mahphys-online Abiurprüfung Mahemai 3 Techni Differenialgleichungen in Anwendungen - ösung Aufgabe : Abi 999 / AI Ein erhizer Körper ühl sich im aufe der Zei allmählich auf die onsane Temperaur a (in C) seiner Umgebung ab. Seine Temperaur y (in C) wird zu jedem Zeipun (in Seunden) durch y() beschrieben. a) Besimmen Sie die allgemeine Gleichung der Abühlungsurve y(), wenn für den Abühlungsvorgang folgende Differenialgleichung gil: y' () b 2 ( y a) dy ( y' () is die Ableiung von y() nach der Zei, der zeilich onsane Faor b 2 dx beschreib die physialisch Beschaffenhei des Körpers.) b) Der Körper ha zum Zeipun 0 eine Temperaur von 40 ( C), wobei die Umgebungsemperaur 2 ( C) beräg. Berechnen Sie den Zeipun, in dem der Körper auf 35 ( C) abgeühl is, für b 2 6.00 3 (in s - ). Teilaufgabe a) y' b 2 ( y a) dy d b 2 ( y a) dy y a b 2 dx Inegraion: dy y a b 2 dx ln y a b 2 Auflösen nach y: Da y a 0 : y a e b2 y a K e b2 mi e K, also K 0 Teilaufgabe b) Gegeben: Umgebungsemperaur: a 2 Anfangswer: 0 0 y 0 40 y ( K) 2 Ke 6.00 3 y0 ( K) 40 K 2 40 auflösen K 9 K 9 3. Klasse Mahemai Techni Seie von 48
mahphys-online Pariuläre ösung: y ( 9) 9e 0.006 2 y 0 9 35 0.006 0 9e 2 35 auflösen 0 50.9 Gleiommazahl 3 Nach 5 Seunden beräg die Temperaur des Körpers nur noch 35 C. 50 50.9 Verlauf der Abühlung Umgebungsemperaur in C 40 30 20 0 35 2 0 50 00 50 200 Zei in s 3. Klasse Mahemai Techni Seie 2 von 48
mahphys-online Aufgabe 2: Abi 2000 / AI Eine Meallugel befinde sich in einer mi Öl gefüllen senrechen Röhre. Zum Zeipun 0 wird die Kugel aus der Ruhelage losgelassen und fäll in der Röhre nach unen. Für die Geschwindigei v() der Kugel zum Zeipun mi 0gil folgende Differenialgleichung: v' v gb. Dabei bedeuen g die Maßzahl der Erdbeschleunigung und, b > 0 Konsanen, die von der Größe und Diche der Kugel und der Visosiä und Diche des Öls abhängen. a) Besimmen Sie v() mi der Mehode der Variaion der Konsanen. [ Ergebnis: v () gb e ] b) Ermieln Sie das Verhalen von v() für x, und inerpreieren Sie das Ergebnis physialisch. Teilaufgabe a) Gegeben is die DG: v' v gb v' v gb Homogene DG: v v v' 0 v' Differenialquoien: dv d v Trennen der Variablen: dv v d Inegraion: dv d C ln( v) C v Auflösen nach v: ln( v) C auflösen v e C e mi e C D erweiern Allgemeine ösung der homogenen DG: v H () De Variaion der Konsanen: v S () D ()e Ableiung: v' S () D' ()e D () e 3. Klasse Mahemai Techni Seie 3 von 48
mahphys-online Einsezen in die inhomogene DG: v' v gb D' ()e D () e D ()e gb Vereinfachen: D' ()e gb D' () gb e Inegraion: gb D () e gb d e gbe Spezielle ösung der inhomogenen DG: v S () gb e e gb Allgemeine ösung der inhomogenen DG: v A () De gb Anfangsbedingung einsezen: v A ( 0) 0 De 0 gb 0 auflösen D bg Pariuläre ösung: v P () bge gb v P () gb e Teilaufgabe b) lim gb e gb Die Geschwindigei der Kugel wird nich beliebig größer, sie sreb gegen den Wer gb 3. Klasse Mahemai Techni Seie 4 von 48
mahphys-online Angenommene Were für die graphische Darsellung: g 0 9 b 0 v P () gb e 2 Verlauf der Singeschwindigei 0 Geschwindigei v in m/s 8 6 4 2 0 2 4 6 8 0 Zei in s 3. Klasse Mahemai Techni Seie 5 von 48
mahphys-online Aufgabe 3: Abi 2002 / AI Zum Zeipun 0 besizen 80 Millionen Einwohner eines Saaes 0 Millionen Handys. Die Anzahl der Handys, die in diesem Saa in Privabesiz sind, wird durch den Funionserm f() beschrieben, wobei in Jahren gemessen wird. a) Nach einem vereinfachen Modell gil für die Anzahl der Handys in Privabesiz in diesem Saa zum Zeipun für 0 die Differenialgleichung: f' () 0.2 600 6 f(), wobei f' () die Ableiung von f() nach der Zei is. eien Sie aus dieser Differenialgleichung den Funionserm f() her. b) Nun soll gelen: f() 600 6 500 6 e 0.2 Geben Sie an, welche onree Bedeuung die Zahl 60 Millionen in diesem Funionserm ha. Berechnen Sie den Zeipun, 0, an dem 60% der Einwohner dieses Saaes ein Handy besizen, wobei angenommen wird, dass jeder Einwohner höchsens ein Handy ha. Teilaufgabe a) Gegebene DG: f' () 0.2 600 6 f() Triviale ösung: 60 0 6 f() 0 f () 600 6 Differenialquoien: df d 0.2 600 6 f() Trennen der Variablen: Inegraion: df 600 6 f 600 6 f ln 600 6 f 0.2d mi f df 0.2 0.2 d () 600 6 Delogarihmieren: 60 0 6 f e 0.2 600 6 f 0 600 6 f e 0.2 f() 600 6 Ke 0.2 K IR (mi rivialer ösung) f( 0) 00 6 600 6 Ke 0.20 00 6 auflösen K 50000000 2 f() 600 6 500 6 0 e 3. Klasse Mahemai Techni Seie 6 von 48
