ich diee vermehren, der Chemiker identifiziert die enttehenden Stoffe. Der Biologe tellt fet, da Bakterien für den Verweungproze verantwortlich ind und da ich diee bei kühlen Temperaturen nicht tark vermehren - und chon entwickelt der Phyiker den Kühlchrank, damit da Fleich chön chlielich chön kühl bleibt und der Verweungproze langamer vontattengeht. Die Naturwienchaften bechäftigen ich mit olchen Fragetellungen und veruchen Antworten zu finden. Die Phyik vom griechichen phyike epiteme (die Natur betreffend) it die Lehre von den Naturvorgängen. Die Phyiker veruchen durch experimentelle Forchung und mathematiche Dartellung von Naturvorgängen Geetze zu formulieren, welche unere Welt bechreiben und omit ein wenig zugänglicher machen. Phyikaliche Geetze werden in der Entwicklung angewendet und ermöglichen o z.b. den Bau neuer und beerer Solarzellen. Obige zwei Punkte ind denn auch die zentralen Standbeine de Unterrichte. Sie ollen lernen zu experimentieren (nein, da kann man nicht einfach), die Reultate auzuwerten und anchlieend Schlufolgerungen zu ziehen. Dabei oll Ihnen diee Skript helfen. Weiter werden Sie lernen, die erarbeiteten Geetze auf Probleme anzuwenden, welche für Sie neu ercheinen.. Modelle: von Vortellungen, Illuionen und Wirklichkeit Der Mench it in der Lage, ich mit einer Umwelt und ich elbt aueinanderzuetzen. Er it ebenfall in der Lage Phänomene in ein zeitliche Rater zu etzen. Diee Fähigkeiten tellen ihn vor da Problem, wie er zu Erkenntnien kommt und inwieweit diee wahr ind. Der Naturwienchaftler ammelt Daten, welche in irgendeiner Weie mebar und reproduzierbar ein müen. Diee können durch Beobachtung oder Bechreibung eine Phänomen oder eine Experiment zutande 3

4 kommen. Diee Daten dienen nun dazu, um gewie Phänomene zu bechreiben. Dabei entteht die Hypothee. Diee verbindet Beobachtung und Erfahrung. Die Hypothee verucht man nun durch gezielte Experimente zu verifizieren, zu verfeinern und zu vervolltändigen. Die führt zu einer verbeerten Hypothee, einem Modell. Die verfeinerten Hypotheen widerprechen nun immer weniger Fakten und können zur Formulierung einer neuen Theorie genutzt werden. Diee regt nun ihrereit wieder zu neuen Experimenten und vorheragen an, o da auch die Theorie laufend verbeert werden kann. Bei allem Enthuiamu, welcher ich um ein Modell entwickeln kann, darf jedoch nicht vergeen werden, da ein Modell nur einen kleinen beobachteten Auchnitt au einem komplexen Gefüge von Ercheinungen, der Wirklichkeit, annähernd erklären kann. Man darf auch nie auer Acht laen, da ich da Modell an der Wirklichkeit zu orientieren hat und nicht umgekehrt. ''Inofern ich eine Theorie auf die Wirklichkeit bezieht, it ie nicht icher. Inofern ie icher it, bezieht ie ich nicht auf die Wirklichkeit.'' Albert Eintein Modelle helfen un, unere Umwelt beer vertehen zu lernen. Man braucht ie in der Chemie zur Dartellung de inneren Aufbau der Stoffe, welcher weder mit bloem Auge, noch mit technichen Hilfmitteln direkt beobachtet werden kann. Allerding ind die Grenzen eine Modell nie zu vergeen. Al Illutration dieer Auage betrachte man untentehende Bild und beantworte folgende Frage: wie viele Würfel ind in Abbildung aufeinander getapelt? a) b) Abbildung Beobachten will gelernt ein! Eine greie oder eine junge Frau? Da Reultat hängt vom Beobachter ab. Eventuell würde jemand agen, da da Reultat nicht eindeutig ei womit er recht hätte. 4

