FACHHOCHSCHULE LANDSHUT Fachbereich Elektrotechnik Prof. Dr. G. Dorn PRAKTIKUM REGELUNGSTECHNIK 2 1 Versuch 2: Übertragungsfunktion und Polvorgabe 1.1 Einleitung Die Laplace Transformation ist ein äußerst wichtiges Werkzeug zur Lösung zeitinvarianter linearer Differentialgleichungen. Die Laplace Transformation stellt die Grundlage für die Frequenzbereichsmethoden dar und soll deshalb auch auf die Zustandsraum Darstellung angewendet werden. Setzt man einen Zustandsregler ein, so können mit dem Verfahren der Polvorgabe die Pole des geschlossenen Regelkreises in einem bestimmten Gebiet frei gewählt werden. Der Zustandsregler liefert als Ausgangssignal die Summe der Komponenten, die den Zustandsgrößen proportional sind. Können alle Zustandsgrößen gemessen werden, so bietet das Verfahren der Polvorgabe eine elegante und schnelle Methode der Reglerauslegung. 1.2 Verfahren 1.2.1 Übertragungsfunktion Die Laplace Transformierte L{f(t)} der Zeitfunktion f(t) ist definiert zu L{f(t)} = F (s) = Z 0 f(t)e st dt (1) mit der komplexen Variablen s s = σ + jω Für die Laplace Transformierte der zeitlichen Ableitung von f(t) gilt L{ f (t)} = sf (s) f(0) (2) Betrachtet man die Zustandsraumdarstellung eines Systems mit u(t) als Eingangs- und y(t) als Ausgangsgrößen 1
x (t) = Ax(t)+Bu(t) (3) y(t) = Cx(t)+Du(t) (4) und wendet man Gl.(1) und Gl.(2) auf sie an, so erhält man bzw. L{ x} = L{Ax} + L{Bu} L{y} = L{Cx} + L{Du} Umformung von Gl.(5) liefert sx(s) x(0) = AX(s) +BU(s) (5) Y (s) = CX(s)+DU(s) (6) (si A)X(s) =x(0) + BU(s) Bei verschwindenden Anfangswerten x(0) erhält man (si A)X(s) =BU(s) Löst man nach X(s) auf, so ergibt sich X(s) =(si A) 1 BU(s) Setzt man X(s) in die Ausgangsgleichung (6) ein, so gilt für Y (s) Y (s) =(C(sI A) 1 B + D)U(s) (7) Die Übertragungsfunktionen F (s) des Systems ergeben sich durch die Quotientenbildung von Y (s) und U(s) zu F (s) = Y (s) U(s) = C(sI A) 1 B + D (8) Example 1 : Als Beispiel werde eine doppelt integrierende Strecke betrachtet 2
u K s. x 2 1/s. x = x 2 1 1/s y = x 1 Bild 1: Blockschaltbild eines Doppelintegrators Die Zustandsgleichungen lauten x = 0 1 0 0 y = h 1 0 i x x + 0 K S Die Matrizen bzw. Vektoren des Systems entnimmt man den obigen Gleichungen zu 0 1 0 A = ; B = ; C = h 1 0 i ; D =[0]; 0 0 K S Weiterhin gilt u (si A) = det(si A) = s 2 s 1 0 s i (si A) 1 = 1 s 2 s 1 0 s = 1/s 1/s 2 0 1/s Die Übertragungsfunktion F (s) errechnetsich nachgl.(8)zu F (s) = Y (s) U(s) = h 1 0 i 1/s 1/s 2 0 +[0] = h 1 0 i K S /s 2 0 1/s K S K S /s = K S s 2 Einfacher ermittelt man in diesem Fall die Übertragungsfunktion aus dem Blockschaltbild. Y (s) = 1 s x 2 = 1 1 s s i F (s) = K S s 2 x 2 = 1 s (1 s K SU(s)) 3
1.2.2 Polvorgabe Die Pole eines in der Zustandsraum-Darstellung gegebenen Systems sind durch die Eigenwerte der A-Matrix bestimmt. Es gilt für ihre Berechnung det(si A) =0 (9) Gleichung (9) wird als charakteristische Gleichung des Systems bezeichnet. Ein Zustandsregler wird durch folgende Beziehung eingeführt. SetztmanGl.(10)inGl.(3)ein,soerhältman u = Kx (10) x= Ax BKx =(A BK)x (11) Die Pole des geschlossenen Regelkreises berechnen sich somit entsprechend der Gl.(9) zu det(si A + BK) =0 (12) Gibt man die gewünschte Lage der Pole des geschlossenen Regelkreises zu s 1, s 2,...,s n vor, so gilt (s s 1 )(s s 2 )(s s 3 ) (s s n )=0 (13) Ausmultiplizieren der Gleichung (13) und Koeffizientenvergleich mit der Gl.(12) liefert die Reglerverstärkungen der Matrix K. Man betrachte den Doppelintegrator aus Kap. 1.2.1 und lege die Pole des geschlossenen Regelkreises, wie folgt, fest s 1 = 1+j 3 s 2 = 1 j 3 Entsprechend Gl.(13) erhält man (s +1+j 3)(s +1 j 3) = 0; bzw. s 2 +2s +4=0 Diese Gleichung hat dieselben Koeffizienten wie die Gleichung (12) aufzuweisen. Aus(12)ergibtsich s 1 0 h i det(si A + BK) =det( + k1 k 0 s K 2 )= S s 1 =det = s(s+k k 1 K S s + k 2 K 2 K S )+k 1 K S = s 2 +sk 2 K S +k 1 K S =0 S 4
