Gerhard Hübner Stochastik
Mathematische Grundlagen. der Informatik Herausgeber: Rolf Möhring, Walter Oberschelp und Dietmar Pfeifer Algorithmische Lineare Algebra von Herbert Möller Analysis von Gerald Schmieder Numerik von Helmuth Späth Stochastik von Gerhard Hübner Einführung in die Computergraphik von Hans-Joachim Bungartz, Michael Griebel und Christoph Zenger vieweg "
Gerhard Hübner Stochastik Eine anwendungsorientierte Einführung für Informatiker, Ingenieure und Mathematiker 2., durchgesehene Auflage IJ vleweg
Prof. Dr. Gerhard Hübner Institut für Mathematische Stochastik Universität Hamburg Bundesstraße 55 201 46 Hamburg E-Mail: huebner@math.uni-hamburg.de Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei Der Deutsch en Bibliothek erhältlich 1. Auflage 1996 2., durchgesehene Auflage 2000 Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 2000 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. http://www.vieweg.de Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.corporatedesigngroup.de Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN 978-3-528-15443-1 ISBN 978-3-322-96909-5 (ebook) DOI 10.1007/978-3-322-96909-5
v Vorwort Die vorliegende Einführung in die Stochastik, die sich vorwiegend an Studierende der Informatik richtet, geht in ihrer Konzeption im wesentlichen von den folgenden drei Gesichtspunkten aus: 1. Die Anwendung soll im Vordergrund stehen. Der Leser soll in die Lage versetzt werden, bei konkreten Vorgängen mit Zufalls einfluss die wesentlichen Aspekte zu erkennen, ein geeignetes Modell zu finden und daraus Prognosen und gegebenenfalls Entscheidungshilfen abzuleiten. 2. Es sollen interessante und aktuelle Anwendungsbereiche einbezogen werden, die sonst in einführenden Lehrbüchern meist nicht behandelt werden, so z.b. Bedienungsmodelle, wie sie u.a. bei der Bewertung von Kommunikationsnetzen eine wesentliche Rolle spielen, oder Aspekte von Simulationsmethoden, die immer dann zum Zuge kommen, wenn die analytische Lösung eines Problems zu komplex wird oder nicht bekannt ist. 3. Der Umfang soll überschau bar sein, um den Einstieg in die Stochastik zu erleichtern. Es kann daher in vielen Bereichen nur ein begrenzter Einblick gegeben werden, der zur Lösung von einfachen Problemen ausreicht, daneben aber für komplexere Fragestellungen ein gewisses Verständnis ermöglicht, Interesse weckt und die wesentlichen Grundlagen bereitstellt, um eine Beschäftigung mit schwierigeren Aufgaben anhand weiterführender Literatur oder in entsprechenden Lehrveranstaltungen zu ermöglichen. Formale Elemente und Strukturen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie sollen nur insoweit einbezogen werden, wie sie einerseits als Handwerkszeug zur ModelIierung und Lösung praktischer Probleme gebraucht werden und andererseits die Einordnung von einzelnen Aspekten und Methoden in übergreifende Gesetzmäßigkeiten ermöglichen. Außerdem soll auch bei Vereinfachungen nach Möglichkeit auf Übereinstimmung mit den sonst üblichen Bezeichnungen und Sprechweisen geachtet werden. In dieses Konzept sind im wesentlichen Erfahrungen aus den regelmäßigen Einführungsveranstaltungen "Stochastik für Studierende der Informatik" an der Universität Hamburg, aber auch aus anderen Lehrveranstaltungen eingeflossen. Es lässt sich damit, wenigstens teilweise, auch auf entsprechende Veranstaltungen für Studierende der Mathematik, Wirtschaftsmathematik und der Ingenieurwissenschaften anwenden, je nach Bedarf ergänzt durch vertiefende theoretische oder spezielle angewandte Themenbereiche. Der verstärkte Einsatz von graphischen Elementen - das besondere Herausheben von wichtigen Stichwörtern, die Kennzeichnung von Beispielen durch anschauliche Symbole und eine große Zahl von Skizzen, Funktionsdarstellungen und Tabellen -
vi Vorwort soll das Verständnis, die visuelle Vorstellung, das Einprägen und das Nachschlagen erleichtern. An dieser Stelle möchte ich allen danken, die an der Entstehung dieses Buches mitgewirkt haben: den Hörerinnen und Hörern meiner Vorlesungen, sowie den an den Übungen beteiligten studentischen Hilfskräften für ihre Mitarbeit und für alle kritischen und ermunternden Äußerungen, meinen Hamburger Kolleginnen und Kollegen, Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern für unzählige Diskussionen, didaktische Überlegungen und praktische Verbesserungsvorschläge, allen Autoren von Lehrbüchern für manche Anregungen, Beispiele und Übungsaufgaben, deren Herkunft nicht immer im einzelnen nachvollziehbar ist, meinen akademischen Lehrern, die meine Einstellung zum mathematischen Denken und Forschen geprägt haben, insbesondere Herrn Prof. Hinderer, der seinem damaligen Assistenten neben aller formalen Strenge seine Aufgeschlossenheit für Anwendungen vermittelt hat, dem Vieweg-Verlag und den Herausgebern für das Angebot, dieses Lehrbuch in der Reihe "Mathematische Grundlagen der Informatik" zu veröffentlichen, für die gute Zusammenarbeit und für alle Unterstützung bei redaktionellen Fragen, der Universität Hamburg für die Unterstützung im Rahmen des vom Bundesministerium für Forschung und Technologie geförderten Projekts "Innovation in der Lehre", den Studierenden Stefan Behnke und Stephan Engelke für ihren unermüdlichen und engagierten Einsatz bei der Herstellung und Gestaltung der Druckvorlage, insbesondere auch der Abbildungen, dem Studierenden Roman-Raffaele Chirico für die Programmierung und Produktion der Simulations-Darstellungen und nicht zuletzt meiner Familie für manche Ermutigung und manchen Verzicht. Hamburg, im September 1995 Gerhard Hübner Die vorliegende zweite Auflage ist im wesentlichen unverändert geblieben, abgesehen von notwendigen Korrekturen und redaktionellen Anpassungen. Lediglich das einleitende erste Kapitel wurde stärker überarbeitet und ergänzt um einen Abschnitt über "Beschreibende Statistik", der erste Erfahrungen im Umgang mit zufälligen Daten vermitteln soll, um den Einstieg in die formalen Modelle zu erleichtern. Allen Kollegen und Studierenden, die durch Hinweise und Vorschläge zur Verbesserung dieser Auflage beigetragen haben, gilt mein besonderer Dank. G.H.
