Fadenstrahlrohr und Millikan

M.Links & R.Garreis Inhaltsverzeichnis Fadenstrahlrohr und Millikan Anfängerpraktikum SS 03 Martin Link und Rebekka Garreis 0.06.03 Universtität Konstanz bei Czarkowski, Tobias Inhaltsverzeichnis Einführung Grundlagenteil. Elektrische Widerstände.................................... Impedanz........................................... 3.3 Energie des elektrischen Feldes............................... 4.4 Energie des magnetischen Feldes.............................. 4.5 Auf- und Endladevorgang eines Kondensators....................... 5.6 Der elektrische Schwingkreis................................. 5.7 Erzwungene Schwingung................................... 7.8 Spannungsteiler........................................ 8.9 RC-Hoch- und Tiefpass................................... 8.0 LC-Hoch- und Tiefpass.................................... 0 3 Schwingkreis 3. Fragen und Aufgaben.................................... 4 Schwingungssiebe 5 Anhang

Einführung Ziel des ersten Versuchsteils ßchwingkreisïst zunächst die Umwandlung von elektrischer in magnetische Energie zu untersuchen. Aus einem Kondensator und einer Spule kann ein sogenannter Schwinkreis erstellt werden. Die Schwingung kann auch gedämpft werden, hierbei werden die Begrie schwache Dämpfung, aperiodischer Grenzfall und Kriechfall eingeführt. Des Weiteren wird die Resonanzkurve einer erzwungenen Schwingung betrachtet. Im zweiten Versuchsteil ßchwingungssiebe"werden die Eigenschaften von verschiedenen Kombinationen aus Spulen, Widerständen und Kondensatoren bei Wechselspannung betrachtet. Insbesondere wird untersucht wie verschiedene Frequenzanteile aus der Wechselspannung heraus geltert werden können. Grundlagenteil. Elektrische Widerstände Jeder Leiter besitzt einen materialspezischen elektrischen Widerstand ϱ s. Hängt dieser nicht von I oder U ab, so wird der Leiter als Ohmscher Leiter bezeichnet und es gilt U R I (Ohmsche Gesetz). Der elektrische Widerstand R wird in Ω angegeben. Betrachtet man eine Leitung, die an Gleichstrom angeschlossen wird, so fällt auf, dass die Enerie, die durch den elektrischen Widerstand, dem Wirkwiderstand, verloren geht, hauptsächlich in Wärme umgewandelt wird. Bei einer Leitung, die an eine Wechselspannung angeschlossen ist, tritt ein zusätzlicher sogenannter komplexer Widerstand oder auch Blindwiderstand. Dieser bewirkt eine Phasenverschiebung vom Strom gegenüber der Spannung. Hierbei muss man unterscheiden zwischen: Induktiver Widerstand In einen Stromkreis (Aufbau siehe Abb.) mit der angelegten Spannung U e U 0 cos(ωt) gilt, falls der Ohmsche Widerstand vernachlässigt wird, für die induzierte Spannung U ind L di dt in der Spule: U e + U ind 0 U 0 cos(ωt) L di dt I U 0 cos(ωt) dt U 0 L ωl sin(ωt) I 0 sin(ωt) mit I 0 U 0 ωl Es ist zu erkennen, dass der Strom gegenüber der Spannung um 90 verzögert ist. Für den induktiven Widerstand deniert man () () R L U 0 I 0 ω L. (3) Berücksichtigt man auch die Phasenverschiebung, so muss der Widerstand mittels einer komplexen Zahl Z mit dem Betrag R L und dem Winkel ϕ ausgedrückt werden. Bei einer idealen Spule ohne Wirkwiderstand wäre der Realteil von Z also null. Für den komplexen Wiederstand folgt also: Z L i ω L (4)

