Lieare, partiee Differetiageichuge zweiter Ordug - Lösugsmethode Treug der Variabe Homogee Probeme Der recherische Aufwad, eie ieare, partiee Differetiageichug -ter Ordug i die Normaform zu brige, wird ua auch deshab aufgewedet, wei sich uter bestimmte Voraussetzuge zuächst zumidest der homogee Tei der Normaform mit der Methode der Treug der Variabe öse äßt Die Methode der Treug der Variabe bedeutet, daß wir eie Produktasatz u(,y) = X() Y(y) as Lösug achsteheder Normaform vermute ud bestätige a(, y) u + c(, y) uyy + d(, y) u + e(, y) uy + f(, y) u =, wori mit a(,y) = - c(,y) der hyperboische Typus etsteht: a(, y) u a(, y) uyy + d(, y) u + e(, y) uy + f(, y) u = Mit a(,y) = bzw c(,y) = etstehe etspreched der paraboische bzw der eiptische Typus Setze wir de Produktasatz u(,y) = X() Y(y) i de hyperboische Typus ei, ud reche stevertreted auch für die beide adere Fäe, so geage wir zu fogedem Resutat: a(, y) X Y a(, y) X Y + d(, y) X Y+ e(, y) X Y + f(, y) X Y = Teie wir diese Geichug durch u a(,y) = X Y ud setze für die Normaform voraus, daß bei dieser Divisio der fogede Ausdruck etsteht X Y dy (, ) X ey (, ) Y fy (, ) + + + =, X Y ay (, ) X ay (, ) Y ay (, ) 3 3 3 d ( ) e ( y) ( f ( ) + f ( y)) so köe wir ach beide Variabe tree: X X d X X f Y Y e y Y + ( ) + ( ) = ( ) Y f ( y ) dy (, ) ey (, ) Natürich sid die Aahme = d ( ) ud = e ( y) im Regefa icht gegebe, weshab ay (, ) ay (, ) viee Normaforme im Regefa mit der Seperatio der Variabe icht ösbar sid Setzt ma diese Aahme jedoch voraus, so hägt die ike Seite ur vo ab, die rechte Seite hägt ur vo y ab Wei aber beide Seite geich sei müsse, sid beide Seite kostat: X X d X + ( ) + X f ( ) = k ud Y Y e y Y ( ) Y f ( y ) = k Damit habe wir mit dem Produktasatz aus eier partiee Differetiageichug -ter Ordug, zwei gewöhiche Differetiageichuge gemacht, die miteiader mit eiader durch eie Kostate k gekoppet sid Wir suche getrete Lösuge X() ud Y(y) ud vereie die Lösuge da zu u(,y) = X() Y(y)
Beispie Die Normaform sei so vorgegebe: y u - y u yy + cos y u + siy u y + y - ( - y ) = Wir mutipiziere mit ud erhate die Geichug y u u u y y u y yy + + y + cos si =, die mit dem Produktasatz ösbar ist 4 34 { { y 3 d( ) e ( y) f ( ) g( y) Für eie ieare, homogee, partiee Differetiageichug -ter Ordug mit kostate Koeffiziete köe wir mit dem Produktasatz direkt zur Lösug geage, ohe de Umweg über eie Normaform gehe zu müsse I diesem Fae git: A u + B uy + C uyy + D u + E uy + F u = Das Eisetze vo u = X() Y(y) ergibt: A X Y+ B X Y + C X Y + D X Y+ E X Y + F X Y = Divisio durch A X Y ergibt: X B X Y C Y D X E Y F + + + + + = (*) X A X Y A Y A X A Y A Wir differeziere diese Ausdruck ach ud bekomme:,,, X B X Y D X X + A X + Y A X = Nu köe wir die Variabe tree:, X X D Y + =, Beide Seite müsse u geich eier Kostate k sei Damit erhate wir: B X A Y A X X D X B k B X + = ud Y k Y A X + 44 44 = 3 Die Itegratio des X-Terms ergibt: Y Geichug X D X B k B X + = c, (**) wori c eie och zu bestimmede Itegratioskostate ist A X Diese erreche wir, we wir die Y-Geichug i (*) eisetze ud mit X mutipiziere: D X + B k B A X k E C k F C + + C A X = E Der Vergeich mit (**) ergibt: c k C k F C = + C, aso A D X B k B A X k E C k F C C A X k E C k F C + + + + C A = 444444444444 444444444444444 3 X Geichug Das Edergebis autet: Ist X eie Lösug der X-Geichug ud Y eie Lösug der Y-Geichug, so ist u = X Y eie Lösug der partiee Differetiageichug
