Pflichtteil (ohne Hilfsmittel) ) Berechne die erste Ableitung. 3x a) f(x) e cos(x x) b) 3x f(x) e cos(x x) (5VP) ) Berechne und vereinfache. a) cos x dx b) 5 dx (4VP) x 3) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung (4VP) sin (x) sin(x) 3 im Bereich x. 4) Gib eine Funktionsgleichung an. (4VP) a) b) y y -3 - - O 3 4 5 x -3 - - O 3 4 5 - - x - - -3 5) Gegeben sind die drei Punkte A(- 4 4), B( 3), C(3 3 5). (VP) a) Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. c) Bestimme den Punkt D so, dass ABCD ein Quadrat ist. d) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene durch die Punkte A,B und C. e) Bestimme den Abstand des Ursprungs zu dieser Ebene. 6) Bestimme a so, dass a sin(x) dx 5 gilt. (3VP)
Wahlteil Analysis (mit GTR und Formelsammlung) a) Im Jahr 86 lebten in den alten Bundesländern 55 Personen auf einem Quadratkilometer. Im Jahre 87 waren es bereits Personen. () Stelle unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums eine geeignete Funktion f(t) auf, die die Bevölkerungsdichte beschreibt. (f(t): Bevölkerungsdichte = Anzahl der Personen pro km², t in Jahren seit 86). (Zwischenergebnis: f(t), t 55 e ) () Wie viele Personen lebten hiernach im Jahre 9 auf einem Quadratkilometer? (3) Um wie viel Prozent hat die Bevölkerungsdichte zwischen 86 und 9 zugenommen? (4) Bestimme eine Prognose für die Bevölkerungsdichte im Jahre. (5) Bestimme die mittlere Bevölkerungsdichte für den Zeitraum von86 bis 9. (8VP) b) Zählungen haben ergeben, dass es tatsächlich wesentlich weniger Bewohner waren. Man geht daher davon aus, dass sich die Bevölkerungsdichte g(t) ab dem Jahre 9 durch beschränktes Wachstum beschreiben lässt: Die Gesamtänderung der Bevölkerungsdichte ergibt sich dadurch, dass pro Jahr 6 Personen auf jeden km² zuwandern und gleichzeitig,5% der aktuellen Bevölkerung abwandert. () Gib eine Differentialgleichung dieses Wachstumsvorgangs an. Welche Bevölkerungsdichte ist langfristig nach diesem Modell zu erwarten? () Gib die Lösungsfunktion der Differentialgleichung an, wenn zu Beginn im Jahr 9 die Bevölkerungsdichte 39 Personen pro km² war. (g(t): Bevölkerungsdichte = Anzahl der Personen pro km², t in Jahren seit 9) (3) Wie groß ist nach diesem Modell die Bevölkerungsdichte im Jahr? Um wie viel Prozent ist die Bevölkerungsdichte nach diesem Modell geringer, verglichen mit dem Modell aus Aufgabenteil a)? (7VP)
Wahlteil Geometrie (mit GTR und Formelsammlung) Die Grabstätte des Pharaos hat die Form einer quadratischen Pyramide. Die quadratische Grundfläche ist durch die Eckpunkte A (8 ), B(8 8 ), C ( 8 ), und D( ) bestimmt, die Spitze durch den Punkt S (4 4 8). Eine Längeneinheit entspricht m in der Realität. a) () Zeichne die Pyramide in einem geeigneten Koordinatensystem. () Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Punkte B,C und S