Abbildung : Wechselstromkreis mit Induktivität L [3] Kapazitiver Widerstand Mittels zeitlicher Dierentiation ergibt sich aus der Gleichung U Q C folgende: du dt dq C dt C I (5) Betrachtet man den Stromkreis aus Abb wieder mit einer angelegten Spannung U e U 0 cos(ωt) ergibt sich I ωc U 0 sin(ωt) ωc U 0 cos(ωt + 90 ) (6) Hier eilt der Strom also der Spannung um 90 vorraus. Und für den komplexen Widerstand gilt: Z C U I e iπ/ U 0 I 0 i [4] (7) ωc Abbildung : Wechselstromkreis mit Kapazität C [3]. Impedanz ßchaltet man in einem Stromkreis einen Ohmschen Widerstand R, eine Induktivität L und eine Kapazität C in Reihe, so lässt sich der komplexe Widerstand Z wie folgt berechnen: ( Z R + Z L + Z C R + i ωl ) (8) ωc Dieser komplexe Widerstand kann als Vektor in einer komplexen Zahlenebene dargestellt werden. Hierbei wird sein Betrag ( Z R + ωl ) (9) ωc 3

Abbildung 3: Komplexe Darstellung des Gesamtwiderstandes Z in der komplexen Ebene [3] als Impedanz bezeichnet. Aus Gleichung (8) kann man herauslesen, dass der komplexe Widerstand trotz vorhandener Induktivität und Kapazität null werden kann. Und zwar genau dann wenn gilt. [4].3 Energie des elektrischen Feldes ωl ωc Eine Isoliert stehende Kugel mit dem Radius r wird in kleinen Ladungsportionen dq aufgeladen. Hierbei muss pro dq die Arbeit dw dq(φ r φ dq φ r (Für φ 0) (0) verrichtet werden. Mit φ r Q 4πε, C 4πε 0 r 0 r und Q C U ergibt sich für die gesamte Arbeit: W Q dq Q 4πε 0 r 8πε 0 r Q C C U () Diese Herleitung einer geladenen Kugel gilt auch allgemein für Kondensatoren. W C C U () ist also die Energie, die im elektromagnetischen Feld des Kondensators gespeichert ist..4 Energie des magnetischen Feldes Schaltet man in einem Stromkreis mit Spule L und Widerstand R die äuÿere Spannungsquelle ab, so muss die im Widerstand R verbrauchte Energie im Magnetfeld der Spule gesteckt haben. W L 0 I U dt Mit der Bezihung I(t) I 0 e (R/L)t ergibt sich für die Energie: W L 0 0 I R dt (3) I 0 e (R/L)t R dt I 0 L (4) Hierbei ist I 0 der vor dem Abschalten durch die Spule ieÿender Strom. 4

.5 Auf- und Endladevorgang eines Kondensators Bei der Auf- und Entladung eines Kondensators über einen Widerstand mit einer konstanten Spannung U 0, bzw. 0 steigt, bzw. fällt die Ladung expondentiell. Dies ist auch in Abb. 4 dargestellt. Abbildung 4: RC-Schaltung und Auf- bzw Entlade Kurve eines Kondensators [] Nach den Kirchhof'schen Regeln muss in dem Stromkreis folgenden Spannungsverteilung bestehen: U Spannungsquelle U R + U C (5) R Q(t) + Q(t) C Beim Lösen dieser Dierentialgleichung erster Ordung muss zwischen dem Auf- und Entladevorgang unterschieden werden. (6) Auadevorgang: Unter den Bedingungen U Spannungsquelle U 0 und Q(0) 0 ergibt sich Entladevorgang: Hierbei gilt U Spannungsquelle 0 und Q(0) Q 0. Q(t) U 0 C ( e RC t ) (7) U C (t) U 0 ( e RC t ) (8) U C (t) U 0 e RC t (9) Der in den Gleichungen 9 und 8 vorkommende Ausdruck R C wird als Zeitkonstante τ bezeichnet. Zum Zeitpunkt t τ ist der Auf- bzw. Entladevorgang bis auf den Bruchteil e abgeschlossen..6 Der elektrische Schwingkreis Schlieÿt man einen aufgeladenen Kondensator an eine Spule an um ihn zu entladen, so ist die Entladekurve nicht expondentiell, sondern führt eine Sinusförmige Schwingung aus. Bei der Entladung ieÿt ein Strom durch die Spule, welcher in ihr ein Magnetfeld induziert. Die Energie des Kondensators wird also auf das Magetfeld in der Spule übertragen. Durch den Ru"ckgang des Stromussen wird in der Spule ein Strominduziert, welcher den Kondensator entgegengesetzt wieder 5

