Prof. Dr. Alexander Bassen Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre nsb. Kaptalmärkte und Unternehmensführung Investton 1 EINFÜHRUNG 0-1
Organsatorsches Glederung der VO Inhalt Enhet (Plan) (0) Enführung -Was st Investton? -Zele enes Unternehmens / Interessenskonflkte -Fnanzmathematk (1) Wahlentschedung: Dynamsche Verfahren (2) Wahlentschedung: Statsche Verfahren -Kaptalwert -Interner Znsfuß -Annutätenmethode -Krtsche Beurtelung -Amortsatonsrechnung -Kostenverglechsrechnung -Gewnnverglechsrechnung -Rentabltätsverglechsrechnung (3) Anlehen und Akten -Theoretsche Betrachtung -Bewertung von Anlehen -Bewertung von Akten 02.4.2013 03.4.2013 10.4.2013 11.4.2013 16.4.2013 17.4.2013 30.4.2014 07.5.2013 08.5.2013 14.5.2013 (4) Wederholung und Fragen - Bearbetung von Fragen der Studerenden 15.5.2013 (5) Klausur Dauer: 90 Mnuten 0-2
Ergänzende Lteraturangaben Copeland, Weston, Shastr: Fnancal Theory and Corporate Polcy, 4. Aufl., Pearson 2005. Kruschwtz: Fnanzmathematk, 5. Aufl, Oldenbourg, 2010. Kruschwtz: Investtonsrechnung, 12. Aufl., Oldenbourg 2009. 0-3
Enführung WAS BEDEUTET INVESTITION? 0-4
Was st Investton? Zahlungsorenterter Investtonsbegrff (Kruschwtz 2009, S. 3) Investton st ene betreblche Tätgket, de zu unterschedlchen Zetpunkten t Aus- und Enzahlungen (z t < 0, z t > 0) verursacht, wobe deser Vorgang mt ener Auszahlung begnnt. t0 t1 t2 z 0 z 1 z 2 Investton st jede aktuelle Auszahlung für de Beschaffung von Sach- oder Realgütern oder auch von Rechten, de mt ener oder mehreren zukünftgen (unscheren) und erwartungsgemäß höherwertgen Enzahlung(en) aus der Verwertung der beschafften Güter und Rechte verbunden st 0-5
Enführung n de Investtonsrechnung Welche Investtonsprojekte sollen durchgeführt werden? Lohnt es sch überhaupt zu produzeren? We erkenne ch das bessere Projekt? Was st das Unternehmenszel? Das Unternehmen st selbst ken Akteur, sondern wrd von Akteuren (Egentümern, Managern) gelenkt De Akteure versuchen hren egenen Nutzen zu maxmeren Se verwenden das Unternehmen zur Errechung hrer Zele 0-6
Zelsetzung der Akteure Monetäre Zele (unter Berückschtgung des Rskos) Vermögensmaxmerung be gegebenen Entnahmen Entnahmemaxmerung be gegebenem Endvermögen Austauschregel zwschen Vermögens- und Entnahmestreben Gewnnmaxmerung und Umsatzmaxmerung können sch wdersprechen Ncht monetäre Zele Prestge Ansehen Macht Unabhänggket Verwrklchung ethscher Ansprüche 0-7
Das Unternehmenszel Zel: Maxmerung des Nutzens der Antelsegner (Shareholder) Projekt soll lohnend sen Projekte durchführen, de zur Errechung des Zels betragen Welche Konflkte können auftreten? Vernachlässgung der ncht monetären Zele Zel: Wert des Unternehmens erhöhen (Shareholder Value) We messe ch den Shareholder Value? 0-8
Fsher Separaton Unter der Annahme enes vollkommenen und vollständgen Kaptalmarkts (sehe später) glt das Fsher Separatonstheorem Investtonsentschedung kann delegert werden Unabhängg von ndvduellen Nutzenfunktonen Entschedung allen anhand des Barwerts der errechbaren Enkommenskombnaton Separaton: Investtons- und Konsumentschedung können getrennt werden 0-9
Annahmen Investoren orenteren sch allen an den Konsummöglchketen Exstenz enes vollständgen Kaptalmarkts Jeder hnschtlch der Höhe und zetlchen Struktur belebge Zahlungsstrom kann über den Markt nachgebldet werden Kene Kaptalratonerung Belebge Telbarket der gehandelten Zahlungsströme 0-10