liegen (Seitenfläche der Pyramide). (Teilergebnis: E : x x3 6 ) (3) Berechne das Volumen der Pyramide in Kubikmetern (Beachte den Maßstab!). (4) Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche. (8VP) b) Im oberen Bereich ist ein Teil der Pyramide abgetragen worden. Die obere Fläche des verbliebenen Pyramidenstumpfes ist ein Viereck begrenzt durch die Punkte E(5 3 6), F(6 6 4), G( 6 4) und H(3 3 6). () Das Viereck EFGH liegt in der Ebene E : x 3x3 4. Weise dies exemplarisch für Punkt H nach. () Bestimme den von den Ebenen E und E eingeschlossenen Schnittwinkel. (3VP) c) Im Innern der ursprünglichen Pyramide befindet sich die Grabkammer des Pharaos. Laut einem Archäologen befindet sich der Mittelpunkt der Kammer im Punkt Q(4 4,47). Er vermutet, dass Q sowohl von den Seitenwänden, als auch von der Grundfläche ABCD den gleichen Abstand hat. () Begründe, dass es ausreicht bei den Seitenwänden lediglich eine Wand zu betrachten. () Weise nach, dass der Archäologe Recht hat. (4VP)
Pflichtteil Lösungen: ) a) b) 3x f (x) 3e sin(x x) (x ) (,5P) (,5P) 5P 3x 3x f (x) 3e (cos(x x)) e sin(x x) (x ) cos x dx sin x sin sin (P) ) a) b) 5 5 dx ln x ln 9 ln ln9 x (P) 4P 3 3 3) Substitution: u sin(x) u u u ; u 3 3 Rücksubstitution: sin(x) k.l.;sin(x) x 4P 4) a) f(x) sin( x),5 (P) b) f(x) sin (x,5),5 3 (P) 4P 4 5) a) AB ; AC ; BC (P) Es ist AB BC (P) und AB BC 3 (P) Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig bei B b) A 3 3 4,5 (P) c) d) OD OA BC 4 5 D( 5 6) (P) 4 6 4 3 n AB AC 6 6 E : x x x3 (P) E : x x x3 b. A in E: b x x x3 e) HNF von E: d (P) P 3 3 3 6) a sin(x) dx a cos(x) a 5 a 5 3P Summe: 3P
Wahlteil Analysis Lösungen: a) () f(t) (I) kt c e (I) (I) f() 55 (I) c e 55 c 55 in (II) () f(84) 39 (,5P) (3) f(84) f(),53 53% (,5P) f() (4) f(96) 475 (,5P) (5) 84 und (II) f(54) k54 55 e k, (P) m f(t)dt 9 84 (,5P) 8P b) () g(t) 6,5 g(t) g (t),5 (4 g(t)) (P) mit der Schranke S = 4 (P) Also langfristig 4 Personen / km²,5 t () g (t),5 (4 g(t)) hat die Lösung: g(t) 4 c e,5 t mit g() 39 c 6 g(t) 4 6 e (P) (3) g() = 35 (P) 475 35,6 6% (P) 475 Nach Modell b) ist die Bevölkerungsdichte um 6% geringer 7P Summe: 5P
Wahlteil Geometrie Lösungen: a) () Zeichnung: (P) 4 4 () SB 4 ;SC 4 n SB SC 4 E : x x3 b 8 8 C in E : E : x x3 6 (P) (3) Pyramidenhöhe h 8m V G h (8) 8 7667m 3 3 (4) Pyramidenmantel besteht aus 4 gleichschenkligen Dreiecken g 8m ; hseite 4 8 8m (P) 3 (,5P) AMantel 4 8 8 43,84m 43m (,5P) 8P b) () Einsetzen von H in E : 3 3 6 4 4 4 H liegt in E (,5P) () n ;n 3 n n 4 3 7 cos( ) 9,74 (,5P) 3P n n 5 3 65 c) () Q liegt auf der Mittelachse der Pyramide gleicher Abstand zu allen 4 Seitenflächen. (P) () Der Abstand zur Grundfläche beträgt d,47 m 4,7m (P) Den Abstand zu einer Seitenfläche erhält man durch Einsetzen von Q in die HNF von E. 4,47 6 d (Q,E ) m,47 m 4,7m d d (P) 4P Summe: 5P