Kettenbruchentwicklung in algebraischen Zahlkörpern

Julius-Maximilians-Universität Würzburg Fakultät für Mathematik un Informatik Institut für Mathematik Wissenschaftliche Arbeit zur Erlangung es akaemischen Graes eines BACHELOR OF SCIENCE Kettenbruchentwicklung in algebraischen Zahlkörpern Verfasser: Hans Höngesberg 5. Juli 03 Betreuer: Prof. Dr. Jörn Steuing

Inhaltsverzeichnis Einführung 3 Algebraische Grunlagen 4. Algebraische Zahlkörper un Ganzheitsringe................ 4. Quaratische Zahlkörper........................... 5 3 Geometrie er Zahlen 7 3. Gitter..................................... 7 3. Parkettierungen er Ebene.......................... 9 3.3 Der eukliische Algorithmus in imaginär-quaratischen Zahlkörpern... 4 Allgemeine Kettenbruchentwicklungen 3 4. Enliche Kettenbrüche............................ 3 4. Unenliche Kettenbrüche........................... 5 5 Kettenbrüche im Sinne von Hurwitz 7 5. Die Menge er Teilnenner.......................... 7 5. Kettenbruchentwicklung nach nächsten Ganzen.............. 8 6 Kettenbruchentwicklungen in imaginär-quaratischen Zahlkörpern 9 6. Kettenbruchentwicklung nach nächsten ganzen gaußschen Zahlen..... 9 6. Nicht-normeukliische imaginär-quaratische Zahlkörper......... 7 Übertragung auf Kreisteilungskörper 3 7. Einheitswurzeln un Kreisteilungskörper.................. 3 7. Scheitern er Hurwitzschen Methoe.................... 5 7.3 Abwanlung er Kettenbruchentwicklung.................. 6 Literatur 3 Erklärung zur wissenschaftlichen Relichkeit 33

I never been on a farm an am not even sure which are begonias, ahlias or petunias. Plants, like algebra, have a habit of looking alike an being ifferent, or looking ifferent an being alike; consequently mathematics an botany confuse me. (Elenore Smith Bowen Einführung Im Jahre 888 veröffentlicht Aolf Hurwitz in [Hur88] zwei Kettenbruchentwicklungen nach nächsten ganzen Zahlen, zum einen für en Ring Z [ ] er Gaußschen Zahlen, zum aneren für en Ring Z [ + ] 3 er Eisensteinzahlen. Diese beien Ringe stellen jeweils ie Ganzheitsringe es Gaußschen Zahlkörpers Q ( bzw. es ritten Kreisteilungskörpers Q ( 3 ar, insbesonere sin beies quaratische Zahlkörper. Hile Gintner liefert mit ihrer Dissertation [Gin36] aus em Jahre 936 schließlich einen Beitrag zur vollstänigen Lösung es Problems er Kettenbruchentwicklung nach nächsten ganzen Zahlen in imaginär-quaratischen Zahlkörpern. Sie zeigt, ass eine solche Entwicklung nur noch in en Fällen Q (, Q ( 7 un Q ( möglich ist. 8 Jahre später behauptet Oskar Perron in [Per54, S. 88] jeoch, ass für ie Fälle Q ( 7 un Q ( noch keine Untersuchungen zu unmöglichen Teilnennerfolgen gemacht woren sin; iese benutzt Gintner aber für ihren Konvergenzbeweis. In er vorliegenen Arbeit möchte ich, basieren auf en Werken von Hurwitz 3 un Gintner, einen Überblick über ie Theorie er Kettenbruchentwicklung in imaginärquaratischen Zahlkörpern geben un sie arüberhinaus auf Kettenbruchentwicklungen in Kreisteilungskörper zu übertragen versuchen. [Bow56, S. 9]. Zwar erschien ie erste Auflage es Buches 99, och behauptet Perron im Vorwort er ritten, verbesserten un erweiterten Auflage von 954, eine Lehre von en Kettenbrüchen arzulegen, ie em heutigen Stan er Wissenschaft entspricht ([Per54, S. III]. 3 Autoren bezeichne ich im Folgenen mit ihren Nachnamen, mit Hurwitz meine ich Aolf Hurwitz. Beziehe ich mich auf seinen Bruer Julius Hurwitz, so mache ich ies urch en Vornamen kenntlich. 3

Algebraische Grunlagen In iesem ersten Abschnitt sollen iejenigen algebraischen Begriffe geklärt weren, ie später bei er Untersuchung komplexer Kettenbruchentwicklungen zu Grune gelegt weren. Dies sin vor allem ie er ganzen Zahlen un er Ganzheitsringe.. Algebraische Zahlkörper un Ganzheitsringe Definition. Ein (algebraischer Zahlkörper ist eine enliche Körpererweiterung K er rationalen Zahlen Q,.h. Q K C. Die Dimension [K : Q] es Zahlkörpers K als Q-Vektorraum heißt Gra er Körpererweiterung K Q bzw. es Zahlkörpers K. Zahlkörper vom Gra weren auch als quaratische Zahlkörper bezeichnet. In Analogie zum Ring er ganzen Zahlen Z im Körper er rationalen Zahlen Q lassen sich auch zu en algebraischen Zahlkörpern sogenannte Ganzheitsringe efinieren. Definition. Eine algebraische Zahl,.h. ein Element x K eines algebraischen Zahlkörpers K, heißt ganz, wenn sie Nullstelle eines normierten Polynoms f Z [X] ist, as nicht as Nullpolynom ist. Ganze Zahlen eines beliebigen Zahlkörpers besitzen ähnliche strukturelle Eigenschaften wie er Ring er ganzen Zahlen Z. Nach [Neu9, S. 8] gilt: Satz 3. Alle ganzen Elemente von K über Q bilen einen Ring, en sogenannten Ganzheitsring O K. In er Algebra bezeichnet man als Minimalpolynom eines Elements x K asjenige normierte Polynom, as x als Nullstelle besitzt un minimalen Gra besitzt. Mithilfe es Minimalpolynoms lässt sich er Begriff er Ganzheit nach [MSP, S. 50] wie folgt charakterisieren: Satz 4. Eine algebraische Zahl ist genau ann ganz, wenn ie Koeffizienten ihres Minimalpolynoms in Z liegen. Nach [Neu9, S. 8] sin Ganzheitsringe noethersche un ganzabgeschlossene Integritätsbereiche, in em jees von Null verschieene Primieal maximal ist; sie sin sogenannte 4