mahphys-online Teilaufgabe b) lim 600 6 Ke 2 0 60000000 Das heiß, bei ca 60 Millionen Handys is der Mar gesäig. 0 6 0 f( 0) 0 f 5 0 0000000 36000000 30000000e 5ln ( 5) 5ln ( 3) 0 5ln ( 5) 5ln ( 3) 0.7 80000000 0 70000000 60000000 60000000 Anazhl der Handys 50000000 40000000 30000000 20000000 0000000 f 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 Zei 3. Klasse Mahemai Techni Seie 7 von 48
mahphys-online Aufgabe 4: Abi 2002 / AII Für einen aborversuch wird eine Kupfersulfalösung gebrauch, deren Konzenraion y() mi der Zei abnimm. Dazu wird einem Behäler eine Kupfersulfalösung mi einer besimmen Konzenraion und dem Volumen V bereigesell. Während des Versuchs fließ eine weiere Kupfersulfalösung mi onsaner Durchflussmenge Q und onsaner Konzenraion 0 in den Behäler. Gleichzeiig fließ die selbe Durchflussmenge Q bereis vermischer Kupfersulfalösung aus dem Behäler ab. In dieser Versuchsphase gele für die Konzenraion y() der Kupfersulfalösung im Behäler die folgende Differenialgleichung: Q y' () V Q 0 V y () mi Q 0 und V onsan, 0. Ermieln Sie die allgemeine ösung der Differenialgleichung und besimmen Sie die Inegraionsonsane C, wenn sich zum Zeipun 0 im Behäler eine Kupfersulfalösung mi der Konzenraion 30 g befinde und l 0 24 g is. l Q V [ Teilergebnis: y () Ce 0 ] Gegeben is die DG: y' qy q 0 mi q Q V Homogene DG: y' qy 0 Triviale ösung: y 0 Differenialquoien: Trennen der Variablen: Inegraion: dy d dy y q q y d dy q d ln y y q c Delogarihmieren: y e qc y 0 y H De q mi K IR (mi rivialer ösung) Variaion der Konsanen: y S D ()e q y' S D' ()e q D () ( q) e q Einsezen in inhomogene DG: y' qy q 0 D' ()e q D () ( q) e q q D()e q q 0 erweiern D' ()e q 0 q 3. Klasse Mahemai Techni Seie 8 von 48
mahphys-online D' () 0 qe q Inegraion: D () 0 qe q d D() 0 e q y S 0 e q e q 0 Allgemeine ösung: Q y A () De q V 0 y A () De 0 y A ( 0) 30 g De 0 l 24 g l 30 g D 6 g l l Konreer Funionserm: y A () 6 g l e Q V 24 g l 3. Klasse Mahemai Techni Seie 9 von 48
mahphys-online Aufgabe 5: Abi 2003 / AI Die chemische Verbindung Mixoflux zerfäll beim Erhizen je nach Masse der Probe innerhalb einiger Minuen. Bei einem Versuch beräg die Anfangsmasse der Probe an Mixoflux,00 g. x sei die in der Zei (gemessen in Minuen) zerfallene Masse. Die zugehörige Differenialgleichung is: 2x' ( x) ( x) mi x [ 0 ; [. dx Dabei is x' die Ableiung der Funion x nach der Variablen. d a) Besimmen Sie für die Funion x einen Funionserm x(). Auf die Verwendung von Einheien wird während der Rechnung verziche. b) Für einen vollsändigen Zerfall genüg es im Allgemeinen, wenn 99,9% der Anfangsmenge zerfallen is. Nach welcher Zei ri dieses Ereignis ein? Teilaufgabe a) Gegeben is die DG: 2x' () x() 2 mi q Q V Differenialquoien: dx d 2 ( x) ( x) Trennen der Variablen: 2dx ( x) ( x) d mi x [ 0 ; [ Inegraion: 2 ( x) ( x) dx d Paialbruchzerlegung: 2 ( x) ( x) A x B x A( x) B( x) ( x) ( x) ( A B) ( A B) x ( x) ( x) Koeffizienenvergleich: A B 2 A B 0 A B 2B 2 B A x x dx d ln x ln x c 3. Klasse Mahemai Techni Seie 0 von 48
mahphys-online mi x [ 0 ; [ ln x x c Delogarihmieren: x x e c Auflösen nach x: x ( x) e c e c x c e Allgemeine ösung: x A () e c e c Anfangsbedingung: x A ( 0) 0 (Noch ein Mixoflux zerfallen.) e c e c 0 e C 0 C 0 Spezielle ösung: x P () e e zerfallene Menge Mixoflux x.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Zei 7.6 Teilaufgabe b) x P 0 0.999 0 e e 0 0 0.999 e 0 0.999 e 0 0.999 ( 0.999) e.999 e 0.00 Auflösen: 0 ln( 999) 0 7.6 3. Klasse Mahemai Techni Seie von 48
