Flachheit Eine nützliche Methodik auch für lineare Systeme

Flachheit Eine nützliche Methodik auch für lineare Systeme Michael Zeitz Institut für Systemdynamik Universität Stuttgart Flachheits-Methodik [FLIESS et al. 92ff] Lineare SISO und MIMO Systeme M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 1 / 24

Nichtlineares Beispiel: 2-Gelenk-Roboter-Modell u 2 q 2 q R 2 - verallgemeinerte Koordinaten M 2 M 1 u 1 q 1 u R 2 - Stellmomente Σ : M(q) q + g(q, q) = u, q(0) = q 0, q(0) = q 1 Flacher Ausgang z(t) = q(t), t 0 zur differenziellen Parametrierung Zustand x(t) = Eingang [ ] T z T (t), ż T (t) u(t) = M(z) z + g(z,ż) z C 2 Σ 1 Inverses System x u Folgeregelung z(t) z d (t) mit Trajektorien Planung z d (t) C 2 Vorsteuerung u d = M(z d ) z d + g(z d,ż d ) Computed Torque [ ] T Referenz für Zustandsrückführung x d (t) = z T d (t), żt d (t) Exakte Linearisierung z = v neuer Eingang mit u = M(z)v + g(z, ż) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 2 / 24

Lineares Beispiel: SISO-System Σ : U(s) G(s) Y (s) G(s) = b 0 + b 1 s +... + b m s m (b m 0, a n = 1, a 0 + a 1 s +... + a n s n n m 0) L 1 : (n) y +... + a 1 ẏ + a 0 y = b 0 u + b 1 u +... + b m (m) u & n Anfangsbeding. Relativer Grad = Differenzgrad: r = n m 0 Speziell: m = 0 r = n Flacher Ausgang (FLA) z(t) = y(t) Zustand x = [z, ż,..., (n 1) z ] T Eingang u = (a 0 z + a 1 ż +... + (n) z )/b 0 Differenzielle Parametrierung mit z(t) C n Anwendungen: Vorsteuerung u d = (a 0 z d + a 1 ż d +... + (n) z d )/b 0 C 0 x Referenz x d = [z d, ż d,..., (n 1) z d ] T mit z d (t) C n Frage: Bestimmung von FLA z y für r < n bzw. m > 0? M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 3 / 24

Differenziell flache SISO-Systeme Systemklasse Σ : ẋ = f (x, u), t > 0, x(0) = x 0 R n y = h(x), u, y R, rel.grad r n u Σ x 0 y r n z r = n Definition [FLIESS et al. 92ff] Flacher Ausgang z = λ(x) R, t 0 mit relativem Grad r = n Differenzielle Parametrierung: Zustand x = Ψ x (z, ż,..., (n 1) z ) Eingang u = Ψ u (z, ż,..., (n) z ) Ausgang y = Ψ y (z, ż,..., (n r) z ) z C n Σ 1 Inverses System x u y Anwendung: Flachheitsbasierter Entwurf von Steuerungen u. Regelungen M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 4 / 24

Regelkreis mit zwei Freiheitsgraden M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 5 / 24

Folgeregelung mit Vorsteuerung M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 6 / 24

Vortrags Inhalt Flachheit Eine nützliche Methodik auch für lineare... SISO Systeme Flacher Ausgang Vorsteuerung Folgeregelung Beispiel: 3 fach Pendel Flacher Eingang MIMO Systeme M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 7 / 24

Lineare SISO Systeme Σ : ẋ = Ax + b u, x(0) = x 0 R n, y = c T x, u, y R relat. Grad r n : (i) y c T A i 1 b = 0, i = 1(1)r 1, Flacher Ausgang z = λ T x mit relativem Grad r = n λ T [b, Ab,..., A n 1 b] = [0,...,0, β 0] }{{}}{{} Steuerb. Matr. P e T (r) y c T A r 1 b 0 λ T = e T P 1 mit RangP = n λ T letzte P 1 Zeile mult. mit β 0 (Normierung: β = 1) Flachheits Koordinaten und Regelungs Normalform z λ T x ż =... = λ T A... x = T x Transformation Σ Σ (n 1) z λ T A n 1 Σ : (n) z = λ T A n T 1 x + βu, x (0) = Tx 0 R n, y = c T T 1 x M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 8 / 24

