3. Dynamik eine einzelnen Maenpunke Im lezen Abchni haben Sie einie Beriffe wie Vekoren, Koordinaenyeme, Or, Gechwindikei oder Bechleuniun kennenelern, die anz allemein bei der Bechreibun der Beweun von "Maenpunken" wichi ind. In dieem drien Kapiel wollen wir un der Beweun einzelner Maenpunke zuwenden, wie ie aächlich in der Naur realiier ind. Der einfache "Beweun"-Zuand eine Maenpunke (z. B. eine Ball) i icher der ruhende Zuand, in dem der Ball auf einer Unerlae (z. B. Boden de öraal) ruh. Wir können dieen Zuand beipielweie dadurch bechreiben, da wir dem Ball eine fee Koordinae eine (z. B. kareichen) Koordinaenyem zuordnen, da einerei fe mi dem Boden de öraal verbunden i. Al näche können wir den Ball über den Boden rollen laen. Wir ellen fe, da ich der Ball eradlini forbewe und nach einer ewien Srecke zur Ruhe komm. Wie können wir diee Beweun inerpreieren? Vermuun wäre, da eine Kraf nowendi i, um den Ball eradlini forzubeween. Diee Vorellun eh auf Arioele zurück und blieb bi in Mielaler akuell. Die enprechende Kraf wurde "vi viva" enann. Im Rahmen der Vermuun haben wir ein anz pezielle Bezuyem auezeichne, nämlich da, in dem der Ball ruh. In einem mielalerlichen Welbild, in dem die ruhende Erde den Mielpunk de Welall bilde und ich alle um die Erde dreh, i die ehr vernünfi. Im Geenaz dazu eh Vermuun : "Alle Körper verharren im Zuand der Ruhe oder der leichförmien, eradlinien Beweun, wenn keine äußeren Einflüe vorhanden ind" Diee Vermuun i da. Newonche Axiom, auch "Träheieez" enann. Arioele, 384-3 v. Chr. Sir Iaac Newon, 643-77 Abb. : Arioele und Newon (au: hp://urnbull.dc.-and.ac.uk/~hiory/bioindex.hml; hier finde man auch die Bioraphien ehr vieler Phyiker und Mahemaiker)
Wenn da Träheieez üli i, müen wir erklären, warum der Ball nach einier Zei zur Ruhe komm. Der Grund beeh darin, da eine Reibunkraf zwichen dem Boden und dem Ball wirk, die den Ball allmählich abbrem. Wir können diee Kraf im Veruch dadurch minimieren, da wir anelle de Ball eine Doe auf einem Lufkien über eine lae Unerlae leien laen. Die Doe bewe ich ehr lane weier, wobei ie jeweil am der Berenzun de Tich reflekier wird. Um da Lufkien zu erzeuen, befinde ich im Innern der Doe ein Behäler mi flüiem Sickoff. Dieer iede bei einer Temperaur von 77 Kelvin (-96 C) und enwickel dabei ändi aförmien Sickoff, der durch ein Loch im Boden der Doe enweich und o da Lufkien aufbau. Da Träheieez i da ere von drei "Newonchen Axiomen", auf denen die klaiche Mechanik aufebau i. Wir können den Beriff der Kraf nun dadurch einführen, da wir aen, da die Kraf die Urache für die Änderun de Beweunzuand eine Körper i. Nach Newon können wir die wie fol definieren (Zweie Newonche Axiom oder "Akionprinzip"): "Wenn eine Kraf F auf einen Körper wirk, dann bechleuni ie ihn mi: F = m a ierbei i m die "räe Mae", die durch da Akionprinzip definier wird. Die Größe a i der Bechleuniunvekor. Die räe Mae i ein Skalar. Dami i offenichlich auch die Kraf F ein Vekor. Wir können an dieer Selle ebenfall den Impul p einführen: p = m v Dami chreib ich da Akionprinzip: mi: F p = dp p. (Da Zeichen " " bedeue "idenich"). d Die Einführun de Impule p erib an dieer Selle im Grunde nich mehr al die Einparun de Symbol m. Der Impul bekomm aber erheblich mehr Bedeuun, obald wir un Problemen zuwenden, die mehr al einen bewelichen Maenpunk involvieren. Wir müen nun einie Kräfe explizi einführen. Eine ere Kraf - die Reibunkraf - haen wir berei im Zuammenhan mi dem rollenden Ball kurz aneprochen. Reibunkräfe werden wir ewa päer enauer dikuieren. Die Kraf, die wir an dieer Selle berachen wollen, i die Gewichkraf F wie ie auf der Erdoberfläche wirk und Maenpunke "nach unen", d. h. in Richun de Erdmielpunke zieh. Wir werden die Vekoreienchafen der Kraf noch an einien Beipielen demonrieren.
