Statistik 1 Beispiele zum Üben 1. Ein Kühlschrank beinhaltet 10 Eier, 4 davon sind faul. Wir nehmen 3 Eier aus dem Kühlschrank heraus. (a Bezeichne die Zufallsvariable X die Anzahl der frischen herausgenommenen Eier. Nennen Sie den Namen der Verteilung von X und geben Sie ihre Parameter an! (b Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. (c Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir zumindest 2 frische Eier nehmen? (d Bezeichne Y die Anzahl der faulen Eier. Wie ist Y verteilt? (e E(X + Y =?, V ar(x + Y =? Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X + Y! (f Geben Sie die Verteilung von X Y in Form einer Tabelle an! E(X Y =?, V ar(x Y =? Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X Y! 2. Wir werfen Würfel. Für jeden Sechser fällt, bekommen wir 3 Euro, für jede andere Augenzahl müssen wir 1 Euro bezahlen. (a Bezeichne die Zufallsvariable X die Anzahl der Sechser. Nennen Sie den Namen der Verteilung von X, geben Sie auch ihre Parameter an! (b Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. (c Sei G unser Gewinn. Geben Sie den Zusammenhang zwischen X und G an! (d E(G =?, V ar(g =? 3. Ein Freundeskreis besteht aus 8 Personen. Jede dieser Personen geht am Freitagabend mit derselben Wahrscheinlichkeit p aus.
(a Sei die Zufallsvariable X die Anzahl der ausgehenden Personen von dieser Gruppe. Nennen Sie den Namen der Verteilung von X. (b Gegeben E(X =.6, berechnen Sie den Wert des Parameters p. (c Bestimmen Sie die Varianz von X. (d Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Personen ausgehen? (e Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Ausgehenden größer ist als die Anzahl der zuhause Bleibenden? (f Gegeben, dass mindestens 6 von ihnen ausgegangen sind, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle ausgegangen sind? 4. Es hängen Schlüssel an unserem Schlüsselanhänger, aber wir haben keine Idee, welcher von denen unsere Haustür öffnet. (a Bezeichne die Zufallsvariable X die Anzahl der benötigten Versuche, bis wir ins Haus hineingehen können. (Wir nehmen an, dass die ausprobierten aber nicht passenden Schlüssel gemerkt werden können, demnach werden sie nicht mehrmals versucht. Geben Sie die Verteilung von X an und skizzieren Sie ihre Verteilungsfunktion! Wie nennt man diese Verteilung? (b E(X =?, V ar(x =? (c Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir genau beim fünften Versuch ins Haus hineingehen können? Und spätestens beim fünften Versuch? (d Nehmen wir nun an, dass die ausprobierten Schlüssel (z.b. wegen Dunkelheit NICHT gemerkt werden können. Was wären in diesem Fall die Antworten für die Fragen in Aufgabe (c. Was ist die höchstmögliche Anzahl der benötigten Versuche in diesem Fall?. Eine Fabrik produziert Holzlatten. Die Länge der Latten ist normalverteilt mit Parameterwerten m = 200 cm and = cm.
(a Wie könnte man argumentieren, dass diese Annahme theoretisch nicht richtig sein kann? (b Während Sie die folgenden Fragen beantworten, überlegen Sie, warum unsere Annahme praktisch betrachtet trotzdem ein vernünftiges Modell ist. (c Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten, dass eine von ihnen gekaufte Latte länger als 20, 210, 21 cm ist? (d Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die Länge einer von ihnen gekauften Latte zwischen 19 cm und 210 cm bzw. zwischen 18 cm und 21 cm fällt? (e Skizzieren Sie die Gaußsche Glockenkurve, die dieser Verteilung entspricht! Markieren Sie die in Aufgaben (c-(d gefragten Bereiche in der Figur! (f Jetzt kaufen wir zwei Latten von dieser Fabrik. Wie ist die Gesamtlänge dieser beiden Latten verteilt? (g Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtlänge der beiden Latten von ihrem Erwartungswert mehr als 1 cm abweicht? (h Kontrollieren Sie Ihre Antworten mit der Hilfe folgender Applikationen: http://elsenaju.info/funktionen/gauss-plotter.htm http://homepage.divms.uiowa.edu/ mbognar/applets/normal.html 6. Sei X normalverteilt mit Erwartungswert m = 10. Gegeben sei, dass P(X 20 = 0.9. (a Bestimmen Sie die Standard Abweichung von X! (b P(X 10 =?, P(X < 10 =?, P(X = 10 =? (c P(X {2, 9} =?, P(X [2, 9] =? (d P(X Z =? (Z bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen. (e Sei Y N(8, 2, unabhängig von X. P(X < 2Y =?
