Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Informationstechnik Lehrgruppe Grundlagen der Elektrotechnik Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik 1. Versuchsbezeichnung GET 10: Fourieranalyse 2. Standort In unseren Laboren im Helmholtzbau H2546, H2547, H2548 und H2549. 3. Ziel und Inhalt Verifizierung der Ergebnisse der klassischen Fourierreihenentwicklung periodischer Funktionen durch Vergleich mit den Spektren der FFT-Funktion eines Digitalspeicheroszilloskops. Berechnung und Messung der Kenngrößen Mittelwert, Effektivwert und Klirrfaktor verschiedener Kurvenformen. Kennenlernen von linearen und nichtlinearen Verzerrungen. Nicht Gegenstand der Untersuchung sind die Unterschiede zwischen klassischer Fourieranalyse und FFT. 4. Vorausgesetztes Wissen - Prinzipieller Aufbau und Bedienung eines Oszillografen, d.h. Durchführung des Versuches GET2 Digitalspeicheroszilloskop. - Kennwerte periodischer Wechselgrößen, insbesondere Mittelwert, Effektivwert und Klirrfaktor. - Rechnung mit relativen und absoluten Spannungspegeln in Dezibel. - Berechnung der Koeffizienten der Fourierreihe und daraus die Koeffizienten (Amplituden und Phasenwinkel) der reellen Fourierreihe. - Lineare und nichtlineare Verzerrungen. 5. Literatur und Material zur Vorbereitung Vorlesungs- und Übungsunterlagen der Elektrotechnik 2. Lehrbuch Seidel/Wagner: Allgemeine Elektrotechnik Band 2, Unicopy Campus Edition, Ilmenau 2011. Lernprogramm Fourier-Reihen im LearnWeb von GETsoft. Versuch GET 10 Fourieranalyse (16.03.2018) Seite 1 von 7
6. Vorbereitung Zum Zeichnen der Kurven bei der Versuchsdurchführung drucken Sie sich das Blatt Oszibildschirm TBS1102B aus den Vorlagen im LabWeb von GETsoft einmal aus. 6.1. Fourierreihe und reelle Fourierreihe Geben Sie die allgemeine Darstellung der Fourierreihe (Normalform) sowie die Formeln zur Berechnung ihrer Koeffizienten a0, an und bn an. Geben Sie die allgemeine Darstellung der reellen Fourierreihe sowie die Formeln zur Berechnung ihrer Koeffizienten A0, An und φn aus den a0, an und bn der Normalform an. 6.2. Effektivwerte im Zeitbereich Berechnen Sie für die Rechteck-, Sinus- und Dreiecksfunktion nach Bild 1, sowie für den Halbwellensinus den Effektivwert im Zeitbereich entsprechend der Definitionsgleichung. U eff = 1 T u2 (t) dt 0 T Hinweis: Auf Grund der Symmetrie reicht es, die Dreiecksfunktion im Bereich von 0 bis T/4 zu integrieren und das Integral mit 4 zu multiplizieren, was den Aufwand erheblich reduziert. Bild 1: Schwingungsformen 6.3. Effektivwerte aus dem Spektrum Leiten Sie die Formel für die Berechnung des Effektivwertes aus dem Betragsspektrum ab, indem Sie die Normalform der Fourierreihe u(t) = a 0 + (a n cos(nω 1 t) + b n sin(nω 1 t)) n=1 Versuch GET 10 Fourieranalyse (16.03.2018) Seite 2 von 7
in die Definitionsgleichung für den Effektivwert einsetzen, entsprechend den Orthogonalitätsregeln vereinfachen und dann die a0, an und bn zu den Koeffizienten der reellen Fourierreihe A0 und An zusammenfassen. 6.4. Klirrfaktor aus dem Betragsspektrum Geben Sie die Formel für die Berechnung des Klirrfaktors aus dem Betragsspektrum der reellen Fourierreihe an. 6.5. Rechteckfunktion Geben Sie die Formeln für die Fourierkoeffizienten der rellen Fourierreihe für die Rechteckfunktion an, wie sie in Vorlesung und Übung berechnet wurde. 6.6. Halbwellensinus Geben Sie die Formeln für die Fourierkoeffizienten der rellen Fourierreihe für den Halbwellensinus der Einweggleichrichtung an, wie sie in Vorlesung und Übung berechnet wurde. 