mahphys-online Aufgabe 6: Abi 2004 / AII Schließ man an eine reale Spule zum Zeipun 0 an eine Gleichspannung mi U U 0 an, dann gil für die Sromsäre J() die Differenialgleichung U 0 J' () RJ () 0, wobe U 0 R und onsane Größen sind und J' () die. Ableiung der Sromsäre is. Besimmen Sie miels Variaion der Konsanen die ösung der Differenialgleichung für die Sromsäre J () für die Anfangsbedingung J0 ( ) 0. Gegeben is die onree DG: U 0 J' RJ 0 Umformung: R U 0 J' J ösung über die Variaion der Konsnanen: Homogene DG: R J' J 0 Triviale ösung: J 0 Differenialquoien: dj d R J Trennen der Variablen: dj J R d mi J 0 Inegraion: R dj d c ln( J) c J R ein Berag, da J 0 R c Delogarihmieren: J e Ce R Allgemeine ösung des homogenen Sysems: J () Ce R Variaion der Konsanen: J C()e R J' C' ()e R C () R e R 3. Klasse Mahemai Techni Seie 2 von 48
mahphys-online Einsezen in die inhomogene DG: R U 0 J' J C' ()e R C () R e R R C ()e R U 0 vereinfachen C' ()e R U 0 Auflösen nach C'(): C' ()e R U 0 auflösen C' () R U 0 e C' () R U 0 e Inegrieren: R U 0 e C () d C() R U 0 e R Spezielle ösung des inhomogenen Sysems: J () R U 0 e R e R U 0 R Allgemeine ösung des inhomogenen Sysems: J () Ce R U 0 R Anfangsbedingung: J0 ( ) 0 Ce 0 U 0 0 auflösen C R U 0 R Pariuläre ösung: J () U 0 R e R 3. Klasse Mahemai Techni Seie 3 von 48
mahphys-online Konrees Zahlenbeispiel: 50 3 Vs R 5 V A A U 0 30V J () R 000 U 0 R e s 2Ae J 0 2A 3 Verlauf der Sromsäre Sromsäre J in A 2.5 2.5 J 0 A 0.5 0 0.00 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 Zei in s 3. Klasse Mahemai Techni Seie 4 von 48
mahphys-online Aufgabe 7: Abi 2005 / AI Für die Zunahme der Populaion einer besimmen Pflanzenar gil die Differenialgleichung: N' () 0.N() ( 5 N() ). N() umfass hierbei die Anzahl der Pflanzen der Populaion zum Zeipun in 000 für 0. Dabei gil: 0 N( 0) 4.5. a) Ermieln Sie die spezielle ösung der Differenialgleichung für N0 ( ) N 0. 5N 0 e 0.5 [ Mögliches Ergebnis: N () 5 N 0 N 0 e 0.5 ] b) Berechnen Sie allgemein, auf welchen Endwer die Anzahl der Exemplare dieser Pflanzenar auf lange Sich anwachsen wird und zu welchem Zeipun 90% des Endweres ereich werden. Beschreiben Sie den Einfluss des Anfangsweres N 0 auf diesen Endwer. Gegebene DG: N' 0.N( 5 N) Differenialquoien: dn d 0.N( 5 N) Trennen der Variablen: dn N( 5 N) 0. Inegraion: N( 5 N) dn 0. d Parialbruchzerlegung: N( 5 N) A N B 5 N A( 5 N) BN N( 5 N) 5A ( B A) N N( 5 N) Koeffizienenvergleich: 5A A 5 B A 0 B A 5 5 N 5 5 N dn 0. d N d N 5 N 0.5 d Inegraion: ln N ln 5 N 0.5 Berag weglassen, da 0 N 4.5 3. Klasse Mahemai Techni Seie 5 von 48
mahphys-online ogarihmus zusammenfassen: ln N 5 N 0.5 Delogarihmieren Nach N auflösen: N 5 N e 0.5 5e 0.5 N 5e 0.5 Ne 0.5 Ne 0.5 N () 5e 0.5 e 0.5 5K e 0.5 mi K e Ke 0.5 Anfangsbedingung einsezen N0 ( ) N 0 5K e 0 Ke 0 N 0 Nach K auflösen: 5K N 0 ( K ) 5 N 0 K N 0 K N 0 5 N 0 In ösung einsezen: N () 5 N 0 5 N 0 e 0.5 N 0 e 0.5 5 N 0 Vereinfachen. N () N 0 5 e 0.5 5 N 0 N 0 e 0.5 5 N 0 5 N 0 5 N 0 5N 0 e 0.5 N 0 e 0.5 5 N 0 Endgülige ösung: N () 5N 0 e 0.5 N 0 e 0.5 5 N 0 3. Klasse Mahemai Techni Seie 6 von 48
mahphys-online Graphische Darsellung in der Prüfung nich verlang. Anfangswer N 0 2 mal 000 N () 5N 0 e 0.5 45 9N N 0 e 0.5 2ln 0 N 5.205 5 N 0 0 6 Zunahme der Populaion Anzahl in 000 Einheien 5 4 N( 0) 3 2 0.95 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 0 Zei Teilaufgabe b) lim 5N 0 e 0.5 N 0 e 0.5 5 N 0 lim 5 2 N 0e 0.5 N 0 2 e0.5 lim ( 5) 5 Der Endwer nach langer Zei sind 5000 Individuen, unabhängig von der Anzahl der Individuen N 0. 0.95 5N 0 e 0.5 N 0 e 0.5 5 N 0 3. Klasse Mahemai Techni Seie 7 von 48
