Elektronische Eigenschaften von Halbleitern In der Vorlesung Elektronische Schaltungen lernen Sie das Verhalten verschiedener Halbleiterbauelemente kennen: Dioden, Bipolare Transistoren, Feldeffekttransistoren Source: ES-Skript Warum verhalten sich die Bauelemente so? Wie designt man neuartige Bauelemente? Elektronische Eigenschaften von Halbleitern Das vollständige Ersatzschaltbild einer Diode (benutzt z.b. für Schaltungssimulationen mit PSPICE): Source: ES-Skript Hier: woher kommen die Ersatzschaltbilder wie gut stimmen diese mit der Realität überein
Beweglichkeit von Kristallelektronen Wie bewegen sich Elektronen in Kristallen? HL E makroskopisch: j = se bzw. j = se Wie berechnet man σ?? Geschwindigkeit von Materiewellen E Gruppengeschwindigkeit: v g dω = dk ω bzw. k Abb.: Wellenpaket im periodischen Potential Dieser Zusammenhang gilt auch für Blochelektronen! Lassen wir also einmal ein elektrisches Feld auf ein Wellenpaket einwirken...
Beschleunigung von Materiewellen Für die Gruppengeschwindigkeit gilt: v g ω 1 Ek ( ) = = ; k ħ k Ziel: Ableitung einer Bewegungsgleichung für ein Elektron im Kristall: Klassische Änderung der Energie pro infinitesimaler Zeiteinheit: de = F v dt für ein Blochelektron:...um E zu ändern, muss k geändert werden de 1 Ek ( ) d( ħk) = dt ħ k dt vg F D.h. äußere Kraft verschiebt den k-vektor des Wellenpaketes gemäß dk 1 F dt = ħ Beschleunigung von Materiewellen Wie sieht es mit der Beschleunigung aus? dvg 1 d E 1 2 E dk 1 2 E 2 2 2 a = = = = F dt ħdt k ħ k dt ħ k Analog zum klassischen F=ma kann also eine Masse des Blochelektrons definiert werden: Ek k 2 1 1 ( ) m = ħ * 2 2 bzw. 2 * 2 Ek ( ) m = ħ 2 k -1 Masse des Kristallelektrons wird bestimmt durch die Bandstruktur!!!
Elektronen in Kristallen Transporteigenschaften von Kristallelektronen werden bestimmt durch die Bandstruktur (Gruppen)Geschwindigkeit ist gegeben durch 1 Ek ( ) vg = ; ħ k Die effektive Masse dieser Elektronen ist: 2 * 2 Ek ( ) m = ħ 2 k Kristallelektronen benehmen sich bei Beschleunigung wie Teilchen der Masse m eff! -1 W Beispiel: Kosinusförmiges Band I (W(k)=E(k)) Bsp.: kosinusförmiges Band
Beispiel: Kosinusförmiges Band II Eine konst. Kraft F bewirkt das folgende k(t): in v g (t)..und in x(t) Nach diesem Modell erwarten wir eine oszillierende Bewegung der Elektronen (Bloch-Oszillationen) mit einer Periode von ca. 0,8 ps. Aber: Einfluss von Störungen In einem realen Kristall wird die Bewegung des Elektrons unterbrochen durch z.b. Stöße mit Gitterschwingungen (Wechselwirkung mit Phononen) Streuung an Defekten Elektron-Elektron-Streuung Die Zeit τ für diese Störungen ist typischerweise viel kürzer als die Periode der Bloch-Oszillation. Bloch-Oszillationen können nur in speziell hergestellten künstlichen Kristallen beobachtet werden. THz-Technik
Ströme in Halbleitern Strom im Halbleiter: Abfolge von Phasen der Beschleunigung und abrupten Stößen Elektronen werden durch den Halbleiter getrieben Drift ströme Elektronenbahn ohne/mit Feld Driftströme Elektronen werden im Mittel nach der Zeit τ Stoß mit Atomrumpf abrupt abgebremst. durch Damit ergibt sich als mittlere Geschwindigkeit: Damit ergibt sich eine zentrale Größe der Halbleiterelektronik, die Beweglichkeit µ: F qeτ eeτ v = τ = = µ E * * m m m eτ µ = * m Sie ist ein Maß dafür, wie schnell sich ein Elektron im Halbleiter unter Einwirkung des elektrischen Feldes bewirkt
Driftströme Stromdichte durch ein Volumenelement: Ladung pro Teilchen (Einheit: C) j = qnv Dichte der Ladungen (Einheit: m -3 bzw cm -3 ) mittlere Geschwindigkeit Einheit: m/s Die Stromdichte ist direkt proportional zur Beweglichkeit: j = qnv = qnµ F -hohe Beweglichkeiten -hohe Stromdichten -geringe Schaltzeiten Beweglichkeit in Si, Ge und GaAs Elektronen hoher Energie haben z.b. eine geringere Beweglichkeit Source:[5]
