Beispiel - Elektrisches Feld und Potentialfeld Elektrisches Feld Die allgemeine vektorielle Notation diskreter Ladungen in beliebiger Materie liefert das Coulomb - Kraftfeld wie folgt : E(P) = Q P p Π Ε Ε r P p P p Wobei p die Position der Ladung Q Ε die elektrische Feldkonstante und Ε r die relative Permitivität des verwendeten Materials ist. Wenn jetzt in einem Punkt mehrere elektrische Felder (von Punktladungen wirken) wirken lässt sich auf rechnerischen Weg leicht eine Superposition der Coulombfelder durchführen: E ges = E +... + E n In[]:= e u_ p_ q_ : Length p Π Ε Ε r i q i u p i. Ε.77 Ε r Norm u p i Hier wurde als Material Vakuum gewählt welches eine relative Permitivität von besitzt. Berechnung des elektrischen Feld in bestimmten Punkten In[7]:= p 7 ; In[]:= q 7 ; In[9]:= u ; In[]:= e u p q MatrixForm Out[]//MatrixForm= 7.7 9.79.997 9 In[]:= e u p q MatrixForm Out[]//MatrixForm=.9 9 7..7 9
Physik-Mathematica-Elektr-Potentialfeld-WS.nb In[]:= e u p q MatrixForm Out[]//MatrixForm=. 9. 9. Darstellung des elektrischen Feld Eine Variante ein Vektor Feld darzustellen wäre mit der VectorPlot Funktion gewesen auf diesen Plots kann man allerdings nicht allzuviel erkennen weshalb ich hier das StreamPlot gewählt habe. In[]:= StreamPlot e x y x y.. Out[]=...
Physik-Mathematica-Elektr-Potentialfeld-WS.nb In[]:= StreamPlot e x y x y.. Out[]=... In[]:= StreamPlot e x y x y.. Out[]=..........
Physik-Mathematica-Elektr-Potentialfeld-WS.nb In[]:= StreamPlot e x y x y.. Out[]=... An diesem Beispiel kann man schön den Effekt von unterschiedlichen Ladungen sehen wenn zwei gegensätzliche Ladungen nebeneinander liegen ziehen sich diese an. Die eingezeichneten Pfeile gehen dann von einer Ladung direkt zur anderen Ladungen. Wenn die Ladungen beide positiv sind dann stoßen sich beide Punktladungen voneinander ab. Wenn beide Punktladungen gleich stark geladen sind ist das entstehende Feld symmetrisch. Bei unterschiedlich starken Ladungen wölbt sich das elektrische Feld und versucht sich dem Feld der stärkeren Ladung anzupassen. Darstellung des Potentialfelds mit Äquipotentialflächen Das Coulomb - Potential für eine Entfernung r von einer Punktladung Q ist folgendes : Φ(r) = Q Π Ε r Bei einer Ansammlung von Punktladungen addieren sich die Potentiale einzelner Punktladungen Q i einfach zum Gesamtpotential. Im Punkt u ergibt sich dadurch das Potential (für beliebige Punkte und Ladungen q): In[7]:= Φ u_ p_ q_ : Length p Π Ε i q i EuclideanDistance p i u. Ε.77
Physik-Mathematica-Elektr-Potentialfeld-WS.nb In[]:= ContourPlotBΦBK x O :K O K O> - <F x - < y - <F y Out[]= - - In[9]:= ContourPlotBΦBK x O :K O K O> <F x - < y - <F y Out[9]= - - Bei unterschiedlichen Ladungen der Punktladungen gibt es einen Potentialunterschied zwischen den Punkten (egal wie nah bei einander) das sieht man sehr deutlich an der durchgehenden Potentialtrennungslinie zwischen den Punkten. Bei gleichen Ladungen vereinigen sich die Potentialflächen um den Punkten herum zu einem gewissen Grad. Die unterschiedlich starken Ladungen machen sich nur durch die Größe der Punktladungen bemerkbar. Diese führt natürlich auch zu einer Verwölbung der Äquipotentialflächen.
Physik-Mathematica-Elektr-Potentialfeld-WS.nb Punkten herum zu einem gewissen Grad. Die unterschiedlich starken Ladungen machen sich nur durch die Größe der Punktladungen bemerkbar. Diese führt natürlich auch zu einer Verwölbung der Äquipotentialflächen. Gemeinsame Darstellung von elektrischen Feld und Potentialfeld In[]:= Show ContourPlot Φ x y x y StreamPlot e x y x y Out[]=