Annahmen Exstenz enes vollkommenen Kaptalmarkts Kene Transaktonskosten Symmetrsche Informatonsvertelung zwschen den Marktakteuren Marktakteure snd Presnehmer Der Anlageznssatz und der Kredtznssatz snd glech hoch Der Pres enes Zahlungsstroms st zum glechen Zetpunkt für alle Markttelnehmer glech hoch Homogene Erwartungen der Investoren 0-11
Konsum und Investton Betrachtung von zwe Zetperoden Heute: t 0 In ener Perode (1 Jahr, 1 Tag, 10 Jahre, etc.): t 1 Anfangsausstattung an Kaptal (y 0 ; y 1 ) Zetpräferenzrate Austauschverhältns zwschen den Zetperoden t 0 und t 1 Bespel: Welche Konsummöglchket wählen Se? Konsum Zu t 0 Zu t 1 Möglchket 1 60 30 Möglchket 2 30 60 Möglchket 3 55 36 0-12
Konsum und Investton C 1 W 1 Bespel Anfangsausstattung: y 0 (heute) 60 y 1 (n ener Perode) 30 Zetpräferenzrate 0,2 (20 %) We hoch st das gesamte Vermögen zum Zetpunkt t 0 (heute)? y 1 y 0 W 0 C 0 0-13
Konsum und Investton C 1 W 1 Bespel W 0 y 0 + y 1 /(1+) W 0 60 + 25 85 Der Barwert deses Enkommensstroms beträgt 85 We hoch wäre das gesamte Vermögen zum Zetpunkt t 1? 30 60 W 0 C 0 0-14
Konsum und Investton C 1 W 1 Bespel W 1 y 0 (1+) + y 1 W 1 72 + 30 102 Der Endwert deses Enkommensstroms beträgt 102 Anders: W 1 W 0 (1+) 85 (1,2) 102 30 60 W 0 C 0 0-15
Konsum und Investton C 1 102 Bespel Konsummöglchketen K1 60 (zu t0); 30 (zu t1) K3 55 (zu t0); 36 (zu t1) Bede Konsumströme haben den glechen Barwert! Bede Konsumströme snd glechwertg De Wahl hängt von der ndvduellen Geduld der Investoren ab 30 60 85 C 0 0-16
Indfferenzkurven De Zetpräferenzrate der ndvduellen Investoren wrd durch hre Indfferenzkurven dargestellt (sehe vorge Fole) Alle Punkte auf ener Indfferenzkurve führen zum selben Nutzennveau für de Investorn Höhere Indfferenzkurven (Verschebung nach rechts oben) drücken en höheres Nutzennveau aus Je steler de Indfferenzkurve, desto ungeduldger st de Investorn Zwe Indfferenzkurven ener Investorn dürfen sch ncht schneden! 0-17
Konsum und Investton C 1 W 1 * 102 80 30 Bespel Investtonsmöglchket P 0 40 (Pres zu t0) P 1 50 (Rückfluss zu t1) Soll de Investton durchgeführt werden? We hoch st der Barwert unseres Vermögens be Durchführung der Investton? Wrd de Investtonsentschedung (her) durch de ndvduelle Ungeduld beenflusst? 20 60 85 W 0 * 0-18
Fsher Separaton C 1 W 1 * 102 80 Investor B Bespel Solange vollständger Kaptalmarkt unterstellt wrd, kann de Investtonsentschedung unabhängg von der Ungeduld der Investoren getroffen werden Ausschlaggebend st der Barwert des gesamten Vermögens 30 Investor A 20 60 85 86,67 C 0 0-19
Fsher Separaton C 1 W 1 * 102 80 Bespel De Dfferenz zwschen W 0 und W 0 * wrd als Nettobarwert oder Kaptalwert bezechnet Ist der Kaptalwert postv, soll de Investton durchgeführt werden! 30 20 60 85 86,67 C 0 +1,67 0-20
Aufhebung ener Annahme C 1 W 1 * 102 96 80 Investor B Bespel Was passert, wenn Anlage- und Kredtzns ncht mehr glech hoch snd? Annahme S 0,30 und H 0,10 Investor A wrd de Investton ncht durchführen Investor B wrd de Investton durchführen 30 Investor A 20 60 83 81,5 C 0 0-21
Zwschenfazt Investtonen verändern de Enkommensströme Be Annahme enes vollkommenen Kaptalmarkts kann de Investtonsentschedung unabhängg von der Konsumentschedung getroffen werden (Fsher Separaton) Konsum st durch de Höhe des gesamten Vermögens begrenzt (Budgetgerade) Erhöht ene Investton den Barwert des Vermögens, st se lohnend und wrd durchgeführt De Barwertveränderung durch ene Investton wrd als Kaptalwert bezechnet 0-22
Konfrontaton der Interessen nterner & externer Anspruchsgruppen Shareholder snd de Antelsegner des Unternehmens Se snd jedoch ncht de enzge Interessensgruppe Stakeholder Ansatz Mtarbeter Shareholder fnanzelle Interessen Unternehmen Verbraucherverbände nchtfnanzelle Interessen Banken Umwelt Leferanten Kunden Fskus 0-23