Deekinringe. Insbesonere sin sie als Z-Mouln enlich erzeugt; eine Z-Basis nennen wir Ganzheitsbasis. Vor allem sin Ganzheitsringe aber kommutativ, a sich ie Eigenschaft er Kommutativität vom algebraischen Zahlkörper auf en Ganzheitsring überträgt, un unitär, a X Z [X].. Quaratische Zahlkörper Hurwitz un Gintner haben Kettenbruchentwicklungen in imaginär-quaratischen Zahlkörpern untersucht. Diese lassen sich auf sehr einfache Weise charakterisieren: Satz 5. Ein Körper K ist genau ann ein quaratischer Zahlkörper, wenn K ie Darstellung K = Q ( = Q +Q für eine quaratfreie Zahl Z besitzt. Beweis. Ist K ein quaratischer Zahlkörper un α K \Q, so sin un α eine Basis von K als Q-Vektorraum, also K = Q + αq. Wegen α K gibt es b, c Q mit α = b + cα, insbesonere gibt es teilerfreme A, B, C Z mit Aα + Bα + C = 0, also α = B+ B 4AC A. Für ie Diskriminante D = B 4AC gilt D Z \ {0}. Daher gibt es m, Z mit D = m un quaratfrei. Daraus folgt α Q + Q, also K Q (. Ebenso gilt a + b Q + αq = K,.h. Q ( K. Im Fall K = Q ( = Q +Q ist K offensichtlich ein Körper. Ist negativ, so wir er Zahlkörper Q ( imaginär-quaratisch genannt, anernfalls reell-quaratisch. Der quaratische Zahlkörper Q ( besitzt genau zwei Q-Automorphismen, ie Ientität i un ie Konjugation : i :Q ( Q (, a + b a + b, :Q ( Q (, a + b a b. 5

Definition 6. Als Spur S un Norm N bezeichnet man ie Abbilungen S :Q ( Q, x i (x + x, N :Q ( Q, x i (x x. Für x = a + b gilt S (x = a un N (x = a b. Außerem ist ie Spur aitiv un ie Norm multiplikativ. Mithilfe ieser beien Abbilungen lassen sich as Minimalpolynom un somit ie Ganzheit von Zahlen eines quaratischen Zahlkörpers charakterisieren: Satz 7. Das Minimalpolynom über Q einer irrationalen Zahl x Q ( \ Q lautet X S (x X + N (x. Insbesonere ist x genau ann ganz, wenn ie Spur un ie Norm von x in Z liegen. Beweis. Ist x = a + b Q rational, so ist as Minimalpolynom X x. Genau ann liegt x in Z, wenn x un x in Z liegen, also seine Spur un Norm. Ist x Q ( \Q irrational, so kann as Minimalpolynom von x wegen x / Q nicht linear sein. Da x aber eine Nullstelle von (X x (X x = X S (x X +N (x ist, ist ieses Polynom schon as Minimalpolynom. Nach Satz 4 ist x genau ann ganz, wenn ie Koeffizienten es Minimalpolynoms, also Spur un Norm von x, in Z liegen. In quaratischen Zahlkörpern lässt sich as Minimalpolynom explizit angeben, aher können wir alle ganzen Zahlen eines solchen Zahlkörpers vollstänig bestimmen: Satz 8. Sei K = Q ( ein quaratischer Zahhlkörper mit quaratfreiem Z. Dann gilt für en Ganzheitsring Z [ + ] O K = Z [ ] für mo 4, für, 3 mo 4. Beweis. Der Beweis erfolgt nach [MSP, S. 53]: Da Nullstelle es Polynoms X Z [X] ist, ist nach Definition ganz. Gilt mo 4, so ist auch + nach Satz 7 ganz, a S ( + ( = un N + = in 4 6

Z liegen. Auf Grun er Ringstruktur ganzer Zahlen nach Satz 3 gilt aherz [ ] OK für, 3 mo 4 un Z [ + ] OK für mo 4. Sei nun x = a + b Q ( eine ganze Zahl, ann gilt nach Satz 7, ass ie Spur S (x = a un ie Norm N (x = a b in Z liegen. Daraus folgt 4b = (a 4 (a b = S (x 4N (x Z. Aufgrun er Quaratfreiheit von muss aher b in Z liegen. Wir setzen nun A := a Z un B := b Z. Dann ist A B = 4 (a b 0 mo 4. Im Fall mo 4 folgt A B mo, a un b sin aher ungerae un es gilt O K Z [ + ]. Im Fall, 3 mo 4 folgt A B 0 mo, a un b liegen aher in Z un es gilt O K Z [ ]. 3 Geometrie er Zahlen Die Ganzheitsringe imaginär-quaratischer Zahlkörper weisen eine besonere geometrische Struktur auf: Sie bilen ein Gitter. In iesem Abschnitt soll ieser geometrische Aspekt genauer untersucht weren. 3. Gitter Definition 9. Für einen algebraischen Zahlkörper K heißt eine iskrete Teilmenge G K ein Gitter, wenn sie eine aitive Untergruppe von K mit er Darstellung G = Zg + Zg bilet. Wir nennen (g,g eine Basis von G. Verstehen wir C als R-Vektorraum, so bezeichnen wir en von en Basisvektoren g un g aufgespannten Ausschnitt als Elementarmasche. Wir bezeichnen eine Teilmenge M K als iskret, wenn jee beschränkte Teilmenge von M nur enliche viele Elemente besitzt. Nach Satz 8 bilen ie Ganzheitsringe imaginär-quaratischer Zahlkörper ein Gitter. Im Fall, 3 mo 4 besitzt er Ganzheitsring O Q( ie Basis (,. Die ganzen Zahlen bilen in er komplexen Zahlenebene ein Gitter mit rechteckigen Elementarmaschen: 7

Im Re Abbilung : Gitterstruktur er ganzen Zahlen für, 3 mo 4 Im Fall mo 4 besitzt er Ganzheitsring O Q( ie Basis (, +. Jees beliebige Element a + b + = (a+b+b aus em Ganzheitsring mit a, b Z lässt sich eswegen schreiben als c+b mit b, c Z un b c mo. Aus ieser Darstellung folgt ie InklusionZ [ ] [ ] Z +. Als ganze Zahlen kommen zum obigen Fall ie Diagonalenschnittpunkte er rechteckigen Maschen hinzu, ie urch un aufgespannt weren: 8

Im Re Abbilung : Gitterstruktur er ganzen Zahlen für mo 4 3. Parkettierungen er Ebene Definition 0. Eine Parkettierung ist eine lückenlose un überlappungsfreie Übereckung er komplexen Zahlenebene urch Teilflächen, ie Zellen. Hurwitz un Gintner ornen bei ihren Kettenbruchentwicklungen komplexe Zahlen enjenigen ganzen Zahlen zu, ie ihnen am nächsten liegen. Fasst man alle Zahlen, ie er gleichen ganzen Zahl zugeornet weren, als Punktmengen zusammen, so ergibt sich eine Parkettierung er komplexen Zahlenebene. 4 Dabei bilen ie Punktmengen erjenigen Zahlen, ie mehrere nächstgelegene ganze Zahlen besitzen, ie Grenzenlinien er Zellen. 4 Wie ie Arbeiten von Julius Hurwitz [Hur95] un Bachmann [Bac7, 88f.] zeigen, sin auch anere Parkettierungen er komplexen Zahlenebene möglich, ie ebenfalls als Grunlage einer Kettenbruchentwicklung ienen können. 9