mahphys-online 0.5 4.5N 0 5N 0 0.5 4.5 N e 4.5N 0 5 0 5 e ( 0.5) N 0 0.5 45 9N 0 e 0.5 N 0 ln 45 9N 0 N 0 45 9N 0 2ln N 0 5.205 3. Klasse Mahemai Techni Seie 8 von 48
mahphys-online Aufgabe 8: Abi 2006 / AI Die Geschwindigei v() eines Körpers im freien Fall mi urbulener ufreibung ann durch folgende c 2 Differenialgleichung beschrieben werden: g v' c2 v 2. Dabei is g die onsane Fallbeschleunigung und c eine Konsane, die von der Masse und der Form der Körpers sowie von der Diche der uf abhäng, c und g sind posiiv. a) Besimmen Sie den Funionserm v() für 0uner der Voraussezung v0 ( ) 0. Dabei darf vorausgesez werden, dass ses gil: 0 v c. 2g [ Ergebnis: v () c e c ] 2g c e b) Berechnen Sie Konsanen c. lim v () und schließen Sie daraus auf die physialische Bedeuung der Gegeben is die DG: c 2 g v c2 v 2 Differenialquoien: dv d c 2 v 2 c 2 g Trennen der Variablen: dv c 2 v 2 g c 2 d Inegraion: c 2 v 2 dv g c 2 d Parialbruchzerlegung: c 2 v 2 A c v B c v A( c v) B( c v) ( c v) ( c v) ( A B) c ( B A) v ( c v) ( c v) Koeffizienenvergleich: ( A B) c B A 0 A B 2A c auflösen A 2c A B 2c 2c 3. Klasse Mahemai Techni Seie 9 von 48
mahphys-online 2c c v 2c c v dv g c 2 d c v 2g dv d ln( c v) ln( c v) c v c c 2g c ln c v c v 2g c Delogarihmieren: c v c v 2g c e c v ( c v) e 2g c Auflösen nach v: e 2g c v ce 2g c c v ce 2g e c c 2g c 2g c e c e 2g c Allgemeine ösung: v () 2g c Ke Ke c 2g c Anfangsbedingung einsezen: v0 ( ) 0 Ke 0 c Ke 0 0 Ke 0 0 c 0 Ke 0 K Pariuläre ösung: v () 2g c e e 2g c c 3. Klasse Mahemai Techni Seie 20 von 48
mahphys-online lim 2g c e e c 2g c lim 2g c 2g e 2g c 2g c e c lim ( c) c Die Endgeschwindigei, die der Körper erreichen ann, is fas c (ichgeschwindigei). 3. Klasse Mahemai Techni Seie 2 von 48
mahphys-online Aufgabe 9: Abi 2006 / AII Beim radioaiven Zerfall von Uran enseh Helium. Die zeiabhängige Masse m() des Heliums zum 4m 0 Zeipun 0mi m0 ( ) 0 erfüll die Differenialgleichung m' () m () 235 λ. Dabei is λ 0 die Zerfallsonsane, m 0 is die Masse des Urans zum Zeipun 0 und m' () is die Ableiung von m () nach der Zei. a) Besimmen Sie die spezielle ösung der Differenialgleichung. [ Ergebnis: m () 4m 0 e λ ] 235 b) Ermieln Sie das Verhalen von m() für. Welche Bedeuung ha dieser Grenzwer für den beschriebenen Zerfallsvorgang? Teilaufgabe a) Gegebene DG: m' 4m 0 235 m λ Definiion: 4m 0 235 Differenialquoien: dm d ( m) λ Trennen der Variablen: dm m λd dm m λ d Inegraion: dm λ d ln m m λ c Delogarihmieren: m ( λ) c e Da m<: m Ce λ Allgemeine ösung: m () Ce λ 3. Klasse Mahemai Techni Seie 22 von 48
mahphys-online Teilaufgabe b) Einsezen der Randbedingung: Spezielle ösung: m0 ( ) 0 C 0 C m () e λ m () 4m 0 235 e λ lim 4m 0 235 0 e λ 4m 0 235 Es enseh auf lange Sich eine Masse 4m 0 235 an Helium. 3. Klasse Mahemai Techni Seie 23 von 48
mahphys-online Aufgabe 0: Abi 2007 / AI Bei einer chemischen Reaion vereinig sich ein Moleül A mi einem Moleül B zu einem neuen Moleül AB. In einem aborversuch sind zu Beginn der Reaion von beiden Moleülaren jeweils M Moleüle vorhanden. Die Umsazvariable N() beschreib die Anzahl der neuen Moleüle zum Zeipun mi 0. Für N() gil in guer Näherung die Differenialgleichung dn() ( M N() ) 2, wobei > 0 eine d Konsane is. a) Ermieln Sie die spezielle ösung der separierbaren Differenialgleichung für N0 ( ) 0. M 2 [ Mögliches Ergebnis: N () ] M b) Berechnen Sie in Abhängigei von und M, zu welchem Zeipun 0 N() 99% des Endweres erreich ha. Teilaufgabe a) Gegebene DG: dn d ( M N) 2 Trennen der Variablen: dn d N N ( M N) Inegraion: N ( M N) 2 d d c M N c Auflösen nach N: M N c auflösen N M c Allgemeine ösung: N () M c Anfangsbedingung: N0 ( ) 0 M 0 auflösen c c M N () M M M Pariuläre ösung: M M N () M 2 M M( M) M M M 2 M 3. Klasse Mahemai Techni Seie 24 von 48
mahphys-online Teilaufgabe b) 0.99M N 0 M 2 0 M 0 0.99M auflösen 0 99.0 M 99 0 M 3. Klasse Mahemai Techni Seie 25 von 48