3 Beispie Vorgegebe sei die partiee Differetiageichug (Wärmeeitugsgeichug) u a u adere Schreibweise = u a ut =, < <, t >, () t ud die Radbediguge u(,t) = t > () u(,t) = t > (3) u(,) = f() < < (4) Gesucht ist eie Fuktio u(, t), die im Bereich (, t ) die Differetiageichug ud die Radbediguge () bis (4) erfüt Wir ee eie soche Aufgabe auch ei Rad - Afagswertprobem Wir ehme eie Lösug der Form u(,t) = X() T(t) a ud setze diese Asatz i die Differetiageichug ei ud erhate: X T = a X T bzw X T = = k,wori k eie Kostate ist X a T Daraus eite wir zwei gewöhiche Differetiageichuge her: X kx = ud T k a T =, die beide über die Kostate k miteiader gekoppet sid Nu müsse wir die Radbediguge zuorde Für die X - Geichug (-ter Ordug) brauche wir die beide - Radbediguge: u(=,t) = X() T(t) =, dh aber etweder ist X() ud T(t) = für ae t oder es ist X() = Für X() ud T(t) = ist aber u =, eie Lösug, die bei homogee Systeme immer git ud icht errechet werde muß Aso ist X() = Geauso foger wir aus u( =,t) = die X - Bedigug X() = Da autet usere gewöhiche X - Differetiageichug so: X kx = mit X() = X() = Die Lösuge zu diesem System häge vo dem Vorzeiche vo k ab Für k > aute sie: κ X c e κ ( )= + c e Aus de beide Radbediguge fogt da das Geichugssystem: c + c = κ κ c = c =, aso wiederum isgesamt u = c e + c e = Diese Lösug ka die Radbedigug (4) icht erfüe Für k = heißt die Lösug so: X = c + c Aus de beide Radbediguge fogt aber wiederum X = bzw daraus u = Beibt der Fa k < mit der Lösug: X ( ) = c5 si k + c6 cos k
4 Aus X() = fogt c 6 = Aus X() = fogt c5 si k =, dh etweder c 5 = mit der Lösug m π X() = ud damit auch u =, oder si k =, dh k = m π k =, wege k < Zu jedem Wert k m eistiert aso eie Lösug: m m Xm( ) = c, m si π dm si = π 5 Nu betrachte wir zu jedem k m die gekoppete Differetiageichug m π T + a T = m π t Die Lösuge dazu sid: Tm()= t em e Damit autet die zusammegesetzte Gesamtösug so: m π m π t t m π m um(, t) = dm si em e π fm si e = 4444443 X Lösug 4444443 T Lösug Die gesuchte Lösug etsteht u aus der Überagerug aer Teiösuge u m : m π t m π ut (, ) = um( t, ) = fm si e i= i= Die Kostate f m müsse jetzt so gewäht werde, daß m u (, ) = f ( ) = fm si π m= Dies wird reaisiert, we f() durch eie Fourier-Reihe dargestet werde: m fm = f π ( ) si d Da autet die edgütige Lösug: Bid: u(,t) mit u(,) = 3 m π t m m ut (, ) = um( t, ) = f( ) si π si π e m m d = = Mit = ud f() = 3 erreche wir im kokrete Fa eie Fuktio u(,t) gemäß obigem Bid Die Afagsbedigug ud die Radbedigug sid i u(,) widersprüchich, wobei i der umerische Näherug die Radbedigug Vorrag hatte Dem Recherbid iegt eie Fourierreihe mit Koeffiziete zugrude Für viee Koeffiziete würde wir a u(,) eie Ustetigkeit erkee
5 Beispie Im Iere des kreisförmige Defiitiosbereich + y < R sei ei kreissymmterischer Prozeß durch die sogeate Lapace - Geichug beschriebe: u( y, )= u + uyy = Zuächst verwede wir Poarkoordiate r ud φ, um die kreisförmige Strukture besser erfasse zu köe Außerdem müsse wir die Radbediguge des Prozesses vorgebe I der - y Darsteug mit rechteckige Gebiete habe wir 4 Räder ud beötige Radbediguge für ud zwei Radbediguge für y I der r - φ Darsteug ud kreisförmige Gebiete sid häufig fogede Radbediguge techisch reevat: ur (, φ+ π ) = ur (, φ), wei Kreisprozesse im Regefa periodisch sid mit der Periode ϖ u(r,φ) = f(φ), dh auf dem äußere Rad ist u ur eie Fuktio vo φ 3 im ur (, φ ) = k, dh für r = ist u(,φ) edich r Offesichtich feht eie Radbedigug für φ bzw die Bedigug der Periodizität ersetzt beide φ Bediguge Mit Poarkoordiate sieht die Lapce - Geichug so aus (s3): u + uyy = urr + ur + u = r ; < r < R φφ r Nu heißt der Produktasatz so: u(r,φ) = v(r) ω(φ) Mit diesem Asatz bekommt die Differetiageichug fogede Form: v ωφφ ω v + ω v + ωφφ = rr + r v r rr r = = k r r r v v ω Wir erhate zwei, getrete, gewöhiche Differetiageichuge, die aber über eie Kostate k miteiader verküpft sid a ω + k ω = ud b r v + r v - k v = Wir begie mit a, dere Lösuge wir aus de Nustee des charakteristische Poyoms erreche: λ + k =, aso λ = k ud λ = k Die Gesamtösug, die sich daraus für für ω ergibt, hägt ab vo dem Vorzeiche vo k Wir begie mit k < Da ist - k > ud die Lösug ω ist: k φ k φ ωφ ( ) = c e + c e Eie soche Fuktio ka die Periodizität ur für die ubedeutede Lösug mit c = c = erfüe Diese Lösug ist uiteressat Wir setze jetzt k =, woraus sich die Lösug ω( φ) = c3, + c 4, φ ergibt
Diese Lösug ka die Forderug ach Periodizität ur mit c 4, = erfüe Da heißt die Lösug: ω = c 3, Schießich utersuche wir de Fa k > Die Lösug zu de kompee Nustee λ, = α + iβ = λ, = α ± i β =± i k ist: αφαφ ω = c5 e si( β φ)+ c6 e cos( β φ)= c5 si( k φ)+ c6 cos ( k φ) Um die Aforderug der Periodizität i der Lösug besser käre zu köe, schreibe wir sie um: ω = c 5 si( k φ)+ c 6 cos( k φ)= c 7 si ( k φ+ γ), Dieser Ausdruck ist ur da periodisch mit ϖ, we für das Bogemaß git ( k φ + γ)+ π m= k ( φ + π)+ γ Dies ist ur für m= k k = m, k =,,,3, der Fa Da aute die Lösuge: ωm = c5, m si( m φ )+ c6, m cos ( m φ ) Dieses Ergebis verwede wir für die zweite Differetiageichug: 6 r v + r v m{ v= k Hierbei hadet es sich um eie Euer - Differetiageichug Wir öse diese Geichug mit dem Asatz: v = r λ, zuächst für m =, woraus λ (λ - ) + λ = λ =, aso λ, = fogt Dazu heißt die Lösug: v = d, + d, r Aus der Radwertbedigug im ur (, φωφfogt ) = im vr ( ) ( ) = k d, = Aso beibt die Lösug: r r v = d, Ist m, so erhate wir λ (λ - ) + λ m = λ m =, aso λ, = ± m Die Lösuge dazu sid: vm r d m r m m () =, + d, m r Die Grezwertbedigug im ur (, φωφbedeutet ) = im ( vr ( ) ( ) = k u d,m = r r Damit heißt die Lösug: vm() r = d, m r m Die zusammegesetzte Lösug heißt da so: ur (, φ) = c3, d, + ( c5, m si( m φ)+ c6, m cos( m φ) ) ( d, m r m ) m= f = + ( em r m ) si( m φ)+ ( fm r m ) cos( m φ ) m=
7 Mit r = R ud u(r,φ) = h(φ) bestimme wir mit der Theorie der Fourierreihe die verbeibede, freie Koeffiziete e m ud f m aus: f m m h( φ) = + ( em R ) si( m φ)+ ( fm R ) cos( m φ), wori u m= π π π em = h [ m ] π ( φ) si φ d φ, f = h π ( φ) d φ ud f m = π h ( φ) cos[ m φ] d φ sid Schießich autet die Gesamtösug π π π u(r,φ) = + π h [ ] ( )+ [ ] π hm r m m ( φ) d φ ( φ) si φ d φ si mφ π hm ( φ) cos φ dφ r cos mφ m= Beispie 3 Vorgegebe sei die homogee, partiee Differetiageichug ter Ordug mit kostate Koeffiziete (Lapace - Geichug): adere Schreibweise u + u y = u + uyy = () ud de Radbediguge u(,) = f() () u(,) = (3) u (, y) = u(, y) = (4) u (, y) = u(, y) = (5) Gesucht ist eie Fuktio u(, y), die im Bereich (, y ) die Differetiageichug ud die Radbediguge () bis (5) erfüt Wir ee eie soche Aufgabe auch ei Radwertprobem Lösug Wir verwede de Lösugsasatz u(, y) = X() Y(y) (6) Offesichtich sid die Lapace Geichug () ud die Radbediguge (3) (5) homoge, währed die Radbedigug () ihomoge ist Dadurch wird es später probematisch sei, die Radbedigug () dem X Probem oder dem Y Probem zuzuorde Stattdesse werde wir sie i die Gesamtösug u(,y) eibrige ud verarbeite d X() d Y(y) + X() d Y(y) dy adere Schreibweise = X Y + X Y = bzw ( )