Lineare SISO Regelungs Normalform Σ : (n) z = [a 0,..., a n 1 ] x + β u, x (0) = Tx }{{}}{{} 0 R n a T = λ T A n T 1 0 z = x 1 flacher Ausgang mit relat. Grad r = n y = [c1,...,c n r+1, 0,...,0] }{{} c T = c T T 1 mit cn r+1 0, r n Flachheits Gleichungen mit z = λ T x C n x x = [z, ż,..., (n 1) z ] T = Tx x = T 1 [z, ż,..., (n 1) z ] T Flachheits Koordinaten Zustands Parametrierung (n 1) u = (a 0 z + a 1 ż +... + a n 1 z + (n) z )/β Eingangs Parametrierung y = c 1 z + c 2 ż +... + c n r+1 (n r) z Ausgangs Parametrierung Anwendung von Σ : Flachheitsbasierter Steuerungs Entwurf M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 9 / 24

Lineare SISO-Steuerkette z Σ d (t) u d (t) x(t) x d (t) d Σ 1 Σ y(t) y d (t) Trajektorien Planung: Arbeitspunktwechsel x(0) = x 0 x(t) = x T Σ d : z d (0) = z 0 = λ T x 0 z d (T) = z T = λ T x T (i) z d (0, T) = 0, i = 1(1)n z d (t) C n, t [0, T] z T z d (t) z 0 T t 0 Flachheitsbasierter Steuerungs Entwurf mit Σ 1 u d (t) = Ψ u (z d, ż d,..., (n) z d ) C 0 Steuertrajektorie x d (t) = Ψ x (z d, ż d,..., (n 1) z d ) y d (t) = Ψ y (z d, ż d,..., (n r) z d ) x Referenz für Zustandsrückführung y Referenz für Ausgangsregelung M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 10 / 24

Flachheitsbasierte Zwei Freiheitsgrad Regelkreisstruktur Folgeregelung: Ausgang y(t) y d (t) Σ d zd Ψ y y d Ψ u PID u d u Σ y PID Entwurf Stabilität Störverhalten Robustheit Folgeregelung: Zustand x(t) x d (t) Σ d zd Ψ x x d Ψ u k T u d u Σ x y k T Entwurf LQR Optimierung Eigenwert Vorgabe...... Vorsteuerung {Σ d, Ψ u, Ψ y /Ψ x } Add on für Führungsverhalten Ohne {Σ d, Ψ u, Ψ y /Ψ x } Akademischer Regelkreis mit {Σ, PID/k T } M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 11 / 24

Folgeregelung 3-fach-Pendel [Nutsch/Hagenmeyer 04] z ϕ 3 Σ : ẋ = f (x, u), x(0) = x 0 R 8, u R x = [s, ṡ, ϕ 1, ϕ 1, ϕ 2, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 3 ] T ϕ 2 s(0) s(t) Pendel Side Stepping ϕ 1 u = s Σ flaches System Taylor Linearisierung für x 1, A = x f (0, 0), b = f (0, 0) u Σ : ẋ = Ax + b u, x(0) = x 0 R 8, y = [s, ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ] T P = [b, Ab,..., A n 1 b], RangP = 8 Σ = steuerbar & flach FLA: z = λ T x mit λ T = [0,..., β 0] P 1 z [1, 0, - l 1, 0, -l 2, 0, -0, 71l 3 ] x oberes Drittel von 3. Pendel M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 12 / 24

Flachheitsbasierte Folgereglung mit Beobachter Ψ u u d Σ d x d u u y Ψ x LQR z Σ d ˆx ˆΣ Trajektorien Planung: Side Stepping s(0) = s 0 s(t) = s T Σ d : x d (0) = [s 0, 0,..., 0] T = x 0 x d (T) = [s T,..., 0] T = x T z d (0) = λ T x 0 = z 0 z d (T) = λ T x T = z T 15 ( t ) i z d (t) = z 0 + (z T z 0 ) p i C 8, t [0, T] T Vorsteuerung u d = Ψ u (z d, ż d,..., (8) z d ) C 0 8 LQR Rückführung u = k T (ˆx x d ) mit x d = Ψ x (z d, ż d,..., (7) z d ) Beobachter Entwurf ˆΣ mit Eigenwertvorgabe M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 13 / 24

