Klausur Wärmelehre E2/E2p SoSe 2013 Braun Name: Matrikelnummer: O E2 O E2p (bitte ankreuzen) Die mit Stern (*) gekennzeichneten Aufgaben sind für E2-Kandidaten vorgesehen. E2p-Kandidaten dürfen diese Aufgabe auch lösen. Hilfsmittel: Taschenrechner. Maximale Punktzahl: 60 (45 für E2p). Note 1.0 für etwa 2/3 der Punkte, Note 4.0 für etwa 1/3 der Punkte. Bearbeitungszeit: 1.5 Stunden. Wenn etwas unklar ist, fragen Sie die Tutoren, nicht den Nachbarn :-) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12* 13* Summe Note 2 2 3 3 6 4 6 4 4 6 5 6* 9* 45/60* Formelsammlung Thermodynamik Thermodynamische Potentiale Freie Enthalpie Hauptsätze 1. 2. du = TdS pdv + μdn Enthalpie Freie Energie du = δq + δw ds = δq rev T Gleichverteilungssatz Gasgesetz pv = NkT Gas-Prozesse: Isotherme: Isochore: ΔU = 0 H = U+ pv F = U TS G = U+ pv TS ΔW = 0 E = f --kt 2 Isobare: ΔW = pv ( 2 V 1 ) Adiabate: ΔQ = 0 pv γ = const γ = C P C V Entropie eines idealen Gases SU (, V, N) = klnω = Nk[ ln( VU 32 / N 52 / ) + const1] Konstanten Boltzmann Konstante k = 1.38 10 23 --- K Avogadro-Zahl N A 6 10 23 Teilchen = ---------------------- mol J Gaskonstante R = 8.32------------- molk Umrechnungen 1bar = 10 5 ------ N m 2 Carnot-Wirkungsgrad 1cal = 4.186J η = ΔT ------ T Boltzmann-Verteilung Es ( ) ---------- Ps ( ) e kt Gaskinetische Zusammenhänge Mittlere freie Weglänge λ = ( σn) 1 Wirkungsquerschnitt σ = πd 2 J Chemisches Potential von idealen Mischungen Der Lösung: μ 0 Misch μ 1 Misch = = ( 0) μ 0 Der gelösten Moleküle: ( 0) μ 1 + ktn 1 N 0 ktln( N 1 N 0 )
1. Zustandsgrößen Nennen Sie die drei paarweise zugeordneten Zustandsgrößen und geben Sie ihre Einheiten an. (2 Punkte) 2. Welcher der folgenden Prozesse ist reversibel? (Kreuzen Sie an) O Isotherme Expansion O Effusion eines Gases (d.h. Drosselprozess in ein Vakuum) O Wärmeleitung über einen endlichen Termperaturunterschied O Mischung von Gasen durch Herausnahme von Trennwänden (2 Punkte) 3. Thermodynamische Potentiale Leiten Sie aus der Fundamentalrelation du = TdS pdv + μdn her, von welchen Zustandsgrößen die thermodynamischen Potentiale H,F und G abhängen (siehe Formelsammlung). (3 Punkte)
4. Geschwindigkeitsverteilung Nehmen Sie an, ein ideales Gas kann sich nur entlang einer Dimension bewegen. Welche Geschwindigkeitsverteilung hat dieses Gas (Teilchenmasse m)? Geben Sie die Normierung der Verteilung an - ohne das Integral explizit auszurechnen. In welchen Einheiten wird die Verteilung angegeben? (3 Punkte)
5. Carnot-Maschine Eine Carnot-Maschine arbeitet zwischen zwei Wärmebädern der Temperatur 550 C und 30 C. a) Was ist der Wirkungsgrad der Maschine? Konkret: wenn die Maschine 1.5kJ an Energie erzeugt, wieviel Wärme erhält sie vom heißeren Bad und wieviel gibt sie an das kältere Bad ab? (2 Punkte) c) Wieviel Entropie gibt dabei das wärmere Bad ab und wieviel nimmt das kalte Bad auf? (2 Punkte) d) Als Ingenieur können Sie die Temperatur eines der beiden Wärmebäder um 5 K verändern. Um den Wirkungsgrad zu maximieren, welches Bad verändern Sie in welche Richtung? (2 Punkte)
6. Chemisches Potential Welche chemischen Potentiale (Molekülart, Phase) werden bei den folgenden Phänomenen gleichgesetzt? a) Osmotischer Druck b) Siedepunkterhöhung c) Nernst-Potential d) Dampfdruckerniedrigung (4 Punkte)
7. Schneeschmelze Im Gebirge liegt der Schnee im Frühjahr ca. 1.5m hoch. Er besteht zur Hälfte aus Eis (ρ=0.918g/cm 3 ) und zur Hälfte aus Luft. Die mittlere Leistung der Sonneneinstrahlung beträgt bei Sonnenschein etwa 800 W/m², wovon 90% reflektiert werden. Die Schmelzwärme von Eis ist 333J/g. a) Wie viele Sonnenstunden dauert es, bis der Schnee auf diese Weise vollständig geschmolzen ist? b) Nennen Sie mindestens einen Grund, warum die Schneeschmelze i.a. deutlich schneller geht. c) Wieviel Entropie hat die Sonne (6000K) für das Schmelzen von 1m² Schnee abgegeben, wieviel Entropie hat dabei der Schnee aufgenommen? (6 Punkte)