8 X X = - Y Y I dieser Geichug hägt die ike Seite ur vo ab ud die rechte Seite ur vo y Dies ist aber ur mögich, we beide Seite kostat sid: X X = - Y = k, (7) Y wori k eie reee Zah darstet Offesichtich köe wir aus G (7) zwei gewöhiche Differetiageichuge hereite, die durch die Zah k miteiader verküpft sid: X = k bzw X - k X =, (8) X ud Y - Y = k bzw Y + k Y = (9) Wir überege us jetzt, i wecher Weise sich die Radbediguge () bis (5) des ursprügiche Radwertprobems de gewöhiche Differetiageichuge (8) ud (9) zuorde asse Aus u(,) = ud u(,y) = X() Y(y) fogt X() Y() = ud damit X() = für ae X (dh u(,y) =, aso uiteressat) oder Y() = () Ausserdem erhate wir: u (,y) = X () Y(y) =, aso etweder Y(y) = für ae y ud damit u(,y) = (uiteressat) oder X () = () Etspreched git X () = () Nicht etkoppe ud zuorde äßt sich die ihomogee Radbedigug (): U(,) = X() Y() = f() (3) Wir öse zuächst die gewöhiche Differetiageichug X - k X =, (8) wori X() die Radbediguge X () =, (), ud X () =, (), erfüe so I dem Lösugsverfahre uterscheide wir drei Fäe: k <, k = ud k > Wir begie mit k > ud drücke dies so aus: k = κ G (8) stet eie gewöhiche Differetiageichug zweiter Ordug mit kostate Koeffiziete dar Sie besitzt die Lösug: X() = c e κ + c e - κ
9 Wir bestimme c ud c aus de Radbediguge ud der Abeitug X () = c κ e κ - c κ e - κ Aus X () = ud X () = foge sukzessive die Geichuge c - c = c (e κ - e - κ ) =, aso c = c = Damit kommt k > as Lösug für X() icht i Frage ud scheidet damit as Lösugsasatz für Y(y) aus Wir utersuche u de Fa k = Die Differetiageichug heißt u: X () = ud besitzt die Lösug X() = c 3 + c 4 Aus de beide Radbediguge X () = X () = fogt c 4 = ud die Lösug X() = c 3 Wir schiesse die Suche ach mögiche Lösuge ab mit dem Fa k < Um zu iustriere, dass k < ist, schreibe wir k = - κ Da autet G(8): X + κ X = Das Fudametasystem vo Lösuge heisst jetzt: X() = c 5 si κ + c 6 cos κ, mit κ > Aus de Radbediguge fogt u zuächst: X () = c 5 κ cos κ - c 6 κ si κ =, aso c 5 =, ud X () = c 5 κ cos κ - c 6 κ si κ c 5= = - c 6 κ si κ =, aso etweder c 6 = oder κ = π, dh k = - π, =,, 3, Da sehe die Lösuge X () so aus: X( ) = c6, cos( π) Wir behade jetzt die zweite gewöhiche Differetiageichug, aso Y + k Y = mit Y() Für k = autet die Differetiageichug Ẏ = Sie besitzt die Lösug Y = c 7 + c 8 y Mit der Radbedigug Y() = fogt daraus:
3 Y = c 7 ( y) Für k <, aso k = - π, =,, 3, π y π y 7 8 Y( y) = c, e + c, e Aus de Radbediguge fogt: Y() = c = c e 7, 8, Die Lösug für = sieht u so aus: π heisse die Lösuge: u(, y) = c3, ( c7, ( y)) = h( y), ud für =,,3, so: { 44 3 X Lösug Y Lösug π π y π y u(, y) = ( c cos( π) )( c, [ e e + e ])= f cos( π) e e + e 44443 8 44444444443 X Lösug Y Lösug = = = h π π y π y [ ] Die Kostate f müsse jetzt so gewäht werde, daß π u(, ) = f( ) = h ( ) + f [ e + ] cos( π)= h + h cos( π)= h cos( π) 44443 Dies wird reaisiert, we wir f() as gerade Fuktio ergäze, f(-) = f() i -, ud da durch eie Fourier-Reihe darstee: h = f ( ) d ud h = f ( ) cos( π ) d Da autet die edgütige Lösug, zb mit f() = : uy (, ) = u( y, ) = X( Y ) ( y) = ( y) + 3 = = = cos( π) dcos( π) e e + e π ( e + ) π πy πy [ ] Das Bid rechts zeigt die Lösug mit f() =