Abbildung 5: Aufbau eines elektrischen Schwingkreises [5] auäd bis die gesamte Energie wieder in dessen elektrischem Feld gespeichert ist. Dieser Vorgang wiederholt sich dann periodisch, wird allerdings durch den Wirkwiderstand der Schaltung und eventuell zusätzlich eingebaute Widerstände gedämpft. Die Amplituden von Strom und Spannung nehmen also expondentiell ab. Nach den Kirchhof'schen Gesetzen gilt für die Spannungen innerhalb dieses Stromkreises folgende Beziehung: U C + U R + U L 0 (0) Q C + R Q + L Q 0 () LC Q + R C Q + Q 0 () ω0 Q + β Q + Q 0 (3) Dies ist eine homogene Dierentialgleichung zweiter Ordnung mit der Dämpfungskonstante β R C und der Eigenfrequenz ω 0 LC. Zum Lösen dieser DGL wählt man den Ansatz Q Ae λ t + Be λ t (4) und erhält folgende Lösung: λ / β ± β ω0 (5) Man unterscheidet drei Fälle je nach dem Verhältnis von β und ω 0. Schwingfall: β < ω0 Hierbei ist λ / komplex. Für die Lösung muss allerdings nur der Realteil betrachtet werden, sodass folgende Schwingungsgleichung zustande kommt: ( Q Q 0 e βt Re A e i ω0 βt + B e i ) ω0 β t (6) Wobei ω ω0 β die Kreisfrequenz ist. Aus U Q C folgt für die Spannung: Q 0 e βt cos(ωt ϕ) (7) U U 0 e βt cos(ωt ϕ) (8) 6

Die Lösung besteht aus zwei Teilen. Die Exponentialfunktion (Einhüllende) beschreibt die Abnahme der Amplituden, während der Cosinus den Schwingvorgang beschreibt. Es wird also deutlich, je höher die Dämpfung, desto schneller konvergiert die Funktion gegen Null. Das logarihmische Dekrement ist ein Maÿ für die Dämpfung. Es vergleicht zwei aufeinander folgende Spannungsmaxima. Λ ln(ûi) ln(ûi+) β T (9) Aberiodischer Grenzfall: β ω 0 Hierbei kommt keine Schwingung zustande und es gibt maximal einen Nulldurchgang. Dieser Fall hat die schnellste R"ckkehr zur Ruhelage, also U(t) 0. Ferner gilt λ λ λ β und U U 0 e βt. (30) Kriechfall: β > ω0 Auch hier kommt es zu keiner Schwingung. Es gibt aber auch keinen Nulldurchgang, sondern die Spannung geht langsam zur Ruhelae zurück. Des Weiteren ist λ reell und dadurch ergibt sich folgende Lösung der DGL: ( U U 0 e βt Ae ) β ω0 + Be β ω0 (3).7 Erzwungene Schwingung Der Schwingkreis kann über Induktion zu einer erzwungenen Schwingung angeregt werden. Dabei wird eine zweite Spule, welche unmittelbar neben die eigentliche gestellt wird, an einen Frequenzgenerator angeschlossen. (Abb. 6) Abbildung 6: Schaltplan Erzwungenen Schwingung [] Es handelt sich um eine sogenannte induktive Kopplung. Die Erregerspannung wird in der Form U err U err,0 sin(ω err t) angenommen. Dadurch ergibt sich die inhomogene Dierentialgleichung ω 0 U + β U + Ü U err,0 sin(ω err t) (3) Wie auch aus der Mechanik bekannt, klingt der homogene Anteil der Lösung mit e βt ab, sodass nach kurzer Zeit der Stationäre Zustand mit U(t) U 0 sin(ω err t ϕ) (33) 7

