Aufgaben und en Ausarbeitung der Übungsstunde zur Voresung Anaysis I Wintersemester 2008/2009
Übung 7 Eineitung Vor den übichen Fragen bezügich der Unkarheiten in dem Hausaufgabenbatt so eine 15-minutige Mikrokausur geschrieben werden. Wenn die Voresung nachgearbeitet wurde, soten mit der Bearbeitung der Aufgaben keine Probeme auftreten. Fogende Aufgaben werden gestet: i) ˆ Was ist eine Cauchyfoge? ˆ Was ist ein Häufungspunkt der Foge (a n )? ˆ Definieren Sie imes superior und imes inferior einer beschränkten Foge. ii) Weche dieser Aussagen ist richtig bzw. fasch? ˆ Jede konvergente Foge hat einen Häufungspunkt. ˆ Jede beschränkte Foge hat einen Häufungspunkt. ˆ Jede beschränkte Foge ist konvergent. ˆ Jede monotone beschränkte Foge ist konvergent. ˆ Jede beschränkte Foge hat eine konvergente Teifoge. ˆ Jede monotone Foge ist eine Cauchyfoge. ˆ Jede Cauchyfoge in R/C ist konvergent. Die Definitionen soten aus der Voresung bekannt sein, die Antworten aus die Fragen auch. Hier geben wir jedoch diese kurz an, Begründung kann aus der Voresung erarbeitet werden. ˆ wahr (den Grenzwert) ˆ wahr (Bozano-Weierstraß und Satz 2.3.9) ˆ fasch (( 1) n ) ˆ richtig (Monotonie und Begrenzung müssen aber i. A. zueinander passen, aber beschränkt bedeutet, daß die Foge nach oben und unten beschränkt ist) ˆ wahr (Bozano-Weierstraß) ˆ fasch (a n = n ist monoton, aber nicht Cauchyfoge) ˆ wahr (Satz 2.3.7) 2
Wie bereits mehrmas erwähnt, ohnt es sich, die Voresung nachzuarbeiten, und zwar aus fogenden zusätzichen Gründen: Erstens, ist es für den Studiengang Bacheor wichtig, sofort mitzukommen, denn, wenn der Dipom-Studiengang noch die Mögichkeit bot, reativ kurz nach Studienbeginn den Stoff notwendigerweise nachzuarbeiten (Vor-Dipom!), besteht bei Bacheor-Studiengang diese Mögichkeit nicht. Somit ist man, nachdem man die Grundagen verpasst hat, später in einer mißichen Lage. Zweitens, können wir in den Übungsgruppen effizienter arbeiten, denn, wenn Begriffe kar/bekannt sind, werden wir nicht bei deren Kärung sich aufhaten, sondern können zum eigentichen Stoff kommen. Beim Begriff der Reihe so darauf hingewiesen werden, daß der Begriff der Konvergenz einer Reihe auf den Konvergenzbegriff für Fogen zurückgeführt wird, und zwar ist die Foge, die man untersucht, die Foge von Partiasummen. Wenn der Grenzwert dieser Foge existiert, schreibt man für diesen symboisch denseben Ausdruck wie für die Reihe sebst. Wichtig ist, bei der Untersuchung der Konvergenz von Reihen, daß, fas die Reihengieder sebst keine Nufoge biden, kann die Reihe bereits nicht konvergent sein. Fas aber die Reihengieder eine Nufoge biden, müssen weitere Untersuchungen erfogen (dazu sind Konvergenzkriterien für Reihen wichtiges Werkzeug), denn aus der Nufogen-Eigenschaft der Reihengieder fogt keinesfas die Konvergenz der Reihe, wie das Beispie der harmonischen Reihe zeigt. 3
Aufgaben Aufgabe 1 Beweisen oder wideregen Sie die fogende Aussage: Seien (a n ) und (b n ) Fogen mit Häufungspunkten a und b. Dann ist (a n + b n ) Foge mit Häufungspunkt a + b. Diese Aussage ist mit Hife einer der triviaen Fogen wideregbar: Man wähe, beispieweise, a n = ( 1) n und b n = ( 1) n+1. Dann haben beide Fogen die Häufungspunkte a = ±1 und b = ±1. Dann git: Die Foge a n + b n = 0 hat den Häufungspunkt 0, während a + b = 0, ±2 ergibt (je nach Wah von a und b). Es ist aso so, daß bei einer freien Wah der Werte von a und b der Häufungspunkt von (a n + b n ) nicht (a + b) ist. Aufgabe 2 Beweisen oder wideregen Sie die fogende Aussage: Seien (a n ) und (b n ) beschränkte Fogen, so git im (a n + b n ) im a n + im b n. n n n Dazu kann Aufgabe 2 auf dem aktueen Hausaufgabenbatt verwendet werden. Zunächst git, da (a n ) und (b n ) beschränkt sind, daß die Foge (a n + b n ) auch beschränkt ist. Damit hat sie einige Häufungspunkte (eventue auch nur einen) und die Menge aer Häufungspunkte ist beschränkt. Es fogt, daß c := im n (a n + b n ) existiert. Aus Aufgabe 2 auf dem aktueen Übungsbatt fogt: Für eine beschränkte Foge reeer Zahen (x n ) git: im x n = x 1. ε > 0 : x n < x + ε für fast ae n N n 2. x n > x ε für unendich viee n N. Sei nun a = im n a n, b = im n b n und ε > 0 vorgegeben. Aus a n + b n a + b + ε fogt: a n a+ ε oder b 2 n b+ ε. Das ist aber nur für endich viee n N mögich. Damit 2 git: im n (a n + b n ) im n a n + im n b n. Eine weitere Mögichkeit