5 Kinematik Diee Erkenntni it ganz wichtig für da Vertändni der Naturwienchaften allgemein und hier im peziellen für die Phyik. Aber auch im alltäglichen Leben ollten Sie nie vergeen: Informationen ind immer zu hinterfragen und gegebenenfall auch anzuzweifeln!.3 Von Einheiten Die Geetze der Phyik bechreiben Zuammenhänge zwichen phyikalichen Gröen wie Länge, Zeit, Kraft, Energie oder Temperatur. Daher beteht eine der wichtigten Forderungen der Phyik darin, olche Gröen eindeutig zu definieren und genau zu meen. Meen einer phyikalichen Gröe heit, ie mit einer genau definierten Einheit dieer Gröe zu vergleichen. Wenn wir etwa agen, da eine Ditanz zwichen zwei Punkten Meter lang ei, dann meinen wir, da die Länge mal der Länge einer Einheit entpricht, die Meter genannt wird. Die groe Mehrheit der phyikalichen Gröen it mit einer Einheit verknüpft. Ohne Einheit it die Angabe eine Reultate innlo, da man nicht wei, wovon die Rede it..4 Da internationale Einheitenytem: die SI - Einheiten Alle Gröen, welche in der Phyik gebräuchlich ind, laen ich auf Baigröen zurückführen. Baigröen ind phyikaliche Gröen, welche nicht durch andere Gröen augedrückt werden können. Tabelle Baigröen und deren Einheiten nach SI Norm. Die qualitativen Eigenchaften einer Baigröe wird durch ihre Einheit augedrückt. Da Internationale Einheitenytem baut auf ieben Baigröen auf, welche in Tabelle gezeigt ind. Ebenfall eingetragen ind die Namen der entprechenden Baieinheiten und deren Einheitenzeichen. Baigrözeicheheit Formel- Bai-ein- Symbol Länge l Meter m Mae m Kilogramm kg Zeit t Sekunde Stromtärke I Ampere A Temperatur T Kelvin K Lichttärke Iv Candela cd Stoffmenge n Mol mol Die für un im Moment wichtigten Baieinheiten, au dem SI Sytem ind: von Sytème International d Unité 5

6 .4. Der Meter, Der Meter war urprünglich definiert al die Ditanz zweier Kerben in einem Stab, betehend au einer Platin-Iridium Legierung, der in Pari aufbewahrt wird. Dieer Stab wird al Urmeter bezeichnet (Abbildung ). Heute wird der Meter al jene Strecke definiert, welche da Licht in der Zeitpanne von zurücklegt. 99'79'458 Abbildung Eine Abbildung de Urmeter. Quelle: Wikipedia.4. die Sekunde Die Sekunde war bi 967 definiert al der Teil de mittleren Sonnentage fetgelegt (die Zeitdauer, bi die Sonne wieder am gleichen Ort am Himmel teht), beruhte alo auf atronomichen Meungen. Diee Definition wurde aber zu ungenau, weil ich die Rotationgechwindigkeit der Erde mit der Zeit verlangamt. Heute wird von einem Cäiumatom abgetrahlte Licht zur Definition benutzt, wobei diee aber zu kompliziert it, um ie hier genauer auzuführen..4.3 und da Kilogramm. Diee Baieinheit it durch die Mae eine Einheitkörper (Urkilogramm) betimmt, welcher ebenfall in Pari aufbewahrt wird (Abbildung 3). In jüngter Zeit verucht die Forchung ein neue Urkilogramm herzutellen, die u.a. in Form einer perfekten Siliziumkugel. Der Grund dafür it einfach: durch die regelmäigen Reinigungen verliert da biherige Urkilogramm in Pari langam an Mae..4.4 Zuammengeetzte Einheiten Die Einheit jeder phyikalichen Gröe kann durch die SI Einheiten augedrückt werden. Gewie Kombinationen dieer Einheiten haben pezielle Namen. Zum Beipiel it die Kombination kg m beer bekannt al Newton N. Doch davon päter mehr. Abbildung 3 Da Urkilogramm. Quelle: 6

7 Kinematik.5 ''Alte'' Einheiten Im 6. Jahrhundert wurde von oberter Stelle verfügt, da echzehn willfährige engliche Untertanen am Sonntag nach Verlaen der Kirche die linken Füe hintereinander in einer Reihe auftellen ollten. Die auf diee Weie fetgelegte Ditanz entprach fortan einer perch (Rute). Der 6. Teil dieer Länge hie foot, wiederum unterteilt in inche. Dabei it e bi heute geblieben (au dem Vieweg Einheitenlexikon). E gibt tauende Einheiten. Je nach Kontinent oder Kultur ind unterchiedliche Einheitenyteme in Gebrauch. Bi heute it e nicht gelungen, ein einzige Einheitenytem durchzuetzen. Die cheitert vor allen Dingen an der Gewohnheit der Leute. Ein Beipiel: Da PS darf eigentlich nicht mehr gebraucht werden. Trotzdem dikutieren die Leute immer noch darüber, wie viele PS ihre Auto beitzen. Unter Kilowatt, der eigentlich gültigen Einheit, kann man ich einfach nicht vortellen (unter PS zwar auch nicht, aber man meint e zumindet). Wir werden konequent die SI Einheiten anwenden. Diee haben den Vorteil, da ie untereinander kompatibel ind und o Umrechnungfehler augechloen werden können..6 Die Vorilben Tabelle Vorilben und deren Abkürzungen Faktor Vorilbe Zeichen Faktor Voratz Zeichen 0 Deka da 0 - Dezi d 0 Hekto h 0 - Zenti c 0 3 Kilo k 0-3 Milli m 0 6 Mega M 0-6 Mikro 0 9 Giga G 0-9 Nano n 0 Tera T 0 - Pico p Weiter ind die ogenannten Vorilben wichtig. Wir werden nicht agen, da jemand eine Mae von 74'000 g beitzt, ondern wir agen, dieer jemand beitze eine Mae von 74 kg. Ein mittlerer Sonnentag auf der Erde dauert auch nicht 86'400 Sekunden, ondern 4 Stunden. Die gebräuchlichten Vorilben ind in Tabelle dargetellt. Wir werden immer diejenige Vorilbe verwenden, die dem Problem angepat it. alte Wort für bereitwillig 7

