Techn. Mechanik & Fahrzeugdynamik TM II Prof. Dr.-Ing. habil. Hon. Prof. (NUST) D. Bestle 8. September 17 Prüfungsklausur Technische Mechanik II Aufgabe 1 (7 Punkte) Ein Fußballspieler macht or dem Spiel Dehnübungen. Dabei ruhen beide Füße auf dem Boden und der Oberkörper bleibt stets aufrecht. Das Bein 1 bleibt gestreckt, während das Knie K mit der Geschwindigkeit K nach orn bewegt wird. Zeichnen Sie die Momentanpole P 1 bis P 4 der Körperteile 1 bis 4 ein. Familienname, Vorname Matrikel-Nummer Fachrichtung 1. Die Prüfung umfasst 7 Aufgaben auf 6 Blättern.. Nur orgelegte Fragen beantworten, keine Zwischenrechnungen eintragen. 3. Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken. 4. Die Blätter der Prüfung dürfen nicht getrennt werden. 5. Zugelassene Hilfsmittel: Fachliteratur, eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet sein! 6. Bearbeitungszeit: 9 min 7. Unterschreiben Sie die Prüfung bitte erst beim Eintragen Ihres Namens in die Sitzliste. 1 4.... (Unterschrift) 3 Gesamtpunktzahl: 7 zum Bestehen erforderlich: 36 Punkte Note Konstruieren Sie ausgehend on K die Geschwindigkeit S des Punkts S (Schulter). Beachten Sie, dass der Oberkörper stets senkrecht bleibt.
Aufgabe (17 Punkte) Zur Vermeidung on Abseits befinden sich ein Abwehrspieler A und ein Stürmer S bei Ballabgabe zum Zeitpunkt t = auf gleicher Höhe. Der Abwehrspieler A startet aus dem Stand und beschleunigt mit konstanter Beschleunigung a auf seine Maximalgeschwindigkeit, die er zur Zeit t erreicht und dann beibehält: a A a, t t ( t) =, t < t Geben Sie Beschleunigungs-, Geschwindigkeits- und Wegerläufe in FÖPPL-Notation an. aa ( t ) = A ( t ) = xa ( t ) = Wann erreicht der Abwehrspieler seine Maximalgeschwindigkeit? t = Zeichnen Sie die Geschwindigkeit A und den Weg x A des Abwehrspielers mit a = 5 m/s und = 1 m/s.. Der Stürmer S läuft bereits or der Ballabgabe mit konstanter Geschwindigkeit parallel zur Torauslinie und behält diese Geschwindigkeit bei. Nach Ballabgabe ( t = ) biegt er zunächst in einen Viertelkreis (Radius R ) ein und läuft anschließend gerade auf das Tor zu. Welche Beziehung zwischen Winkel ϕ und Zeit t erhält man beim Durchlaufen des Viertelkreises aus dem Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit =ɺ ϕr? ϕ ( t) = t ϕ ( t ) = R R ϕ ( t ) = ( t ) t Rt Rt ϕ = Wie lange dauert das Durchlaufen des gesamten Viertelkreises? T = Wie groß ist der Abstand x ( ) x S S t des Stürmers on der Ausgangslinie? für t T = für t > T xs t des Stürmers für R = 5 m und = 1 m/s in das Diagramm in Teilaufgabe c) ein. Berechnen Sie dazu die folgenden Werte. Zeichnen Sie den Wegerlauf ( ) T =, x S () =, x S (T) =, (3) S x =
Aufgabe 3 (6 Punkte) Beim Schuss behalten Standbein und Oberkörper ihre Lage bei, während der Oberschenkel (Länge L ) mit der Winkelgeschwindigkeit ω O um das feststehende Hüftgelenk O schwingt. Der Unterschenkel (Länge L ) dreht sich gemeinsam mit dem dazu senkrechten Fuß (Länge b ) mit der Winkelgeschwindigkeit ω U um das Knie K. Wie groß ist der Betrag K? K = Beschreiben Sie die Geschwindigkeit K ektoriell K = Welche Beziehung ergibt sich aus der Starrkörperkinematik zwischen Fußpunkt- und Kniegeschwindigkeit? = + F K r KF ωu = + ω r = ω = ω ω r F K U KF ( r ) ( ) F K U KF F U O KF Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den Winkeln ϕ, ψ und den Winkelgeschwindigkeiten ω, ω? ω O =, ω U = O U Aufgabe 4 (9 Punkte) Der Fußball soll als Kugelschale (Radius R, Schalendicke s R, Dichte ρ ) modelliert werden. Zur Berechnung seines Trägheitsmoments I Z um die z-achse wird er in Kreisringe entsprechend der Abbildung zerlegt (Segmentwinkel dϕ, Radius r, Querschnittsfläche da, Masse dm, Trägheitsmoment di ). Welche Zusammenhänge gelten für einen Kreisring? r = R r = R r = R sin ϕ r = R cosϕ da = sr dϕ da = s dϕ da = sr dϕ da = R dϕ dm = R da dm = ρπ R da dm = π r da dm = ρ π r da = d 4 di R m di = r dm 4 di = R dm di = r dm Berechnen Sie die Masse des Balls durch Integration unter Verwendung der Beziehungen aus a). m = dϕ = Analog erhält man das Trägheitsmoment des Balls um die z-achse mit 4 I z = 8 / 3πρR s. Welches Trägheitsmoment des Balls ergibt sich damit als Funktion on seiner Masse? Iz = mr 5 Iz = mr 3 I z = mr I z = mr
