Institut für Technische und Num. Mechanik Technische Mechanik II/III Profs. P. Eberhard, R. Seifried WS 0/ P. ebruar 0 Bachelor-Prüfun in Technischer Mechanik II/III ufabe (6 Punkte) Ein Ellipsentrainer soll kinematisch untersucht werden. Konstruieren Sie die Momentanpole P i aller vier bewelichen Körper und zeichnen Sie die Geschwindikeitsvektoren und in den Punkten und B qualitativ (Richtun und Richtunssinn) ein. Nachname, Vorname Matr.-Nummer achrichtun. Die Prüfun umfasst 7 ufaben auf 7 Blättern.. Nur vorelete raen beantworten, keine Zwischenrechnunen eintraen. 3. lle Erebnisse sind rundsätzlich in den eebenen Größen auszudrücken. 4. Die Blätter der Prüfun dürfen nicht etrennt werden. 5. ls Hilfsmittel sind ausschließlich 6 Seiten ormelsammlun (entspricht 3 Blättern DIN-4 doppelseiti) zuelassen. Elektronische Geräte sind ausdrücklich nicht zuelassen. 3 6. Bearbeitunszeit: 0 Minuten. 7. Unterschreiben Sie die Prüfun erst beim Eintraen Ihres Namens in die Sitzliste. B 4.. (Unterschrift) Punkte Korrektur
ufabe (5 Punkte) d) Geben Sie die Randbedinunen am rechten Balkenende an. Die Durchbieun einer Grillzane beim esthalten einer Wurst soll untersucht werden. Das Problem ist symmetrisch und wird durch zwei fest einespannte Balken (Bieesteifikeit EI) modelliert. Die Wurst wird als elastisch anenommen. Die Handkraft reift mitti an den Balken an. B e) Bestimmen Sie die Interationskonstanten. D a) Vervollständien Sie die reischnittskizze des oberen Balkens, traen Sie alle anreifenden Kräfte und Momente ein und benennen Sie diese. b) Geben Sie den Momentenverlauf in bhänikeit der unbekannten Kraft am linken Balkenende an. M(x) z c) Geben Sie die Bieelinie in bhänikeit der unbekannten Kraft am linken Balkenende an. B x f) Geben Sie den Zusammenhan zwischen der Durchbieun w(0) und der Durchmesseränderun D der Wurst an. D ) Die elastische Verformun der Wurst zwischen den Zanenteilen wird als lineare eder (Steifikeit k) mit der Beziehun -k D modelliert. Bestimmen Sie die Kraft am linken Balkenende. h) Geben Sie die Grenzwerte für die aerkraft am linken Balkenende an. lim k lim k 0 w(x)
ufabe 3 (6 Punkte) In einem Bauteil ist der Betra der maximal auftretenden Schubspannunen im Punkt P 50 N mm. Weiterhin ist die Normalspannun in P für einen τ max Schnitt a-a, der eenüber der Schnittrichtun der ersten Hauptspannun um -67.5 verdreht ist, leich Null. a) Wie roß ist die Differenz der Hauptspannunen? σ σ b) Zeichnen Sie den Mohrschen Spannunskreis und kennzeichnen Sie den Schnitt a-a und den Schnitt b-b senkrecht zu a-a. τ [N mm ] ufabe 4 (5 Punkte) Ein Vollzylinder (Masse m, Radius R) rollt ohne zu leiten auf einer Kiste (Masse M). Die Kiste rutscht auf einer rauen schiefen Ebene (Reibunskoeffizient µ, Neiunswinkel α) nach unten. Die Erdbeschleuniun wirkt wie einezeichnet. Im olenden soll das Beweunsverhalten des Systems untersucht werden. Die Massen des Seils und der Umlenkrollen können hierbei vernachlässit werden. ω x R x K 0 α 0 0 σ [N mm ] a) Eränzen Sie den folenden reischnitt. c) Wie roß sind die Hauptspannunen? σ, σ d) Wie sieht der Mohrsche Spannunskreis für σ σ aus? R S R
b) Klassifizieren Sie die folenden Kräfte. einepräte Kraft Reaktionskraft keine ussae mölich R R f) Wie roß ist die Normalkraft zwischen Rolle und Kiste? ) Wie roß ist die Normalkraft zwischen Kiste und Ebene? c) Geben Sie die Impulssätze für Rolle und Kiste an. d) Geben Sie den Drallsatz für die Rolle an. e) Geben Sie die Winkelbeschleuniun ω und die Schwerpunktsbeschleuniun x R der Rolle in bhänikeit der Kistenbeschleuniun x K an. ω&, & x& R h) Welchen Betra hat die Kraft R? R i) Wie lautet die Beweunsleichun des Systems? & x& K Im olenden sei die Reibun zwischen Kiste und Ebene vernachlässibar klein ( µ 0 ). j) Was müsste für die Masse M der Kiste elten, damit sich diese aus der Ruhe nach oben beween würde?