8 .7 Die Zehnerpotenzen Sehr häufig wird antelle der entprechenden Vorilbe auch die Zehnerpotenzchreibweie verwendet. Die macht immer dann Sinn, wenn innerhalb eine Problem verchiedene Gröen miteinander verrechnet werden müen. In dieem Fall müen alle Angaben in SI Einheiten vorliegen. Man chreibt dann alo nicht Tonnen ondern kg. Natürlich hätte man auch kg chreiben dürfen die it allerding nicht für Schreibfaule. Auerdem vergit man chnell einmal eine Null. Man kann ich die Zehnerpotenzchreibweie leicht merken:.8 Koordinatenyteme Ab jetzt werden wir un mit Bewegungen von Objekten bechäftigen. Dazu, wird e nötig, den Ort eine Objekt in der Ebene oder im Raum genau angeben zu können. Dehalb legt der Phyiker ein Koordinatenytem in eine Umgebung..8. Ein Schachbrett al Koordinatenytem Betrachten wir zunächt da in Abbildung 4 dargetellte Schachbrett: Diee beteht au je 3 chwarzen und weien Quadraten, die abwechlungweie zu einem groen Quadrat zuammengeetzt ind. Die Seiten diee Quadrate ind bechriftet: bei den jeweil den Spielern zugewandten Seiten ind die kleineren Quadrate mit Buchtaben von A H angechrieben, auf den beiden anderen Seiten ind ie mit Zahlen von 8 markiert. Durch diee Bechriftung lät ich jede Feld exakt adreieren: teht ein Bauer auf C4, o wei man, wo der Bauer teht. Man kann aber auch Bewegungen ichtbar machen: jeder Schachpieler wei, wa die Auage König von D3 nach C3 bedeutet. Die Bechriftung an der Seite macht die möglich. Die Schachfiguren bewegen ich in einem Koordinatenytem. In den Naturwienchaften bechriftet man Koordinatenyteme nicht mit Buchtaben, ondern auchlielich mit Zahlen. Im dreidimenionalen Raum wählt man dafür drei, je enkrecht Abbildung 4 Ein Schachbrett zeigt ein zweidimenionale Koordinatenytem. zueinander tehende Achen (x, y, z), im zweidimenionalen Raum zwei zueinander enkrecht tehende Achen (x und y) und im eindimenionalen Fall nur eine Ache (x). Dem gemeinamen Schnittpunkt der Achen 8

9 Kinematik im drei- und zweidimenionalen Fall, agt man Urprung oder auch Nullpunkt. Die Poition eine Objekt it durch die Angabe einer Koordinaten eindeutig betimmt..9 Die Kinematik de Maenpunkte Für da Vertändni der phyikalichen Welt it eine genaue Bechreibung von Bewegungen enorm wichtig. Bei Bewegungen kann man nach dem warum und wie fragen, alo nach Urache und Wirkung. Wir werden un zu Beginn nur mit dem wie bechäftigen und die Urache einer Bewegung ignorieren. Betrachtet man eine Bewegung ohne die Urache mit einzubeziehen, o pricht man von Kinematik. E it zur Vereinfachung zweckmäig, die Bewegung eine Objekt al Punktbewegung anzuehen. So wird z.b. ein fahrende ein Auto ganz einfach al bewegter Maepunkt bechrieben. Wir denken un alo die ganze Mae de Objekt in einem Punkt konzentriert, einem Schwerpunkt. Dann müen wir un nicht mehr darum kümmern, wa da bewegte Objekt ont noch tun kann (z.b. rotieren)..9. Bewegungen in einer Dimenion Wir wollen un zunächt nur auf Bewegungen konzentrieren, die ich in einer Dimenion abpielen. Ein Objekt kann ich in o einem Koordinatenytem nur vorwärt oder rückwärt bewegen. Zunächt definieren wir immer einen Urprung. Relativ zu dieem wird ein bewegte Objekt dann einen Ort verändern. Bewegt ich ein Objekt von der Stelle x zur Stelle x, o beträgt die Änderung einer Poition x x. Für die Änderung einer Gröe wir in der Phyik der griechiche Buchtabe Delta verwendet. So können wir für die Verchiebung x eine Punkte von x nach x chreiben: x x x () Die grafiche Dartellung ieht dann folgendermaen au x einfach der zurückge- Umgangprachlich entpricht die Verchiebung legten Strecke. 9