Simulation u. Experiment Side-Stepping 3 fach Pendel Simulated Snap Shots Video z d [m] s d [m] t [s] t [s] Gegenläufige Wagenbewegung s(t) wegen Nicht Minimalphasigkeit von Σ Measurements (solid lines) Nominal Trajectories (dashed lines) s, s d [m] ṡ, ṡ d [m/s] 0.5 0 0.5 2 1 0 0 0 2 2 0.5 0 0.5 4 6 8 0 2 4 6 8 4 t [s] 6 8 20 10 0 10 20 0 2 4 t [s] M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 14 / 24 z [m] ϕ; [ ] ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 6 8

Zusammenhang flacher und realer Ausgang für r < n Σ : Y (s) = P(s) Q(s) U(s) = b 0 + b 1 s +... + b m s m a 0 + a 1 s +... + a n s n U(s) (b m 0, a n = 1, r = n m > 0) Regelungs NF mit FLA Z(s) = U(s)/Q(s) = Y (s)/p(s) Σ : (n) z = [a 0,..., a n 1 ]x + βu mit β = 1, x = [z, ż,..., (n 1) z ] T Differenzielle Parametrierung des realen Ausgangs y mit m = n r y = b 0 z + b 1 ż +... + b n r (n r) z = Ψ y (z, ż,..., (n r) z ) Referenz y d (t) Dgl. der Ordnung n r für den FLA z Ψ y (z, ż,..., (n r) z ) = b 0 z +b 1 ż +... +b n r (n r) z = Voraussetzung für Umrechnung y d (t) z d (t) : { y interne Dynamik 0 Nulldynamik Stabile interne Dynamik (Nulldynamik) Σ = Phasen Minimum System M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 15 / 24

A Differentially Flat Input IS NOT PART OF A... M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 16 / 24

Konstruktion eines flachen Eingangs [Waldherr/Z 07] Σ : ẋ = Ax + γu flacher Eingang (FLE), x(0) = x 0 R n y = c T x! = z flacher Ausgang (FLA) mit r = n Ḱonstruktion von Eingangsvektor γ über relativen Grad r = n c T A i γ = 0, c T 0 i = 0(1)n 2, c T A Q = Beob. Matr. γ =. RangQ = n c T A n 1. 0 γ 0 c T A n 1 Σ = beobachtbar β 0 }{{}}{{} Q e γ = Q 1 e letzte Q 1 Spalte mult. mit β 0 (Normierung: β = 1) Notwendig und hinreichend für FLE Existenz: Σ = beobachtbar Notwendig: Realisierbarkeit von FLE γu (FLE fiktiv wie FLA) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 17 / 24

Beispiel-System: Integratorkette (n = 3) Konstruktion eines flachen Eingangs für... Σ : ẋ = 0 1 0 0 0 1 x + γu FLE, x(0) = x 0 R 3 0 0 0 a) y = [1, 0, 0]x γ = [0, 0, 1] T u 1 1 1 y =! z (r = 3) s s s x 3 x 2 x 1 b) y = [1, 1, 1]x γ = [0, 1, 1] T u 1 1 1 y =! z (r = 3) s s s x 3 x 2 x 1 Beobachtbarkeits Matrix Q = ct c T A = 1 1 1 1 1 0 0 1 1, Q 1 = 0 1 1, det Q = 1 c T A 2 0 0 1 0 0 }{{} 1 γ (β = 1) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 18 / 24

Beispiel: Realisierbarkeits-Bedingung für flachen Eingang Lineares Feder Dämpfer Masse System (n = 2) ( q q) x = Σ : m q + d q + c q = f mit Kraft-Eingang f ( ) ( (m=1) 0 1 0 = ẋ = x + f c d 1) Kraft Eingang f nur möglich in x 2 Dgl.! y = q = [ c, d]x Beschleunigungs-Messung mit y! = z (r = 2) Beobachtbarkeits Matrix ( ) ( ) c d Q = cd d 2, Q c = detq 1 d 2 c d cd }{{} c, detq = c 2 0 γ (β = c 2 ) Σ : ( ) ( 0 1 d ẋ = x + u c d c) }{{} FLE für d 0 : γu realisierbar! M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 19 / 24

Vortrags Inhalt Flachheit Eine nützliche Methodik auch für lineare... SISO Systeme MIMO Systeme Flachheits Definition Statische und quasi statische Entkopplung MIMO Regelungs Normalform M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 20 / 24