Lösungen (ohne Verteilungsfunktion Skizzen 1. (a X ist hypergeometrisch verteilt, mit Parameterwerten N = 10, M = 6, n = 3. (b E(X = M M ( n = 0.6 3 = 1.8, V ar(x = n N N 1 M N n N N 1 = 0.6. ( 6 ( 2 4 ( 1 + 6 ( 3 4 (c P(X 2 = P(X = 2 + P(X = 3 = ( 0 10 = 2 3. 3 (d Y Hypgeom(10, 4, 3. (e Man erkennt, dass X + Y 3, d.h., dass die Verteilung von X + Y eine deterministische oder degenerierte Verteilung ist. (Siehe Dirac-Verteilung. In anderen Wörtern P (X + Y = 3 = 1, daher E(X + Y = 3, V ar(x + Y = 0. (f Zuerst berechnet man die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion von X durch die Formel ( 6 4 k( P(X = k = 3 k ( 10 3, k = 0, 1, 2, 3. Wert von X 0 1 2 3 4 36 60 20 p 120 120 120 120 Dann überlegen wir die möglichen Werte von X Y und erkennen, dass die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten die selbe wie beim X sind. Wert von X Y 3 1 1 3 4 36 60 20 p 120 120 120 120 Bemerken wir, dass Y = 3 X, also X Y = 2X 3. Dann folgt: E(X Y = E(2X 3 = 2 1.8 3 = 0.6, V ar(x Y = V ar(2x 3 = 4 V ar(x = 4 0.6 = 2.24. 2. (a X BIN(, 1, d.h.: X ist binomialverteilt mit den Parametern n =, p = 1. 6 6 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X ist P(X = k = ( 1 ( k 6 k ( 6 k, k = 0, 1,...,. (b E(X = n p = 1 6 (c G = 3X ( X = 4X. 0.83. V ar(x = n p q = n p (1 p = 1 6 6 = 2 36 0.694.
(d E(G = 4 E(X = 1.67, V ar(g = 16 V ar(x 11.11. 3 3. (a X BIN(8, p, d.h.: X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 8, p noch unbekannt. (b E(X = n p = 8 p =.6 p = 0.7. (c V ar(x = n p q = n p (1 p = 8 0.7 0.3 = 1.68. ( (8 (d P(X 3 = 1 P(X 2 = 1 0.70 0.3 8 + ( 8 0.71 0.3 7 + ( 8 0.72 0.3 6 0.9887. 0 1 2 (e P(X = P(X 3 ( P(X = 3 + P(X = 4 ( (8 0.9887 3 0.73 0.3 + ( 8 4 0.7 4 0.3 4 0.809. (f P(X = 8 X 6 = P(X = 8 P(X 6 = ( 8 8 0.78 0.3 0 ( 8 6 0.76 0.3 2 + ( 8 7 0.77 0.3 1 + ( 8 8 4. (a X UNI{1, 2, 3, 4, }, d.h.: X ist diskret gleichverteilt auf {1, 2, 3, 4, }. (b E(X = 3, E(X 2 = 1 (12 +... + 2 = = 11, V ar(x = E(X 2 E 2 (X = 11 9 = 2. (c P(X = = 1, P(X = 1. (d Hier kommt eine andere Zufallsvariable Y vor. Y {1, 2,...}, daher hat Y keinen höchstmöglichen Wert. P(Y = = ( 4 4 1 = 0.08192. P(Y = 1 P(Y > = 1 ( 4 0.6723. (Im Falle von Interesse siehe auch die geometrische Verteilung. 0.78 0.3 0 0.104.. (c Mittels Standardisierung: ( X 200 20 200 P(X > 20 = 1 P(X 20 = 1 P = 1 φ(1 = 0.187, ( X 200 210 200 P(X > 210 = 1 P(X 210 = 1 P = 1 φ(2 = 0.0227, ( X 200 21 200 P(X > 21 = 1 P(X 21 = 1 P = 1 φ(3 = 0.0013. (d Mittels Standardisierung: ( 19 200 P(19 < X < 210 = P φ(2 + φ(1 1 = 0.8186, < X 200 < 210 200 = φ(2 φ( 1 =