Im Fall, 3 mo 4 entsteht eine Parkettierung mit rechteckigen Zellen, im Fall mo 4 bilen Sechsecke ie Zellen er Parkettierung: Im Re Abbilung 3: Parkettierung nach nächsten Ganzen für, 3 mo 4 0

Im Re Abbilung 4: Parkettierung nach nächsten Ganzen für mo 4 3.3 Der eukliische Algorithmus in imaginär-quaratischen Zahlkörpern Gintner konnte zeigen, ass eine Kettenbruchentwicklung in en imaginär-quaratischen Zahlkörpern Q ( nur für ie Werte =,, 3, 7 un möglich ist. Dies sin insbesonere genau ie imaginär-quaratischen Zahlkörper, eren Ganzheitsringe normeukliisch sin. Mit Hilfe er Gitterstruktur lassen sich ie normeuklischen Ganzheitsringe einfach charakterisieren. Definition. Der Ganzheitsring O K eines algebraischen Zahlkörpers K heißt normeukliisch, wenn es zu jeer Zahl ξ K mit stets ein ganze Zahl κ O K gibt, soass gilt: N (ξ κ <.

Satz. Der Ganzheitsring O K eines imaginär-quaratischen Zahlkörpers K = Q ( ist genau für ie Werte =,, 3, 7, normeukliisch. 5 Beweis. Sei K = Q ( für negative un x = a+b K. Die Norm N (x = a b entspricht ann em Quarat es Abstans vom Punkt x zum Ursprung. Für en Fall, 3 mo 4 gilt O K = Z [ ] nach Satz 7. Die komplexe Ebene wir nach 3. nach nächsten Ganzen urch Rechtecke parkettiert. Die maximale Norm aller Differenzen ξ κ innerhalb einer Zelle wir beispielsweise urch en Punkt ξ = + un en Urspung κ = 0 realisiert. Der Ganzheitsring O K ist also genau ann normeukliisch, wenn Hieraus folgt = oer =. ( + N (ξ κ = N = <. Für en Fall mo 4 gilt O K = Z [ + ]. Hierbei wir ie komplexe Ebene urch Sechsecke parkettiert. Innerhalb ieser Sechseckzellen wir ie Norm zum Beispiel urch ie Punkte ξ = normeukliisch, falls 4 un en Ursprung κ = 0 maximal. O K ist also genau ann N (ξ κ = N 4 = + 6 <. Daraus folgt = 3, = 7 oer =. 5 Dickson hat 97 zeigen wollen, ass nur für ie Werte =, 7, 3, (,,, 3, 5, 3 ein eukliischer Algorithmus im Ganzheitsring es algebraischen Zahlkörpers Q existiert [Dic7, S. 5], allerings ist er Beweis für positive fehlerhaft. Perron hat fünf Jahre später gezeigt, ass ie Aussage neben en obigen positiven Werten auch für = 6, 7,, 7,, 9 richtig ist [Per3].

4 Allgemeine Kettenbruchentwicklungen 4. Enliche Kettenbrüche Definition 3. Für Variablen a,..., a m un b 0,..., b m efinieren wir formal einen enlichen Kettenbruch als einen Ausruck er Gestalt b 0 + a b + a b +... + a m b m 6 := b 0 + b + a a b + + a m b m Für n m nennen wir ie Zahl a n en n. Teilzähler un b n en n. Teilnenner; insbesonere heißt b 0 as Anfangsglie es Kettenbruchs. Sin alle Teilzähler in einem Kettenbruch, so sprechen wir von einem regelmäßigen Kettenbruch, anernfalls von einem unregelmäßigen. Als n. Näherungsbruch bezeichnen wir weiterhin en Ausruck b 0 + a b + a b +... + a n b n. Regelmäßige Kettenbrüche kürze ich im Folgenen mit er Notation [b 0 ; b, b,..., b m ] ab. Zunächst möchte ich ie Näherungsbrüche von regelmäßigen Kettenbrüchen untersuchen, azu efiniere ich rekursiv Hilfsfolgen: p = 0, p =, p n = b n p n + p n für n = 0,,,..., (pq := q =, q = 0, q n = b n q n + q n für n = 0,,,..... Dies lässt sich äquivalent mit Matrizen formulieren mittels p q p = q 0 0 6 Laut Perron wure iese abkürzene Notation von Pringsheim eingeführt, vgl. [Per54, S. ]. 3

un p n q n p n = p n q n q n b n. 0 p n q n Somit lassen sich erste Beziehungen zwischen regelmäßigen Kettenbrüchen un en Rekursionsfolgen (pq aufstellen: Satz 4. Für n N 0 gilt:. p n q n = [b 0 ; b, b,..., b n ],. p n q n p n q n = ( n+, 3. p n q n p n q n = ( n b n. Beweis.. Der Beweis erfolgt urch vollstänige Inuktion. Der Fall n = 0 gilt wegen p 0 q 0 = b 0 = b 0 = [b 0 ]. Nun gelte als Inuktionsvoraussetzung ie Formel für ein beliebiges n N 0. Dann folgt [b 0 ; b, b,..., b n, b b+ ] = [ b 0 ; b, b,..., b n + ] b b+ = ( bn + pn b n+ + p n ( = bn + pn b n+ + p n = (b nb n+ + p n + b n+ p n (b n b n+ + p n + b n+ p n = b n+ (b n p n + p n + p n b n+ (b n q n + q n + q n = b n+p n + p n b n+ q n + q n = = p n+ q n+.. Die Rekursion vereinfachen wir zunächst urch p n q n p n = p n q n q n = p n = q n n j=0 b n = 0 b n b n =... = 0 0 p n q n p n 3 q n 3 b j. 0 4