3 Beispie 4 As partiee Differetiageichug gebe wir die sogeate Weegeichug (c = ) der Mechaik vor u tt - c c = u = u tt u = () Die Radbediguge seie so defiiert: u(,) = 3 - () u t (,) = (3) u(,t) = (4) u(,t) = (5) Aus der homogee, partiee Differetiageichug etwicke wir mit dem Produktasatz u(,t) = X() T(t) wieder zwei gewöhiche Differetiageichuge: T k T =, (6) ud X k X = (7) mit fogede spezifische, homogee Radbediguge: u(,t) = X() T(t) =, aso X() =, (8) u(,t) = X() T(t) =, aso X() =, (9) u t (,) = X() T () = =, aso T () = () Schiessich beibt eie Bedigug, die wir icht etkoppe köe: u(,) = 3 X() T() = 3 - () Wir öse zuächst X () k X = mit de Radbediguge X() = ud X() = Wir uterscheide die drei Fäe: k <, k = ud k > Für k = - κ < heisst das Fudametasystem vo Lösuge: X() = c si κ + c cos κ Aus X() = fogt c = ud aus X() = fogt aschiessed: c si κ =, aso c = oder κ = π, dh k =- π Jedes =,,3, ergibt eie Lösug ud die Lösugsgesamtheit für k < autet:
3 X ( ) = X ( ) = c si( π) = =, Für k = erreche wir aus X = das Fudametasystem: X() = c 3 + c 4 Die Radbediguge ergebe X() = c 3 = ud X() = c 4 =, aso gibt es für k = keie icht - triviae Lösug Für k = κ > erreche wir schiessich das fudametae Lösugssystem: X() = c 5 e κ + c 6 e κ Aus X () = ud X() = foge die Geichuge c5 + c6 = κ κ c = c6 = c5 e c6 e = 5 Isgesamt erreche wir daach ur für k < Lösuge, die vo Nu verschiede sid Wir reche deshab ur mit k = - π weiter: ( ) = T + π T, Das Fudametasystem heisst: T (t) = c 7, cos (πt) + c 8, si (πt) Aus T () = fogt c 8, = : T (t) = c 7, cos (πt) Isgesamt erreche wir für u(,t) somit fogedes Gesamtergebis: u(,t) = X ( ) T ( t) = = Nu git schiessich auch och u(,) = 3 -, aso [ c, si ][ c 7, cos t ] = π π u(,) = = [ c ] c c c = 3, si π 7, cos 4 7 [ π 34,, si π ]= = woraus wir die Fourierkoeffiziete b, <, so bestimme: = b si π = 3 -,
b = 3 π si 4 34 ( ) u (, ) d, dh b ( ) = 33 3 π 3 3 Dari steht u(,) = 3 -, -, für eie ugerade, periodische Fuktio mit der Periode L = Die Gesamtösug heißt somit: u(,t) = X() T(T) = = ( ) 3 π 3 3 si π cosπ t Treug der Variabe Ihomogee Differetiageichuge Zuerst zeige wir ei Lösugsverfahre für ei ihomogees Probem, i dem der ihomogee Atei ur vo abhägt User Beispie dazu heisst: Beispie u = c u + F( ) i < <, t > tt u(,) = f() i, u t (,) = g() i, u(,t) = A für t > ud u(,t) = B für t > Wir verwede de Lösugsasatz: u(,t) = v(,t) + U(), ud setze diese i die Differetiageichug ei Wir erhate: tt tt u cu = v cv + cu = F ( ) We u u(,t) eie Lösug der ihomogee Differetiageichug ist ud cu da muß v(,t) die homogee partiee Differetiageichug erfüe: = F ( )erfüt ist, v tt = c v Für die Rad- ud Afagsbediguge git aaog: u (, ) = v (, ) + U ( ) = f( ) v(,) = f( ) U ( ), u (, ) = v (, ) = g( ) v (,) = g( ) t t t, u(, t) = v(, t) + U( ) = A v(, t) = A U( ) ud ut (, ) = vt (, ) + U () = B vt (, ) = B U ()