Investton und Fnanzerung: Zwe Seten ener Medalle Konsumhaushalt Enkommen, Vermögen Konsum Anleger... Anleger... Anleger Mttelberetstellung Investton/Konsumverzcht - + Mttelrückfluß, Anlageertrag Mttelaufnahme Fnanzerung + - Kaptaldenst Mttelabfluß Unternehmen Unternehmen... Unternehmen... Produktonshaushalt Investtonen Fnanzmttelrückflüsse aus Investtonen 0-24
Enführung FINANZMATHEMATIK 0-25
Fnanzmathematk ZINSBERECHNUNGSARTEN 0-26
0-27 Lneare (Enfache) Znsberechnung De Bass zur Berechnung der (lnearen) Znsen bldet das Anfangskaptal K 0 Be der lnearen Znsberechnung werden de angefallenen Znsen ncht dem znstragenden Kaptal zugeschlagen! Das Kaptal am Ende der Betrachtungsperode K n kann we folgt berechnet werden ( ) n K K n + 1 0 0 0 1 K K K + 0 0 0 0 1 2 K K K K K K + + + 0 0 0 0 0 2 3 K K K K K K K + + + +
Fnanzmathematsche Znsberechnung (Znseszns) De anfallenden Znsen werden dem znstragenden Kaptal zugerechnet In der zweten Betrachtungsperode werden de Znsen der ersten Perode mtverznst Das Endkaptal kann we folgt berechnet werden ( ) K K + K K 1+ 1 0 0 0 ( + ) K ( 1+ ) ( ) K K + K K 1+ 2 1 1 1 1 0 ( 1+ ) K ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) K ( ) 3 K + 3 K2 0 0 1 n ( ) n K K 1+ 0 0-28
Znsberechnungsarten Relevante Informatonen snd Zahlungsaus- und Zahlungsengänge Laufzet (Anzahl der Betrachtungsperoden) Znssatz Beachte bem Znssatz Für welchen Zetraum st der Znssatz angegeben? p.a. pro Jahr (per annum) p.sa. pro Halbjahr (per sem annum) oft: halbjährlch hj. p.qu. pro Quartal oft: verteljährlch vj. p.m. pro Monat (per mensem) oft: monatlch m. Welchen Znssatz benötgen wr? 0-29
Znsberechnungsarten Bespel Kermt legt 3.000 Euro über fünf Jahre zu enem Znssatz von 2,2 % p.a. an. We vel hat er am Ende der Laufzet auf senem Sparkonto Be enfacher Znsrechnung? Be fnanzmathematscher Znsrechnung? 0-30
Znsberechnungsarten Bespel Jance legt 4.000 Euro über zehn Monate zu enem Znssatz von 2,4 % p.a. an. We vel hat se am Ende der Laufzet auf hrem Sparkonto Be enfacher Znsrechnung? Be fnanzmathematscher Znsrechnung? 0-31
Znsberechnungsarten Bespel Jance fragt Se, welcher Betrag auf hrem Sparkonto legen würde, wenn Se hre 4.000 Euro über zwanzg Monate veranlagen würde (weterhn zu 2,4 % p.a.) Be enfacher Znsrechnung Be fnanzmathematscher Znsrechnung 0-32
Überscht Be unter- oder mehrjährger Verznsung wrd n angepasst Anzahl der Znsmonate n Anzahl der Monate pro Jahr m a m Anzahl der Znstage n Anzahl der Tage pro Jahr d a d Lneare Znsberechnung K n K0 1+ m a m Fnanzmathematsche Berechnung m a ( ) m K n K 1+ 0 0-33
Überscht Transformaton von Zahlungen auf unterschedlche Zetpunkte Transformaton auf enen späteren Zetpunkt aufznsen (Lneare und Fnanzmathematsche Znsrechnung) K n K 1 ( + n) ( ) n 0 K K 1+ n 0 Transformaton auf enen früheren Zetpunkt abznsen (Lneare und Fnanzmathematsche Znsrechnung) K 0 K 1+ n ( n) K 0 K n n n 1 ( 1+ ) K ( ) + n 0-34
Zwschenfazt Beträge können durch Auf- und Abznsen (wertmäßg) auf belebge Zetpunkte verschoben werden Wr unterscheden zwschen lnearer und fnanzmathematscher Znsberechnung De Bass für de lneare Znsrechnung bldet stets das Anfangskaptal Be der fnanzmathematschen Znsberechnungsmethode wrd das verznste Kaptal herangezogen. Es kommt zum Znsesznseffekt 0-35
Fnanzmathematk RENTENRECHNUNG 0-36