Aufgabe 5 (14 Punkte) Im Folgenden soll das synchrone Hüpfen on Fußballfans auf einer Tribüne untersucht werden. Die Tribüne ist gedämpft-elastisch gelagert (Gesamtsteifigkeit c, Dämpfungskoeffizient d, Feder für x T = entspannt). Der Einfachheit halber sollen die Fans (Anzahl N, jeweils Masse m und Schwerpunkt C i ) sich mit u ( t ) relati zur Tribüne (Masse M ) bewegen, ohne den Bodenkontakt zu erlieren. Dabei übt jeder Fans die gleiche Kontaktkraft F aus. Im freigeschnittenen System sind eine Kraft F und die Feder- und Dämpferkräfte beispielhaft eingetragen. Tragen Sie alle restlichen Kräfte ein und bezeichnen Sie diese. Wie lautet der Impulssatz für eine einzelne Person in ertikale Richtung? Welche Bewegungsgleichung ergibt sich damit für die Tribüne? ( ) ɺɺ T ɺ T T ( ) cos ( ) ɺɺ T ɺ T T ( ) ( ) ɺɺ T ɺ T T ( ) ( ) ɺɺ ɺ ( ) cos Nm + M x + dx + cx = m + M g + m Ω u Ωt Nm + M x + dx + cx = Nm + M g + Nm Ω u cos Ωt Nm + M x + dx cx = Nm + M g Nm Ω u cos Ωt Nm + M x + dx + cx = Nm + M g Nmu Ωt T T T Mit geeigneten Zahlenwerten ergibt sich für die freien Tribünenschwingungen inklusie Fans die Bewegungsgleichung 44 ɺɺ x + dxɺ + 194 4 x =. T T T Geben Sie folgende Größen der normierten Schwingungsgleichung ɺɺ x + δ xɺ + ω x = an: T T T ω =, δ = Wie groß ist das Lehr sche Dämpfungsmaß? Stellen Sie den Impulssatz für die Tribüne in ertikale Richtung auf. Welcher kinematische Zusammenhang besteht zwischen Fanbewegung x F und Tribünenbewegung x T bei harmonischer Relatibewegung u ( t ) = u cos Ω t? D = Wie groß muss die Dämpfung d mindestens sein, damit keine Resonanzerscheinung möglich ist? d x F =, ɺɺ x F =
Aufgabe 6 (13 Punkte) Der Schuss beim Strafstoß soll untersucht werden. Es wird angenommen, dass das Hüftgelenk O ollständig fixiert ist. Der Schuss wird mit gestrecktem Bein ausgeführt und der Ball in ertikaler Position getroffen. Der Stoß ist elastisch. Zur Berechnung der Ballgeschwindigkeit nach dem Abschuss betrachten wir den Vorgang als Stoß eines homogenen Stabpendels 1 (Masse m, Länge l ), das mit der Winkelgeschwindigkeit ω in F auf den ruhenden Ball (Masse M ) trifft. Zeichnen Sie in das Freischnittbild zum Stoßzeitpunkt alle Stöße ein und benennen Sie diese. Formulieren Sie die Drallbilanz für den Stab um den Fixpunkt O sowie die horizontale Impulsbilanz für den Ball. Wie lautet die Stoßrelation für den elastischen Stoß zwischen Pendel und Ball? Beachten Sie dabei die Kinematik! Geben Sie den Geschwindigkeitszustand des Systems or dem Stoß an sowie den kinematischen Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω und der Geschwindigkeit 1F im Stoßpunkt F or und nach dem Stoß. ω1 =, = Wie groß sind Ballgeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit des Stabes nach dem Stoß? m + = 3M + m ω + m 3M ω1 = ω m + 3M + = m ω 3M + m l + m + 3M ω 1 = ω m + 3M m + = l 3M + m ω + m + 3M ω1 = ω m 3M 1F =, 1F + = Wie groß ist das Massenträgheitsmoment des Stabes bezüglich des Fixpunkts O? I O =
Aufgabe 7 (6 Punkte) Ein Hooligan wirft aus der Höhe H ein quaderförmiges Feuerzeug (Masse m, Breite a, Höhe b ) mit der Schwerpunktgeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit ω nach einem Spieler und trifft ihn mit 1 und ω 1 am Kopf (Höhe h ). Wie groß ist die Gesamtenergie des Feuerzeugs im Augenblick des Abwurfs? E = Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Winkelgeschwindigkeiten ω und ω 1 unter Vernachlässigung des Luftwiderstands? ω 1 = Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz zwischen Abwurf und Treffen des Spielers bei Vernachlässigung des Luftwiderstands. Mit welcher translatorischen Geschwindigkeit wird der Spieler getroffen? 1 = g ( H h) 1 = + g ( H h) = + g ( H h) = g ( H h) 1 1