vii Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Was ist Stochastik?... 1 1.2 Anwendungsbereiche der Stochastik 1 1.3 Modell und Realität... 3 1.4 Fragestellungen und Ziele 4 1.5 Beschreibende Statistik. 6 1.6 Aufgaben... 9 2 Wahrscheinlichkeits-Modelle 11 2.1 Die Modell-Bausteine. 11 2.2 Der Merkmalraum n 12 2.3 Zusammengesetzte Merkmale 13 2.4 Ereignisse... 14 2.5 Das Ereignis-System A 17 2.6 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit 19 2.7 Weitere Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen 24 2.8 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten 25 2.9 Aufgaben... 27 3 Darstellungen von Wahrscheinlichkeitsmaßen 31 3.1 Diskrete W-Maße und Zähldichten.. 31 3.2 Stetige W-Maße und Riemann-Dichten 33 3.3 Verteilungsfunktionen. 38 3.4 Aufgaben... 42 4 Mehrstufige W-Modelle, Koppelung 45 4.1 Koppelung diskreter W-Modelle 45 4.2 Koppelung stetiger W-Modelle. 47 4.3 Unabhängige Koppelung 47 4.4 Markov-Koppelung... 50
viii 4.5 Zufälliges Ziehen ohne Zurücklegen 4.6 Folgen von Koppelungsmodellen 4.7 Aufgaben.... 5 Zufallsvariable und Bildmodelle 5.1 Zufallsvariable.... 5.2 Bildmodelle, Verteilungen von Zufallsvariablen 5.3 Hypergeometrische und Binomial-Modelle.. 5.4 Die Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung. 5.5 Die Normal-Approximation der Binomial-Verteilung. 5.6 Wartezeiten - die geometrische Verteilung...... 5.7 Mehrfaches Warten - die negative Binomialverteilung 5.8 Bild-Verteilungen für stetige W-Modelle.. 5.9 Randverteilung und gemeinsame Verteilung 5.10 Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. 5.11 Summen-Verteilungen und Faltung 5.12 Aufgaben.... 6 Kenngrößen 6.1 Modalwert, Median, Quantile 6.2 Erwartungswert: Einführung. 6.3 Erwartungswert: diskrete Modelle 6.4 Erwartungswert: stetige und gemischte Modelle 6.5 Streuung und Varianz 6.6 Kovarianz....... 6.7 Mehrdimensionale Normalverteilung. 6.8 Zufällige Summen und bedingte Erwartungswerte 6.9 Aufgaben.... 7 Modelle für stochastische Prozesse 7.1 Vorbemerkungen.... 7.2 Markov-Ketten - einige Grundbegriffe. 7.3 Markov-Ketten im Gleichgewicht 7.4 Aufgaben.... Inhaltsverzeichnis 51 54 55 57 57 59 62 63 64 65 67 68 70 74 78 82 87 87 89 90 96 100 103 105 109 113 117 117 118 121 126
IX 8 Bediensysteme 8.1 Vorbemerkungen.... 8.2 Das Bedienmodell MIMlll o. 8.3 Das MIMII-Bediensystem im Gleichgewicht 8.4 Leistungsmaße im MIMII-Bediensystem 8.5 MIMlslc-Bediensysteme.... 8.6 Andere Bedienzeitverteilungen.... 8.7 Gekoppelte Bediensysteme ~ Bediennetze. 8.8 Bedienmodelle mit stetiger Zeit 8.9 Aufgaben.... 9 Zufallszahlen und Simulation 9.1 Vorbemerkungen.... 9.2 Erzeugen gleichverteilter Zufallszahlen 9.3 Zufallszahlen mit anderen Verteilungen 9.4 Anwendung von Simulationsverfahren. 9.5 Aufgaben.... 10 Grundfragen der Statistik 10.1 Typische Problemstellungen 10.2 Punktschätzung.. 10.3 Intervallschätzung. 10.4 Statistische Tests 10.5 Testen von Hypothesen. 10.6 Chi-Quadrat-Anpassungstest. 10.7 Test auf Unabhängigkeit 10.8 Aufgaben.... A Tabellen A.l Die wichtigsten diskreten Verteilungen A.2 Die wichtigsten stetigen Verteilungen A.3 Werte der Standard-Normalverteilung. A.4 Quantile der Standard-Normalverteilung A.5 Quantile der Student-Verteilung... A.6 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung 127 127 129 133 135 139 145 147 151 153 157 157 157 159 163 165 167 167 169 171 174 176 178 180 181 185 185 186 187 188 188 189
x Literaturverzeichnis Symbole und Abkürzungen Stichwortverzeichnis Inhaltsverzeichnis 191 194 195