Weitere Anwendungen von ganzrationalen Funktionen 1.0 Um Obstkisten aus Pappe erzustellen, werden aus recteckigen Kartonplatten (Länge 16 dm, Breite 1 dm) an den vier Ecken jeweils Quadrate abgescnitten. Anscließend werden die Seitenteile so gefaltet, dass doppelwandige Seiten mit der Höe x entsteen (siee Skizze): 1.1 Ermitteln Sie das olumen einer solcen Obstkiste in Abängigkeit von irer Höe x (möglices Ergebnis: (x) 16 x 3 11 x + 19 x; Eineiten können ignoriert werden) und geben Sie eine im Saczusammenang sinnvolle Definitionsmenge D an. 1. Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion einscließlic irer ielfaceiten. 1.3 Das olumen wird für eine Höe von (etwa) x 1,1 am größten. Berecnen Sie dieses größte olumen (runden Sie auf eine ganze Zal). 1. Skizzieren Sie den Grap von im Bereic 0 x 3 mit Hilfe aller biserigen Ergebnisse. 1.5 Berecnen Sie auf Dezimalen genau, für welce Höen x das olumen größer als 6 (dm 3 ) ist. (nac einem Absclussprüfungs-Nactermin).0 Eine Holzkugel mit dem Durcmesser d 0 cm soll so abgescliffen werden, dass ein Zylinder entstet: r d.1 Zeigen Sie, dass für den Rauminalt des Zylinders (in cm 3 ) in Abängigkeit von seiner Höe (in cm) gilt: () ( 3 + 00 ) und geben Sie eine im Zusammenang der Aufgabenstellung sinnvolle Definitionsmenge D an.. Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion einscließlic irer ielfaceiten..3 Das olumen wird für eine Höe von (etwa) 1 am größten. Berecnen Sie dieses größte olumen (runden Sie auf eine ganze Zal).. Skizzieren Sie den Grap von im Bereic 0 0 mit Hilfe aller biserigen Ergebnisse..5 Berecnen Sie auf Dezimalen genau, für welce Höen das olumen größer als 198 (cm 3 ) ist.
3.0 Ein zylinderförmiger Käselaib (Radius r, Höe ) soll in einer großen Scüssel gelagert werden, deren Querscnitt parabelförmig ist. Der obere Rand des Käselaibs soll dabei mit dem oberen Rand der Scüssel (y ) bündig abscließen, unten liegt der Käselaib auf der Scüssel auf (Punkt P in Skizze). 5 y r G p 3 1 P(r y P ) 0-6 -5 - -3 - -1 0 1 3 5 6-1 Die Parabel p at den Funktionsterm p(x) 0,16 x und die Definitionsmenge D p [-5;5] (alle Maße in dm; auf Eineiten kann im Folgenden verzictet werden.) 3.1 Berecnen Sie die Höe des Käselaibs in Abängigkeit von seinem Radius r und damit sein olumen (möglices Ergebnis: (r) 0,16 ( r + 5 r ) ) und geben Sie eine im Zusammenang der Aufgabenstellung sinnvolle Definitionsmenge D an. 3. Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion einscließlic irer ielfaceiten. 3.3 Das olumen wird für einen Radius von (etwa) r 3,5 am größten. Berecnen Sie dieses größte olumen (runden Sie auf eine Nackommastelle). 3. Skizzieren Sie den Grap von im Bereic 0 r 5 mit Hilfe aller biserigen Ergebnisse. 3.5 Berecnen Sie auf Dezimalen genau, für welce Radien r das olumen größer als 3,8 (dm 3 ) ist..0 Ein Scildkrötenbesitzer baut für seine Landscildkröte ein Terrarium mit einem quaderförmigen lictdurclässigen Dac der Breite a, der Länge a und der Höe. Dieses wird auf eine geeignetes Fundament gesetzt. Die lictdurclässige Oberfläce soll m betragen. Füren Sie die folgenden Recnungen one Eineiten durc. x a a.1 Bestimmen Sie das olumen (a) des Daces in Abängigkeit von a. 3 (möglices Ergebnis: (a) a a ) 3 3. Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion einscließlic irer ielfaceiten und geben Sie eine im Saczusammenang sinnvolle Definitionsmenge D an..3 Das olumen wird für eine Breite von (etwa) a 0,8 am größten. Berecnen Sie dieses größte olumen (runden Sie auf drei Nackommastellen).. Skizzieren Sie den Grap von im Bereic 0 a 1,5 mit Hilfe aller biserigen Ergebnisse..5 Berecnen Sie auf Dezimalen genau, für welce Breiten a das olumen größer als 3 (m 3 ) ist. (nac Absclussprüfung 010 AI)
5.0 Die Gebürenordnung des Paketdienstes Paket Aoi entält folgende Klausel: Bei Päckcen in Zylinderform darf die Summe aus der Höe des Zylinders und dem Durcmesser d des Grundkreises 10 dm nict überscreiten. Auf Eineiten wird im Folgenden verzictet! 5.1 Berecnen Sie das olumen (d) eines solcen Päckcens, wenn die in der Gebürenordnung 1 3 erwänte Summe genau 10 dm beträgt (möglices Ergebnis: (d),5d d ). Geben Sie auc eine geeignete Definitionsmenge an. 5. Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion einscließlic irer ielfaceiten. 5.3 Das olumen wird für einen Durcmesser von (etwa) d 6,5 am größten. Berecnen Sie dieses größte olumen (runden Sie auf eine ganze Zal). 5. Skizzieren Sie den Grap von im Bereic 0 d 10 mit Hilfe aller biserigen Ergebnisse. 5.5 Berecnen Sie auf Dezimalen genau, für welce Durcmesser d das olumen größer als 8 (dm 3 ) ist. (nac Absclussprüfung 009 AII)
Lösungen 1.1 b ; aus der x; 16 x; b 1 x (doppelwandig!) alles einsetzen: (x) (16 x) (1 x) x... 16x 3 11x + 19x (Klammern nict vergessen!) > 0 x > 0 und b > 0 1 x > 0 x < 3 (und > 0 16 x > 0 x < ) damit: D ]0;3[ 1. 16x 3 11x + 19x 0 16x (x 7x + 1) 0 x 1 0 oder x 7x + 1 0 x,3 7 ( 7) 1 1 7 1 x 3 (; x 3 ) alle einfac 1 oder scneller: (16 x) (1 x) x 0 16 x 0 oder 1 x 0 oder x 0 (x 1 ;) x 3; x 3 0 alle einfac 1.3 (1,1) 16 1,1 3 11 1,1 + 19 1,1 97 1. x 1.5 16x 3 11x + 19x > 6 16x 3 11x + 19x 6 > 0 x 3 7x + 1x > 0 Gleicung lösen: x 3 7x + 1x 0 durc Probieren: x 1 ; Polynomdivision: (x 3 7x +1x ):(x ) x 5x + x 5x + 0 x,3 5 ( 5) 1 1 5 17 x 0, (; x 3,56 D ) (oder Skizze in 1. verwenden!) x Das olumen ist größer als 6 (dm 3 ) für eine Höe zwiscen etwa 0, und (dm).
.1 r ; r ist noc unbekannt! aus der (r) + d 0 (Satz des Pytagoras; Klammern nict vergessen!) r + 00 r 00 00 ; einsetzen: () ( 3 + 00 ) 00 > 0 und r > 0 > 0... < 0; oder einfac aus Skizze ablesen: < d, also < 0! damit: D ]0;0[. ( 3 + 00 ) 0 3 + 00 0 ( 00) 0 ( + 0) ( 0) 0 1 0; 0 (; 3 0) alle einfac.3 (1) ( 1 3 + 00 1) 768 13..5 ( 3 + 00 ) > 198 3 + 00 > 79 3 00 + 79 < 0 Gleicung lösen: 3 00 + 79 0 durc Probieren: 1 ; Polynomdivision: ( 3 + 0 00 + 79):( ) + 396 + 396 0,3 1 ( 396) 1 1588 18,9 (; 3 0,9 D ) (oder Skizze in. verwenden!) Das olumen ist größer als 198 (cm 3 ) für eine Höe zwiscen und etwa 18,9 (cm).