6.7.1. Dreieckfunktion Berechnen Sie die Fourierreihe und daraus die reelle Fourierreihe für die Dreiecksfunktion. Benutzen Sie die Symmetriebeziehungen zur Vereinfachung der Rechnung. 6.7.2. Klirrfaktor der Dreiecksfunktion Berechnen Sie den Klirrfaktor der Dreiecksschwingung aus dem Betragsspektrum der reellen Fourierreihe unter Zuhilfenahme des Grenzwertes: 1 n 4 n = π4 96 für n = 1, 3, 5, 7, 9,, 6.8. Übertragungsfunktion Tiefpass Leiten Sie die Formel für den Betrag der Übertragungsfunktion des Tiefpasses nach Bild 3 her. Berechnen Sie daraus den Betrag der Übertragungsfunktion in db. 7. Geräte und Baugruppen am Versuchsplatz - 1 Digitalspeicheroszillograf TBS1102B - 1 Funktionsgenerator HMF2550-1 LCR-Messgerät HM8018-1 Netztransformator S30A/G 220V/6V - 1 Experimentiereinheit für Steckelemente - 1 Steckelementen Widerstand 330Ω - 1 Steckelement Kondensator 0.47µF - 1 Steckelement Diode Versuch GET 10 Fourieranalyse (16.03.2018) Seite 3 von 7
8. Aufgabenstellung und Versuchsauswertung Um genaue Werte zu erhalten achten Sie darauf, dass im Zeitbereich eine ganze Anzahl von Schwingungen auf dem Bildschirm sichtbar ist. Die Maximalwerte der Spannungen sollen den Bildschirm wenn möglich ausfüllen und nicht übersteuern. Für eine korrekte Transformation des Gleichanteils des Signals müssen sich die Zeitachsen der beiden Kanäle exakt auf der Nulllinie befinden. Die FFT-Funktion des Oszillografen berechnet nur das Betragsspektrum der reellen Fourierreihe. Das Phasenspektrum wird nicht ausgegeben. Der Praktikumsassistent weist Sie in die Bedienung der FFT-Funktion des Oszilloskops ein. Die angegebenen Werte auf den der Bauelementen sind Nennwerte mit zum Teil erheblichen Abweichungen und müssen deshalb mit dem LCR-Messgerät bestimmt werden. 8.1. Kenngrößen und Spektrum einer harmonischen Schwingung Oszillografieren Sie eine sinusförmige Generatorspannung von 1000Hz im Kanal 1. Stellen Sie über die automatische Messfunktion die Spitzenwerte U max von 4, 2, und 1V ein. Notieren Sie die dazu angezeigte Effektivwerte U eff. Messen Sie im Spektrum die Spannung der Grundwelle A1. Berechnen Sie sowohl aus U max als auch aus A1 die Effektivwerte und vergleichen Sie diese mit den angezeigten Werten U eff 8.2. Kenngrößen und Spektrum einer Gleichspannung An den Eingang der Spitzenwertgleichrichtung nach Bild 2 legen Sie eine sinusförmige Generatorspannung U e von 1000Hz und oszillografieren diese im Kanal 1. Am Ausgang des Vierpols oszillografieren Sie die Gleichspannung U a im Kanal 2. Stellen Sie am Ausgang des Vierpols über die automatische Messfunktion die Spitzenwerte U max von 4, 2, und 1V ein. Notieren Sie den dazu angezeigten Mittelwert U mw und Effektivwert U eff. Messen Sie im Spektrum den Gleichanteil A0 und vergleichen Sie diesen mit Spitzen-, Mittel- und Effektivwert. Bild 2: Spitzenwertgleichrichtung Versuch GET 10 Fourieranalyse (16.03.2018) Seite 4 von 7
8.3. Kenngrößen der Netzspannung Oszillografieren Sie die Spannung am Ausgang des Netztransformators S30A/G 220V/6V im Kanal 1. Bestimmen Sie die Spitzenspannung U max, den Effektivwert U eff und die Netzfrequenz fn über die automatische Messfunktion des Oszillografen. Vergleichen Sie den angezeigten Effektivwert U eff mit dem aus der Spitzenspannung U max errechneten. Beurteilen Sie die Kurvenform der Netzspannung. Messen Sie im Spektrum die Spektrallinien A n bei n = 1, 3, 5, 7 und 9 aus. Berechnen Sie daraus näherungsweise den Klirrfaktor der Netzspannung. 