Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 218 Blatt 4: Funktionen von einer Variablen 1. Gegeben sind die Mengen M 1 = {, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} und M 2 = { 1,, 1, 2} sowie die Zuordnungsvorschrift f : M 1 æ M 2,x æ f(x) mit Y _] _[ für x gerade und x>2 1 für x Æ 2 1 für x ungerade und durch 3 teilbar 2 sonst a) Skizzieren Sie diese Zuordnungsvorschrift in einem Pfeildiagramm und begründen Sie, warum durch die Vorschrift f eine Funktion definiert ist! b) Bestimmen Sie jeweils die Bildmenge der Mengen {1, 2, 3} und {4, 6, 8} c) Ist die Funktion f injektiv, surjektiv, bijektiv? Existiert eine Inverse zu f? Begründen Sie! 2. P Gegeben sind die Mengen A = {2, 3, 5} und B = { 2, 6, 25}, sowie die folgenden Zuordnungsvorschriften: f 1 : A æ B mit a œ A ist Teiler von b œ B f 2 : B æ A mit f 2 ( 2) = 3, f 2 (6) = 2, f 2 (25) = 5. a) Welche der Vorschriften sind Funktionen? Hinweis: Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt. D. h. eine ganze Zahl a teilt eine ganze Zahl b genau dann, wenn es eine ganze Zahl n gibt, für die a n = b ist. b) Welche der Funktionen aus a) sind injektiv, surjektiv, bijektiv? c) Zu welcher der Funktionen aus a) existiert eine Umkehrfunktion? WM Übungen Blatt 4 1 SS 218
3. P Gegeben sind die Funktionen f : R æ R, x æ x 2 und g : R ++ æ R, x æ ln(x) Bilden Sie nun, wenn möglich, die Funktionen a) f g sowie f g. b) f g = f (g (x)) sowie g f = g (f (x)) Welche Voraussetzungen sind dabei zu beachten? 4. P Gegeben ist die reelle Funktion: f : R æ R, f (x) = 1 4 x2 1 a) Skizzieren Sie diese Funktionen ohne Erstellung einer Wertetabelle. b) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion und geben Sie die Bildmenge an! c) Untersuchen Sie die Funktion anhand der Skizze auf Monotonie, Beschränktheit sowie das Verhalten im Unendlichen! d) Ist die Funktion f injektiv, surjektiv, bijektiv? 5. Für welche reellen Zahlen x ist die folgende Funktion f(x) definiert? Ô x2 +3x +1 ln(2x 6) 6. Bestimmen Sie, wenn möglich, die Inverse zur Polynomfunktion 1 2 x2 + 2 im Intervall [-3, ]! WM Übungen Blatt 4 2 SS 218
7. Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion. Skizzieren Sie die erste Ableitung dieser Funktion! y 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 x 8. Gegeben ist die Funktion x2 x 2 +3 Diskutieren Sie diese Funktion, d.h. bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge, Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte, Monotonie, das Krümmungsverhalten und das Verhalten im Unendlichen. Skizzieren Sie den Graphen! 9. Bestimmen Sie die Grenzwerte: a) lim xæ2 x 2 x 2 4 ln x b) lim Ô c) lim xæœ x xæ x2 ln x + 1. Gegeben ist die Funktion f : R æ R mit e 1 2 x 1. a) Bestimmen Sie das Taylor-Polynom p(x) zweiten Grades mit Entwicklungsstelle x =2! b) Approximieren Sie e,5 mit Hilfe des Polynoms aus a), indem Sie den Funktionswert von p an der Stelle x = 3 berechnen! 11. P Bestimmen Sie die Taylorentwicklung um den Punkt x = (mit Gliedern bis einschließlich zweiter Ordnung): f :] 1; Œ[æ R mit 2 1+x. WM Übungen Blatt 4 3 SS 218
