Multiplikation und Division

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1 Skript 2 Multiplikation / Division IL SG18 06/2018 Patricia OehriWagner Multiplikation und Division Aspekte der Multiplikation Multiplikation Verständnis Addition und Subtraktion, zumindest Kernaufgaben automatisiert Kenntnis underterraum (siehe Aspekte Dezimalsystem) Drei Aspekte der Multiplikation: a) eitlichsukzessiver Aspekt in Vorgang wiederholt sich mehrmals à andlungsketten entstehen Beispiel: liane geht vier Mal in den Keller und bringt jedes Mal zwei Flaschen mit. Für den zeitlichsukzessiven Aspekt ergeben sich lineare Darstellungsmöglichkeiten. Im zeitlichsukzessiven Aspekt ist das Verständnis der Multiplikation als fortgesetzte Addition enthalten ( = 8). b) Räumlichsimultaner Aspekt Das räumliche Nebeneinander von gleichartigen Mengen mit gleicher Mächtigkeit wird beschreiben. Beispiel: Auf dem isch stehen vier eller, in jedem eller hat es zehn Ravioli. Die Darstellung erfolgt räumlich, oft als Felddarstellung. c) Kombinatorischer Aspekt Mögliche Verbindungen zwischen den lementen zweier Mengen. Beispiel: Reto hat zwei Windjacken und drei Mützen. Wie viele Möglichkeiten zum Anziehen hat er? Förderung Multiplikatives Verständnis aufbauen. u Beginn mit dem räumlich simultanen Aspekt arbeiten. Der zeitlichsukzessive Aspekt kommt zum Verständnis des Aufbaus der Reihen (nicht aber zum Reihenlernen!) zum uge. Das rlernen der einzelnen ahlenfolgen und ein einseitiges Betonen der fortgesetzten Addition ist für die SuS nicht hilfreich und kann Abzählstrategien fördern (hohe Anforderungen an die Merkfähigkeit). udem besteht die fortgesetzte Addition aus einem Aneinanderreihen von Summanden, das Malnehmen (im Sinn von "Faktor mal Faktor") wird dadurch oft nicht erkannt. Merkaufgaben via Verdoppeln und albieren erarbeiten. Ableitstrategien erarbeiten. 17

2 Skript 2 Multiplikation / Division IL SG18 06/2018 Patricia OehriWagner Vor und Nachteile verschiedener Lösungsverfahren bei der rarbeitung des inmaleins a) Fortgesetzte Addition (6 x = 16, + 8 = 24, + 8 = 32, + 8 =...) + Addition als Operation ist bekannt; die erste Addition f ällt leicht vorausgesetzt die Verdoppelungen sind bekannt ineradditionen im underterraum müssen sicher im Kopf beherrscht werden Verfahren ist zeitaufwändig und fehleranfällig Kurzzeitgedächtnis wird überfordert; Fingerzählen muss zu ilfe genommen wer den, um die Orientierung nicht zu verlieren Multiplikation wird nur als zeitlich sukzessives Aneinanderreihen von gleichen Additionen erlebt b) inmaleinsreihen aufsagen = ählen in Schritten (6 x 8 8, 16, 24, 32,...) + Wenn das ählen in Schritten verinnerlicht ist, dann sind die weier ehner und ev. Die Fünferreihe bereits bekannt Alle Reihen müssen sicher auswendig beherrscht werden Bei schwierigeren Aufgaben müssen wied er die Finger mithelfen, um das Kurzzeitgedächtnis zu entlasten Multiplikatives Verständnis wird erschwert Manche Schüler/innen automatisieren nicht, da sie sich aufs rasche Abzählen verlassen c) Multiplikationsaufgaben ableiten von Merkaufgaben (6 x 8 5 x x 8) + Verdoppeln/ halbieren zerlegen/ zusammensetzen wurden in 1. Klasse intensiv geübt + insicht in operative Beziehungen/ Strategien wird aufgegriffen und geschult + Nützliche Strategien, die später beim grossen inma leins erforderlich sind, werden trainiert Setzt sichere Kenntnis der kurzen Reihen voraus (1x; 2x; 5x; 10x) Setzt sicheres Addieren und Subtrahieren von einstelligen ahlen voraus Fordert insicht in operative Beziehungen Automatisieren Aus den Vor und Nachteilen der verschiedenen Rechenarten ergibt sich: Das rlernen der einzelnen ahlenfolgen und das einseitige Betonen der fortgesetzten Addition sind für die Schüler/innen nicht unbedingt hilfreich und können Abzählstrategien fördern. udem werden extrem hohe Anforderungen an die Merkfähigkeit geste llt. Wichtig sind vielmehr das Wahrnehmen multiplikativer Strukturen und ein Konzentrieren auf die Merkaufgaben bzw. auf die kurzen Reihen. Die Übungszeit soll später in das effiziente Ableiten der übrigen Aufgaben investiert werden. So werden zunehmend mehr 1x1Aufgaben automatisiert. Kleines inmaleins Wichtige Aspekte Wichtig ist das rarbeiten der Multiplikation mit dem räumlich simultanen Aspekt (Punktfeld à konzeptuelles Verständnis der Multiplikation). Das Automatisieren des kleinen inmaleins s oll über die Merkaufgaben (2 n, 5 n, 27