( 18 200 P(18 < X < 21 = P 2 φ(3 1 = 0.9973. < X 200 < 21 200 = φ(3 φ( 3 = Allgemein gilt: ( P(m 3 < X < m + 3 = P 0.9973. 3 < X m < 3 = φ(3 φ( 3 = 2 φ(3 1 = Es bedeutet (als eine Faustregel, dass die Werte einer normalverteilten Zufallsvariable mit hoher Wahrscheinlichkeit ins Intervall ( m 3, m + 3 fallen. (e Z.B.: (f X und Y sind unabhängig und identisch verteilt: X, Y N(200,. Alle Linearkombinationen normalverteilter Zufallsvariablen sind auch normalverteilt. Was sind dann die Parameterwerte von X + Y? E(X + Y = E(X + E(Y = 400. Wegen der Unabhängigkeit der beiden Zufallsvariablen: V ar(x + Y = V ar(x + V ar(y = 2 + 2 = 0. Also X + Y N(400, 0. (g Mittels Standardisierung: P( X +Y 400 > 1 = 1 P( X +Y 400 < 1 = 1 P( 1 < X +Y 400 < 1 = ( 1 = 1 P < X + Y 400 < 1 2 2 φ(2.12 0.0340 0 0 0 6. (a Mittels Standardisierung:
( X 10 P(X 20 = P 6.08. 20 10 = 0.9, d.h. φ ( 10 = 0.9. 10 1.64 (b Auch ohne Standardisierung: P(X 10 = 1, weil die Normalverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert ist. 2 P(X = 10 = 0, weil jede reelle Zahl (es heißt auch: jeder mögliche Wert bei einer stetigen Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeit 0 angenommen wird. P(X < 10 = 1. (Der vorherigen Aussage zufolge gibt es bei stetigen Zufallsvariablen 2 keinen Unterschied zwischen den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse, die durch eine strikte bzw. die entsprechende nicht-strikte Ungleichung definiert sind. Siehe auch Seite 11-116 im Buch. (c P( {2, 9} = 0, weil {2, 9} eine Menge mit endlich vielen Elementen ist. P(X [2, 9] = P(2 X 9 ( 2 10 = P X 10 9 10 6.08 6.08 6.08 φ( 1.32 = φ(1.32 φ(0.16 0.343. φ( 0.16 (d P(X Z = 0, weil Z eine abzählbare Menge ist. (e Wie im Beispiel.(f: Die Zufallsvariable X 2Y ist eine Linearkombination zweier normalverteilter Zufallsvariablen, daher ist sie auch normalverteilt. Weiters sind X und Y unabhängig von einander, also die Varianzen lassen sich addieren. E(X 2Y = E(X 2 E(Y = 10 2 8 = 6, V ar(x 2Y = V ar(x + 4 V ar(y = 6.08 2 + 4 2 2 = 2.97, (X 2Y = 2.97 = 7.28. X 2Y N( 6, 7.28. Dann mittels Standardisierung: ( X 2Y + 6 P(X < 2Y = P(X 2Y < 0 = P 7.28 < 0 + 6 φ(0.82 0.7939. 7.28