12. Berechnen Sie sämtliche Stammfunktionen und das bestimmte Integral im Intervall [, 1] für: e 2x + x 1 2 Hinweis: e2 2 3, 69 13. P Bestimmen Sie alle Funktionen, deren zweite Ableitung f ÕÕ (x) =e 1 2 x + Ô x ist! 14. Bestimmen Sie: a) ˆ x ln(x 2 ) dx b) ˆ1 x 2 (x 3 +1) 5 dx 15. P Bestimmen Sie: a) ˆ Ô x +1 Ô dx b) x 5 ˆ1 1 (2x +1) 3 dx 16. P Gegeben ist die Funktion 1 1 4 x2. Berechnen Sie das bestimmte Integral im Intervall [, 3] und skizzieren Sie die Funktion! Begründen Sie, warum der Wert des bestimmten Integrals in diesem Fall nicht der Fläche zwischen der Funktion und der x-achse im angegebenen Intervall entspricht! Wie groß ist diese Fläche? 17. Skizzieren Sie die folgenden Funktionen und berechnen Sie, wenn möglich, die uneigentlichen Integrale: a) ˆŒ 1 3 dx b) x2 ˆŒ (1 + e x ) dx 18. Eine Grenzkostenfunktion ist gegeben durch K Õ (x) =3x 2 x 2 +2. a) Erklären Sie den Begri Grenzkosten. Was gibt die Grenzkostenfunktion an? b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion, wenn für eine Produktion von zwei Einheiten Gesamtkosten in Höhe von 31 anfallen! c) Wie hoch sind die Fixkosten der Produktion? d) Welche Kosten fallen bei einer Produktion von x = 4 an und wie hoch sind an dieser Stelle die Grenzkosten? e) Bestimmen Sie die Durchschnittskostenfunktion und deren Wert an der Stelle x =2! f) Das Produkt wird zu einem konstanten Preis von p = 55 abgesetzt. Bestimmen Sie 2 die Gewinnfunktion, die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den Maximalgewinn! WM Übungen Blatt 4 4 SS 218
19. P Es ist bekannt, dass die Nachfrage nach einem Produkt linear von seinem Preis p abhängt, d.h. n (p) =a p + b. Bei einem Stückpreis von p =4können 18 Einheiten des Produktes abgesetzt werden. Ferner ist bekannt, dass sich bei einer Preiserhöhung um eine Geldeinheit die Nachfrage um, 5 vermindert. a) Bestimmen Sie die Funktion n (p). b) Geben Sie einen ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich an. c) Bestimmen Sie die Preiselastizität der Nachfrage für p = 4. d) In welchem Preisbereich ist die Nachfrage elastisch? 2. Der S-förmige Kostenverlauf eines Betriebes wird durch ein Polynom 3. Grades beschrieben. Die Fixkosten der Produktion betragen 6 GE. Die Grenzkosten sind an der Stelle x = 6 minimal. Die Gesamtkosten an dieser Stelle betragen 42 GE. Die Grenzkosten an der Stelle x = betragen 18 GE. Die Preis-Absatzfunktion lässt sich durch p(x) = 3 2 x +18 beschreiben. a) Bestimmen Sie Höchstpreis und Sättigungsmenge! b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion K(x), sowie die Erlösfunktion E(x)! c) Ermitteln Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge sowie den maximalen Gewinn! d) Ab welcher Erzeugungsmenge gilt das Gesetz der schließlich zunehmenden Grenzkosten? 21. Gegeben ist die Funktion f : Ræ R, mit: I x< 3 e 3x x Ø a) Bestimmen Sie den linksseitigen sowie den rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x =.Istf an der Stelle x = stetig? b) Berechnen Sie die erste Ableitung und bestimmen Sie das globale Maximum sowie das globale Minimum der Funktion f(x). Prüfen Sie f(x) für x Ø auf Monotonie. Hinweis: Fertigen Sie eine Skizze an! c) Bestimmen Sie alle Stammfunktionen F (x) vonf(x) für x Ø. d) Bestimmen Sie ˆ1 f(x)dx. Hinweis: e 3, 5 e) Bestimmen Sie die Fläche, die f(x) mit der Abszisse einschließt, also die Fläche zwischen der Funktion und der x-achse über ganz R. WM Übungen Blatt 4 5 SS 218
22. P Gegeben ist die Funktion f : R æ R, mit: Y _] _[ 1 3 x2 +8 x Æ 3 4 3 x + a x > 3 a) Bestimmen Sie a derart, dass f(x) über ganz R stetig ist. b) Wie groß ist die Fläche, die die Funktion f und die Funktion g : R æ R, mit g(x) =5 im Intervall [; 3] einschließen? Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren! WM Übungen Blatt 4 6 SS 218