8. Osmotischer Druck Leiten Sie den Ausdruck für den osmotischen Druck mit der Hilfe von chemischen Potentialen hersie benötigen die Relation G=µN und G p = V zur Lösung. (4 Punkte) 9. Entropieänderung bei elektrischer Stromleitung Durch einen 100 Ohm-Widerstand wird bei T=300K für eine Minute ein Strom von 1 Ampere geschickt (Leistung P=U*I; Ohm sches Gesetz: U=R*I). Wie groß ist die Entropieänderung zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand bei reversibler Prozessführung a) für den Widerstand b) für die Umgebung des Widerstands? (Veränderungen in der Stromquelle werden nicht berücksichtigt) (4 Punkte)
10. Schmelzdruckkurve von Eis Die Dichte von Eis beträgt 918kg/m 3 bei 0 C, die von Wasser 1000kg/m³. a) Zeigen Sie mit Hilfe der Clausius-Clapeyron-Beziehung p Q ----- P = -------------------------------------------- T TV ( Wasser V Eis ) daß die Schmelzkurve von Eis im p-t Diagramm eine negative Steigung hat. (1 Punkt) b) Welcher Druck ist notwendig, um den Schmelzpunkt des Eises von 0 C auf -2 C zu senken? Die Schmelzwärme beträgt 333J/g. (2 Punkte) c) Um wieviel wird die Schmelztemperatur von Eis durch einen Schlittschuhläufer von 75kg Masse gesenkt, wenn die Auflagefläche eines Schlittschuhs (20x0.25)cm 2 beträgt? Er belastet beim Laufen jeweils nur einen Schlittschuh. (3 Punkte)
11. Bakterienschaukel Schätzen Sie die mittlere Winkelauslenkung (d.h. Mittelwert der positiven Winkel) eines Fadenpendels ab, wenn es den thermischen Stößen eines Wärmebades bei 20 C ausgesetzt ist. Betrachten Sie die folgenden zwei Fälle und vernachlässigen Sie dabei die Masse des Fadens: a) Ein makroskopisches Pendel mit der Masse 10g und der Länge 1m. b) Ein Bakterium (m=4x10-15 kg) an einem winzigen Faden der Länge 10µm. (5 Punkte)
(*) 12. Gasmischung Zwei Volumina V 1 und V 2 eines einatomigen idealen Gases enthalten je N Atome bei gleichem Druck p 0, aber bei verschiedenen Temperaturen T 1 und T 2. Nach Entfernen einer Trennwand zwischen beiden (kein Arbeitsaufwand), vermischen sich die Gasatome. a) Berechnen Sie die Mischungstemperatur und den Enddruck (1 Punkte) b) Leiten Sie aus der Formelsammlung die Relation S = kn[ 2.5lnT lnp + const] her. (2 Punkte) c) Berechnen Sie die Entropieänderung beim Mischen. (3 Punkte)
(*) 13. Polymerkette Betrachten Sie das Modell einer Polymerkette, wie hier skizziert: l F L Es besteht aus N Monomeren der Länge l, wovon N R nach rechts gerichtet sind und N L nach links. Die Anzahl N R und N L können alle erlaubten Werte annehmen. Die Länge L ist der gerichtete End-zu-Endabstand des Polymers, d.h. die Koordinate des Endpunkts im Koordinatensystem des Anfangspunktes. Die thermische Bewegung begünstigt ein Verknäueln des Polymers. Eine Kraft F nach rechts wirkt dem entgegen. a) Formulieren Sie den ersten Hauptsatz mit ΔW als Funktion der Kraft F und der Längenänderung ΔL. (1 Punkt) b) Geben Sie die Länge L in Abhängigkeit von N R und N L an. Durch Kombinatorik kann man berechnen, daß die Zustandszahl Ω gegeben ist durch Ω = N! ( N R!N L!). Überprüfen Sie die Formel, indem Sie für N=4 und der Polymerlänge L=+2l alle möglichen Mikrozustände des Polymers aufzeichnen, abzählen und mit der Formel vergleichen. (2 Punkte) c) Berechnen Sie die Entropie der Polymerkette mit der Stirling-Näherung N! N N für N>>1. Berechnen Sie weiterhin die gerichtete Länge L als Funktion von l, N und N R. (2 Punkte) d) Berechnen Sie die Kraft F, welche das Polymer bei konstanter Länge L halten kann als Funktion von L,T,N und l. Sie tun sich leichter, wenn Sie den folgenden Ansatz benutzen: lnω ------------ L = lnω N ------------ R N R L (4 Punkte)
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