Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Die Verfasser: Hermann Haarmann Studiendirektor in Hildesheim Günther Thun Studiendirektor in Oldenburg Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Coverbild Fotolia.com * * * * * 3. Auflage 2016 2005 by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 31735 Rinteln E-Mail: info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: www.merkur-verlag.de ISBN 978-3-8120-0039-0
Vorwort Das vorliegende Buch ist ein Arbeitsbuch für den Unterricht im Fach Mathematik in der Fachoberschule für die technische Fachrichtung. Es soll dem Lernenden ein Lernbuch und dem Lehrenden ein Lehrbuch sein. Das Buch entspricht weitgehend den Lehrplänen der Bundesländer, insbesondere Niedersachsen und Nordrhein-Westfalen. Es ist in einen ersten Teil, bestehend aus Kapitel 1 bis 3 für die Klasse 11, einen zweiten Teil, Kapitel 3 bis 8 und Kapitel 11 für die Klasse 12, und einen Wahlbereich, Kapitel 9, Kapitel 10 und Kapitel 12, gegliedert. In der Klasse 11 besuchen die Schülerinnen und Schüler in dualer Form die Lernorte Betrieb und Schule. Entsprechend ist dieser Teil des Buches schwerpunktmäßig technisch orientiert und weitgehend praxisorientiert aufgebaut. Kernstück des Buches sind die Kapitel 4 bis 8 sowie Kapitel 11, die den Pflichtbereich der Rahmenpläne abdecken. Da die Schülerinnen und Schüler aus den verschiedenen Schulformen des allgemeinbildenden bzw. berufsbildenden Schulwesens kommen, wird in Kapitel 3 eine Wiederholung und Fortführung grundlegender mathematischer Kenntnisse behandelt. Die Analysis wird in den Kapiteln 4 bis 10 einschließlich der Grundlagen zur Integralrechnung dargestellt. Der Wahlbereich erweitert die Kenntnisse aus der Analysis. Die Erarbeitung des Stoffes erfolgt in der Regel in einem Dreierschritt: Beispiel, Aufgabenstellung und Lösung und bietet damit die Möglichkeit für einen interaktiven Lernprozess. Dabei wird der Stoff, soweit das jeweilige Thema dies zulässt, auf der Basis anwendungsorientierter und vollständig durchgerechneter Beispiele eingeführt. Wichtige Methoden und Begriffe werden durch strukturierten Text unterstützt. Das Buch ist weitgehend zweispaltig geschrieben, was die Übersichtlichkeit und Lesbarkeit erhöht. Lehrtexte und beschriebene Lösungswege sind meistens links angeordnet, Rechnungen und Skizzen sind rechts platziert. Während die Beispiele mithilfe verschiedener Methoden und Sozialformen des Unterrichts behandelt werden können, dienen die mit dem Stoff abgestimmten Übungen dazu, ihn in Stillarbeitsphasen in einer ersten Anwendung zu festigen. Die Abschnitte des Buches sind als thematisch abgeschlossene Lerneinheiten konzipiert. Da im Wahlbereich Kapitel 9 trigonometrische Funktionen bzw. Kapitel 10 Exponentialfunktionen alternativ zu betrachten sind, werden die Ableitungsregeln in beiden Kapiteln behandelt. Jede Lerneinheit schließt mit einer Anzahl von Aufgaben ab. Diese Aufgaben sind einmal als Ergebnissicherung und Übung, zum anderen als Hausaufgaben und zur Vorbereitung auf Klausuren gedacht. Definitionen und Sätze sind durch Merke gekennzeichnet, grau gerastert und mit einem Rahmen versehen. Anmerkungen vertiefen die durch Merke gekennzeichneten Definitionen und Sätze. Sie enthalten ergänzende Hinweise, Herleitungen, Beispiele usw. Der Rechenaufwand in den Beispielen und Aufgaben ist so gehalten, dass er mit einem einfachen Taschenrechner zu bewältigen ist. Abschluss des Buches bilden die Lösungen bzw. Lösungswege der Übungsaufgaben der einzelnen Kapitel. Hier soll den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit gegeben werden, ihre Lösungen zu kontrollieren. Das Buch beinhaltet den Stoff der drei wichtigsten Themen Analysis, Analytische Geometrie und Komplexe Zahlen in der Oberstufe. Es ist daher auch für Schulformen wie z. B. Volkshochschule und zum Selbststudium geeignet. Die Verfasser