Damit können wir folgern p n q n p n q n = et p n p n n = et b j = q n q n j=0 0 n = et b j n = ( = ( n+. j=0 0 j=0. 3. Die ritte Aussage folgt unmittelbar aus er zweiten: p n q n p n q n = (b n p n + p n q n p n (b n q n + q n = = b n (p n q n p n q n = b n ( n. 4. Unenliche Kettenbrüche Definition 5. Für zwei Folgen (a n n N un (b n n N0 efinieren wir formal einen unenlichen Kettenbruch urch en Ausruck b 0 + a j b j. Der Kettenbruch heißt konvergent, ( a j b j er n. Näherungsbrüche existiert. Dieser Grenz- wenn er Grenzwert n lim b 0 + n j= wert wir ann Wert es Kettenbruchs genannt. Existiert er Grenzwert nicht, heißt er Kettenbruch ivergent. j= Das Gesetz er besten Näherung von Lagrange besagt, ass sich Irrationalzahlen nicht besser als urch ie Näherungsbrüche er zugehörigen Kettenbruchentwicklung approximieren lassen. Sin Kettenbrüche bisher formal efiniert woren, gilt es nun zu klären, was es heißt, eine komplexe Zahl in einen regelmäßigen Kettenbruch zu entwickeln. Definition 6. Sei x C eine komplexe Zahl un K ein beliebiger Zahlkörper. Ein Kettenbruchalgorithmus besteht aus er Iteration x =: x 0, x n = b (x n + x n+, b n := b (x n 5

zusammen mit einer sogenannten Teilnennerabbilung b : C O K, x b (x. Eliminiert man sukzessive x,..., x n aus en ersten n + Iterationsgleichungen, so ergibt sich für x ie Kettenbrucharstellung x = [b 0 ; b,..., b n, x n+ ]. Bricht ie Iteration nach m Schritten ab, so heißt er entstanene enliche Kettenbruch [b 0 ; b,..., b m ] ie Kettenbruchentwicklung von x; terminiert ie Iteration nicht, so bezeichnet ie Kettenbruchentwicklung von x en unenlichen Kettenbruch [b 0 ; b, b...]. Entscheien ist hierbei ie Wahl er Teilnennerabbilung b. Je nach Wahl entstehen verschieene Arten von Kettenbruchentwicklungen. Entwickelt man eine rationale Zahl x Q in einen Kettenbruch mit Hilfe er sogenannten Gaußklammer b := x := max {k Z k x}, entspricht er Kettenbruchalgorithmus em eukliischen Algorithmus. Hurwitz un Gintner agegen verwenen eine Kettenbruchentwicklung nach nächsten Ganzen, wie wir noch in Abschnitt 5. sehen weren. Ein unenlicher Kettenbruch konvergiert im Allgemeinen nicht. Gintner hat ies in ihrer Arbeit urch Gegenbeispiele explizit gezeigt [Gin36, 3ff.], vgl. azu Abschnitt 6.. Im folgenen Satz formuliere ich nun Beingungen, ie hinreichen für ie Konvergenz von Kettenbruchentwicklungen sin: Satz 7. Sei x C eine komplexe Zahl, ie in einen unenlichen Kettenbruch entwickelt wir. Den n. Näherungsbruch bezeichnen wir mit pn q n := [b 0 ; b,..., b n ]. Sin nun für alle natürlichen Zahlen n ie Werte x n enlich, er Absolutbetrag von qn q n er Absolutbetrag von x n größer als un kleiner als eine positive Zahl κ, ie kleiner als ist, so folgt:. Der unenliche Kettenbruch [b 0 ; b, b...] konvergiert gegen en Wert x.. Die Zahl x ist irrational, sie kann nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen argestellt weren. 6

Beweis. 7. Sei b : C O K, x b (x ie er Kettenbruchentwicklung zu Grune liegene Teilnennerabbilung. Für alle n N gilt nach Voraussetzung q n > q n, un wegen q n O K folgt lim n = +. Nach Satz 4 gilt weiterhin x 0 = [b 0 ; b,..., b n, x n+ ] = p n+ q n+ = x n+p n+p n x n+ q n+q n. Somit können wir folgern x 0 p n q n q n (( n. Setzen wir nun x pn + qn q n x n+ q n ( n ϑ n qn q n lim ϑ n qn = x n+p n+p n x n+ q n+q n p n q n = = ϑn, so gilt qn x n+ + qn q n = x n+ ( n (x n+ q n+q n q n = ( n x 0 q n p n q n =. Diesen Bruch schätzen wir nach unten ab urch ( n ϑ n = ϑ n x n+ > κ. Schließlich gilt ϑn < un amit lim κ n x 0 pn q n = Kettenbruchs. = 0. Die Näherungsbrüche konvergieren somit gegen x, en Wert es. Angenommen, x sei eine rationale Zahl, ann existieren ganze Zahlen u, v O K mit x = u v. Daraus folgt uq n vp n = v ϑn q n. Strebt n gegen unenlich, so wir uq n vp n beliebig klein. Aufgrun er Diskretheitsbeingung (D, ie Hurwitz an ie Menge er Teilnenner stellt (siehe Abschnitt 5., gilt schließlich uq n vp n = 0. Daraus folgt x = pn q n = [b 0 ; b,..., b n ] = [b 0 ; b,..., b n, x n+ ]. Deswegen muss x n+ = gelten, ies wierspricht jeoch er Voraussetzung, ass für alle n N 0 ie Werte x n enlich sin. 5 Kettenbrüche im Sinne von Hurwitz 5. Die Menge er Teilnenner Hurwitz stellt zu Beginn von [Hur88] folgene Beingungen an eine Menge M C von komplexen Zahlen, aus enen er ie Teilnenner seiner Kettenbrüche wählt: Für zwei beliebige Zahlen aus M liegen eren Summe, Differenz un Proukt wieer in M. 7 Der Konvergenzbeweis folgt er Beweisführung von Hurwitz un Gintner. Julius Hurwitz hat hierfür in [Hur95, 30ff.] einen alternativen Beweis erbracht. 7

In jeem enlichen Gebiet er komplexen Zahlenebene befinen sich nur enlich viele Elemente aus M. (Diskretheitsbeingung D Die Zahl ist Element er Menge M. (Reichhaltigkeitsbeingung R Insbesonere folgt araus, ass ie Zahl 0 in M liegt un ass außer er 0 keine Zahl betragsmäßig kleiner als ist. Denn mit M nach er Reichhaltigkeitsbeingung (R gilt auch für ie Differenz = 0 M; gäbe es in M eine Zahl ungleich 0, ie betragsmäßig kleiner als ist, so lägen auch all ihre Potenzen, ie ebenfalls betragsmäßig kleiner sin als, in M. Das ist ein offensichtlicher Wierspruch zur Diskretheitsbeingung (D. Ganzheitsringe O K zu imaginär-quaratischen Zahlkörpern K sin kommutative, unitäre Ringe. Sie besitzen nach Abschnitt 3. eine Gitterstruktur. Insbesonere erfüllen sie alle von Hurwitz aufgestellten Beingungen. In Abschnit 7.3 weren wir versuchen, einen Kettenbruchalgorithmus in einem Kreisteilungskörper zu etablieren. Da er azugehörige Ganzheitsring nicht ie Diskretheitsbeingung (D erfüllen wir, weren wir ie Hurwitzsche Methoe moifizieren müssen. 5. Kettenbruchentwicklung nach nächsten Ganzen Wie in Abschnitt 4. beschrieben, ist es für ie Art er Kettenbruchentwicklung entscheien, wie ie Teilnennerabbilung beschaffen ist. Hurwitz wählt eine Entwicklung nach nächsten ganzen Zahlen: Er ornet jeer beliebigen Zahl iejenige ganze Zahl eines Ganzheitsrings zu, ie am nächsten liegt. Dabei sollen Ranprobleme zunächst unberücksichtigt bleiben. Sie weren später urch eine willkürliche Festsetzung gelöst. Ist also eine komplexe Zahl x un zu einem algebraischen Zahlkörper K ein Ganzheitsring O K gegeben, er ie Voraussetzungen aus Abschnitt 5. erfüllt, so ist ie Teilnennerabbilung b efiniert urch b : C O K, x b (x := min γ O K x γ. In Anlehnung an en Sprachgebrauch von Gintner wollen wir eine solche Kettenbruch- 8