10 .9. Die allgemeine Änderung von Gröen Für die unter.9. betrachtete Verchiebung x brauchte da Fahrzeug natürlich auch eine gewie Zeitpanne. E befand ich zu zwei verchiedenen Zeitpunkten an zwei verchiedenen Orten: Zum Zeitpunkt t am Ort x und zum Zeitpunkt t am Ort x. Für die Verchiebung x benötigte da Fahrzeug omit die Zeitpanne t t t () Allgemein wird die Änderung einer phyikalichen Gröe G immer in der Form G G G (3) gechrieben. Endwert Anfangwert.9.3 Graphiche Dartellung einer Bewegung Zu einer Bewegung gehört nebt dem Ort, alo wo ich ein Objekt befindet, auch noch die Zeit, alo wann ich ein Objekt am entprechenden Ort befindet. Verfolgt man eine Bewegung, erhält man eine Wertetabelle: Ort [m] Zeit [] Solche Tabellen ind generell unhandlich, weil man Abhängigkeiten chlecht erkennen kann. Einige beer ind ogenannte Graphen, in denen man die eine Gröe auf der einen Ache und die andere gemeene Gröe auf der zweiten Ache aufträgt. Für uner Beipiel können wir au den gemeenen Daten ein ogenannte Ort Zeit Diagramm anfertigen. D.h. wir tragen auf der y-ache den Ort und auf der x- Ache die Zeit ein. Jeder gemeene Punkt lät ich o im Diagramm Abbildung 5 Ort Zeit Diagramm einzeichnen, wie da in Abbildung 5 gezeigt it. Durch eine olche Dartellung hat man einen viel beeren Überblick über die Bewegung (da Objekt entfernt ich, bleibt tehen, fährt wieder in Richtung de Urprung zurück, etc.). Kurverläufe an der Böre werden au demelben Grund grafich dargetellt wir Menchen können Bilder beer verarbeiten al groe Tabellen. 0

11 Kinematik.9.4 Die gleichförmige Bewegung.9.4. Die Gechwindigkeit Der Begriff der Gechwindigkeit it un au dem Alltag geläufig. So darf man Innerort eine Gechwindigkeit von 50 Kilometern pro Stunde nicht überchreiten! Würde man alo mit 50 Kilometern pro Stunde eine Stunde lang fahren, o hätte man dabei eine Strecke von 50 Kilometern zurückgelegt. Überetzt man dieen Satz in die Sprache der Mathematik, o bekommt man: oder Änderung de Orte Gechwindigkeit = = dafür benötigte Zeit x x x v t t t Strecke Zeitpanne x it alo lediglich eine andere Schreibweie für die zurückgelegte Strecke oder die Ortänderung und t eine andere Schreibweie für die Zeitpanne, welche man gebraucht hat, diee Strecke zurückzulegen. Al Symbol für die Gechwindigkeit verwenden wir da kleine v (von engl. velocity ). Die Einheit der Gechwindigkeit etzt ich zuammen au den beiden SI Einheiten der Länge und der Zeit: (4) (5) [ x] m [] v [ t] Dabei tehen die eckigen Klammern für Einheit von. 3 (6) Wir verwenden in Zukunft für die Ortangabe den kleinen Buchtaben und für die Strecke entprechend. Aufgabe: Zeigen Sie, da eine Gechwindigkeit von m/ auch 3.6 km/h ind! 3 Für die Gechwindigkeit z.b. [v]: prich: die Einheit von v.

