Folgen und Reihen. Kapitel Zahlenfolgen

Kapitel 2 Folgen und Reihen 2. Zahlenfolgen Definition. Eine Folge reeller Zahlen a 0,a,a 2,..., die gewonnen wird durch eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl n N genau eine reelle Zahl a n zuordnet, heißt Zahlenfolge. Schreibweise a n ) n N oder kurz a n). Die Summe s n = a 0 +a +a 2 +...+a n = n a k, n N, heißt Partialsumme von a n ). Manchmal ist es praktisch, die Summation erst ab k = laufen zu lassen. Definition. Eine Folge a n ) heißt alternierend, wenn zwei aufeinander folgende Glieder unterschiedliche Vorzeichen haben. k=0 0,,2,3... a n = n, 2, 3, 4... b n = n, für n, 2, 4, 8... c n = 2 n, 2, 4, 8... d n = ) n 2 n,5,9,3... e n = +4n, 000;050;02,50... f n = 000 +0,05) n,2, 3,4, 5... g n = n ) n,, 3, 5, 7, 9,..., h n = )n 2n+ Wichtige Spezialfälle sind arithmetische und geometrische Folgen. 25

26 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN 2.. Arithmetische Folgen Definition. Eine Folge a n ) heißt arithmetisch, wenn es eine reelle Zahl d 0 gibt, so dass a n+ a n = d für alle n N. Das bedeutet, man berechnet ein Folgenglied durch Addition von d zu seinem Vorgänger. i) 2,5,8,..., d = 3, ii) 4,2,0, 2..., d = 2. Für jede arithmetische Folge a n ) gilt a n = a 0 +n d, s n = a 0 +a n ) n+. 2 Beispiel In einem Konzertsaal gibt es 0 Reihen Sitze. In der ersten Reihe sind 0 Sitze, danach nimmt die Anzahl der Sitze pro Reihe um 4 Sitze zu. Wie viele Plätze hat man im Saal? Arithmetische Folge für n : a = 0 a n+ = a n +4. Um die Formeln zu nutzen, setzt man a 0 = 6 und zieht am Ende 6 Plätze ab: s 0 = 6+6+0 4) 2 = 286, also 280 Plätze. Übungsaufgabe: Wie viele Reihen gibt es für mindestens 300 Plätze s n 6 300)? Und für mindestens 500? 2..2 Geometrische Folgen Die geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt n + aus der Messgröße zum Zeitpunkt n durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor q ergibt. Beispiel: Zinseszins Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis q =,05. Die Zahl q heißt hier Aufzinsungsfaktor für ein Jahr). Bei einem Startkapital von 000 Euro ergibt sich nach einem Jahr ein Kapital von 000 Euro,05 = 050 Euro, nach zwei Jahren ein Kapital von 000 Euro,05 2 = 02,50 Euro,

2.. ZAHLENFOLGEN 27 nach drei Jahren ein Kapital von 000 Euro,05 3 = 57,63 Euro Allgemein nach n Jahren von 000+0,05) n Euro. Definition. Eine Folge a n ) heißt geometrisch, wenn es eine reelle Zahl q gibt q 0, q ±), so dass gilt: a n+ a n = q für alle n N. i) 2,, 2, 4..., q = 2 ii) 2,6,8,54,..., q = 3 Für jede geometrische Folge a n ) gilt a n = a 0 q n, s n = a 0 +q +q 2 +...+q n) = a 0 qn+ q = a 0 qn+ q. Beispiel Spart man jährlich 000 Euro auf ein Konto an, das sich mit 5 % Prozent p.a. verzinst, so hat man wegen der Verzinsung nach 0 Jahren Einzahlungen): also 000,05 0 +000,05 9 +...000,05+000 000,05 0,05 4206,79 Euro Wie hoch sollte eine einmalige Zahlung sein, um nach 0 Jahren bei 5% p.a. den gleichen Betrag 4206,79 Euro als Wert zu bringen? 2..3 Konvergenz von Zahlenfolgen In diesem Abschnitt wird das Verhalten der Folgenglieder bei wachsendem n, d.h. für n n gegen unendlich ) untersucht. Der Grenzwert der Folge für n wird mit a n

28 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN bezeichnet. Beispiel. Die Glieder der Folge a n ) mit a n = n kommen für n der Null beliebig nahe, n = 0. In jedem beliebig kleinen) Intervall um Null liegen unendlich viele Folgenglieder und nur endlich viele außerhalb. Definition. Eine Folge a n ) heißt konvergent für n gegen eine Zahl a R, wenn außerhalb von jeder Umgebung um a nur endlich viele Folgenglieder liegen, d. h. a n = a. Gibt es eine solche Zahl a nicht, dann heißt die Folge a n ) divergent. Wenn a = 0 ist, dann wird a n ) auch Nullfolge genannt. Der Grenzwert a R ist stets eindeutig bestimmt. i) ii) existiert nicht, d. h. a n ) ist divergent. d. h. b n ) ist konvergent und Nullfolge. a n = n, a n = n b n = n, b n = n = 0, iii) a n = ) n+ n2, a n = )n+ n 2 = 0, d. h. a n ) ist konvergent, alternierend und ebenfalls Nullfolge. iv) v) d. h. a n ) ist divergent. a n = ) n+, a n = )n+ existiert nicht, a n = ) nn+ 3n ist nicht konvergent: die geraden Glieder nahen sich 3 und die ungeraden 3.