mahphys-online Aufgabe : Abi 2007 / AII Bei Unersuchungen darüber, wie of Publiaionen ziier werden, verwende man zur näherungsweisen Besimmung den Funionserm z(), der die monaliche Anzahl der Ziae in Abhängigei von der Zei (in Monaen) angib, und den Funionserm z' (), der die momenane Veränderungsrae angib. Dabei sell man fes, dass gil: z' () λ z (). Von einer Publiaion wird nun über einen größeren Zeiraum die Anzahl der Ziae pro Mona erfass. Dabei ergib sich: z6 ( ) 950 und z0 ( ) 900. Besimmen Sie z(), wenn für z() obige Differenialgleichung gil. Gegebene DG: z' λz Differenialquoien: dz d λz Trennen der Variablen: dz z λd Inegraion: dz λ d ln z z λ Auflösen nach z : z e λ Da z 0gil für die allgemeine ösung: z() Ke λ Einsezen der Anfangsbedingungen: z( 6) 950 Ke λ6 950 ( ) z( 0) 900 Ke λ0 900 ( 2) ( ) ( 2) e 6λ0λ 950 4λ ln 950 900 900 3. Klasse Mahemai Techni Seie 26 von 48
mahphys-online λ 950 ln 4 900 λ ln 9 8 0.035 4 eingesez in () Ke λ6 950 auflösen K 9025 38 030 54 Pariuläre ösung: z() 030e 0.035 Anzahl der Ziae.0 3 0 3 900 800 700 600 500 400 300 200 00 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 000 20 3040 50 6070 80 90 200 Zei in Monaen 3. Klasse Mahemai Techni Seie 27 von 48
mahphys-online Aufgabe 2: Abi 2008 / AI Werden ein Kondensaor der Kapaziä C und ein ohmscher Widersand R in Reihenschalung an eine Gleichspannungsquelle der Spannung U angeschlossen, ergib sich die Differenialgleichung: CU RC Q' () Q () T. Mi den physialischen Konsanen C, R, T und U für die adung Q() auf dem Kondensaor. Besimmen Sie die spezielle ösung der Differenialgleichung mihilfe der Variaion der Konsanen für Q0 ( ) 0. Gegebene inhomogene DG: RC Q' Q CU T Homogene DG: RC Q' Q 0 Umformung: Q' Q RC Differenialquoien: dq d Q RC Trennen der Variablen: dq Q d RC Inegraion: dq d ln( Q) Q RC CR RC RC Delogarihmieren: Q e Ke Allgemeine ösung des homogenen Sysems: RC Q H () Ke Variaion de Konsanen: RC Q S () K ()e Ableiung: RC Q' () K' ()e K ()e RC RC Einsezen in die inhomogene DG: RC RC K' ()e K ()e RC RC K ()e RC CU T CRK' () e CR CU T 3. Klasse Mahemai Techni Seie 28 von 48
mahphys-online CR K' () e CR CU auflösen K' () T CR U e RT K' () U e RT CR Inegraion: CR U e K () d RT Parielle Inegraion: U e RT CR d CR CU e ( CR) T Q S () CR CU e ( CR) T e RC Q S () CU ( CR) T Allgemeine ösung der inhomogenen DG: RC Q A () Q H () Q S () Ke CU ( CR) T Einsezen der Anfangsbedingung: Q A ( 0) 0 Ke 0 CU ( 0 CR) 0 auflösen K T C 2 RU T Pariuläre ösung: Q P () C 2 RU RC e T CU ( CR) T Q P () CU T RC RC e RC 3. Klasse Mahemai Techni Seie 29 von 48
mahphys-online Aufgabe 3: Abi 200 / AI Für die Geschwindigei v() eines Körpers uner dem Einfluss einer zeilich periodisch wirenden Kraf und einer geschwindigeisproporionalen Reibungsraf gil folgende Differenialgleichung: v' () 2v () sin( 2). Der Körper soll zum Zeipun 0 aus der Ruhe heraus saren. Ermieln Sie v() mihilfe der Mehode der Variaion der Konsanen. Gegebene inhomogene DG: v' 2v Homogene DG: v' 2v 0 Differenialquoien: dv 2v d sin( 2) Trennen der Variablen: Inegraion: dv v 2 d dv 2 d ln v v 2 Da v 0 v e 2 Allgemeine ösung der homogenen DG: Variaion der Konsanen: v H () Ke 2 v S () K ()e 2 Ableiungsfunion: v' S () K' ()e 2 K ()e 2 ( 2) Einsezen in die inhomogene DG: v' 2v K' ()e 2 K ()e 2 ( 2) 2 K()e 2 sin( 2) sin( 2) K' ()e 2 sin( 2) K' () sin( 2) e 2 K () sin( 2) e 2 d Parielle Inegraion: Spezielle ösung: K () e 2 ( cos( 2) sin( 2) ) 4 v S () e 2 ( cos( 2) sin( 2) ) 4 e 2 v S () sin( 2) 4 cos( 2) 4 3. Klasse Mahemai Techni Seie 30 von 48
mahphys-online Allgemeine ösung der inhomogenen DG: v A ( K) Ke 2 sin( 2) 4 cos( 2) 4 Besimmung von K durch Einsezen der Anfangsbedingung: K K v A ( 0K) 0 Ke 0 sin( 0) cos( 0) 0 auflösen K 4 4 4 Pariuläre ösung: v P () 4 e 2 sin( 2) 4 cos( 2) 4 Geschwindigei v() 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5.3π 2.3π 0.38 0.35 Zei 3. Klasse Mahemai Techni Seie 3 von 48