12 .9.4. Ort Zeit Diagramm der gleichförmigen Bewegung Betrachten wir einmal ein qualitative Ort Zeit Diagramm, einer kriechenden Schnecke, wie e in der nebentehenden Abbildung 6a) gezeigt it. Wie man unchwer erkennen kann, liegen die Mepunkte auf einer Geraden. Offenichtlich beteht zwichen den einzelnen Punkten ein linearer Zuammenhang. Dehalb legen wir auch mal eine Gerade Abbildung 6 Qualitative Ort-Zeit Diagramm durch alle Mepunkte und erhalten o da danebentehende Diagramm in Abbildung 6b). Wir haben auf diee Weie die Informationen der einzelnen Mepunkte konerviert, können jedoch die Bewegung viel einfacher grafich dartellen. Im nächten Schritt überlegen wir un, ob man nun die Gerade nicht auch in Worten bzw. mit Hilfe der Mathematik bechreiben kann. In Abbildung 7 ind dazu ein paar Dinge zuätzlich eingetragen. Wie man unchwer erkennen kann, entpricht die Steigung der Geraden gerade dem Quotienten - den kennen wir aber bereit: t dahinter verbirgt ich nicht andere alo die Gechwindigkeit! Faen wir da mal zuammen. Abbildung 7 Mathematiche Bechreibung einer Geraden im Ort Zeit Diagramm. Die Steigung der Geraden im Ort Zeit Diagramm entpricht gerade der Gechwindigkeit de Objekt im betrachteten Zeitabchnitt t. Au dem Zuammenhang umgehend v t folgt aber für die zurückgelegte Strecke v t (7) Die in einer Zeitpanne zurückgelegte Strecke berechnet ich zu v t. Jetzt kann man ich natürlich auch fragen, wo ich da Objekt zum Zeitpunkt t ich gerade befindet. Man braucht alo den Ort. Nun, auch da it ganz einfach. Dazu chreiben wir (7) au:

13 Kinematik und tellen um 0 0 v t t (8) 0 0 v t t (9) Zum Zeitpunkt t 0 0 (die Uhr wird getartet) befindet ich da Objekt am Ort 0. Gleichung (9) lautet damit 0 0 v t 0 v t (0) Jetzt kann man auf den Index noch verzichten und man erhält da ogenannte Ort Zeit Geetz. Ort Zeit Geetz: 0 v t Wenn man alo 0 (den Ort eine Objekt zum Zeitpunkt null) und v kennt, o kann man den Ort eine Objekt zu jedem Zeitpunkt t angeben man mu nur noch richtig rechnen. Da bedeutet nicht andere, al da diee drei letztgenannten Parameter dieelben Informationen beinhalten, wie eine allfällige Tabelle mit Mewerten! Beipiel Da folgende Diagramm zeigt die Weltlinien von zwei verchiedenen bewegten Körpern. Welcher dieer Körper beitzt die gröere Gechwindigkeit? Löung Die Steigung der Geraden im Ort Zeit Diagramm entpricht der Gechwindigkeit de Objekt. Die Steigung der Weltlinie von Objekt it betragmäig gröer al die von Objekt. Objekt it demnach chneller unterweg. Beipiel 3

14 Wie lautet da Ort Zeit Geetz zum gezeigten Ort Zeit Diagramm? Löung Im Diagramm wählen wir zwei beliebige Punkte auf der Geraden au. Die Punkte (0) = 5m und (50) = 9m ind paend. In der Zeitpanne von 0 bi 50, alo t = 40, legt da Objekt eine Strecke von 9m 5m 4m zurück. Die Gechwindigkeit de Objekt beträgt daher v 0. 4m m 40. Zu Beginn der Meung hat ich da Objekt am Ort 0 4m befunden. Da komplette Ort Zeit Geetz lautet alo m 4m 0. t Kompliziertere Ort Zeit Diagramme Natürlich ehen Ort Zeit Diagramme realer Bewegungen nicht o chön au, wie im letzten Beipiel dargetellt. Ein Auto im Stadtverkehr wird zum Beipiel kaum mit kontanter Gechwindigkeit dieelbe durchqueren können. Da entprechende Ort Zeit Diagramm könnte o auehen, wie in Abbildung 8 gezeigt it. Zunächt fällt einmal auf, da da Diagramm au mehreren Abchnitten (A bi E) beteht (Abbildung 9), in welchen die jeweilige Weltlinie einer Geraden entpricht. Die Gechwindigkeiten für die einzelnen Abchnitte laen ich ganz einfach ermitteln; ie entprechen ja einfach den Steigungen der Weltlinien in den entprechenden Abchnitten. Die Reultate ind in Tabelle 3 gezeigt. Abbildung 8 Auto im Stadtverkehr? Abbildung 9 Unterchiedliche Abchnitte im Ort-Zeit Diagramm. 4