entwicklung nach nächsten Ganzen Kettenbruchentwicklung im Sinne von Hurwitz 8 nennen. 6 Kettenbruchentwicklungen in imaginär-quaratischen Zahlkörpern In iesem Abschnitt soll ein konkreter Fall einer Kettenbruchentwicklung in einem imaginär-quaratischen Zahlkörper exemplarisch besprochen un abei auf ie allgemeine Methoe es Konvergenzbeweises eingegangen weren, um sie später auf einen Kreisteilungskörper vierten Graes zu übertragen. Dann wir gezeigt, ass eine Kettenbruchentwicklung im Sinne von Hurwitz im Falle nicht-normeukliischer imaginärquaratischer Zahlkörper jeoch nicht möglich ist. 6. Kettenbruchentwicklung nach nächsten ganzen gaußschen Zahlen Betrachten wir nun en Zahlkörper Q (i = Q (, wobei i ie imaginäre Einheit bezeichne. Nach Satz 8 ist er Ganzheitsring Z [i], er sogenannte Ring er ganzen gaußschen Zahlen. Um zu zeigen, ass eine Kettenbruchentwicklung nach nächsten ganzen gaußschen Zahlen möglich ist, gehe ich entsprechen [Hur88, 9ff.] vor. Dazu verwene ich ie Bezeichnungen aus Abschnitt 4., sofern sie nicht weiter erklärt weren. Parkettierung nach nächsten Ganzen: Wegen 3 mo 4 parkettieren wir ie Ebene zunächst nach nächsten Ganzen wie in Abbilung 3, wobei ie ganzen gaußschen Zahlen ie Zellenmittelpunkte bilen. Jeer komplexen Zahl x soll nun er Mittelpunkt b erjenigen Zelle zugeornet weren, in er ie Zahl liegt. Von en Begrenzungen sollen zur Zelle aus rein willkürlicher Festsetzung heraus ie beien mit geringerem Koor- 8 Wir grenzen sie aurch von sogenannten hurwitzschen Kettenbrüchen ab. Perron bezeichnet in [Per54, 8f.] mit iesem Terminus regelmäßige Kettenbrüche, eren Teilnenner ineinaner geschachtelte, arithmetische Reihen beliebiger Ornung bilen. 9

inatenabschnitt gehören. So erhalten wir eine spezifische Teilnennerabbilung. Hierbei gilt x. Im P Re R Abbilung 5: Gitterstruktur er ganzen gaußschen Zahlen Unmögliche Teilnenner un Teilnennerfolgen: Durch iese Zuornung liegt für alle n N ie Zahl x n b n im Quarat P mit Mittelpunkt 0 un Seitenlänge. Wegen x n = x n b n liegen amit ie x n im Bereich R := P, er aus er Punktmenge es Quarates P unter er Abbilung x : C C, x x entsteht. Bezeichnet K r (m := {x C x m < r} einen Kreis un K r (m := {x C x m r}, so gilt R = C \ ( K ( K (i K ( K ( i. Daraus wir ersichtlich, ass ie Teilnenner b, b, b 3... keine er Werte 0, ± un ±i annehmen können. Darüber hinaus sin auch bestimmte Aufeinanerfolgen von ganzen Zahlen als Teilnenner beginnen bei b n unmöglich, nämlich genau ann, wenn ie Begrenzungslinie von 0

R urch ie Zelle mit em Mittelpunkt b n verläuft. Dazu ein Beispiel: Sei b n = +i. Dann liegt nach obigen Überlegungen x n zum einen in er Zelle mit Mittelpunkt + i, zum aneren im Raum R. Wegen x n+ = x n b n kann ann x n+ nicht im Kreis K ( + i liegen, somit ist er Teilnenner b n+ = + i unter er Voraussetzung b n = + i unmöglich. Hurwitz hat folgene Tabelle unmöglicher Teilnennerfolgen aufgestellt: b n b n+ b n+ b n+3, i, + i, + i, + i + i, i, + i + i + i, + i + i + i, i, + i + i + i, + i + i + i + i Tabelle : Unmögliche Teilnennerfolgen Kovergenzbeweis: Um nach Satz 7 ie Konvergenz er Kettenbruchentwicklung zu beweisen, müssen wir noch qn q n < für alle n N zeigen. Dazu setzen wir kn := qn. q n Aufgrun er Rekursionsgleichung q n = b n q n + q n folgt k = b un k n+ = b n + k n. Daher bleibt noch k n > zu zeigen. Dies geschieht mittels vollstäniger Inuktion: Für k stimmt ie Aussage wegen k = b R. Nun nehmen wir an, ie Ungleichung stimmt für k, k,..., k n, jeoch nicht für k n, also k n. Wegen k n = b n + k n liegt k n im Kreis K (b n un in er Einheitskreisscheibe K := K (0, eshalb kann b n nur ie Werte ± ± i annehmen. Aus Symmetriegrünen sei o.b..a. b n = + i. Wegen k n = k n b n liegt somit k n Daurch fällt k n = b n + k n in en Kreisen K := K (0 un K ( i. in K ( + i mit k n >. Somit folgt, ass b n nur ie Werte, + i, + i, i, + i, + i annehmen kann. Aufgrun von Tabelle kann nur b n = + i gelten. Würen wir mit ieser Methoe so fortfahren, so erhielten wir: b n = + i, b n = + i, b n = + i, b n 3 = + i, b n 4 = + i,.... Somit wären alle Absolutbeträge von k,..., k n größer als, insbesonere lägen sie außerhalb er Kreise K (± ± i. Daraus würe k n > gelten. Dies ist aber ein Wier-