mahphys-online Aufgabe 4: Abi 2009 / AI Ein Kondensaor mi der Kapaziä C wird an der Gleichspannungsquelle der Spannung U 0 aufgeladen. Für die Beräge U 0 und U der Spannungen gil: U U 0. Zum Zeipun 0wird der Schaler S umgeleg, sodass sich der Kondensaor der Kapaziä C über den ohmschen Widersand R enladen ann. Während des Enladevorgangs gil für den Berag U U() der Spannung am Kondensaor die Differenialgleichung U' () a U U () mi U' () du() und a. d RC Berechnen Sie die spezielle ösung U () der obigen Differenialgleichung, falls zum Zeipun 0für die Spannung am Kondensaor gil: U0 ( ) 3U U' a U U du d a U U dy U U a d Inegraion: U U dy a d a ln U U Auflösen: U U e a Ke a U () U Ke a mi K IR U0 ( ) 3U einsezen U0 ( ) U Ke 0 3U U K 3U auflösen K 2U U () U 2U e a U 2e a 3. Klasse Mahemai Techni Seie 32 von 48
mahphys-online Aufgabe 5: Abi 2008 / AII In der folgenden Aufgabe soll die Differenialgleichung für die Teilchenzahl n() der Tochersubsanz eines radioaiven Muer-Tocher-Zerfalls unersuch werden. Von der radioaiven Muersubsanz mi der Zerfallsonsanen λ M 0 liegen zur Zei 0 N 0 Aome vor. Die ebenfalls radioaive Tochersubsanz zerfäll mi der Zerfallsonsanen λ T 0. Für die Teilchenzahl n () der Tochersubsanz gil für 0folgende Differnialgleichung: λ M n' () λ M e λ T n (). a) Besimmen Sie die ösung n() für λ M λ T λ mihilfe der Variaion der Konsanen, wenn gil: n () 0. b) ösen Sie nun obige Differenialgleichung für n() für λ M λ T, wenn ebenfalls gil: n () 0. [ Ergebnis: n () λ M λ M λ T N λ T λ 0 e e ] M c) Begründen Sie für den Fall λ M λ T in Abhängiglei von λ M und λ T ohne Verwendung von n' (), dass n () ein absolues Maximum besiz. Berechnen Sie nun den Zeipun max mihilfe von n' (). Teilaufgabe a) λ M Gegebene inhomogene DG: n' λ M N 0 e λ T n Mi λ M λ T λ: n' λn 0 e λ λn Inhomogene DG: n' λn λn 0 e λ Homogene DG: n' λn 0 Differenialquoien: Trennen der Variablen: dn d dn n λ λ n d Inegraion: dn λ d ln n n λ Da n 0 n e λ Allgemeine ösung des homogenen DG: n H () Ke λ 3. Klasse Mahemai Techni Seie 33 von 48
mahphys-online Variaion der Konsanen: n S () K ()e λ Ableiungsfunion: n' S () K' ()e λ K ()e λ ( λ) Einsezen in die inhomogene DG: n' λn λn 0 e λ K' ()e λ K ()e λ ( λ) λ K ()e λ λn 0 e λ K' ()e λ N 0 λ e λ K' () N 0 λ K () N 0 λ d Inegraion: K () N 0 λ Allgemeine ösung der inhomogenen DG: n A () Ke λ N 0 λ e λ Besimmung von K durch Einsezen der Anfangsbedingung: n A ( 0K) 0 K K Ke 0 N 0 λ0e 0 0 auflösen K 0 Pariuläre ösung: n P () N 0 λe λ Teilaufgabe b) λ T λ M λ M Gegebene inhomogene DG: n' λ M N 0 e λ T n Homogene DG: n' λ T n 0 Differenialquoien: Trennen der Variablen: dn d dn n λ T λ T n d 3. Klasse Mahemai Techni Seie 34 von 48
mahphys-online Inegraion: dn λ n T d ln n λ T λ T Da n 0 n e Allgemeine ösung der homogenen DG: Variaion der Konsanen: λ T n H () Ke λ T n S () K ()e Ableiungsfunion: λ T λ T n' S () K' ()e K ()e λ T λ M Einsezen in die inhomogene DG: n' λ T n λ M N 0 e λ T λ T λ T λ M K' ()e K ()e λ T λ T K ()e λ M N 0 e Vereinfach und aufgelös: K' ()e λ T λ M N 0 λ M e auflösen K' () N 0 λ M λ T e e λ M λ T λ M K' () N 0 λ M e λ T λ M K () N 0 λ M e d Inegraion: N 0 λ M e λ T λ M d N 0 λ M e λ T λ M λ T λ M K () N 0 λ M e λ T λ M λ T λ M 3. Klasse Mahemai Techni Seie 35 von 48
mahphys-online Allgemeine ösung der inhomogenen DG: λ T N 0 λ M e λ T λ M λ T λ T n A () Ke e Ke λ T λ M N 0 λ M e λ M λ T λ M λ T n A () Ke λ M λ M N λ T λ 0 e M Besimmung von K durch Einsezen der Anfangsbedingung: n A ( 0K) 0 K K Ke 0 λ M N λ T λ 0 e 0 0 auflösen K M N 0 λ M λ T λ M Pariuläre ösung: n () λ M λ T N λ T λ 0 e M λ M λ M N λ T λ 0 e M n () λ M N λ T λ 0 M λ T λ M e e Teilaufgabe c) Definiionsmenge von n(): [ 0 ; [ liner Randwer: n0 ( ) 0 recher Randwer: lim λ M N λ T λ 0 M 0 0 λ T λ M e e 0 Funion is seig und besiz auf dem linen Rand sowie auf dem rechen Rand den Funionswer Null, d. h. es muss ein absolues Maximum geben. Ableiungsfunion: n' () λ M λ T λ M N λ T λ 0 λ T e λ M e M 3. Klasse Mahemai Techni Seie 36 von 48