Forder wir i der Lösug vo U die Radbediguge U() = A ud U() = B, so beibt zu öse: U = F ( ), mit U() = A ud U() =B, sowie c vtt = c v, mit v(,) = f( ) U( ) v (,) t v(, t) = vt (, )= = g ( ) Die Lösug zu U U U = = F( ξ) dξ+ c ud c 34 = F ( ) erreche wir durch zweimaiges Itegriere:: c F d + c ( ξ) ξ d + c = F d + c + c η c ( ξ) ξd η c 4 4444 3 U Nach Eibeziehug der Radbediguge sieht die Lösug so aus: U A B A ( ) = + ( ) + F( ) d F( ) d c ξ ξd ξ ξd η c Im kokrete Fa seie f( )=, g() =, c =, F() = 6 ud U() = sowie U() = Da heißt die Lösug U() kokret: η η U ( ) = + ( ) + 6 ξdξd 6 ξdξd η= Zu öse beibt : v tt = v, mit v(,) = f( ) U( ) = + 3 = 3 - v t (,) = v(, t) = vt (, )= Dieses wurde im Beispie 4 gerechet Daach autet die Gesamtösug (s Bid mit, t > ): 3 ut (, ) = vt (, ) + U ( ) = + 3 ( ) si cos t 3 3 π π π = Nu bearbeite wir die ihomogee Wärmeeitug, wobei die Ihomogeität vo ud t abhäge so 3
Beispie 35 ut = a u + F (, t ) i < <, t > u(,) = f() i, Afagswert u(,t) = g(t) für t > ud Radwert u(,t) = h(t) für t > Radwert Die Afagswertbedigug bedeutet, dass eie Afagstemperatur zur Zeit t = vorgegebe ist Die Radbediguge weise aus, daß a de Räder eie mit t veräderiche Temperatur vorgegebe ist Es so f() = g() = u(,) ud f() = h() = u(,) stetig vorgegebe sei Wir zerege zuächst das Probem i drei sich überagerde Lösuge (Superpositiosprizip), ut (, ) = vt (, ) + wt (, ) + zt (, ), wori v(,t) eie homogee Differetiageichug mit homogee Radbediguge ud w(,t) eie ihomogee Differetiageichug mit homogee Radbediguge öse, währed durch z(,t) die ihomogee Radbediguge defiiert werde Die Gesamtösug u setzt sich aso zusamme aus eiem Puzze vo Eizeösuge, i der sich die Summe der Differetiageichuge, Rad- ud Afagsbediguge zum gewüschte Gesamtergebis zusammefüge soe Wir begie mit der Lösug für v(,t): vt = a v i < <, t > v(,) = r() i, v(,t) = für t >, v(,t) = für t > Ma beachte, dass icht v(,) = f() gefordert ist Die Fuktio r() astee vo f() ergibt sich aus z(,t) Am Ede so icht v(,) = f() sei,, soder u(,) = v(,) + w(,) + z(,) = f() Die Lösug v(,t) ist aus dem Beispie bekat: π t a vt (, ) = v( t, ) = r ( ) si π si π e d = = Wir öse u w(,t): wt = a w + H (, t ) i < <, t >, w(,) = i, w(,t) = für t >, w(,t) = für t > Wieder beachte wir, dass icht wt = a w + F (, t ) soder wt = a w + H (, t ) gete so Auch diese Modifikatio beruht auf der Eistez vo z(,t) Wir beutze de Lösugsasatz:
wt (, ) = w( t) si π w ( t) si w ( t ) si w ( t) si = π + π + 3π 3 + m= Daraus fogt: wt (, t) = w ( t) si π w ( t ) si w ( t) si + π + 3π 3 + ud w 36 (, t) = π w( t) si wt (, ) π = π m= Ausserdem zerege wir H(,t) i eie Fourierreihe bezügich : Ht (, ) = a( t) si π, wori a = ( t) = Ht (, ) si π d bedeutet Da bekommt H(,t) die Form: Ht (, ) = Ht (, ) si π si Ht (, ) si si π + π π d d + 4444 44443 4444 44443 a() t a() t Setze wir w t, w ud H(,t) i die partiee Differetiageichug ei ud mache Koeffizietevergeich mit de Koeffiziete zu de Terme vo si π, so erhate wir für jede Wert vo eie gewöhiche, ieare ud ihomogee Differetiageichugeichug -ter Ordug für w(t): w () t = π w H a + Der Afagswert w () ergibt sich aus u(,) = : = = π w (, ) w( ) si w ( ) = = Die Lösug dieser gewöhiche ( Parameter) Differetiageichug ud der Afagsbedigug heißt: t π ( t τ) w( t) e a π = Ht (, ) si si π d dτ 444444443 a () t Schiessich ist t t π ( τ) wt (, ) = w( t, ) = e a π Ht (, ) si π si d dτ = =