eintritt. Dieser varriiert nur noch mit ω err. Für die Phasenverschiebung und maximale Spannungsamplitude gilt analog zur Mechanik βω err ϕ arctan ω0 ω err (34) und Û U 0 ω 0 (ω 0 ω err) + 4β ω err (35) Hierbei ist zu erkennen, dass die Amplitude bei ω err ω0 β maximal wird. Ist also keine oder nur eine sehr schwache Dämpfung vorhanden, so gilt Û. Es kommt zu einer Resonanzkatastrophe, die das System zerstört. Ist die Erregerfrequenz relativ gering, so geht die Phasenverschiebung gegen Null. Für ω err ω 0 gilt ϕ π. Für noch gröÿere Errgerfrequenzen geht die Phasenverschiebung gegen π. (Siehe dazu auch Abb. 7.) Abbildung 7: Amplitudenverhältnis und Phasenverschiebung in Abhängigkeit von ω err [5], [6].8 Spannungsteiler Nach den Kirchhof'schen Regeln gilt für den Strom in einem Stromkreis mit mehreren in Reihe geschalteten Widerständen: I U 0 R +... + R n (36) Man kann also an den verschiedenen Widerständen R i beliebige Teilspannungen U i von U 0 abgreifen..9 RC-Hoch- und Tiefpass U i R i I R i U 0 R +... + R n (37) Ein RC-Hoch-/Tiefpass ist ein Spannungsteiler, bestehend aus einem in Reihe geschaltetem Widerstand und Kondensator, der mit Wechselstrom betrieben wird. Wird die Teilspannung am Widerstand abgegrien, so spricht man von einem Hochpass, beim Kondensator dagegen von einem Tiefpass. 8

Abbildung 8: RC-Hoch-,bzw. Tiefpass [] Bei der Hochpass-Schaltung gilt für den Betrag des Verhältnisses der Eingangs- und Ausgangsspannung H U 3 U R R + Z C (38) R R + (39) iωc + ( ). (40) ωrc Für die Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangssignal folgt dementsprechend ( ) ϕ arctan ωrc Betrachtet man die Grenzfälle, so wird die Namensgebung deutlich. Für groÿe Frequenzen geht das Amplitudenverhältnis gegen und die Phasenverschiebung gegen Null. Das Signal wird also nahezu unverändert weitergegeben. Für kleine Frequenzen geht das Verhältnis gegen Null, diese werden also heraus geltert. Analog kann auch das Amplitudenverhältnis bei der Tiefpass-Schaltung bilden. H U 4 U Z C R + Z C (4) iωc R + (43) iωc (44) + (ωrc) (4) Und entsprechend die Phasenverschiebung ϕ arctan( ωrc) (45) Es werden also die niedrigen Frequenzen durchgelassen, während die hohen herausgeltert werden. Die Grenzfrequenz ω gr ist an der Stelle deniert, bei der H gilt. Sie beträgt somit ω gr RC τ. (46) 9

.0 LC-Hoch- und Tiefpass Schaltet man wie in Abb 9 eine Spule und einen Kondensator in Reihe so können auch hier Frequenzen herausgeltert werden. Abbildung 9: LC-Hoch-,bzw. Tiefpass [] Wird die Spannung an der Spule abgegrien, so handelt es sich um einen Hochpass, beim Kondensator um einen Tiefpass. Wie auch bei der RC-Schaltung hängt diese Namensgebung damit zusammen, welche Frequenzen nicht herausgeltert werden. Analog kann deshalb auch H, bzw dessen Betrag berechnet werden. LC-Hochpass: H U 5 U Z L Z L + Z C (47) iωl iωl + (48) iωc ( ω LC ) (49) (50) Für hohe Frequenzen ω geht H gegen und für niedrige gegen Null. LC- Liefpass: H U 6 U Z C Z L + Z C (5) iωc iωl + (5) iωc (53) ω LC Für hohe Frequenzen ω geht H gegen Null und für niedrige gegen. In Beiden Fällen wird H maximal, wenn der Nenner Null wird. Dies tritt bei der Grenzfrequenz ω gr LC (54) 0

