Regelungstechnik - Formelsammlung (Revision : 044 - powered by LATEX) Seite von 6 Gegenkopplung und Stabilität S07. LTI-Grundglieder Typ Symbol Gleichung, Dgl Sprungantwort Frequenzgang, Betrag und Argument Nyquistdiagramm Bodediagramm P y = u u = (t) y = (t) G(jω) = G = argg = 0 I ẏ = u u = (t) y = t G(jω) = jω G = ω argg = π D y = u u = (t) y = δ(t) G(jω) = jω G = ω argg = π
Regelungstechnik - Formelsammlung (Revision : 044 - powered by LATEX) Seite von 6 P T T ẏ + y = u y(0) = 0 u = (t) G(jω) = y = [ ] e t T +jωt G = argg = arctan(ωt ) +(ωt ) P T T ÿ + ζt ẏ + y = u oder ÿ + ζω n ẏ + ωny = ωnu y(0) = [ 0 ẏ(0) = 0 ω n = T ( ) ] y = e ζωnt sin ζ ζ ω n t + arcos(ζ) G(jω) = (jωt ) +ζt (jω)+ G = ζωt arg G = arctan (jωt ) + 0 ωt arg G = arctan ζωt (jωt ) + π ωt [+(jωt ) ] +[ζωt ] { 0 0 < t < T t y = u(t T t ) t T t T t u = (t) y = (t T t ) G(jω) = e jωtt G = argg = ωt t
Regelungstechnik - Formelsammlung (Revision : 044 - powered by LATEX) Seite 3 von 6. Stabilitätsproblem S08 I T t = π I = ω π I : Stabilitätsgrenze ω π : Phasenschnittfrequenz.3 Nyquistkriterium S9 Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn beim Durchlauf der Ortskurve in Richtung zunehmender Frequenz der kritische Punkt - zur Linken liegt..4 Phasenreserve und Verstärkungsreserve S3 R Rres = Rπ Rres = G(jω π) argg 0 = π + Φ res argg 0 (ω π ) = π G 0 (jω D ) = R < Rπ R > Rπ R : Verstärkung des Reglers Rres : Verstärkungsreserve mit Regler (Amplitudenres., gain margin) Rπ : kritische Verstärkung (Verstärkung ohne Regler) ω π : Phasenschnittfrequenz ω D : Durchtrittsfrequenz Φ res : Phasenreserve Regelung stabil Regelung instabil.5 Sprungantwort und Stabilität S35.5. Stabilitätssatz für ein System. Ordnung S37 Ein System ist genau dann stabil, wenn alle oeffizienten der homogenen Dgl. positiv (oder alle negativ) und ungleich 0 sind. ÿ + a ẏ + a 0 y = F (u).5. Stabilitätssatz für die Sprungantwort Ein LTI-System ist genau dann stabil, wenn die Sprungantwort einem konstantem Wert zustrebt. PID-Regler S47. P-Regler - Stationärer Zustand S55 Beim einfachsten linearen Regler, dem P-Typ, besteht ein proportionaler Zusammenhang zwischen Fehler e und Stellgrösse u. Der P-Regler reagiert schnell, kann aber den Sprungfehler nicht vollständig eliminieren. Er hat einen stationären Fehler.. I-Regler S60 Der reine I-Regler ist allgemein ungünstig, weil er relativ langsam arbeitet und die Stabilität schwacht. Ist aber die Regelstrecke nur erster Ordnung erziehlt man gute Ergebnisse mit dem I-Regler. Der I-Regler neigt zum Schwingen. Bei sprungförmigen Signalen, d.h. für Festwertregelungen hat der I-Regler keinen Fehler!.3 P T -Glied S63 T ω = T m = ω = π T ω = πf π = π ω n ζ ω T ω : Schwingungsdauer ω n : ennkreisfrequenz ζ: Dämpfungskonstante Optimale Dämpfung bei Ψ = 45 und ζ =. Dabei erreicht die Regelgrösse y nach 4.3% Überschwingen rasch den Endwert. T ÿ + a ẏ + a 0 y =... ÿ + ζt ẏ + y = u ÿ + ζω n ẏ + ωn = ωnu a = ζω n a 0 = ωn