37 die Lösug der ihomogee Differetiageichug mit homogee Rad- ud Afagsbediguge Die Summe der bisherige Lösuge ergebe i ihrer Überagerug fogedes Ergebis: u*(,t) = v(,t) + w(,t): u v w a v w H t t = t + t = ( + )+ (, ) = a u + H (, t ) i < <, t >, u*(,) = v(,) + w(,) = r() i, u*(,t) = v(,) + w(,) = für t >, u*(,t) = v(,) + w(,) = für t > Wir beötige och de Korrekturterm z(,t), der eierseits die Radbediguge eiführt, adererseits H(,t) ud g() zu dem gewüschte F(,t) ud f() macht Dies ka zb durch zt (, ) = gt ( ) + ( ht ( ) gt ( )) geschehe Mit diesem Zusatz git isgesamt: u(,t) = v(,t) + w(,t) + z(,t) ud damit für die Differetiageichug: u a u F(,t) v w z v w = + + + = + + + ( ) = a v + w + z g h g + H(,t) bzw { t t t t t t vt wt a v w + = ( + )+ H(,t) + ( g h g ) 4444 4444 3 F(,t) Wähe wir i der Lösug für w(,t) de Term H(,t) so, dass Ft (, ) = Ht (, ) g + ( h g ), so ergibt die Überagerug vo v + w + z die gewüschte Differetiageichug mit dem Term F(,t) ud de gewüschte Radbediguge Schiessich so auch die Afagsbedigug gete: u (, ) = v (, ) + w (, ) + z (, ) = r ( ) + + = f( ) = Dies bedeutet, daß wir für die Lösug v() die Afagsbedigug r() = 3 wähe müsse, um i der 3 3 Gesamtsumme u (, ) = v (, ) + w (, ) + z (, ) = + = f( ) = zu erhate Damit sid wir fertig Wir demostriere diese Vorgehesweise a eiem kokrete Beispie 3
38 Beispie 3 Es sei fogedes Radwertprobem zu öse: u = u + t + 3 i < <, t > t u(,) = 3 i, Afagswert u(,t) = t für t > ud Radwert u(,t) = - t für t > Radwert Wir defiiere zuächst z(,t): zt (,) = gt () + ( h() t g()) t = t + ( t t) = t + ( t) Daach öse wir vt = v i < <, t > mit v(,) = r() = f() - g( ) + ( h( ) g( ) )= 3 i, v(,t) = für t >, v(,t) = für t > Die Lösug autet: [ ] 3 π t v(, t) = v(, t) = ( ) si[ π ] d si[ π ] e = = Aschiessed bereche wir w(,t) w = w + H(, t) = w + ( + t) i < <, t > mit t w(,) = i, w(,t) = für t >, w(,t) = für t > t π ( t τ) wt (, ) = w( t, ) = e a π ( + t) si = = Der Ausdruck H(,t) = + t berechet sich aus Ft (, ) = + t+ 3= Ht (, ) z( t, ) = + t t ( ) d d τ Damit ist u(,t) = v(,t) + w(,t) + z(,t) = v(,t) + w(,t) + t + ( t) die Gesamtösug I de Bider vo v, w, z ud u = v + w + z erkee wir die jeweis gewüschte Rad- bzw Afagsbediguge
39 Die vier Bider zeige die drei partikuäre Lösuge v(,t), z(,t) ud w(,t) (obe vo iks ach rechts) ud die Gesamtösug u = v + w + z, (iks), ae dargestet im Bereich, t 5
Eisetze vo eue Variabe - Trasformatio auf die Normaform Beispie Vorgegebe sei die partiee Differetiageichug u a ut = im Gebiet < ud < t mit de Radbediguge: u(,t) = - im ut (, ) = / Die Afagsbedigug sei u(,) = Zur Lösug setze wir die eue Variabe η ei: η= a t Mit der Ketterege erreche wir da u = uη η = uη ud daraus a t u u u a t a t u a = [ ] = = [ ] η η = uηη = uηη a t a t t 4 3 η Für die Abeitug ach der Zeit git: u u a ut = t t = 3 η η η 4 Setze wir die eue Abeituge i die ursprügiche Differetiageichug ei, so etsteht: u aut = uηη = uη = uη η a t 4 34 η 4 I dieser Differetiageichug hägt u ur och vo η ab, wir köe die Differetiageichug daach as gewöhiche Differetiageichug asehe: u + ηu =
4 Die beide Radbediguge sid u u() = Die zweite kommt aus der restiche Rad- ud der Afagsbedigug, de η ist für gege ud η ist für t = Für die Lösug setze wir p = u ud erhate: p + η p =, Mit der Treug der Variabe fogt: p dp = η d η ud daraus: η + c η p = η + c p = e = c e Um daraus die gesuchte Lösug u zu erhate, müsse wir ochmas itegriere: η η τ τ u( η) u { ( ) = c e dτ u( η) = + c e dτ = Für η geht, wobei: im u( η) = git, aso η τ im u( η) = = + c e dτ c = = τ π e dτ η η τ Mit erf ( η) = e dτ autet die Lösug: ϖ u( η) = erf ( η)= erf a t Das Bid zeigt die Lösug u (η) im Bereich 3 ud < t < 3 I de achfogede Beispiee brige wir die Differetiageichug durch eie Koordiatetrasformatio i die Normaform ud öse sie aschiessed