spruch zu unserer Annahme. Mit qn q n = k n > für alle n N folgt nun nach Satz 7 ie Konvergenz er Kettenbruchentwicklung nach nächsten ganzen gaußschen Zahlen. Für ie Ganzheitsringe zu Q ( mit =, 3, 7 un haben Hurwitz un Gintner ie Konvergenz er Kettenbruchentwicklung nach nächsten Ganzen analog bewiesen. Vor allem ie Fälle =, 7 un, ie Gintner untersucht hat, erforern sehr umfangreiche Fallunterscheiungen un aufwänige Untersuchungen von Teilnennerfolgen. 9 6. Nicht-normeukliische imaginär-quaratische Zahlkörper Gintner hat für en Beweis er Unmöglichkeit einer solchen Kettenbruchentwicklung in [Gin36, 3ff.] explizite Gegenbeispiele angegeben, in enen er Kettenbruch nicht konvergiert. Ich orientiere mich an ihren Beispielen. Satz 8. Sei K = Q ( ein nicht-normeukliischer imaginär-quaratischer Zahlkörper. Dann ist eine Kettenbruchentwicklung im Sinne von Hurwitz im Ganzheitsring O K nicht möglich. Beweis. Wir unterscheien wieer zwei Fälle: Im Fall, 3 mo 4 mit 5 für Q ( wir ie Zahlenebene nach nächsten Ganzen mit Rechtecken parkettiert. Für en Punkt x = gilt ann: x 0 =, b 0 = 0 x =, b = 0 x =, b = 0.... 9 Vor iesem Hintergrun ist es umso beauernswerter, ass wie in er Einführung bereits erwähnt Perron behauptet: Für D = 7 un D = sin ie unmöglichen Teilnennerserien bis jetzt noch nicht untersucht woren. ([Per54, S. 88] Dabei entsprechen D = 7 un D = in unserer Notation = 7 un =.

Die Zahl x = wir somit in en Kettenbruch [0; 0, 0,...] entwickelt, er jeoch nicht gegen x konvergiert. Im Fall mo 4 für Q ( mit < wir ie Zahlenebene nach nächsten Ganzen mit Sechsecken parkettiert. Der Punkt x = ( x 0 = (, b 0 = 0 x =, b = 0 x = (, b = 0... ; wir ann entwickelt in: as ergibt en Kettenbruch [0; 0, 0,...], welcher ebenfalls offensichtlich nicht gegen x = ( konvergiert. Nach Satz ist er imaginär-quaratische Zahlkörper Q ( nur für ie Werte =,, 3, 7, normeukliisch. 7 Übertragung auf Kreisteilungskörper Die Kettenbruchentwicklung nach nächsten ganzen Zahlen soll im Folgenen auf Kreisteilungskörper übertragen weren. Sie stellen eine besonere Art er Zahlkörper ar. 7. Einheitswurzeln un Kreisteilungskörper Definition 9. Für eine natürliche Zahl n un em Körper C er komplexen Zahlen heißt ζ K eine n. Einheitswurzel, wenn ζ n = gilt. Die Gesamtheit µ n (C aller n. Einheitswurzeln bilet somit ie Nullstellenmenge er Polynomfunktion f = X n. Nach em Funamentalsatz er Algebra besitzt f genau n Nullstellen. Da f un ie formale Ableitung f = nx n wegen Xf f = zueinaner teilerfrem sin, besitzt f genau n verschieene Nullstellen. Es gibt also genau n µ n (C = n verschieene n. Einheitswurzeln. Sie bilen eine multiplikative Untergruppe 3

von C. Als enliche Untergruppe ist µ n (C aher zyklisch, sie besitzt minestens einen Erzeuger. Definition 0. Eine n. Einheitswurzel ζ heißt primitiv, falls sie ie Gruppe µ n (C aller n. Einheitswurzeln erzeugt. Bezeichnet ϕ : N N ie eulersche ϕ-funktion, beträgt ie Anzahl er n. Einheitswurzeln genau ϕ (n. Die Einheitswurzeln lassen sich in einfacher Form explizit arstellen: Man setzt azu ζ n := exp ( πi n. Dann ist ζn eine primitive n. Einheitswurzel un es gilt µ n (C = {, ζ n, ζn,..., ζn n } sowie ζn k = exp ( ( ( πik n = cos πk n + i sin πk n für k {0,,..., n }. Die n. Einheitswurzel ζ k n ist genau ann primitiv, wenn k un n zueinaner teilerfrem sin. Mit iesen Vorüberlegungen lassen sich nun ie Kreisteilungskörper efinieren, in enen ein Kettenbruchalgorithmus etabliert weren soll. Definition. Sei ζ n C eine primitive n. Einheitswurzel. Der algebraische Zahlkörper Q (ζ n heißt ann n. Kreisteilungskörper. Für en Gra er Körpererweiterung gilt [Q (ζ n : Q] = ϕ (n. Analog zu en imaginärquaratischen Zahlkörpern soll wir auch im Kreisteilungskörper eine Kettenbruchentwicklung nach nächsten Ganzen efiniert weren. Die Ganzheitsringe lassen sich nach [Neu9, S. 63] wie folgt bestimmen: Satz. Für en Kreisteilungskörper K = Q (ζ n gilt O K = Z [ζ n ]. Einige er Kreisteilungskörper haben wir inirekt schon behanelt. Für n = bzw. n = gilt ϕ (n =. Die azugehörigen Kreisteilungskörper sin er Körper Q er rationalen Zahlen selbst. Für reelle bzw. rationale Zahlen gibt es auf jeen Fall eine konvergente Kettenbruchentwicklung nach nächsten ganzen Zahlen. Für n = 3, n = 4 bzw. n = 6 gilt ϕ (n =. Die entsprechenen Kreisteilungskörper sin als einzige auch quaratische Zahlkörper. Jee natürliche Zahl n N lässt sich nämlich schreiben als n = ν u mit ν N 0 un einer ungeraen Zahl u N. Aufgrun 4

er Multiplikativität er ϕ-funktion gilt ϕ (n = ϕ ( ν ϕ (u = ν ϕ (u. Der Wert er ϕ-funktion ist also genau ann kleiner-gleich, wenn n höchstens urch oer einmal urch eine ungerae Primzahl kleiner-gleich 3 teilbar ist. Daher ist ϕ (n für n,, 3, 4, 6. Der Ganzheitsring von Q (ζ 4 = Q (i ist er Ring er ganzen gaußschen Zahlen, er Ganzheitsring von Q (ζ 3 = Q (ζ 6 = Q ( i 3 ist er Ring er Eisensteinzahlen. Diese Fälle sin von Aolf Hurwitz ([Hur88] bereits behanelt woren. 7. Scheitern er Hurwitzschen Methoe Möchte man ie Kettenbruchentwicklung nach nächsten Ganzen im Sinne von Hurwitz auf Kreisteilungskörper höheren Körpererweiterungsgra als übertragen, so stößt man auf as Problem, ass ie Diskreitheitsbeingung (D aus Abschnitt 5. nicht erfüllt ist. Sei im Folgenen n größer als 6. Es gilt: ζ n = + ζ n ζ n Re (ζ n = ( π = cos <, n a für alle n > 6 gilt, ass cos ( π n <. Ist n = 5, so folgt + ζ5 3 = + ζ5ζ 3 5 3 Re ( ζ5 3 = ( 6 = + cos 5 π = 0, 68... <. Mit en ganzen Zahlen ζ n O Q(ζn für n > 6 bzw. + ζ 3 5 O Q(ζ5 liegen auch alle ihre Potenzen in er Einheitskreisscheibe. Das wierspricht er Diskretheitsbeingung (D. 5