Rentenrechnung Renten snd konstante Zahlungen, de sch n glechen Zetabständen wederholen Den Barwert (Present Value) ener Rente berechnet man durch das Abznsen der Rentenzahlungen z auf den Begnn der Rentendauer (t 0) Den Endwert (Future Value) ener Rente berechnet man durch das Aufznsen der Rentenzahlungen z auf das Ende der Rentendauer (t n) Abhängg davon, ob de Rentenzahlungen zu Begnn jeder Zahlungsperode oder am Ende getätgt werden, sprcht man von ener vorschüssgen oder nachschüssgen Rente. Insgesamt fnden glech vele Zahlungen statt 0-37
Bespel: Rentenbarwert Bespel Welcher Betrag muss heute auf unserem Sparbuch legen, wenn wr über en Jahr monatlch 500 Euro entnehmen wollen und auf dem Sparbuch danach ken Geld mehr legen soll. Kalkulatonsznssatz: 2% p.a. (Anmerkung: De erste Entnahme erfolgt am Ende des ersten Monats) Nachschüssg t0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 z 10 z 11 z 12 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 0-38
Bespel: Rentenbarwert Anpassung des Znssatzes Jahresznssatz j : 0,02 Relatver (Peroden )Znssatz (her Monatsznssatz) m : m ( 1+ ) j 1 12 1,02 1 0,00165 bzw. 1 12 ( 1+ 0,02) 1 0,00165 0-39
Bespel: Rentenbarwert We hoch st der Barwert (heutge Wert) des Zahlungsstroms? BW z1 (1 + m ) + z (1 + 2 m ) 2 + z3 (1 + m ) 3 +... + zn (1 + m ) n BW 500 (1,00165) + 500 500 500 + +... + 2 3 12 (1,00165) (1,00165) (1,00165) 5.936,08 We hoch wäre der Barwert be vorschüssger Entnahme (erste Entnahme berets am Begnn des ersten Monats)? 0-40
Bespel: Rentenbarwert Vorschüssg (de erste Entnahme st am Begnn des ersten Monats) t0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 z 10 z 11 z 12 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 Nachschüssg (de erste Entnahme st am Ende des ersten Monats) t0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 z 10 z 11 z 12 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 0-41
Bespel: Rentenbarwert Barwert be nachschüssger Rente BW nach 5.936,08 Barwert be vorschüssger Rente De Rentenzahlungen müssen nsgesamt enmal wenger abgeznst werden, als be nachschüssger Berechnung Hat man den nachschüssgen Barwert berechnet, errecht man durch das Aufznsen um ene Perode den vorschüssgen Barwert BW vor 5.936,08 1,00165 5.945,89 0-42
Rentenrechnung Rentenendwert Znst man alle Renten über de gesamte Perodenlaufzet auf, so erhält man den Rentenendwert Aufgrund des Äquvalenzprnzps kann enfach der Rentenbarwert über de gesamte Laufzet aufgeznst werden Wederum kann zwschen nachschüssger Rente ( ) n nach nach EW BW 1+ und vorschüssger Rente unterscheden werden EW EW vor vor BW EW vor nach ( ) n nach ( ) n 1+ BW 1+ ( 1+ ) ( 1+ ) bzw. 0-43
Rentenrechnung Bespel Welcher Betrag befndet sch nach enem Jahr auf unserem Sparbuch, wenn wr monatlch 500 Euro enzahlen? Kalkulatonsznssatz: 2% p.a. (Anmerkung: De erste Enzahlung erfolgt am Ende des ersten Monats) EW nach 5.936,08 ( 1,00165) 12 6.054, 80 Welcher Betrag wäre auf unserem Sparkonto, wenn wr de erste Zahlung berets am Begnn des ersten Monats lesteten? EW vor ( 1,00165) 6.064, 80 6.054,80 0-44
Rentenrechnung RENTENBARWERT- UND RENTENENDWERTFAKTOR 0-45
Rentenendwertfaktor Verenfachung be konstanten Rentenzahlungen z EW q EW z 1 ( 1+ ) z (1 + ) 11 + z 2 (1 + ) 10 + ( 1 2 3 11 1+ q + q + q +... + q ) z 3 (1 + ) 9 +... + z 12 (1 + ) 0 Unter Verwendung der geometrschen Rehe q Summeder endlchen geometrschen R ehe : q 1+ q + q + q +... + q ( 1+ ) ( 1+ ) n 1 1 ( 1+ ) 12 12 1 2 3 11 12 q 1 q 1 1 1 1 0-46