8.4. Dreieckschwingung Oszillografieren Sie eine dreieckförmige Generatorspannung von 1000Hz im Kanal 1. Stellen Sie über die automatische Messfunktion eine Spitzenspannung U max = 5V ein und notieren Sie den dazu angezeigten Effektivwert U eff. Vergleichen Sie den angezeigten Effektivwert mit dem aus der Spitzenspannung errechneten. Messen Sie im Spektrum die Spektrallinien A n bei n = 1, 3, 5, 7 und 9 aus und vergleichen diese mit den theoretischen Werten der reellen Fourierreihe. Berechnen Sie aus den gemessenen A n näherungsweise den Klirrfaktor der Dreieckschwingung und vergleichen ihn mit dem in der Vorbereitung errechneten Wert. 8.5. Rechteckschwingung Oszillografieren Sie eine rechteckförmige symmetrische Generatorspannung von 1000Hz im Kanal 1. Stellen Sie über die automatische Messfunktion eine Spitzenspannung U max = 5V ein und notieren Sie den dazu angezeigte Effektivwert U eff. Vergleichen Sie den angezeigten Effektivwert mit dem aus der Spitzenspannung errechneten. Messen Sie im Spektrum die Spektrallinien A n bei n = 1, 3, 5, 7 und 9 aus und vergleichen diese mit den errechneten Werten der reellen Fourierreihe. 8.6. Übertragungsfunktion Tiefpass Bestimmen Sie die Werte der Bauelemente R und C mit dem LCR-Meßgerät HM8018. Bauen Sie den RC-Tiefpass nach Bild 3 auf. Legen Sie an den Eingang des Vierpols eine sinusförmige Generatorspannung U e mit U max = 5V und f1 = 1000Hz an und oszillografieren diese im Kanal 1. Oszillografieren Sie am Ausgang des Vierpols die Spannung U a im Kanal 2. Ermitteln Sie den Betrag der Übertragungsfunktion H n in db bei n*f1 mit n = 1, 3, 5, 7 und 9. Versuch GET 10 Fourieranalyse (16.03.2018) Seite 5 von 7
Berechnen Sie H n in db bei den o.g. Frequenzen aus der Formel von Punkt 6.8. der Vorbereitung und vergleichen Sie diese mit den gemessenen Werten. Bild 3: Tiefpass 8.7. Lineare Verzerrungen: Rechteck auf Tiefpass An den Eingang des RC-Tiefpass nach Bild 3 legen Sie eine symmetrische rechteckförmige Generatorspannung U e von U max = 5V und f1 = 1000Hz an und oszillografieren diese im Kanal 1. Am Ausgang des Vierpols oszillografieren Sie die Spannung U a im Kanal 2. Skizzieren Sie das Oszillogramm. Beurteilen Sie die Kurvenform der Eingangsspannung. Messen Sie das Spektrum der Eingangsspannung A ne und das der Ausgangsspannung A na bei n = 1, 3, 5, 7 und 9. Berechnen Sie daraus die Beträge der Übertragungsfunktion H n in db. Vergleichen Sie diese Werte mit den in 8.6. aus den Bauelementen berechneten. 8.8. Nichtlineare Verzerrungen: Einweggleichrichtung eines Sinus (Halbwellensinus) An den Eingang der Einweggleichrichtung nach Bild 4 legen Sie eine sinusförmige Generatorspannung U e mit f1 = 1000Hz an und oszillografieren diese im Kanal 1. Am Ausgang des Vierpols oszillografieren Sie die Spannung U a im Kanal 2. Stellen Sie am Ausgang in Kanal 2 über die automatische Messfunktion eine Spitzenspannung der Halbwellen von U max = 8V ein. Notieren Sie den Effektivwert U eff und den Mittelwert U mw der Halbwellenspannung. Messen Sie im Ausgangsspektrum die Spektrallinien A n mit n = 0, 1, 2, 4 und 6 aus und vergleichen diese mit den theoretischen Werten der reellen Fourierreihe. Versuch GET 10 Fourieranalyse (16.03.2018) Seite 6 von 7
Vergleichen Sie den Mittelwert U mw mit A 0. Berechnen Sie näherungsweise den Effektivwert aus den gemessenen A n und vergleichen Sie ihn mit dem unter 6.2. errechneten und mit dem mit der automatischen Messfunktion ermittelten. Bild 4: Einweggleichrichtung Versuch GET 10 Fourieranalyse (16.03.2018) Seite 7 von 7