15 Kinematik Da zuletzt behandelte Ort Zeit Diagramm entpricht aber immer noch nicht einer realen Bewegung, weil in Wirklichkeit kaum ein Objekt o ruckartig eine Gechwindigkeit ändert. Die Realität ieht vielmehr etwa o au, wie Tabelle 3 im nächten Diagramm (Abbildung 0) Abchnitt A B C D E gezeigt. Nun erkennt man kaum noch [m] Bereiche, in denen die Steigung der Kurve und damit die Gechwindigkeit kontant ind. Um die Gechwindigkeit zu einem Zeitpunkt zu erhalten, müte t [] v [m/] man die Steigung der Weltlinie an dieem Ort ermitteln. E gibt allerding Orte, für die man aber direkt eine quantitative Auage zur Gechwindigkeit machen kann: bei den grünen Punkten it die Steigung der Weltlinie null alo auch die Gechwindigkeit an dieen Orten. Beim blauen Punkt it die Steigung der Ort Zeit Kurve maximal, alo auch die Gechwindigkeit. Abbildung 0 Schon fat ein realitättreue Ort-Zeit Diagramm. Beipiel Ordne die Gechwindigkeiten der markierten Punkte in nebentehendem Diagramm der Reihe nach, die Gröte zuert. Löung Die Steigung der Kurve im Ort Zeit Diagramm entpricht der Gechwindigkeit. Dementprechend lautet die Einteilung vc>ve>va>vb=vd Wichtig: Bei olchen Fragen müen in der Löung immer die mathematichen Vergleichoperatoren vorhanden ein. Ebenfall it ein kurzer Begründungatz notwendig! Gechwindigkeit Zeit Diagramm der gleichförmigen Bewegung 5

16 Nehmen wir al Augangpunkt da Ort Zeit Diagramm au Abbildung. Da dazugehörige Gechwindigkeit Zeit Diagramm folgt in Abbildung. Da Gechwindigkeit Zeit Diagramm (Abbildung ) der gleichförmigen Bewegung ergibt eine zur Zeitache horizontale Gerade, da die Gechwindigkeit im Zeitabchnitt t bi t ja kontant bleibt. Der Wert dieer Gechwindigkeit werde mit v 0 bezeichnet. Betrachten wir einmal die markierte Fläche, welche im Gechwindigkeit Zeit Diagramm von der Gechwindigkeitkurve eingechloen wird. Diee berechnet ich nach v0 t, wa aber nach (7) gerade der Strecke entpricht! Verallgemeinert lautet die Erkenntni: Abbildung Noch ein Ort Zeit Diagramm. Abbildung Gechwindigkeit Zeit Diagramm Die von der Kurve im Gechwindigkeit Zeit Diagramm im Zeitintervall t eingechloene Fläche entpricht in dieem Zeitintervall zurückgelegten Strecke! Da tolle an dieem Satz it: Er gilt auch für Bewegungen, bei denen die Gechwindigkeit nicht kontant it (Abbildung 3). In dieen Fällen lät ich lediglich die Fläche mathematich nicht mehr ganz o einfach ermitteln. Man braucht dafür die Integralrechnung, welche Sie aber ert viel päter lernen werden. Abbildung 3 Die Fläche unterhalb der Kurve im v-t Diagramm entpricht dem zurückgelegten Weg. Beipiel Die Bewegung eine Objekt führt zum abgebildeten Gechwindigkeit Zeit Diagramm. Welche Strecke hat da Objekt in der betrachteten Zeitpanne zurückgelegt? 6

17 Kinematik Löung Die Strecke entpricht der Fläche unter der Kurve im Gechwindigkeit Zeit Diagramm. Im Zeitraum von 0 bi ( t ) beitzt da Objekt eine Gechwindigkeit von v m. Die in dieem Zeitabchnitt zurückgelegte Strecke beträgt m alo v t m. Von bi 5 beitzt da Objekt keine Gechwindigkeit, e legt alo auch keinen Weg zurück. Von 5 bi 8 ( t 3) it der Körper nun mit einer Gechwindigkeit m von v unterweg. Die in dieem Zeitabchnitt zurückgelegte Strecke beträgt alo v t 3 4m. 3 m 3 Wie müen wir diee negative Strecke interpretieren? Auf zweierlei Arten. Wenn man nun fragt, welchen Weg da Objekt ingeamt zurückgelegt hat, o zählt man die Beträge der beiden Teiltrecken zuammen und erhält m 4m 6m. Fragt man hingegen, wie weit der Körper nach 8 Sekunden von einem Startpunkt entfernt it, o zählt die beiden Teiltrecken unter Berückichtigung der Vorzeichen zuammen und bekommt m 4m m. Der Endpunkt der Bewegung liegt alo m hinter dem Startpunkt! Wie ieht da dazugehörige Ort Zeit Diagramm au, wenn ich da Objekt zum Zeitpunkt null am Ort 0 = 0m befunden hat? Löung 7