Rentenbarwert- und Rentenendwertfaktor Der Rentenendwertfaktor lautet R ef, n ( 1+ ) n 1 Daraus lässt sch der hlfreche Rentenbarwertfaktor ableten Rbf, n ( 1+ ) n 1 ( 1+ ) ( 1 ) n 1 + Das Produkt aus der konstanten Rente und dem Rentenbarwertfaktor st der Barwert des gesamten Zahlungsstroms (der Rente) n 0-47
Zusammenfassung Rentenbarwert Verenfachend können wr den Barwert ener nachschüssgen Rente berechnen, ndem wr de Rentenzahlung z mt dem Rentenbarwertfaktor multplzeren ( 1+ ) n nach 1 BW z z Rbf, n Für de Berechnung des Barwerts ener vorschüssgen Rente, muss der nachschüssge Rentenbarwert zusätzlch en Mal aufgeznst werden BW vor BW nach ( 1 + ) z Rbf, (1 + ) n De Perodenlänge und der Perodenznssatz müssen aufenander abgestmmt sen! 0-48
Zusammenfassung Rentenendwert Verenfachend können wr den Endwert ener nachschüssgen Rente berechnen, ndem wr de Rentenzahlung mt dem Rentenendwert multplzeren (bzw. den Rentenbarwert über de Anzahl der Betrachtungsperoden aufznsen) EW ( 1+ ) ( 1+ ) n n nach 1 1 n z ( 1+ ) z und en Mal aufznsen um den Endwert ener vorschüssgen Rente zu erhalten EW EW vor vor z EW nach ( 1+ ) n 1 n+ 1 ( 1+ ) ( 1+ ) z ( 1+ ) n 1 ( 1+ ) bzw. 0-49
Rentenrechnung EWIGE RENTE 0-50
Rentenrechnung Ewge Rente De ewge Rente, st ene konstante Zahlung mt unendlcher Laufzet Für de Berechnung des Barwerts der ewgen Rente betrachtet man den Grenzwert des Rentenbarwertfaktors, wenn de Anzahl der Peroden gegen unendlch strebt Anwendungsbespele En Kaptalsockel von dem pro Perode ledglch de Znsen entnommen werden Im Rahmen von Unternehmensbewertungen (Abznsen zukünftger Cashflows) 0-51
Rentenrechnung Berechnung der ewgen Rente Unendlche Laufzet: n geht gegen unendlch BW z Rbf, Grenzwertbetrachtung Rbf ( 1+ ) n 1, lm n 1 Barwert der ewgen Rente 1 BW z 0-52
Bespel: Ewge Rente Bespel Welcher Betrag muss heute auf unserem Sparbuch legen, wenn wr be unendlcher Laufzet monatlch 500 Euro entnehmen wollen. Kalkulatonsznssatz: 2% p.a. Anpassung des Znssatzes Jahresznssatz Relatver Perodenznssatz (her : Monatsznssatz) m m ( 1+ ) 1 121,02 1 0,00165 j j : 0,02 : Lösung BW z 1 m 500 0,00165 302.740,17 0-53
Rentenrechnung RENTE ALS ANNUITÄT 0-54
Rente als Annutät Der Begrff Annutät wrd be der Kredtvergabe als Summe von Tlgung und Znsen verwendet. Be verenbarter Annutätentlgung blebt der Rückzahlungsbetrag, der sch aus Tlgung und Znsen zusammensetzt, glech De aufgenommene Kredtsumme stellt somt den Barwert (heutgen Wert) des Zahlungsstroms dar De Annutät her kann als konstante Rente nterpretert werden De Summe der abgeznsten Annutäten ergbt wederum den Barwert des Zahlungsstroms K 0 z z K Rbf 0 Rbf, n, n K 0 Anf, n Anf, n 1 ( ) 1+ n 0-55
Bespel: Rentenrechnung Bespel Nehmen Se an, Ihr Kommltone borgt sch am 1.1.2011 500 Euro und möchte dese n zwe glech hohen Raten zurückzahlen. De Zahlungszetpunkte snd der 30.6.2011 und 31.12.2011. Der Kalkulatonsznssatz beträgt 2 % p.a. We hoch müssen de enzelnen Raten sen? Überlegung: 500 / 2 250 Euro st zu weng, da en Pres für de Nutzung des Kaptals gezahlt werden muss (Znsen) 500 aufgeznst auf en Jahr 510 510 / 2 255 Euro st zu vel, wel berets nach enem halben Jahr de erste Zahlung erfolgt 0-56
Bespel: Rentenrechnung Erster Schrtt Umrechnung des Jahresznssatzes n enen adäquaten Halbjahresznssatz (relatver Perodenznssatz) 2 ( 1+ ) 1 2 (1 + 0,02) 1 m j 0,00995 Zweter Schrtt Aufstellen der Barwertglechung BW nach Umformung 1 1 z + 2 (1 0,00995) (1 0,00995) z + + 500 z 1,9705 500 z 253,73 1,9705 1 1,9705 0-57