M.Links & R.Garreis 3 SCHWINGKREIS auf. Für Frequenzen um ω gr wird das signal also nicht nur vollständig weitergeleitet, sondern es kommt zu einer Überhöhung des Ausgangssignals. Durch Ohm'sche Widerstände wird diese Eekt allerdings geschwächt, sodass er zum Teil nur noch sehr schwach oder gar nicht mehr zu erkennen ist. Im Idealfall tritt zwischen Ausgangs- und Eingangssignal keine Phasenverschiebung auf. Im Sperrbereich geht diese allerdings gegen ϕ 80 π. 3 Schwingkreis 3. Fragen und Aufgaben. Ist die in diesem Experiment mit dem Oszilloskop erzielte Messgenauigkeit ausreichend, um die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Dämpfung zu bestimmen? Mit Hilfe von Gleichung.6 kann man die Periodendauer einer gedämpften Schwingung wie folgt berechnen: T π ω π ω 0 β T 0 β 4π (55) Die Dieerenz T T 0 liegt mit unseren Messwerten also im Nanosekundenbereich. Da die Messgenauigkeit des Oszilloskopes aber nur bis zum Mikrosekundenbereich geht, kann diese Dierenz im Laufe dieses Versuches nicht bestimmt werden.. Beweisen Sie, dass das sog. Spannungsresonanzmaximum für die Spannung U C am Kondensator bei ω res ω 0 β liegt Betrachtet man die Ableitung von Formel 35 und setzt diese gleich 0 um das Maxima zu erhalten, so ergibt sich: 0 ω err Û (56) U 0 ω 0 (ω 0 ω err)ω err 4β ω err ( (ω 0 ω err) + 4β ω err ) 3 (57) (ω0 ωerr) β (58) ω err ω0 β (59) Die Spannung der Resonanzkurve wird also bei ω res ω 0 β maximal. 3. Beweisen Sie, dass im Gegensatz zur vorhergehenden Aufgabe das Stromresonanzmaximum bei ω res ω 0 liegt. Für den Strom I am Kondensator gilt: I t Q C C t U C ω err CÛ cos(ω errt + φ) (60)

M.Links & R.Garreis Literatur Auch hier wird wieder die Nullstelle der Ableitungsfunktion betrachtet um die Extremstelle zu erhalten. 0 ω err I( ω res ) (6) C U 0 ω 0 ((ω 0 ω res) + 4β ω res) + ω res ((ω 0 ω res) ω res 4β ω res ) ((ω 0 ω res) + 4β ω res) 3 ((ω 0 ω res) + 4β ω res) + ω res ((ω 0 ω res) ω res 4β ω res ) (63) (ω 0 ω res)( + ω res ) (64) ω 0 ω res ω res ω 0 Damit liegt das Maximum der Stromresonanzkurve bei ω res ω 0 4. Warum muss bei der induktiven Ankopplung des Erregerkreises an den Schwingkreis die gegenseitige Induktivität der Spulen klein gegen die Selbstinduktivität der Spule im Schwingkreis sein? Ist das Verhältnis andersrum oder die Selbstinduktivität gleich der gegenseitigen Induktivität, so kommt es zu einer Rückkopplung, die die Messungen verfälschen und für falsche Messwerte sorgen würde. (6) (65) (66) 4 Schwingungssiebe 5 Anhang Literatur [] Runge, Bernd-Uwe: Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, Schwingkreis https://ap.physik.uni-konstanz.de/ap-public/anleitungen/schwingkreis.pdf (entnommen am 0.04.03) [] Runge, Bernd-Uwe: Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, Schwingungssiebe https://ap.physik.uni-konstanz.de/ap-public/anleitungen/schwingungssiebe.pdf (entnommen am 0.04.03) [3] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik Auage 5 009 [4] Martin Link, Rebekka Garreis: Praktikumsprotokoll: Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, Hochfrequenzsignale und Fresnel'sche Formeln (.04.03) [5] http://www.physik-mit-links.de/3 elektro_magnetische_schwingungen/elek_mag_ geschl_sk_files/sk-lc-p.gif (0.06.03) [6] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/vergroesserungsfunktion. png/400px-vergroesserungsfunktion.png (03.06.03) [7] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/erzwungene_schwingung_ Phasenverschiebung.png/0px-Erzwungene_Schwingung_Phasenverschiebung.png (03.06.03)

M.Links & R.Garreis Tabellenverzeichnis Abbildungsverzeichnis Wechselstromkreis mit Induktivität L [3].......................... 3 Wechselstromkreis mit Kapazität C [3]........................... 3 3 Komplexe Darstellung des Gesamtwiderstandes Z in der komplexen Ebene [3]..... 4 4 RC-Schaltung und Auf- bzw Entlade Kurve eines Kondensators []........... 5 5 Aufbau eines elektrischen Schwingkreises [5]........................ 6 6 Schaltplan Erzwungenen Schwingung [].......................... 7 7 Amplitudenverhältnis und Phasenverschiebung in Abhängigkeit von ω err [5], [6].... 8 8 RC-Hoch-,bzw. Tiefpass []................................. 9 9 LC-Hoch-,bzw. Tiefpass []................................. 0 Tabellenverzeichnis 3