GaAs Bandstruktur und Beweglichkeit Die effektive Masse der Ladungsträger ist eine Funktion des k-wertes und des Bandes. Die Zeitkonstante τ ist ebenfalls nicht konstant. Deshalb ist die Beweglichkeit nicht für alle Elektronenzustände gleich. Si Bandstruktur und Beweglichkeit Die Träger relaxieren durch Stöße zu den niedrig gelegenen Zuständen im Band. Deshalb heißt τ auch Intrabandimpulsrelaxationszeit. Die Elektronenbeweglichkeit im Leitungsband ist bei Si kleiner als bei GaAs. Dies sieht man an der geringeren Bandkrümmung im Minimum. µ = e t m eff
Chipfabrik Frankfurt/Oder: Halbleiter mit hoher Beweglichkeit Für Hochfrequenzbauelemente (optische Nachrichtentechnik, Mobilfunk) sind die Si-Elektronen u. U. nicht schnell genug. Erforschung und Einsatz von anderen Halbleitermaterialien z.b. GaAs, SiGe Aus für Frankfurter Chipfabrik - Communicant AG geht in Liquidation Beweglichkeiten Die Beweglichkeit ist nicht naturgegeben: Wird bestimmt durch: - Reinheit des Halbleiters (wenige Streuprozesse) - Wahl des Materials - den k-zustand (Energie) des Elektrons
Beweglichkeiten in anderen Materialien A typical device consists of 3 layers - Beweglichkeiten: teilweise nur 10-8 cm 2 /Vs Beweglichkeit in Si, Ge und GaAs v = µ E e t µ = m eff Source:[5] Für kleine Feldstärken ist die Beweglichkeit der Ladungsträger und damit die effektive Masse ungefähr konstant. In diesem Bereich ist die Parabelnäherung zur Bandstruktur anwendbar.
Parabolische Näherung Da die Bandstruktur in diesen Bereichen symmetrisch ist, können wir sie durch eine Parabel annähern. Die Elektronen verhalten sich wie freie Elektronen mit einer konstanten effektiven Masse. Direkter Halbleiter z.b. GaAs Indirekter Halbleiter z.b. Si, Ge Parabolische Näherung m e,h : Effektive Elektron(Loch)masse qe a = m 2 1 1 En( k) = 2 2 m ħ k e eh,
Parabelnäherung: Löcherbewegung - Strombeiträge einzelner Elektronen in einem vollbesetzten Band kompensieren sich paarweise: - Strom wird nur getragen von teilweise gefüllten Bändern Autobahn-Analogie Wir wollen Pakete per Auto von Karlsruhe nach Frankfurt bringen. Jedes Auto kann ein Paket mitnehmen. Wenn wir kein Auto haben, können wir nichts transportieren. Je mehr Autos wir auf die Straße schicken, desto mehr Pakete können wir transportieren. Aber wenn alles voll ist, geht auch nichts mehr!
Primitives Bändermodell Für die meisten Berechnungen in Halbleiterbauelementen sind nur wenige Bänder wichtig: die (fast) gefüllten Bänder mit der höchsten Energie die (fast) leeren Bänder mit der niedrigsten Energie Die Bandstruktur wird dann in einem vereinfachten Bändermodell dargestellt: E C E G E V Primitives Bändermodell Für die meisten Berechnungen in Halbleiterbauelementen sind nur wenige Bänder wichtig: die (fast) gefüllten Bänder mit der höchsten Energie die (fast) leeren Bänder mit der niedrigsten Energie Die Bandstruktur wird dann in einem vereinfachten Bändermodell dargestellt: E C : Minimum des Leitungsbands (Conduction band) E V : Maximum des Valenzbandes (Valence band) E G E C E V E G : Energielücke (Energy gap)
Besetzung der Bänder mit Elektronen Die Verteilung von Elektronen auf die Bänder sieht bei Metallen, Halbleitern und Isolatoren bei Raumtemperatur folgendermaßen aus: Source: B. Van Zeghbroeck Defektelektronen (Löcher) im Valenzband Anstatt die vielen unbeweglichen (im Stau stehenden) Elektronen im Valenzband zu betrachten, ist es einfacher die wenigen beweglichen Defektelektronen (Löcher) zu analysieren.
Berechnung der Leitfähigkeit Quantitativ wird die Leitfähigkeit σ berechnet durch: Ladung des Elektrons Beweglichkeit der Ladungsträger im Leitungsband Anzahl der Ladungsträger im Leitungsband Anzahl der Defektelektronen im Valenzband Beweglichkeit der Ladungsträger im Valenzband Wie kommen die Elektronen bei Halbleitern eigentlich ins Leitungsband und wie viele gibt es dort?