18 Die Momentangechwindigkeit Genau genommen haben wir bei den meiten Problemen biher mit Durchchnittgechwindigkeiten gearbeitet. Gewie Intrumente können un die Gechwindigkeit eine Objekte zu einem genau definierten Zeitpunkt angeben. Hierzu gehören z.b. der Tachometer eine Fahrzeuge oder auch die Radareinrichtungen der Polizei 4. An dieen Geräten leen wir die Momentangechwindigkeit ab..9.5 Die gleichmäige Bewegung Ändert ich die Gechwindigkeit mit der Zeit, o pricht man allgemein von einer bechleunigten Bewegung. Wir meen die Gechwindigkeit eine Objekt auf einer leicht geneigten Bahn al Funktion der Zeit. Die Daten werden elektronich aufgezeichnet. Qualitativ ergibt ich im Gechwindigkeit Zeit Diagramm ein Bild wie in Abbildung 4, wobei zunächt nur die augezogene chwarze Linie betrachtet werden oll. Abbildung 4 Gechwindigkeit Zeit Diagramm einer gleichmäigen Bewegung Die Gechwindigkeit ändert ich im Verlaufe der Bewegung; ie nimmt zu. Die Gechwindigkeit v 0 zum Zeitpunkt t 0 0 it von null verchieden. Die aufgezeichneten Daten liegen auf einer Geraden die Gechwindigkeit nimmt alo mit der Zeit linear zu. Ergibt ich im v t Diagramm eine Gerade, o pricht man von einer gleichmäig bechleunigten Bewegung. Die Steigung der Geraden im v t Diagramm der gleichmaig bechleunigten Bewegung beträgt natürlich (ganz analog zur Definition der Ge- v t chwindigkeit v ). Oder ander formuliert, bei der geradlinig gleichmaig bechleunigten Bewegung bleibt die Gechwindigkeit, mit der ich die t Gechwindigkeit ändert kontant. Oder ander formuliert: Die Änderung der Gechwindigkeit mit der Zeit it kontant. Da e in den Naturwienchaften wichtig it zu wien, wie chnell ich die Gechwindigkeit mit der Zeit verändert, hat man dieer Gröe einen eigenen Namen gegeben und Bechleunigung genannt. Da Symbol für die 4 treng genommen meen auch die Radargeräte eine Durchchnittgechwindigkeit, jedoch it die Zeitpanne zwichen zwei Meungen ehr kurz. Dehalb kann man in dieem Zuammenhang durchau von Momentangechwindigkeit prechen. 8

19 Kinematik Bechleunigung it ein kleine a (für acceleration). Mathematich lät ich die Bechleunigung audrücken al: mit der Einheit v v v a t t t 0 0 () a m v m m t ().9.5. Gechwindigkeit Zeit Diagramme der gleichmäig bechleunigten Bewegung Au dem v t Diagramm in Abbildung 4 lät ich die Änderung der Gechwindigkeit al Funktion der Zeit direkt ableen. v v t a t t (3) Fragt man hingegen nach der Gechwindigkeit zu einem betimmten Zeitpunkt t, o bekommt man durch Umtellen von () zunächt v v a ( t t ). (4) 0 0 Weil t 0 0 it entpricht t dem Zeitpunkt t. Wir eretzen alo in (4) t durch t, v entprechend durch v und erhalten da Gechwindigkeit-Zeit Geetz v v a t (5) 0 für die gleichmaig bechleunigte Bewegung. Auch bei der gleichmäigen Bewegung gilt natürlich, wie in Abchnitt geehen haben, da der zurückgelegte Weg der Fläche unter der Kurve im v t Diagramm entpricht. Au dem Gechwindigkeit-Zeit Diagramm in Abbildung 5 oll nun die Strecke allgemein ermittelt werden. Abbildung 5 Fläche unter der Kurve im v-t Diagramm. 9