Bespel: Rentenrechnung Alternatve (lohnend be hoher Perodenzahl) Aufstellung der Barwertglechung unter Zuhlfenahme des Rentenbarwertfaktors (n Halbjahren) BW nach 1 z ( 1+ ) m m n z 1,9705 Führt (natürlch) zum glechen Ergebns 500 z 1,9705 500 z 253,73 1,9705 Antwort: Ihr Kommltone muss Ihnen am 30.6.2011 und am 31.12.2011 jewels 253,73 Euro bezahlen 0-58
Zwschenfazt: Rentenrechnung Be konstanten Zahlungen n regelmäßgen Abständen sprcht man von ener Rente Der Barwert ener Rente kann mt Hlfe des Rentenbarwertfaktors berechnet werden Den Endwert deser Rente erhält man, ndem man den Barwert über de gesamte Laufzet aufznst Wr kennen vor- und nachschüssge Renten, de sch um den Faktor (1+) unterscheden. 0-59
Fnanzmathematk ZINSABRECHNUNGSPERIODEN 0-60
Znsabrechnungsperoden Unterjährge Znsabrechnung Bedeutet, dass de Znsen n kürzeren Abständen als enem Jahr (z.b. halbjährlch) zugeschlagen werden Wrd der unterjährge Znssatz lnear auf en Jahr hochgerechnet, so sprcht man vom nomnellen (Jahres-)Znssatz nom Dvdert man nom durch de Anzahl der Znsabrechnungsperoden, so erhält man den entsprechenden relatven Perodenznssatz m Den effektven Znssatz eff erhält man, wenn man den Perodenznssatz fnanzmathematsch hochrechnet (deser kann auch als konformer Znssatz bezechnet werden) eff m m m ( 1 + ) 1 1 + nom 1 m 0-61
Untersched Znsberechnung vs. Znsabrechnungsperoden Bsher Jährlche Betrachtung Jährlcher Znssatz Unterjährge Zahlungen, zum Bespel halbjährlch vorschüssg 100 Euro zu 2 % p.a. t0 1 (1. Halbjahr) 2 (2. Halbjahr) 100 100 EW? Znsen: 100 0,02 Znsen: 100 0,00995 Verenfachung Umrechnung auf enen adäquaten Halbjahresznssatz und Verwendung der Rentenrechnung 2 1,00995 1 EW 100 0,00995 ( 1,00995) 202, 995 EW 102+100,995202,995 0-62
Untersched Znsberechnung vs. Znsabrechnungsperoden Neu Jährlche Betrachtung Jährlcher Znssatz Enmalge Zahlungen De Zurechnung der Znsen erfolgt mehrmals pro Jahr Dadurch kommt es häufger zu enem Znsesznseffekt Zum Bespel Enzahlung von 100 Euro zu 2 % p.a., de Znsabrechnung erfolgt halbjährlch De nomnellen Znsen telen sch auf das Jahr auf t0 1 (1. Halbjahr) 2 (2. Halbjahr) 100 1 % Znsen 1% Znsen EW? Znsen: 100 0,01 1 Znsen: 101 0,01 1,01 EW 100+1+1,01102,01 0-63
Znsabrechnungsperoden Berechnung Umformung des nomnellen Jahresznssatzes nom n den relatven Perodenznssatz m m m nom 0,02 2 0,01 Fnanzmathematsche Hochrechnung auf den entsprechenden effektven (Jahres-)Znssatz eff ( ) m 2 1+ 1 1,01 1 0, 0201 eff m Aufznsen mt dem entsprechenden Effektvznssatz EW z ( ) n 1 + 100 1,0201 102, 01 eff 0-64
Bespel: Znsabrechnungsperoden Bespel Wr legen 1.000 Euro für dre Jahre zu 4 % p.a. an () De Znsen werden jährlch abgerechnet () De Abrechnung der Znsen erfolgt halbjährlch () Es erfolgt quartalsmäßge Abrechnung der Znsen (v) De Znsabrechnung erfolgt kontnuerlch Berechnen Se den relatven Perodenznssatz m, den effektven Znssatz eff und den Endwert EW nach dre Jahren () Da der Znssatz als Jahreszns angegeben st und de Abrechnung jährlch erfolgt, glt nom m eff EW 0-65
Bespel: Znsabrechnungsperoden () Der Jahresznssatz stmmt ncht mt den Abrechnungsperoden überen, daher ergbt sch nom m eff Wr berechnen den (fnanzmathematschen) Perodenzns m m nom Darstellung anhand enes Zahlenstrahls (Perodenlänge: Halbjahre) t0 1 2 3 4 5 6 1.000??? Nach enem halben Jahr werden zum ersten Mal Znsen aufgeschlagen. De Znsen werden nun mtverznst. 0-66
Bespel: Znsabrechnungsperoden Berechnung des Effektvznssatzes eff ; her werden de Abrechnungsperoden berückschtgt ( ) m 1+ eff m 1 Zur Beantwortung der Frage: Berechnung des Endwertes EW nach dre Jahren EW z 1 ( ) n + eff 0-67