Regelungstechnik - Formelsammlung (Revision : 044 - powered by LATEX) Seite 4 von 6.4 PI-Regler S74 G(jω) = R +jωt N jωt N arg(g(jω)) = arctan(ωt N ) π.5 D-Glied S79 Der Differenzierer erzeugt eis orrektursignal im voraus. Nachteilig ist, wenn die Regelgrösse verrauscht ist, dann werden die hochfrequenten Störsignale durch die Ableitung verstärkt. Ein LTI-System, welches ohne D-Glied darstellbar ist, gegebenenfalls durch Umformung des Blockdiagramms, heisst realisierbar..6 PID-Regler S83 S383 G(s) = R ( + jωt N + jωt V ).7 PD-Regler S87 S383 u = R at + R T V a Das PD-Glied entspricht dem inversen PT -Glied..8 Empirische Einstellregeln S88 UTF des angenäherten Modells: G 0 (jω) = s +jωt g e jωtu y m : Überschwingen
Regelungstechnik - Formelsammlung (Revision : 044 - powered by LATEX) Seite 5 von 6 Reglereinstellung nach Chien-Hrones-Reswick Reglereinstellung nach Ziegler-Nichols.9 Wind-Up S00 Die Folge eines wind-up-phänomens ist einerseits ein konstanter Fehler und anderseits eine verzögert reagierende und damit stark überschwingende Regelgrösse. wind-up entsteht durch: bestehender Fehler I-Anteil im Regler Sättigung der Stellgrösse 3 Diverses 3. Frequenzgang zweier Systeme mit Rückkopplung 3. Graphisch Phasen-/Verstärkungsreserve Phasen-/Verstärkungsreserve = Phasen-/Amplitudenrand
Regelungstechnik - Formelsammlung (Revision : 044 - powered by LATEX) Seite 6 von 6 3.3 Approximation des Bode-Diagramms UTF H(s) Amplitude H(s) Phase (H(s)) ) onstanter Faktor αe jβ onst. 0 log α onst. β ) Pol im Ursprung α s 3) Nullstelle im Ursprung αs 4a) Reeller Pol s+α 4b) Reeller Pol α s+α 5a) Reelle Nullstelle s + α 5b) Reelle Nullstelle s+α α 6a) onjugiert-komplexe Pole s +s ωp qp +ω p 6b) onjugiert-komplexe Pole ω p s +s ωp qp +ω p 7) onjugiert-komplexe Nullstellen s + s ωz q z + ωz bzw. s +s ωz qz +ω z ωz Lin. Steigung 0db/Dek. 0dB bei ω = α Lin. Steigung +0db/Dek. 0dB bei ω = α onst. 0 log α für ω < α dann Steigung 0dB/Dek. onst. 0dB für ω < α dann Steigung 0dB/Dek. onst. 0 log α für ω < α dann Steigung +0dB/Dek. onst. 0dB für ω < α dann Steigung +0dB/Dek. onst. 40 log ω p für ω < ω p dann Steigung 40dB/Dek. für ω > ω p ; 40 log ω p Überhöhung zwischen ωp, ω p & ω p Max. 0 log qp ω p bei ω = ω p onst. 0dB für ω < ω p dann Steigung 40dB/Dek. für ω > ω p ; 0dB Überhöhung zwischen ωp, ω p & ω p, Max. 0 log q p bei ω = ω p Analog zu 6a, 6b (jedoch Spiegelung an der 0dB-Linie) onst. π onst. + π onst. 0 für ω < α 0 onst. π für ω > 0α onst. 0 für ω < α 0 onst. π für ω > 0α onst. 0 für ω < α 0 onst. + π für ω > 0α onst. 0 für ω < α 0 onst. + π für ω > 0α onst. 0 für ω < ωp 0 qp onst. π für ω > ω p 0 qp π bei ω = ω p onst. 0 für ω < ωp 0 qp onst. π für ω > ω p 0 qp Bei ω = ω p genau π Analog zu 6a, 6b (jedoch Spiegelung an der 0 Grad-Linie) 8) Serieschaltung von Systemen erfolgt durch Superposition der einzelnen Bode-Diagramme (Multiplikation von UTFs entspricht Addition im db-bereich).