Wegweiser des Lehrbuches Klasse 11 Klasse 12 Pflichtbereich Wahlbereich Kapitel 1 Grundlagen der Geometrie und Trigonometrie Seite 7 28 Kapitel 2 Dreisatz- und Prozentrechnung Seite 29 45 Kapitel 3 Grundwissen Seite 46 79 Kapitel 3 Grundwissen Seite 46 79 Kapitel 4 Funktionen Seite 80 130 Kapitel 5 Folgen, Reihen und Zinseszinsrechnung Seite 131 148 Kapitel 5 Folgen, Reihen und Zinseszinsrechnung Seite 131 148 Kapitel 6 Einführung in die Differenzialrechnung Seite 149 173 Kapitel 7 Kurvenuntersuchungen ganzrationaler Funktionen Seite 174 209 Kapitel 8 Integralrechnung Seite 210 240 Kapitel 9 Trigonometrische Funktionen Seite 241 259 Kapitel 10 Exponentialfunktionen Seite 260 280 Kapitel 11 Analytische Geometrie Seite 281 325 Kapitel 12 Einführung in die komplexen Zahlen Seite 326 336
5 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Geometrie und Trigonometrie... 7 1.1 Das rechtwinklige Dreieck... 7 1.2 Flächen- und Körperberechnungen... 13 1.3 Grundlagen der Trigonometrie... 21 2 Dreisatz- und Prozentrechnung... 29 2.1 Anwendungen der Dreisatzrechnung... 29 2.2 Grundlagen der Prozentrechnung... 33 3 Grundwissen... 46 3.1 Zahlenmengen... 46 3.2 Algebraische Grundlagen... 50 3.3 Gleichungen und Gleichungssysteme...................................... 62 3.4 Ungleichungen... 74 3.5 Das rechtwinklige Koordinatensystem... 78 4 Funktionen... 80 4.1 Der Funktionsbegriff... 80 4.2 Lineare Funktionen... 84 4.3 Quadratische Funktionen... 99 4.4 Potenzfunktionen... 111 4.5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)... 117 5 Folgen, Reihen und Zinseszinsrechnung... 131 5.1 Begriff der Zahlenfolgen... 131 5.2 Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen... 133 5.3 Zinseszinsrechnung... 145 6 Einführung in die Diffenzialrechnung... 149 6.1 Grenzwerte von Funktionen... 149 6.2 Stetigkeit von Funktionen... 157 6.3 Steigung und Ableitung an der Stelle x 0... 160 6.4 Die Ableitungsfunktion... 165 6.5 Ableitungsregeln... 167 7 Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen... 174 7.1 Extrema und Monotonie... 174 7.2 Wendepunkte und Krümmung... 183 7.3 Kurvendiskussion... 190 7.4 Bestimmung von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften... 195 7.5 Extremwertaufgaben... 201 7.6 Das Newton sche Näherungsverfahren... 207
6 8 Integralrechnung... 210 8.1 Die Stammfunktion... 210 8.2 Das bestimmte Integral... 214 8.3 Anwendungen der Integralrechnung... 223 9 Trigonometrische Funktionen... 241 9.1 Winkelgrößen und Einheitskreis... 241 9.2 Die Sinus- und Kosinusfunktion... 243 9.3 Differenziation und Integration von Sinus- und Kosinusfunktionen... 250 10 Exponentialfunktionen... 260 10.1 Grundwissen... 260 10.2 Anwendungen der Exponentialfunktion... 264 10.3 Ableitung der Exponentialfunktion... 270 11 Analytische Geometrie... 281 11.1 Punkte im Raum... 281 11.2 Vektoren... 285 11.3 Rechnen mit Vektoren... 289 11.4 Anwendungen der Vektorrechnung... 298 11.5 Das Skalarprodukt... 301 11.6 Die Gerade... 310 12 Einführung in die komplexen Zahlen... 326 12.1 Unlösbarkeit von quadratischen Gleichungen... 326 12.2 Rechnen mit komplexen Zahlen... 327 12.3 Komplexe Zahlen in trigonometrischer Darstellung... 329 12.4 Komplexe Zahlen in der Technik... 332 Anhang... 337 Lösungen zu den Übungen... 337 Stichwortverzeichnis... 367