Bespel: Znsabrechnungsperoden () Jahresznssatz und Abrechnungsperoden stmmen ncht überen, daher ergbt sch nom m eff Wr berechnen den relatven Perodenzns m m nom 0,04 4 0,01 Der Effektvznssatz beträgt eff ( ) 4 1,01 1 0, 0406 Nach dre Jahren beträgt der Endwert EW 1.000 * 1,0406³ 1.126,83 0-68
Bespel: Znsabrechnungsperoden (v) Jahresznssatz und Abrechnungsperoden stmmen ncht überen, daher ergbt sch nom m eff Gesucht st der konforme (effektve) Znssatz eff be unendlch velen Znsabrechnungsperoden (m ) eff 1+ m nom m Der effektve Jahreszns wrd umso größer, je höher de Anzahl an Znsabrechnungsperoden (pro Jahr) st Gesucht st nun der Grenzwert des Ausdrucks eff lm 1 + m m nom m 1 e 1 0-69
Bespel: Znsabrechnungsperoden (v) Fortsetzung Nach drejährger Veranlagung von 1.000 Euro zu 4 % p.a. be kontnuerlcher Znsabrechnung ergbt sch folgender Endwert EW EW 1.000 ( ) n 0,04 3 1+ 1.000 e 1.127, 50 eff Der effektve Jahreszns be kontnuerlcher Znsabrechnung beträgt her eff e 1 e 0,04 1 0,04081 0-70
Zwschenfazt Be unterjährger Znsabrechnung snd der Nomnalzns und der Effektvzns ncht mehr glech nom 4 % p.a. be jährlcher Znsabrechnung eff 4 % nom 4 % p.a. be halbjährlcher Znsabrechnung eff 4,04 % nom 4 % p.a. be quartalsmäßger Znsabrechnung eff 4,0604 % nom 4 % p.a. be monatlcher Znsabrechnung eff 4,0742 % nom 4 % p.a. be kontnuerlcher Znsabrechnung eff 4,0811 % Zwe glech lautende nomnelle Znssätze führen dann zu unterschedlchen Ergebnssen, wenn de Anzahl der Znsabrechnungsperoden pro Jahr dfferert Der Effektvznssatz stegt mt der Anzahl der Abrechungsperoden 0-71
Fnanzmathematk SCHULDTILGUNG 0-72
Schuldtlgung Wr unterscheden dre Grundtypen Pont-Input-Pont-Output Modelle (Zero-Bonds) Es gbt enen Enzahlungs- und enen Auszahlungszetpunkt t 0 1 2 3 4 5 78,30 100 Ratentlgung (Serenanlehen) Glechmäßge Tlgungszahlungen t 0 1 2 3 4 5 Tlgung 20 20 20 20 20 Znsen 5 4 3 2 1 Annutätentlgung Glechmäßge Annutäten (Tlgung + Znsen) t 0 1 2 3 4 5 Tlgung 15 17 20 23 26 Znsen 15 13 10 7 4 0-73
Der Tlgungsplan Allgemen glt De Tlgung verrngert de Restschuld De Znsen werden auf Bass der Restschuld berechnet Kann für sämtlche Tlgungsarten aufgestellt werden Gbt für jeden Termn t 0, 1, 2,, T n je ener Zele De Restschuld vor der Tlgung (das noch ausstehende Kaptal) K t v De Znszahlung ZZ t Den Tlgungsbetrag Tlg t De Annutät Ann t ( Kaptaldenst: Znsen+Tlgung) und De Restschuld nach der Tlgung K t n weder t K t v ZZ t Tlg t Ann t K t n 0 1 0-74
Bespel: Tlgungsplan Bespel Folgender Kredt st für jede Schuldentlgungsart zu berechnen und en Tlgungsplan st zu erstellen En Schuldner wll enen Kredt von 21.000 Euro über dre Jahre zu 4 % p.a. aufnehmen Pont-Input-Pont-Output-Modell Es gbt enen Enzahlungs- und enen Auszahlungszetpunkt Während der Laufzet werden weder Znsen bezahlt, noch Restschuld getlgt We vel st am Ende der Laufzet zu bezahlen? 0-75
Bespel: Tlgungsplan Bespel: Pont-Input-Pont-Output-Modell En Schuldner wll enen Kredt von 21.000 Euro über dre Jahre zu 4 % p.a. aufnehmen Tlgung und Znsen am Ende der Laufzet betragen K n K n 3 ( 1+ ) 21.000 ( 1,04) 23.622, 14 0 Tlgungsplan t K v t ZZ t Tlg t Ann t K n t 0 21.000,0 21.000,0 1 21.000,0 21.000,0 2 21.000,0 21.000,0 3 21.000,0 2.622,1 21.000,0 23.622,1 0 0-76
Schuldentlgung Ene typsche Form der Zahlungsströme mt Pont-Input- Pont-Outputmodelle stellen sogenannte Nullkuponanlehen dar (Zero-Bonds) Echter Zero-Bond (Abznsungsanlehe) De Ausgabe erfolgt unter dem Nennwert (unter par) De Rückzahlung erfolgt zum Nennwert (al par) Zum Bespel: Ausgabe ener Nullkuponanlehe zu 78,35 Euro Rückzahlung nach 5 Jahren zu 100 Euro Unechter Zero-Bond (Aufznsungsanlehe) De Emsson erfolgt zum Nennwert (al par oder zu par) De Rückzahlung erfolgt über dem Nennwert (über par) Belebge Verenbarungen Emsson und Tlgung unglech par 0-77