Es gilt somit k 2 K S =2 und k 1 K S =4 bzw. k 1 = 4 K S und k 2 = 2 K S 1.3 Versuchsvorbereitung Geben Sie für den in Versuch 1 Abschnitt 1.2.1 beschriebenen Gleichstrommotor die Übertragungsfunktion F S1 (s) F S1 (s) = θ(s) u a (s) in allgemeiner Form an. Ermitteln Sie die Lage der Pole und Nullstellen von F S1 (s) in der s-ebene allgemein und nach Einsetzen der Konstanten. Die normierten Werte der Konstanten sind gegeben zu R =0.05, K 1 = K 2 =4.13, J =200.; Bestimmen Sie die Verstärkungen eines Zustandsreglers so, daß die Pole des geschlossenen Regelkreises bei s 12 = 2 ± j2 liegen. Geben Sie für das Beispiel 2 aus Versuch 1 Abschnitt 1.2.2 die Übertragungsfunktion F S2 (s) F S2 (s) = θ(s) u(s) in allgemeiner Form an. Setzen Sie die in Versuch 1 Kap. 1.4.1 gegebenen Werte der Konstanten in die Übertragungsfunktion ein und berechnen Sie somit die Koeffizienten des Zähler- und Nennerpolynoms. 1.4 Versuchsdurchführung Für die folgenden Reglerauslegungen ist das Softwarepaket MATLAB durch doppelklicken auf das MATLAB-Symbol aufzurufen. Die Simulation des Regelkreises ist nach der Ermittlung der Reglerverstärkungen mit der Simulationssprache ACSL durchzuführen. 5
1.4.1 Reglerauslegung zum Beispiel 1 Geben Sie im MATLAB Command Window die Systemmatrizen A, B, C und D des Gleichstrommotors (Beispiel 1) ein. Überprüfen Sie die von Ihnen in Kap. 1.3 ermittelte Übertragungsfunktion F S1 (s) durch Anwendung des MATLAB-Befehls ss2zp (= state space to zero-pole-gain conversion). Eine Beschreibung des Befehls erhalten Sie durch die Eingabe von helpss2zp Die Pole p(n), die Nullstellen z(m) und die Verstärkung k c der Übertragungsfunktion F S1 (s) werden, wie folgt, bestimmt. (s z(1))(s z(2)) (s z(m)) F S1 (s) =k c (14) (s p(1))(s p(2)) (s p(n)) Eingabe in MATLAB: [z,p,kc] =ss2zp(a, B, C, D, 1) Die Elemente der Vektoren z und p geben die Lage der Nullstellen und Pole der Übertragungsfunktion nach Gl.(14) wieder. Die Konstante kc wird ebenfalls ermittelt. Zur Bestimmung des Zustandsreglers ist die Lage der Pole im geschlossenen Regelkreis (s 12 = 2 ± j2) anzugeben. Der Vektor p lautet somit 2+j2 p = wobei j = q ( 1) 2 j2 Die Verstärkungen k des Zustandsreglers werden mit dem MATLAB- Befehl place ermittelt. k = place(a, B, p) Vergleichen Sie die mit MATLAB berechneten Verstärkungswerte mit den von Ihnen in der Vorbereitung bestimmten Werten. Beenden Sie die MATLAB-Sitzung durch Eingabe von quit. Editieren Sie mit dem Pfe32-Editor Ihren.csl-File (ACSL-Sourcecode) des Gleichstrommotors. Mit der Führungsgröße u θ und den Verstärkungen k des Zustandsreglers ist der Regelkreis zu schließen. Es gilt somit für die Ankerspannung u a u a = k 1 (u θ θ) k 2 ω (15) Außerdem soll als Störgröße ein Moment M Z eingeführt werden. Das Störmoment M Z verringert das Motormoment M T, so daß für das antreibende Moment M gilt 6
M = M T M Z (16) Erstellen Sie unter Berücksichtigung der Glen.(15) und (16) das Blockschaltbild des geschlossenen Regelkreises. Simulieren Sie mit Hilfe der Sprache ACSL das Stör- und Führungsverhalten, in dem Sie jeweils einen Einheitssprung für u θ bzw. M Z auf den Regelkreis aufschalten. Dokumentieren Sie die Zeitverläufe von θ, ω und u a für beide Fälle. 1.4.2 Reglerauslegung zum Beispiel 2 Analog zu der Vorgehensweise in Kap. 1.4.1 ist ein Regler für das Modell 2 (Hydraulisch positionierbares Panzerrohr) zu entwerfen. Die Lage der Pole des geschlossenen Regelkreises seien bei vollständiger Zustandsrückführung gegeben zu s 12 = 10 ± j10 s 34 = 55 ± j55 Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion F S2 (s) =θ(s)/u(s) in der Pol- Nullstellen-Darstellung und in der Form, in der Zähler und Nenner als Polynom in s angegeben werden (MATLAB-Befehl: ss2tf). Geben Sie beide Formen in der Ausarbeitung an. Der Vektor k der Verstärkungswerte des Zustandsreglers ist zu bestimmen. Untersuchen Sie auch für dieses Modell das Führungs- und Störverhalten durch Simulation der Sprungantworten unter Verwendung der Simulationssprache ACSL. Als Führungsgröße ist eine Spannung u θ (t) einzuführen. Als Störung werde, wie in Versuch 1 Kap. 1.4.3, die Größe d t (t) herangezogen. Erstellen Sie die Plots der Zeitverläufe von θ(t), ω(t), p(t), q(t) und u(t). 7