mahphys-online Horizonale Tangenen: n' () 0 λ T λ M λ T e λ M e 0 λ T λ M λ T e λ M e λ T λ M λ M e e λ T λ T λ M λ T λ M e λ T λ M ln λ T λ M ln λ T λ M λ T λ M max ln λ T λ M λ T λ M Modellfunion zu: n () λ M N λ T λ 0 M λ T λ M e e Teilchenzahl der Tochersubsanz Zei 3. Klasse Mahemai Techni Seie 37 von 48
mahphys-online Aufgabe 6: Abi 20 / AI Ein spezieller Fallschirm gehorch beim Sinflug folgender Differenialgleichung: v' 25 v2. 20 Dabei seh v() für die Maßzahl der Geschwindigei in m s mi 0 v 5 und für die Maßzahl der Zei in s mi 0. Ermieln Sie die spezielle ösung dieser Differenialgleichung für v0 ( ) 0. Gegebene DG: Verwendung des Differenialquoienen: v' dv d 20 25 v2 20 25 v2 Separaion der Variablen: dv 25 v 2 20 d Inegraion: 25 v 2 dv 20 d Parialbruchzerlegung: 25 v 2 A 5 v B 5 v A( 5 v) B( 5 v) 25 v 2 ( A B) v 5( A B) 25 v 2 Koeffizienenvergleich: Vorgabe A B 0 A B 5 Suchen( AB) 0 0 A 5 v B 5 v 0 5 v 0 5 v Durchführung der linen Seie der Inegraion: 25 v 2 dv 0 5 v 5 v dv ( 0 ln 5 v ln 5 v ) 0 ln 5 v 5 v Bemerung: Der Berag ann wegen der Definiionsmenge von v weggelaseen werden. 3. Klasse Mahemai Techni Seie 38 von 48
mahphys-online Durchführung der rechen Seie der Inegraion: 20 d C C 20 Inegralgleichung: 0 ln 5 v 5 v 20 C Anfangsbedingung: v0 ( ) 0 0 ln 5 0 5 0 0 C auflösen C 0 20 0 ln 5 v 5 v auflösen v 20 2 5e 5 2 e Pariuläre ösung v () 2 5e 5 2 e Graph der pariulären ösung 6 5 5 5 4 y-achse 3 2 0 2 3 4 5 6 x-achse 3. Klasse Mahemai Techni Seie 39 von 48
mahphys-online Aufgabe 7: Abi 20 / AII Eine Kugel der Masse m befinde sich in einer Flüssigei und wird zum Zeipun 0 aus der Ruhe heraus losgelassen. Zum Zeipun 0 ha die Kugel eine Srece der änge s() durchfallen und besiz zu diesem Zeipun die Geschwindigei v () s' () sowie die Beschleunigung a(). Im Folgenden werden zur Vereinfachung nur die Maßzahlen der physialischen Größen verwende. Für die Geschwindigei v() der Kugel gil die folgende Differenialgleichung: mv' () mg v (), wobei g und weiere physialische Konsanen sind. a) Besimmen Sie v() mi der Mehode der Variaion der Konsanen. b) Für v() einer speziellen Kugel gil: v () 9.6 e 0.5 für 0. Zum Zeipun mi 0 besiz die Kugel die Beschleunigung a v' Zeigen Sie, dass die Zeidauer T H, in der sich die Beschleunigung a halbier, unabhängig von is und berechnen Sie T H. Ermieln Sie die Srecenlänge, welche die Kugel bis zum Zeipun 2,5 durchfäll, auf eine Nachommaselle. Teilaufgabe a) DG: mv' () mg v () Umformung liefer die inhomogene DG: v' () m v () g. ösung der homogenen DG v' () m v () 0 iviale ösung: v () 0 Differenialquoien: Variable rennen: Inegrieren: dv d dv v m v 0 d mi v 0 m dv d C ln( v) C v m m Nach y auflösen: ein Berag, da v 0 gil: ln( v) C auflösen v m Cm m e Mi D e C m 0 folg: v h () De ösung der homogenen DG 3. Klasse Mahemai Techni Seie 40 von 48
mahphys-online 2. ösung der inhomogenen DG Variaion der Konsanen v h () D ()e m Ableiung durch Anwendung der Produregel: v' () D' ()e m D ()e m m Einsezen in die inhomogene DG: v' () m v () g D' ()e m D ()e m m m D ()e m g D' ()e m g D' m () ge Inegraion: m D () ge d g m m e C Spezielle ösung mi C 0 v s () g m m m e e vereinfachen v s () gm 3. Allgemeine ösung der inhomogenen DG v () v s () v h () gm De m 4. Einsezen der Anfangsbedingung v0 ( ) 0 gm 0 m De 0 auflösen D gm v () v () gm gm gm m e m e 3. Klasse Mahemai Techni Seie 4 von 48