Wir wollen diee Kraf zunäch mi ilfe einer Spiralfeder charakeriieren, an die wir unerchiedliche Objeke hänen. Wir ellen fe: () wenn wir Körper leichen Maerial und leichen Volumen an die Feder hänen, wird diee jeweil leich wei "nach unen" auedehn. () wenn wir N Körper leichen Maerial und leichen Volumen an die Feder hänen, wird diee proporional zu N auedehn. (3) Körper leichen Volumen aber unerchiedlichen Maerial dehnen die Feder i. all. unerchiedlich wei au Auf der Bai dieer Beobachun können wir nun die "chwere Mae" m eine Körper dadurch definieren, da wir aen, Körper leicher Mae ollen die Spiralfeder um leiche Abände in Richun de Erdmielpunk audehnen. Die Gewichkraf i alo proporional zu m. Wenn wir m die leiche Einhei wie für die räe Mae eben, o ha der Proporionaliäfakor, den wir nennen wollen, die Dimenion einer Bechleuniun. Wir bezeichnen al die "Erdbechleuniun". Wir haben alo: Gewichkraf: F = m ierbei zeien F und in Richun Erdmielpunk. Die SI-Einhei der chweren bzw. räen Mae i Kiloramm. k war urprünlich definier durch die Mae von dm 3 Waer bei 4 C und bar Druck und i jez definier durch da "Archivkiloramm", einem in Pari aufbewahren Plain- Iridium-Zylinder. Mi der Einhei m/ für Bechleuniunen erhalen wir al SI-Einhei der Kraf: Newon ( N = k m/ ) Im im c-syem i die Einhei der Kraf dyn = cm/ = 0-5 N. Wir wollen nun die chwere und die räe Mae eine Körper experimenell verleichen. ierzu laen wir zunäch Körper verchiedenen Maerial und unerchiedlicher chwerer Mae au einer öhe h auf den Boden fallen. Die Körper ind: - eine Sahlkuel - eine leich roße olzkuel, die deulich leicher i al die Sahlkuel - eine (ehr leiche) Voelfeder Die Sahlkuel und die olzkuel reffen prakich leichzeii am Boden auf, wa zur Vermuun führ, Körper unerchiedlicher chwerer Mae fallen leich chnell. Die 3
weenlich rößere Fallzei der Feder chein allerdin daeen zu prechen. Um zu ehen, ob die auf Reibunkräfe zurückzuführen i, brinen wir eine Sahlkuel und eine Daunenfeder in ein Rohr, evakuieren diee und laen Sahlkuel und Feder eine Srecke von m fallen. Wir beobachen, da beide Objeke leichzeii aufchlaen (die Fallzei berä ca. 0.45 ). Wir ellen fe: Die Fallzei von Körpern i unabhäni von ihrer chweren Mae. Dami chein die Bechleuniun, die auf die Körper wirk, für alle Maenpunke die leiche zu ein. Diee Beobachun wollen wir mi ilfe de Akionprinzip quaniaiv auweren: E il: Wir ezen jez F = m a (Akionprinzip) F = F und erhalen: m = m a ierau fol m a =. m Da a aber für alle Körper leich i, fol hierau, da da Verhälni m /m für alle Körper leich i. Schwere und räe Mae ind alo äquivalen; wir können ohne weiere Einchränkun m = m m ezen. Nun wollen wir den Fall von Sahlkuel und Daunenfeder weier auweren: Wir inerieren die Beweunleichun m = m a = m x, die wir, wenn wir den Einheivekor e z eneen der Fallrichun "nach oben" zeien laen, auch ohne Vekorpfeile al m = m z bzw. al z = chreiben können. Die Gleichun wird elö durch: z() = z( = 0) v( = 0) ierbei meen wir die Zei von dem Momen, in dem wir den Körper fallen laen. Die Sarechwindikei v(0) ei null, die ohe z(0), au der der Körper fäll, ei h und der Aufchlapunk habe die Koordinae z = 0. Dami erhalen wir für den Aufchlapunk: 0 h a =, wobei a die Aufchlazei i. ierau erib ich = h /. a 4
Beim Fall der Sahlkuel und der Daunenfeder war h = m und a = 0.45, worau ich zu 9.9 m/ beimm. Der Lieraurwer berä: = 9.8 m/ für einen Or auf dem 50. Breienrad (e ell ich herau, da leich vom Breienrad abhän. Am Pol i = 9.78 m/, am Äquaor 9.83 m/ ). In einem weieren Veruch verleichen wir nun da Verhälni von räer zu chwerer Mae unerchiedlicher Körper. ierzu wird ein Waen der Mae M auf einer Lufkienfahrbahn o u wie reibunfrei von einer Mae m ezoen (. Abb. ). Bechleuni werden beide Maen: F = (M + m ) a Mae M Mae m Schwerkraf F = m Abb. : Waen der Mae M auf einer Lufkienfahrbahn, der nahezu reibunfrei durch eine Mae m ezoen wird. Die ymbolich ezeichneen Räder de Waen ind im Veruch nich vorhanden. Sa deen heb ein von der Fahrbahn auehender Lufrom den Waen an (Zeinun nach: Skrip Ihriner). Auf die Mae m wirk nun die Gewichkraf F = m. Diee wird durch die Rolle umelenk und zieh den Waen. Bechleuni werden die Maen m und M. E il alo: ( M + m ) a = m Im Veruch i zunäch M 9 und m 4,6. Wir haben, da M>>m i: a = M m + m m M d. h. wir verleichen jez da Verhälni chwere/räe Mae verchiedener Körper Zur Sarzei = 0 i die Gechwindikei de Waen v(0) = 0. Wir erhalen für eine Laufrecke x: x = x( m ) x(0) = a ( ) ( ) M Man ieh im Experimen: 5
- Bei einer Änderun der Laufrecke x von 30 cm auf. m verdoppel ich (unefähr) die Laufzei - erhöh man für x =. m die Mae M um einen Fakor 4, verdoppel ich ebenfall unefähr die Laufzei - erhöh man für x =. m owohl M al auch m um einen Fakor 4, erhäl man die leiche Laufzei Auch da Verhälni räe/chwere Mae unerchiedlicher Körper lä alo keinen Unerchied zwichen chwerer und räer Mae erkennen. 6