benutzt den Hinweis nicht, sondern führt auf direktem Wege zum Zie. Betrachte dazu die Teifoge (a nk +b nk ), die gegen c konvergiert. Für die Fogen (a nk ) n N bzw. (b nk ) n N git: sie sind Teifogen von (a n ) n N bzw. (b n ) n N. Man kann die Foge (n k ) k N so wähen, daß die Teifogen (a nk ) n N bzw. (b nk ) n N konvergieren (gegen irgendweche Häufungspunkte von (a n ) n N bzw. (b n ) n N ). Dann git: im (a n + b n ) = im (a nk + b nk ) = im a nk + im b nk im a n + im b n. n k k k n n Dabei fogt das zweite Geichheitszeichen aus den Rechenregen für konvergente Fogen. Streng genommen, wäre noch die Behauptung zu zeigen, daß man die Foge (n k ) k N so wähen kann, daß die Teifogen (a nk ) n N bzw. (b nk ) n N tatsächich konvergieren und dies keine Einschränkung darstet. Dies woen wir hier kurz vorführen. Da c = im n (a n + b n ) ein Häufungspunkt ist, existiert eine Teifoge (a n + b n ) nk = a nk +b nk mit c = im k (a nk +b nk ). Die Teifogen (a nk ) bzw. (b nk ) von (a n ) bzw. (b n ) 4
haben im Agemeinen Häufungspunkte. Dann fogt, daß wiederum Teifogen existieren (man beachte die Indizierung!), nämich (a nk ) von (a nk ) (und damit auch von (a n )) und (b nk m ) von (b nk ) (und damit auch von (b n )), mit der Eigenschaft, daß sie konvergieren und zwar gegen einen bestimmten Häufungspunkt a von (a nk ) bzw. b von (b nk ). Da diese Grenzwerte Häufungspunkte der Fogen (a n ) bzw. (b n ) sind, git stets: a im n a n und b im n b n. Ist nun der Durchschnitt der Indexmengen der Teifogen (a nk ) und (b nk m ) eer, so setze: n k = n k = n k m (dies bedeutet einfach eine Umbenennung der Indexvariaben). Wenn aber der Durchschnitt der Indexmengen nicht eer ist, so wähe man von den konvergenten Fogen (a nk ) und (b nk m ) gegen dieseben Grenzwerte a und b konvergierenden Teifogen (a nk ) und (b nk ) so, daß n k = n m k m, d. h. die Indizes der neuen Teifogen soen im Durchschnitt der Indexmengen von (a nk ) und (b nk ) iegen m (anschauich ist dies das Wegstreichen der Fogengieder von (a nk ) und (b nk ) derart, m daß, wenn man die ursprüngichen Fogen übereinander in Zeien aufschreibt, nur die für (a nk ) und (b nk ) übrig beiben, die übereinander nach dem vorherigen Wegstreichen m stehen). Dann setze: n k = n k = n k m. Damit sind wir fertig. Bemerkung Es wurde mehrmas der Satz 2.3.9 benutzt. Man mache sich außerdem kar, daß jede Teifoge einer konvergenten Foge gegen denseben Grenzwert, wie die Foge sebst, konvergiert. Aufgabe 3 Beweisen oder wideregen Sie die fogende Aussagen für Fogen (a n ): i) Ist (a n ) konvergent, so ist a n a n+1 eine Nufoge. ii) Ist a n a n+1 eine Nufoge, so ist (a n ) konvergent. Die erste der beiden Aussagen ist richtig, die zweite fasch. i) Wir bemerken zuerst, daß definitionsgemäß: x, y R : x y = y x. Nun fogt der eigentiche Beweis der Richtigkeit dieser Aussage. Da (a n ) konvergent ist, git: ε > 0 n 0 N sodaß a n a < ε 2 n N mit n n 0. Dann fogt: a n a n+1 = a n a+a a n+1 a n a + a a n+1 = a n a + a n+1 a < ε 2 +ε 2 = ε ab einem n 0 ausgenutzt. N. Dabei haben wir im zweiten Schritt die Dreiecksungeichung ii) Es kann ein Gegenbeispie gefunden werden, weches zeigt, daß diese Aussage fasch ist. As ein Beispie nehme man die Foge, die durch die Fogende Vorschrift definiert ist: a n = n. Es git: a n a n+1 ist konvergent, jedoch divergiert die Foge a n. (Die Tatsache, daß a n a n+1 konvergiert kann anaog zu der Aufgabe 4 a) auf dem Hausaufgabenbatt 4 gezeigt werden, denn es ist, bis auf das Vorzeichen, diesebe Foge.) Daß a n = n divergiert fogt u. A. daraus, daß 1 a n = 1 n eine Nufoge ist, oder auch daraus, daß die Menge der natürichen Zahen unbeschränkt ist. 5
Aufgabe 4 Wieviee Häufungspunkte kann eine Foge maxima haben? i) endich viee ii) unendich viee (abzähbar unendich) iii) überabzähbar viee Die richtige Antwort autet: Eine Foge kann überabzähbar viee Häufungspunkte haben. As Beweis dieser Aufgabe, die, eigentich, eine gute Mikrokausur -Aufgabe wäre, dient die Bemerkung nach Koroar 2.3.16, wonach es eine Foge existiert, die ae rationaen Zahen durchäuft (die Existenz reicht vöig aus, eine Vorschrift für diese Foge ist nicht verangt!). Bekanntich ist jede reee Zah ein Häufungspunkt einer sochen Foge. Da, nach Satz 2.3.17, die Menge der reeen Zaheh überabzähbar ist, hat eine Foge, die die rationaen Zahen durchäuft, überabzähbar viee Häufungspunkte. 6