h x x z y d k ufabe 5 (8 Punkte) Ein ebenes Schwinunssystem soll mit Hilfe der Methoden der analytischen Mechanik untersucht werden. Eine Pendelstane (Masse m, Träheitsmoment J bezülich des Schwerpunkts S, Schwerpunktsabstand h) ist über ein masseloses, stets espanntes Seil mit einer eder verbunden. Die eder (edersteifikeit k) sei für x x 0 entspannt. Die Erdbeschleuniun wirkt in Richtun der neativen y-chse. a) Welche der nachfolenden verallemeinerten Koordinaten sind eeinet um das System zu beschreiben? x q x q α q x q α q h q b) Wie lautet der Ortsvektor r zum Schwerpunkt der Pendelstane in bhänikeit der verallemeinerten Koordinaten q und q? 0 r α x S c) Geben Sie die Geschwindikeit v des Schwerpunkts und die Winkeleschwindikeit ω des Körpers an. v ω d) Berechnen Sie die kinetische Enerie des Systems. e) Berechnen Sie die potentielle Enerie des Systems.
f) Geben Sie die arane-unktion an. h) Wie berechnen sich die Beweunsleichunen des Systems aus den Erebnissen von ufabenteil? ) Berechnen Sie die partiellen bleitunen der arane-unktion. d dt d dt q q q& q& q& q& ufabe 6 (9 Punkte) θ Ein mathematisches Pendel ist eeben. n einer masselosen Pendelstane (äne ) ist eine Punktmasse (Masse m) anebracht. Der usschla des Pendels wird durch den Winkel θ beschrieben. Die Erdbeschleuniun wirkt wie einezeichnet. Das Pendel wird aus der Ruhe mit nfansauslenkun θ(0)θ 0 loselassen. a) Wie lautet die nichtlineare Schwinunsdifferentialleichun? & θ + cos( θ) 0 & θ + sin( θ) 0 & θ + θ 0 & θ + θ& cos( θ) 0 & θ + θsin( θ) 0 & θ + ν θ 0 b) Geben Sie die um θ0 linearisierte Beweunsleichun an.
c) Skizzieren Sie für leiche nfanswinkel qualitativ die Phasendiaramme für die nichtlineare Beweunsleichun (Teilaufabe a) und die linearisierte Beweunsleichun (Teilaufabe b). Beschriften Sie die chsen und Kurven eindeuti. Zeichnen Sie den Umlaufsinn ein. ufabe 7 (4 Punkte) Geben Sie die Drehmatrizen für eine positive und eine neative Drehun mit dem Winkel α um die y-chse an. C KK ',pos, C KK',ne d) Bewerten Sie die folenden ussaen als richti oder falsch. richti falsch Die Schwinunsdauer des nichtlinearen Pendels ist kleiner als die des linearisierten Systems. ür kleine nfanswinkel sind die Unterschiede zwischen linearisiertem und nichtlinearem Pendel vernachlässibar. Das linearisierte Pendel hat konjuiert komplexe Eienwerte mit Realteil rößer 0. Die allemeine ösun für das linearisierte Pendel hat die orm θ ( t) Ccos( ωt ϕ). Die allemeine ösun für das nichtlineare Pendel hat die orm θ ( t) Ccos( ωt ϕ). Die Schwinunsfrequenz des mathematischen Pendels eht een 0, wenn θ 0 een 80 eht. Sowohl im nichtlinearen als auch im linearisierten Schwinunssystem tritt ein periodischer Wechsel zwischen kinetischer und potentieller Enerie auf. ür θ0 ist die potentielle Enerie stets 0. ENDE