20 Wie man unchwer erkennen kann, hat die blau hervorgehobene Fläche in Abbildung 5 die Form eine Trapeze. Unter Berückichtigung der Flächenformel für ein Trapez 5 können wir gleich v0 ( 0 ) v0 v v v v t t v0 t t (6) chreiben. Unter Berückichtigung von v a t folgt dann v0 t a t. (7) Mit (7) kann man nun die Frage beantworten wie weit ein Objekt gefahren it. Können wir denn aber auch ermitteln, wo ich da Objekt zu einem gewien Zeitpunkt befindet? Löen wir dazu (7) mal nach dem Ort auf: 0 v0 ( t t0) a( t t0). (8) Nur wenn bekannt it, an welchem Ort 0 ich da Objekt zum Zeitpunkt t 0 0 aufhielt, it betimmt. Fall da der Fall it, etzen wir wieder t t0 und. Da Ort Zeit Geetz für die gleichmäig bechleunigte Bewegung lautet dann 0 v0 t a t (9) Wie man Gleichung (9) entnehmen kann, kommt die Zeit quadratich vor. Die macht ich auch im Ort Zeit Diagramm bemerkbar, wie in Ein Kommentar noch zum Vorzeichen: die Bechleunigung kann poitive und negative Werte annehmen. Im erten Fall nimmt die Gechwindigkeit mit der Zeit zu (Ga geben), im zweiten Fall nimmt die Gechwindigkeit mit der Zeit ab (bremen). Man pricht dann von einer verzögerten Bewegung. Abbildung 6 Ort-Zeit Diagramm der gleichmäig bechleunigten Bewegung: Keine Gerade mehr! A a c h, wobei hier da Trapez einfach liegt

21 Kinematik Beipiel Der neue Airbu A380 hebt typicherweie bei einer Gechwindigkeit von rund 378 km/h ab. Die vier Triebwerke entwickeln dabei eine Bechleunigung von etwa 3.64 m/. Die Mae de Flugzeug beträgt dabei rund 34 Tonnen, 75 Tonnen Leergewicht und 66.4 Tonnen übliche Nutzlat. Wie lange dauert der Startvorgang? Löung Au v a t folgt gleich m m 05 0 v t 8.8. a m 3.64 Wie lange mu die Startbahn mindeten ein? Löung Airbu A380 bei einer Flugzeugchau im Juni 006. Quelle: Wikipedia Für die Strecke bei der gleichmäig bechleunigten Bewegung gilt m v0 t a t 0 m 3.64 (8.8 ) 53m. Wir haben bei dieer Rechnung natürlich alle Widertandkräfte auer Acht gelaen (Rollreibung, Luftwidertand), wehalb die wirkliche Starttrecke gröer ein wird. Al Mindetlänge für eine Startbahn findet man den Wert von 4km. Darin ind aber noch gewie Sicherheitparameter berückichtigt..9.6 Würfe.9.6. Der freie Fall Galileo Galilei hatte chon bemerkt, da die Getalt und die Mae eine Körper keinen Einflu auf den freien Fall haben. Ohne einen äueren Einflu (Luft) benötigen alle fallenden Körper au der Ruhe herau für gleiche Weglängen die gleiche Zeit. Abbildung 7Galileo Galilei Quelle:

22 Die Bechleunigung, welche ein Körper beim freien Fall erfährt, it am elben Ort für alle Körper gleich. Dieer Bechleunigung agt man Fallbechleunigung oder Ortfaktor. Al Symbol verwendet man den Buchtaben g. Die Fallbechleunigung hängt von der geographichen Breite de Orte und der Höhe über Meer ab 6. Wir arbeiten mit einem mittleren Wert der Fallbechleunigung auf der Erde von m g 9.8. (0) Beipiel Ein Waerhahn tropft vor ich hin. Der Hahn it 30 cm vom Aufchlagpunkt de Tropfen im Waerbecken entfernt. Mit welcher Gechwindigkeit chlägt der Tropfen im Wachbecken auf? Vorbereitung: Zunächt wird eine Skizze ertellt. Darin zeichnet man da gewünchte Koordinatenytem ein und die wichtigten am Problem beteiligten phyikalichen Gröen mit Richtung, wie da in der nebentehenden Abbildung gemacht wurde. Anchlieend chreibt man die gegebenen und die geuchten Gröen hin: Löungkizze Gegeben y0 30cm 0.3m y m 0 v0 0 m a g 9.8 Man beachte, da die Fallbechleunigung negativ it, weil die y-ache nach oben al poitiv definiert wurde! Geucht v? Löung Die Gechwindigkeit bei der gleichmäig bechleunigten Bewegung berechnet ich au a zu t v v v v0 a t, repektive unter Berückichtigung von v 0 0 m. 6 Dazu mehr im nächten Schuljahr

23 Kinematik v a t Die Bechleunigung it gegeben. Für die weitere Rechnung fehlt aber die Zeit. Allerding wien wir auch, da für die Falltrecke y gilt y v0 t a t a t, wobei wir v 0 0 m berückichtigt haben und bekommen für die Fallzeit t. a Die etzen wir in die Formel für die Gechwindigkeit ein und erhalten y m ( 0.3 m) m m v a t a a m