Bespel: Tlgungsplan Bespel: Ratentlgung En Schuldner wll enen Kredt von 21.000 Euro über dre Jahre zu 4 % p.a. aufnehmen De Tlgungszahlungen bleben glech De Znszahlungen verrngern sch n jeder Tlgungsperode um de verznste Tlgungsrate Tlg De Annutät snkt dadurch über de Kredtlaufzet In tlgungsfreen Jahren entfällt zwar de Tlgung, ncht aber de Znszahlung! 0-78
Bespel: Tlgungsplan Bespel: Ratentlgung En Schuldner wll enen Kredt von 21.000 Euro über dre Jahre zu 4 % p.a. aufnehmen Berechnung der jährlchen Tlgung K0 21.000 Tlg n 3 7.000 t K v t ZZ t Tlg t Ann t K n t 0 21.000,0 21.000,0 1 21.000,0 840,0 7.000,0 7.840,0 14.000,0 2 14.000,0 560,0 7.000,0 7.560,0 7.000,0 3 7.000,0 280,0 7.000,0 7.280,0 0 0-79
Bespel: Tlgungsplan Bespel: Annutätentlgung En Schuldner wll enen Kredt von 21.000 Euro über dre Jahre zu 4 % p.a. aufnehmen Der Kaptaldenst (de Annutät Tlgung + Znsen) blebt über de gesamte Kredtlaufzet glech In der Annutät muss der Znsesznseffekt berückschtgt werden De konstanten Annutäten können als Rente verstanden werden, deren Barwert der aufgenommen Kredtsumme entsprcht K 0 Ann Rbf, n 0-80
Bespel: Tlgungsplan Bespel: Annutätentlgung En Schuldner wll enen Kredt von 21.000 Euro über dre Jahre zu 4 % p.a. aufnehmen Berechnung der Annutät 1 Ann K0 21.000 0,360348 Rbf, n 7.567,31 t K v t ZZ t Tlg t Ann t K n t 0 21.000,0 21.000,0 1 21.000,0 840,0 6.727,3 7.567,3 14.272,7 2 14.272,7 570,9 6.996,4 7.567,3 7.276,3 3 7.276,3 291,0 7.276,3 7.567,3 0 0-81
Schuldtlgung Annutätentlgung (Wederholung) Wenn der Kredtbetrag, der Kredtzns und de Laufzet bekannt snd, kann de Annutät folgendermaßen berechnet werden Ann K 0 1 Rbf, n Der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors wrd auch als Annutätenfaktor ANF,n bezechnet Ann K0 Anf, n Manchmal wrd der Annutätenfaktor auch als Kaptalwedergewnnungsfaktor KWF,n bezechnet 0-82
Schuldtlgung Annutätentlgung 1. Schrtt: Berechnen des Annutätenfaktors und damt der Annutät 2. Schrtt: Berechnen der 1. Znszahlung 3. Schrtt: Berechnung der 1. Tlgungszahlung Jede wetere Tlgungszahlung errechnet sch aus Tlg t Tlg 1 1 ( ) t + 1 Bespel: We hoch st de Tlgungszahlung zum ZP t 3 Anf 4%;3 0,360348; Ann 21.000 * 0,360348 7.567,3 ZZ 1 21.000 * 0,04 840 Tlg 1 7.567,3 840 6.727,3 Tlg 3 6.727,3 * 1,04² 7.276,3 0-83
Zwschenfazt Schuldtlgung Innerhalb ener verenbarten Dauer von n Jahren müssen Abstattungszahlungen gelestet werden, de als Kaptaldenst oder Annutät bezechnet werden können Annutät Tlgung + Znsen Prnzp der Äquvalenz zwschen Schuld und Annutät muss gelten Der mt enem bestmmten Znssatz berechnete Barwert aller Annutäten m Zetpunkt t 0 muss glech der Schuld sen Der Verlauf der Schuldtlgung kann anhand enes Tlgungsplans dargestellt werden 0-84
Zusammenfassung Betrachtung scherer Zahlungsströme Bewertung mt Hlfe des Barwertkonzepts Bespelhafte Enführung der Rentenrechnung, unter der Annahme Konstanter Zahlungen Regelmäßger Zahlungszetpunkte Enes konstanten Znssatzes, der sch über de gesamte Perodenlaufzet ncht ändert und für alle Frstgketen glech st (flache Znsstrukturkurve) Anwendung des Äquvalenzprnzps Beträge können (rechnersch) auf belebge Zetpunkte transferert werden Als Werkzeug dent das Auf- und Abznsen Es st darauf zu achten, dass der Znssatz und de Perodenlänge überenstmmen 0-85