mahphys-online Teilaufgabe b) Funionserm: v () 9.6 e 0.50 Beschleunigung: a () d d v () 9.8e 0.5 zu zeigen: a T H 2 a 0.5 T H 9.8e 0.5 2 9.8 e 0.5 0.5T H 9.8e e 9.8 0.5 2 e 2 T H e auflösen T 2 H ln( 4) unabhängig von T H ln( 4) Srecenlänge allgemein: s () v () d C 9.6 e 0.50 d C 2.5 Srecenlänge onre: s 2.5 9.6 e 0.50 d s 2.5 2.0 0 3. Klasse Mahemai Techni Seie 42 von 48
mahphys-online Folgende Darsellungen in der Prüfung nich verlang: v () 9.6 e 0.50 a () d d v () 9.8e 0.5 s () 0 v( τ) dτ 9.6e 0.5τ 9.6 dτ 0 s () 9.6 39.2e 0.5 39.2 25 v()-diagramm 2 a()-diagramm Geschwindigei v 20 5 0 9.6 Beschleunigung a 0 8 6 4 9.8 5 2 0 5 0 5 0 5 0 5 Zei Zei 25 2.5 v()-diagramm 00 2.5 s()-diagramm Geschwindigei v 20 5 0 9.6 Srecenlänge a 80 60 40 5 20 2 0 5 0 5 0 5 0 5 Zei Zei s( 2.5) 2.03 3. Klasse Mahemai Techni Seie 43 von 48
mahphys-online Aufgabe 8: Abi 203 / AI Ein 20 cm großer Nadelbaum wird zum Zeipun 0gepflanz. Das weiere Wachsum des Baumes wird in guer Näherung beschrieben durch die Differenialgleichung x' () 0.0025x () ( 40 x () ) mi 0.2 x 40. Dabei is x() die Höhe des Baumes in Meern in Abhängiei von der Zei in Jahren. a) Ermieln Sie die spezielle ösung der Differenialgleichung. [ Mögliches Ergebnis: x() 40 99e 0.0 ] b) Berechnen Sie die Höhe, die der Baum auf lange Sich erreich und den Zeipun 0, in dem der Baum die Hälfe seiner maximalen Höhe erreich ha. Berechnen Sie x' 0 geschic und inerpreieren Sie ihr Ergebnis im Sachzusammenhang. Teilaufgabe a) Inhomogene DG: x' () 0.0025x() ( 40 x() ) Verwendung des Differenialquoienen: dx d 0.0025x() ( 40 x() ) Trennen der Variablen: dx x( 40 x) 400 d Inegralgleichung: x( 40 x) dx 400 d Parialbruchzerlegung: x( 40 x) A x B 40 x A( 40 x) x( 40 x) Bx 40A ( B A) x x( 40 x) Koeffizienenvergleich: 40A A B A 0 B 40 40 Inegraion: 0.2 x 40 ln 40 x 40 x ln x ln 40 x x 40 x dx 0 C 400 0 3. Klasse Mahemai Techni Seie 44 von 48
mahphys-online Auflösen nach x: x 40 x e 0 e auflösen x 40e 0 e e 0 e Allgemeine ösung: x ( K) 0 40Ke 0 Ke Anfangsbedingung einsezen: x0 ( K) 2 0 40K K 5 auflösen K 99 Spezielle ösung: x () x 99 0 40e 0 e 99 x () 40 0 99e Teilaufgabe b) lim 40 0 99e 40 Der Baum ereich auf ange Sich eine Höhe von 40 m. 40 0 99e 0 0 20 2 99e 99 0 e 0 ln 99 0 0 ln 99 Zeipun für die halbe Höhe: 0 52.933 gerunde: 0 53 3. Klasse Mahemai Techni Seie 45 von 48
mahphys-online Änderungsrae: x' () d d x () 0 796e 2 0 99e x' 0 0ln 0 796e 99 0ln 0 99 99e 2 99 99 796 99 2 4 4 Im 53. Jahr wächs der Baum ewa m. 0 g () x' 0 x 0 50 Wachsumsurve mi Änderungsrae im 53. Jahr 40 40 x-achse 30 20 0 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 -Achse 3. Klasse Mahemai Techni Seie 46 von 48
mahphys-online Aufgabe 9: Abi 204 / AII Ein Körper wird für 0 durch eine zeilich onsane Kraf beschleunig und unerlieg einer zur Geschwindigei v () proporionalen Reibungsraf. Die Bewegung des Körpers wird dabei durch dv() folgende Differenialgleichung beschrieben: 0v' v 40 mi v' (). Die Einheien für d und v (Seunde und Meer pro Seunde) bleiben bei der Rechnung unberücsichig. Besimmen Sie v () für 0 mihilfe der Mehode der Variaion der Konsanen für die Anfangsbedingung v0 ( ) 0. Inhomogene DG: 0v' v 40 v' v 4 0 Homogene DG: v v' 0 0 dv d v Triviale ösung: v 0 0 Trennen der Variablen: dv v 0 d mi v 0 d v 0 d Inegraion: ln( v) 0 (Berag nich nöig) 0 0 Delogarihmieren: v e Ke mi K IR. Allgemeine ösung der homogenen DG: 0 v h () Ke Variaion der Konsanen: 0 v p () K ()e 0 v' p () K' ()e K () 0 0 e Einsezen in inhomogene DG: 0 K' ()e K () 0 0 e 0 K () e 0 4 3. Klasse Mahemai Techni Seie 47 von 48
mahphys-online Auflösen: 0 K' () 4e Inegrieren: 0 0 K () 4e d 4( 0) e Spezielle ösung der inhomogenen DG: 0 0 v p () 40e e 40 Allgemeine ösung der inhomogenen DG: 0 v A () Ke 40 Anfangsbedingung einsezen: v A ( 0) 0 K 40 0 K 30 Spezielle ösung: 0 0 v A () 30e 40 v A () 40 30e 50 Beschleunige Bewegung mi Reibung 40 v() in m/s 30 20 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 in s 3. Klasse Mahemai Techni Seie 48 von 48