3.1 r ; ist noc unbekannt! aus der y P ; P liegt auf der Parabel, der x-wert von P ist r y P 0,16 r 0,16r einsetzen: (r) r ( 0,16r ) 0,16 ( r + 5 r ) (Klammern nict vergessen!) r > 0 und > 0 0,16r > 0... r < 5; oder einfac aus Skizze ablesen: r < Scüsselradius! damit: D ]0;5[ 3. 0,16 ( r + 5 r ) 0 r + 5 r 0 r (r 5) 0 r (r + 5) (r 5) 0 r 1, 0 doppelt; r 3 0 (; r 5) beide einfac 3.3 (3,5) 0,16 ( 3,5 + 5 3,5 ),99 78,5 3. r 3.5 0,16 ( r + 5 r ) > 3,8 r + 5r > r 5r + < 0 Gleicung lösen: r 5r + 0 Substitution: u r u 5u + 0 u 1, (beide einfac) 5 ( 5) 1 1 5 3 u 1 ; u 1 Resubstitution: r u 1) r r 1,9 ) r 1 r 1 (nur + wegen D!) r (oder Skizze in 3. verwenden!) Das olumen ist größer als 3,8 (dm 3 ) für einen Radius zwiscen 1 und etwa,9 (dm).
.1 b a a a ; ist noc unbekannt! Oberfläce: a a + a + a a + 6a (beacte: kein Boden!) 6a a a 1 a 6a 3a 3 einsetzen: (a) a 1 3 a a a 3a 3 3 3 3. a a 0 a ( a ) 0 a 1 0 einfac oder a 0 a,3 beide einfac 3 3 3 Nullstellen verwenden D ]0; [ (beacte: im Gegensatz zu sonst muss ier a 0 ausgesclossen werden, da die Höe für a 0 nict definiert wäre!) a oder: a > 0 und > 0 > 0 6a a > 0 (Ungleicung nict umdreen, da a > 0!) 6a a < (nur +, da a > 0!).3 (0,8). 3 0,8 0,8 0,75 3 3 a 3.5 a a > 3 a a > 0 a a 3 > 0 a 3 a + 1 < 0 3 3 3 3 3 3 Gleicung lösen: a 3 a + 1 0 durc Probieren: a 1 1; Polynomdivision: (a 3 + 0a a + 1):(a 1) a + a 1 a + a 1 0 a,3 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 5 a 0,6 (; a 3 1,6 D ) (oder Skizze in. verwenden!) a Das olumen ist größer als 3 (m 3 ) für eine Breite zwiscen etwa 0,6 und 1 (m).
5.1 r ; r und müssen durc d ausgedrückt werden! d bekannt: r ; in Aufgabe gegeben: + d 10 10 d d 1 3 beides einsetzen: (10 d)...,5d d d > 0 und > 0 10 d > 0 d < 10; damit: D ]0;10[ 1 3 5.,5d d 0,5d 1 d 3 1 0 d ( 10 + d) 0 d 1, 0 doppelt; d 3 10 einfac 1 3 5.3 (6,5),5 6,5 6,5 36,96875 116 5. d 1 3 1 3 5.5,5 6,5 6,5 > 8,5d d > 8 d 3 10d + 3 < 0 Gleicung lösen: d 3 10d + 3 0 durc Probieren: d 1 ; Polynomdivision: (d 3 10d + 0d + 3):(d ) d 8d 16 d 8d 16 0 d,3 8 ( 8) 1 ( 16) 1 d 8 18 d 9,7 (; d 3 1,7 D ) (oder Skizze in 5. verwenden!) Das olumen ist größer als 8 (dm 3 ) für einen Durcmesser zwiscen und etwa 9,7 (dm).