4 Beispie Gegebe sei die partiee Differetiageichug u + y uy + y uyy = Wir brige diese Geichug durch eie Trasformatio der Koordiate (,y) (ξ,η) i Normaform Dazu beutze wir mit (s 5) dy y+ 4 y 4 y y = = d die Variabetrasformatio für de paraboische Fa: ξ= y Die Wah vo η() ist für de paraboische Fa beiebig, vorausgesetzt, die Jacobi - Determiate ist ugeich Nu Wir setze η = y Mit dieser Trasformatio erreche wir as Normaform: η u ηη = u ηη = Zweifache Itegratio ach η ergibt die Lösug: y u( ξη, ) = η f( ξ)+ g( ξ)= y f g y +, wori f ud g beiebige Fuktioe sid y y ZB ist uy (, ) = y si + eie vo uedich viee Lösuge Beispie 3 Gegebe sei die partiee Differetiageichug mit kostate Koeffiziete: 4 u + 5 uy + uyy + u + uy = Wir eite über dy d = ± 5 5 6 = 8 4 die Variabetrasformatio für de hyperboische Fa mit kostate Koeffiziete ab: ξ = y - ud = y - η= y 4 Mit dieser Trasformatio geht die Differetiageichug über i die Normaform:
8 uξη = uη 3 9 Wir substituiere u v = u η ud erhate: vξ = v 3 8 9, dere Lösug durch Treug der Variabe bestimmt wird: ξ 8 v( ξη, ) = + e3 F( η) 3 3 Durch Itegratio ach η bestimme wir u aus v: ξ 8 u( ξη ) = η+ g( η) e3 + f( ξ), 3 3 wori f ud g beiebige Fuktioe sid Die Lösug i ud y autet u: ( y ) 8 uy (, ) = y g y e f( y ) + 3 3 4 3 4 + ZB sieht irgedeie der uedich viee Lösuge so aus: ( y ) 8 uy (, ) = y si y e ( y ) + 3 3 4 3 4 + 3 Beispie 4 Gegebe sei die partiee Differetiageichug u - 4 u y + 4 u yy = e y Wege B - 4AC = ist sie vom paraboische Typ I diesem Fa setze wir ξ= 4 zbc y = y+ ud η= c y+ d = & d = = y Die Normaform autet: 43 η uηη = e 4 Ihre Lösug erreche wir durch zweifache Itegratio: η η uη = e dη= e + v( ξ) ud daraus η η e v ξ e v ξ η w ξ y u( ηξ, ) = d η = u(, y) = ( e + v( y+ ) y+ w( y+ ) ) ZB ist 4 4 4 uy (, ) = e y + ( y+ ) y+ ( y+ ) irgedeie der uedich viee Lösuge 4 4 34 44 3 vy (, ) wy (, ) + ( ) + ( ) + ( )
Beispie 5 Gegebe sei die homogee Weegeichug für eie uedich ausgedehte Saite (ohe Räder): utt c u = Die Afagsbediguge seie: u(,) = f() ud u t (,) = g() 44 Die charakteristische Geichug aute (B=, A=, C=-c ): d dt B B 4AC = A = c + ct = c, woraus ξ = + ct fogt, ud d B+ B 4AC = = c - ct = c, woraus η = - ct fogt dt A Mit dieser Trasformatio erreche wir weiter: u = uξξ + uηη = uξ + uη ud u = uξξξ + uξηη + uξηη + uηη η = uξξ + uξη + uηη, sowie ut = uξξt + uηηt = uξ uη cud utt u c u c u c u c ξξ ξη ξη ηη c uξξ uξη uηη, Daraus ergibt sich die Normaform: u ξη = mit der Lösug u( ξη, ) = φξ ( ) + ψη ( ), wori φ ud ψ beiebige Fuktioe sid, bzw u(,t) = φ(+ct) + ψ(-ct) Mit de Afagsbediguge ergibt dies: u(,) = φ() + ψ() = f() u t ( ) d φ( + ct) + ψ( ct) (, ) = d ( + ct) ud d ( + ct) dt Durch die Additio der Afagsbediguge öse wir ach φ() ud ψ(): t= ( ) = c( φ ( ) ψ ( ) )= g( ) φ ( ) ψ( ) = g( τ) dτ+ K c K K φ( ) = f( ) + g( τ) τ+ c d ud ψ( ) = f( ) g( τ) τ c d Somit autet die Gesamtösug: + ct ct + ct ut (, ) = [ f( + ct) + f( ct) ]+ g( ) g( ) f( ct) f( ct) g( ) c = [ + + τ d τ τ d τ ]+ c τ d τ ct