7.3 Abwanlung er Kettenbruchentwicklung Der Kettenbruchalgorithmus nach nächsten ganzen Zahlen bearf in höhergraigen Körpererweiterungen also einer Abwanlung. Wir halten uns ennoch, soweit es geht, an ie Methoe von Hurwitz un ie Notation aus Abschnitt 6.. Parkettierung nach nächsten halbganzen Zahlen: Bezeichnet g en Gra er Körpererweiterung, so soll ie komplexe Zahlenebene sofern g eine gerae Zahl ist mit g vielen Gittern überlagert weren. Einer beliebigen komplexen Zahl z weren so in einem ersten Schritt g viele ganze Zahlen zugeornet. Als Teilnenner es Kettenbruchs verwenet man schließlich eren arithmetisches Mittel. So erhält man eine regelmäßige Kettenbruchentwicklung nach gebrochen-ganzen Zahlen. Erweitert man ie Teilbrüche b entsprechen mit Zweierpotenzen, so entsteht zuminest bei enlichen Kettenbrüchen eine unregelmäßige Kettenbruchentwicklung nach ganzen Zahlen. Besitzt ie natürlich Zahl n ie kanonische Primfaktorzerlegung n = p ν... p νm m paarweise verschieenen Primteilern p j für j =,..., m, so gilt aufgrun er Multiplikativität er ϕ-funktion ϕ (n = m ϕ ( p ν j m j = p ν j j (p j. Besitzt n einen j= ungeraen Primteiler p, so ist ϕ (n gerae, a p gerae ist. Besitzt n agegen keinen ungerae Primteiler, so gilt n = ν für ein ν N, un wegen ϕ ( ν = ν ist in iesem Fall ϕ (n für ν gerae. Somit sin ie Werte ϕ (n für n 3 stets gerae Zahlen. Die obige Methoe ist aher zuminest für Kreisteilungskörper wohlefiniert. Aus Grünen er Symmetrie sei ies im Folgenen er achte Kreisteilungskörper Q (ζ 8 mit ϕ (8 = 4. Ziel er folgenen Überlegungen ist es zu zeigen, ass eine solche Kettenbruchentwicklung für en achten Kreisteilungskörper tatsächlich konvergiert. Für en Ganzheitsring O Q(ζ8 = Z [ζ 8 ] wähle man ie Ganzheitsbasis {, i, ζ 8, ζ 8 }. Das erste Gitter sei G := Z+Zi. Seine Gitterpunkte sollen urch (a, b := a+bi bezeichnet weren. Man parkettiere hierzu ie komplexe Zahlenebene mittels er Geraen x = ±, ± 3, ± 5,... un y = ±, ± 3, ± 5,... in Quarate, un man orne jeer komplexen Zahl en Mittelpunkt esjenigen Quarates zu, in em sie liegt; von en Ränern es j= mit 6

Quarates weren jeweils ie zwei Seiten mit kleinerem Achsenabschnitt zum Quarat azugerechnet. Im (, Re Abbilung 6: Gitter G Das zweite Gitter sei G := Zζ 8 +Zζ 8. Analog sollen ie Gitterpunkte urch (c, := cζ 8 +ζ 8 bezeichnet weren. Die Gitterlinien sin hierbei x±y = ±, ± 3, ± 5...; auch hier wir jeer komplexen Zahl er Mittelpunkt esjenigen Quarates zugeornet, in em sie liegt, wobei ie zwei Seiten mit kleinstem Orinatenabschnitt zum jeweiliegen Quarat gerechnet weren. Auf iese Weise wir einer komplexen Zahl x eine ganze Zahl (a, b un eine ganze Zahl (c, zugewiesen. Als Teilnenner a wir ann ie halbganze Zahl (a, b, c,, = a + bi + cζ 8 + ζ 8 zugeornet, ie sich als arithmetisches Mittel er beien ganzen Zahlen errechnet. Durch ie Übereinanerlagerung er beien Gitter entstehen neue Gebiete unregelmäßiger Größe. Die nicht weiter unterteilten Gebiete weren als Zellen Z ( (a, b, c,, bezeichnet bzgl. er halbganzen Zahl, er ie komplexen Zahlen im Gebiet jener Zelle zugewiesen weren. 7

Im (, 0 Re (0, Abbilung 7: Gitter G Unmögliche Teilnenner: Aufgrun ieser Zuornung liegt x n b n in em 4-Eck P mit em Mittelpunkt 0, as urch ie Geraen x = ±, y = ±, x = ± ( + 4 4, y = ± ( + ( 4 4, y ± x = ± + 4 un x ± y = ± begrenzt wir. Daher liegt x n+ = x n b n im Bereich R := P. Somit können folgene halbganze Zahlen nie als Teilnenner vorkommen: (0, 0, 0, 0,, (±, 0, 0, 0,, (0, ±, 0, 0,, (0, 0, ±, 0,, (0, 0, 0, ±,, (±, 0, 0, ±,, (±, 0, ±, 0,, (0, ±, ±, 0,, (0, ±, 0,,, (±, 0, ±, ±,, (±, ±, ±, 0,, (0, ±, ±,,, (±,, ±0, ±,, (±, ±, ±, ±,, (±, ±, ±,,, (, ±, ±,,, (±,, ±, ±,, (±, ±, ±, ±,, (±, ±, ±, ±,, (±, ±, ±,,, (±, ±, ±,,, (, ±, ±,,, (, ±, ±,,, (, ±,,,, (, ±,,,. Unmögliche Teilnennerfolgen: Nun untersuchen wir einige Beschränkungen er Teilnennerfolge (b n n N, sofern sie für en späteren Konvergenzbeweis von Nöten sin. Angenommen, es sei b n = (, 0,,,, ann liegt x n+ in er Zelle Z ( (, 0,,,. Wegen x n+ = x n b n muss x n b n in Z ( (, 0,,, liegen. Dies ist jenes Gebiet, as 8

Im (, 0,,, P Re (,,,, R von K 6 ( 6 Abbilung 8: Überlagerung er Gitter G un G ( + 6 i, K 6 6 6 i, x±y = un x = + 4 4 eingeschlossen wir. Das Gebiet Z ( (, 0,,, schneiet ie x-achse also in x = 3. Die Zellen Z ( (, 0,,,, Z ( (,, 0,,, Z ( (,,, 0,, Z ( (,, 0,, un Z ( (,,, 0, haben allerings von ihrem Gitterpunkt zum Zellenran in x-richtung einen Abstan, er größer als 3 ist. Durch analoge Betrachtungen erhalten wir Beschränkungen für ie Vorgänger von b n = (,,,,. Folgene Teilnennerfolgen sin nicht möglich: 9