2.. ZAHLENFOLGEN 29 Wichtige Grenzwerte Prototypen) i) ii) iii) iv) v) an = a = a, a R, a n = b k n k +b k n k +...+b n+b 0 c l n l +c l n l = +...+c n+c 0, a >, a = 0, a < 0, a >, a =, 0 < a <, + a n = e n) a, a R, 2.), 0, k < l b k cl, k = l +, k > l, Vorzeichen b k und c l gleich, k > l, Vorzeichen b k und c l ungleich, i) ii) iii) 3n 2 +7n n 3 = 0 5 3n 3 +7n 2 2n 5n 3 = 3 +0 5 3n 3 + 0n 2 +20n+30 existiert nicht Wichtig für die Berechnung von Grenzwerten sind die folgenden Regeln: Rechenregeln. Es seien a n ) und b n ) konvergente Folgen mit a n = a bzw. b n = b, wobei a,b R. Dann gilt a n ±b n ) = a±b, c a n) = c a n, c R, a n b n ) = a b, a n b n = a b, b n,b 0.

30 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN iv) v) [ + 2 n n + n) 2 ] + 2n 2 = e 2 + 2n+3 2 ) n+2 n = n+4 n n + 2 n n n + 4 n ) n ) n = e2 e 4 = e 2 Satz. Eine alternierende Folge ist konvergent, wenn die Folge der Absolutbeträge ihrer Glieder Nullfolge ist, sonst ist sie divergent. vi) vii) )n = 0, da n )n n = n = 0 )n + n) n ist divergent, da + n n) )n = + n) n = e Definition. Eine Folge a n ) heißt monoton wachsend, wenn a n a n+ für alle n N. Analog heißt eine Folge monoton fallend, wenn a n a n+ für alle n. Definition. Eine Folge a n ) heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl c R gibt, so dass a n c für alle n N. Entsprechend heißt a n ) nach unten beschränkt, wenn a n c für alle n. Offensichtlich ist jede konvergente Folge auch beschränkt. Außerdem ist jede monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge konvergent. Das gleiche gilt für jede monoton fallende und nach unten beschränkte Folge. i) Jede arithmetische Folge ist unbeschränkt und somit divergent. ii) Jede geometrische Folge mit 0 < q < ist für a 0 > 0 monoton fallend und nach unten beschränkt und für a 0 < 0 monoton wachsend und nach oben beschränkt. Daher sind diese geometrischen Folgen auch konvergent. 2.2 Reihen Definition. Gegeben sei eine Zahlenfolge a n ). Die Folge s n ) der Partialsummen s n = n a k von a n ) heißt unendliche Reihe oder kurz Reihe. k=0

2.2. REIHEN 3 Eine Reihe s n ) ist also eine spezielle Folge, deren Glieder Partialsummen einer anderen Folge a n ) sind. Meist ist nur die Bildungsvorschrift von a n jedoch nicht die von s n bekannt. In diesen Fällen ist die spezielle Folge s n ) nur implizit durch die Folge a n ) gegeben. Konvergiert die Folge s n ) der endlichen Partialsummen s n = n k=0 a k, d. h. s n = s, s R, dann heißt auch die zu der Folge a n ) gehörige Reihe konvergent, und man schreibt a n = s. Ist die Folge s n ) divergent, dann heißt auch die Reihe n= a n divergent. i) Die Folge a n ) mit a n = n ist konvergent, a n =. Die Folge der Partialsummen s n ) mit s n = n k=0 a k = n sowie die dazu gehörige Reihe a n sind jedoch divergent. ii) Zu arithmetischen Folgen gehörige Reihen so genannte arithmetische Reihen) sind divergent, a n = a 0 +n+)d) = n a 0 + nn+) ) d 2 =, d > 0, d < 0. iii) Zu geometrischen Folgen gehörige Reihen so genannte geometrische Reihen) sind konvergent, wenn < q <. Das folgt unmittelbar aus iv) Die harmonische Reihe a n = a 0 q n = a q n+ 0 q n= ist divergent, n= n =. Das ist jedoch nicht offensichtlich. n = a 0 q. 2.2) Bemerkungen i) Für jede konvergente Reihe gilt a n = 0. ii) Die iii) und iv) zeigen, dass die Bedingung a n = 0 jedoch nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe ist. iii) Um die Konvergenz von Reihen zu untersuchen gibt es spezielle Methoden: Konvergenzkriterien, ebenso für die Berechnung des Grenzwertes. Auf diese wird hier nicht näher eingegangen.