Differenziell flache lineare MIMO-Systeme Σ : ẋ = Ax + m b i u i, x(0) = x 0 R n (m > 1) i=1 Steuerbarkeits Indizes ρ i, i = 1(1)m mit ρ i ρ i+1, m i=1 ρ i = n Rang[b 1, Ab 1,..., A ρ1 1 b 1,...,b m, Ab m,..., A ρm 1 b m ] = n Σ = steuerb./flach }{{} P (n n) Auswahl Matrix Flache Ausgänge : z i = λ T i x C β i, i = 1(1)m Zustands Parametr.: x = Ψ x (z 1, ż 1,..., (β1 1) z 1,..., z m, ż m,..., (βm 1) z m ) Eingangs Parametr.: u = Ψ u (z 1, ż 1,..., (β1) z 1,..., z m, ż m,..., (βm) z m ) m i=1 β i = n : (β i ) z i = v i, i = 1(1)m, β i = ρ i statische Entkopplung mit u = Ψ u (z 1,ż 1,..., v 1,..., z m,ż m,..., v m) m i=1 β i > n : (β i i ) z i = v i, m i=1 (β i i ) = n quasi stat. Entkopplung mit u = Ψ u (z 1,ż 1,..., v 1, v 1,..., ( 1) v 1,..., z m,ż m,..., v m, v m,..., ( m) v m ) M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 21 / 24

MIMO Beispiel für statische Entkopplung (n = 3, m = 2) Σ : ẋ = 0 0 0 0 0 1 x + 0 0 u 1 + 1 u 2 1 u 2 0 0 0 1 0 }{{}}{{}}{{} u 1 A b 1 b 2 Auswahl P = [b Matrix : 1, Ab 1, b 2 ] = 0 0 1 Differenzielle Parametrierung: 0 1 1 1 0 0 } z 1 = x 1 x 2, ż 1 = x 3, z 1 = u 1 z 2 = x 2 + x 3, ż 2 = x 3 + u 1 + u 2 β 1 = 2 = ρ 1, β 2 = 1 = ρ 2 β 1 + β 2 = 3 = n x 1 1 s z 1 x 1 2 s z 2 x 1 3 s Rang P = 3 ρ 1 = 2, ρ 2 = 1 FLA z i = λ T i x, i = 1, 2 x = [z 1 + ż 1 z 2, z 2 ż 1, ż 1 ] T u = [ z 1, ż 2 ż 1 z 1 ] T MIMO Regelungs Normalform mit statischer Entkopplung ) ( ) ( ) ( z1 Σ u : = 1! v1 = u 1 = v 1 ż 2 x 3 + u 1 + u 2 v 2 u 2 = v 2 x 3 v 1 M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 22 / 24

MIMO Beispiel für quasi-stat. Entkopplung (n = 3, m = 2) Σ : ẋ = 0 0 0 0 0 1 x + 0 0 u 1 + 1 u 2 1 u 2 0 0 0 0 0 }{{}}{{}}{{} u A b 1 b 1 2 Auswahl P = [b Matrix : 2, Ab 2, b 1 ] = 0 0 1 Differenzielle Parametrierung: 0 1 1 1 0 0 } z 1 = x 1, ż 1 = u 2, z 1 = u 2 z 2 = x 2, ż 2 = x 3 + u 2, z 2 = u 1 + u 2 β 1 = 2, β 2 = 2 β 1 + β 2 = 4 > n = 3 1 s 1 s 1 s x 1 x 2 x 3 z 1 z 2 Rang P = 3 ρ 1 = 2, ρ 2 = 1 FLA z i = λ T i x, i = 1, 2 x = [z 1, z 2, ż 2 ż 1 ] T u = [ z 2 z 1, ż 1 ] T Verallgemeinerte MIMO Regelungs NF mit quasi statischer Entkopplung ) ( ) ( ) (ż1 Σ u2! v1 : = = u 1 = v 2 v 1 z 2 u 1 + u 2 v 2 u 2 = v 1 M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 23 / 24

F A Z I T Flachheits Methodik nützlich auch für lineare Systeme : Einfacher feststellbar und anwendbar als bei nichtlinearen Systemen Regelungs Normalform wichtig für flachheitsbasierten Steuerungs Entwurf, aber nicht wirklich für linearen Regler Entwurf Neu bei MIMO Systemen: Verallgemeinerte Regelungs NF und quasi statische Entkopplung Lineare Flachheits Methodik leicht vermittelbar in RT Ausbildung V I E L E N D A N K! M. Zeitz (Uni Stuttgart) Flachheit Eine nützliche Methodik... TU Berlin 29.6.2009 24 / 24