(,,, b n b n+ (, 0,,,, (,, 0,,, (, 0,,, (,,, 0,, (,, 0,,, (,,, 0, (, 0,,,, (,, 0,,, (,, 0,,, Tabelle : Unmögliche Teilnennerfolgen Konvergenzbeweis: Da für alle n N ie Zahl x n b n in P liegt, gilt x n = x n b n + 4 4. Wie in Abschnitt 6 setze man weiterhin kn := qn q n. Dann ist für ie Konvergenz er Kettenbruchentwicklung noch zu zeigen, ass für alle n N gilt k n >. Dies wir mit vollstäniger Inuktion bewiesen. Für k = b gilt ies offensichtlich, a b n R für alle n N gilt. Sei nun k >, k >,..., k n > für ein beliebiges n N. Die Annahme, ass k n gilt, wir zu einem Wierspruch geführt. Da k n = b n + k n im Kreis K (b n un außerem in er Einheitskreisscheibe K liegt, a k n gilt, kann b n nur einer er folgenen Werte sein: (±, 0, ±, ±,, (±, ±, ±, 0,, (0, ±, ±,,, (, ±, 0,,. Aus Symmetriegrünen sei o.b..a. b n = (, 0,,, = +. Es liegt also kn = b n + k n im Schnitt von K un K ( (, 0,,,. Deshalb fällt k n = k n b n in en ( Schnitt von K un K (, 0,,,. Folglich liegt kn = k n b n = b n + k ( ( n im Äußeren es Einheitskreises K un im Inneren von K 7( +4 7 3, ies entspricht em grün gefärbten Bereich in er Abbilung 8. Wegen k n > liegt k n auch in K (b n, somit kann b n nur einen er folgenen Werte annehmen: (, 0,,,, (,,, 0,, (,, 0,,, (,, 0,,, (,,, 0,, (,,,,, (,,,,. Laut er Tabelle unmöglicher Teilnennerfolgen kommen für b n nur in Frage: (,,,,, (,,,,. Aus Grünen er Symmetrie sei o.b..a. b n = (,,,,. ( ( Folglich liegt k n = b n + k n in er Kreisschreibe K 7( +4 7 3 un in ( K (,,,,. Deshalb fällt k n = k n b n in en Einheitskreis sowie in 30

( ( en Kreis K 7( +4 ( 7 5 + 9 4 + + i K0,53 (, 7 + 0, 85i un somit befinet sich k n im Äußeren es Einheitskreises un im Kreis K 0.3 (0, 65 + 0, 47i, ies entspricht em braun gefärbten Bereich in er Abbilung 8. Die Zahl k n = b n + k n 3 kommen für b n nur folgene Werte in Betracht: (,, 0,,, (,, 0,,, (, 0,,,. liegt jeoch auch in er Kreisscheibe K (b n. Daher Diese Werte sin aber alle nach er Tabelle unmöglicher Teilnennerfolgen auszuschließen. Somit ist er gewünschte Wierspruch erreicht un ie Konvergenz er Kettenbruchentwicklung im achten Kreisteilungskörper erbracht. Wir können also schließen: Satz 3. Im achten Kreisteilungskörper ist eine Kettenbruchentwicklung nach nächsten halbganzen Zahlen im oben beschriebenen Sinne möglich. Nach [Len75, S. 457] ist er Ganzheitsring es achten Kreisteilungskörper normeukliisch. Zum Schluss stellt sich natürlich ie Frage, ob auch in aneren Kreisteilungskörpern, eren Ganzheitsringe normeukliisch sin, eine Kettenbruchentwicklung möglich ist. Die in ieser Arbeit vorgestellte Methoe er Kettenbruchentwicklung urch Überlagerung von Gittern un Parkettierungen, ie ich auf er Grunlage er Vorgehensweise von Hurwitz un Gintner entwickelt habe, könnte azu vielleicht eine Antwort bieten. 3

Literatur [Bac7] Paul Bachmann. Die Lehre von er Kreistheilung un ihre Beziehungen zur Zahlentheorie. Leipzig: B. G. Teubner, 87. [Bow56] Elenore Smith Bowen. Return to Laughter. Lonon: Reaers Union, 956. [Dic7] [Gin36] [Hur88] [Hur95] [Len75] [MSP] [Neu9] [Per3] Leonar Eugene Dickson. Algebren un ihre Zahlentheorie. Zürich, Leipzig: Orell Füssli, 97. Hile Gintner. Ueber Kettenbruchentwicklung un über ie Approximation von komplexen Zahlen. Diss. Wien: Universität Wien, 936. Aolf Hurwitz. Über ie Entwicklung complexer Grössen in Kettenbrüche. In: Acta mathematica (888, S. 87 00. Julius Hurwitz. Über eine besonere Art er Kettenbruch-Entwicklung complexer Grössen. Diss. Halle a. S.: Vereinigte Frierichs-Universität Halle- Wittenberg, 895. H. W. Lenstra. Eucli s Algorithm in Cyclotomic Fiels. In: Journal of the Lonon Mathematical Society s-0.4 (975, S. 457 465. Stefan Müller-Stach un Jens Piontkowski. Elementare un algebraische Zahlentheorie. Ein moerner Zugang zu klassischen Themen.. Aufl. Vieweg + Teubner, 0. Jürgen Neukirch. Algebraische Zahlentheorie. Berlin, Heielberg, New York, Lonon, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Buapest: Springer, 99. Oskar Perron. Quaratische Zahlkörper mit Eukliischem Algorithmus. In: Mathematische Annalen 07 (93, S. 498 495. [Per54] Oskar Perron. Die Lehre von en Kettenbrüchen. 3. Aufl. B.. Stuttgart: B. G. Teubner, 954. 3

Erklärung zur wissenschaftlichen Relichkeit Ich versichere hiermit, ass ich ie vorliegene Arbeit in allen Teilen selbststänig verfasst un keine aneren als ie von mir angegebenen Publikationen, Vorlagen un Hilfsmittel welcher Art auch immer benutzt un verwenet habe. Ich versichere, ass ich ie vorliegene Arbeit bisher oer gleichzeitig keiner aneren Prüfungsbehöre mit er Folge er Verleihung eines akaemischen Graes vorgelegt habe. Ich versichere, ass ich iese Arbeit niemanem überlassen were, er ie Absicht hat, iese aneren gegenüber ganz oer teilweise als seine eigene auszugeben. Würzburg, en 5. Juli 03 Hans Höngesberg 33