3 Skript 2 Multiplikation / Division IL SG18 06/2018 Patricia OehriWagner Sichere Orientierung im underterraum (vor, rückwärts, Mengenerfassung, 10ergänzungen) Verständnis Addition und Subtraktion halbieren/verdoppeln einstellige Additionen/Subtraktionen, 1+1 weitgehend automatisiert Mögliche Schwierigkeiten Kein Verständnis der Multiplikation (Addition anstatt Multiplikation) Automatisierungsschwierigkeiten ählendes Rechnen Förderhinweise inführung der Multiplikation erst dann, wenn Vorauss etzungen sicher beherrscht werden Bei der inführung Schwergewicht auf räumlich simultanen Aspekt bwz. das rfassen multiplikativer Figuren legen eitlichsukzessiven Aspekt im usammenhang mit multiplikativer andlun g verwenden Das Ableiten von Kernaufgaben (1x; 2x; 5x; 10x) intensiv und immer wieder üben anstatt Reihen büffeln Arbeit mit Malstreifen (zerschnittene underterfelder) anstelle des underterfeldes + Malwinkels ehnerinmaleins und Stelleneinmaleins Verständnis gehört zum Basisstoff. Kleines inmaleins ist Voraussetzung! Beziehung zwischen inmaleins und ehner inmaleins muss im entrum stehen. Regel Null anhängen darf nicht auf der bene des ricks vermittelt werden, sondern muss verstanden sein. DienesMaterial eignet sich gut, um das ehner (und underterinmaleins) zu veranschaulichen und Strukturen selber entdecken zu lassen. Grosses inmaleins Ist für Kinder mit Lernschwierigkeiten oft eine Überforderung. inzelne Aufgaben können unter Umständen handelnd mit dem Dienes Material oder am 400er Feld erarbeitet werden, ist jedoch nicht Basisstoff. albschriftliche Multiplikation rkennen multiplikativer Strukturen Kleines inmaleins, zumindest Kernaufgaben automatisiert Kenntnis ausenderraum (siehe Dezimalsystem) Quadratzahlen insicht in Rechengesetze (vor allem Distributivgesetz) Mögliche Schwierigkeiten Multiplikation nur als Reihe repräsentiert fehlende Automatisierung des kleinen inmaleins Raumorientierung Übertragung ins Malkreuz 37

4 Skript 2 Multiplikation / Division IL SG18 06/2018 Patricia OehriWagner Didaktogen: fehlende Veranschaulichung/ andlung, zu schnelle inführung der schriftlichen Multiplikation Kann mittels des 400er Feldes oder dem DienesMaterial anschaulich erarbeitet werden. um Ableiten schwieriger Aufgaben ist neben dem rarbeiten der kurzen Reihen und dem rlernen der Quadratzahlen auch die insicht in bestimmte Rechengesetze wichtig. Wichtig ist das Verständnis (nicht der Begriff!) der Gesetze. Kommutativgesetz (Vertauschgesetz): a b=b a Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz): (a b) c = a (b c) Distributivgesetz (Verteilungsgesetz): a (b + c): a b + a c Wird eine Summe mit einer ahl multipliziert, kann jeder Summand einzeln mit der ahl multipliziert werden, und beide Produkte werden addiert. a (b + c) = a b + a c Die Multiplikation von zwei 2 stelligen ahlen kann aufgeteilt werden in (a+b) (c+d) = a c + a d + b c + b d wobei a und c den ehnern, b und d den inern entsprechen. Förderhinweise Wichtig ist, dass die Schüler/innen Lösungsstrategien herausfinden und anwenden können, und dass sie verstehen, dass jede iffer des Multiplikators mit jeder iffer des Multiplikanden gemäss dem jeweiligen Stellenwert multipliziert werden muss. Veranschaulichung: 400erFeld Die Linien des Malkreuzes gut sichtbar machen Die eilaufgaben auf Kärtchen schreiben Mit DienesMaterial Aufgabe räumlich oder in der Stellentafel darstellen Schriftliche Multiplikation Die schriftliche Multiplikation ist ein komplexes Verfahren und es muss im inzelfall entschieden werden, ob es Sinn macht, diese zu erarbeiten oder ob es hilfreicher ist, das halbschriftliche Verfahren handelnd zu erarbeiten und den aschenrechner zu verwenden. Wenn die zur schriftlichen Multiplikation vorhanden sind, kann nach dem Vorgehen, wie es in Schulbüchern vorgeschlagen wird, vorgegangen werden. inmaleins verstanden albschriftliche Multiplikation verstanden Dezimalsystem verstanden 47

5 Skript 2 Multiplikation / Division IL SG18 06/2018 Patricia OehriWagner Förderhinweise mit Dienes und Stellentafel Aufgabe darstellen Stellentafel unter Aufgabe notieren und rgebnisse darin festhalten Division Die Grundprinzipien der Division 1. Dividieren heisst, eine Menge gleichmässig gerecht verteilen bzw. aufteilen. 2. Das rgebnis einer Division ist immer das, was iner erhält, bzw. sagt mir, wie oft ich aufgeteilt habe. rarbeiten der Division Die Division soll erst eingeführt werden, wenn die Multiplikation gründlich verstanden und zumindest teilweise automatisiert ist. Sie soll vorerst handelnd erarbeitet und nicht zu früh auf formaler bene als Umkehroperation der Mul tiplikation erklärt werden. Wichtig ist, dass das Kind das Prinzip des gerechten eilens versteht. Das eilen mit Rest soll von Anfang an mit einbezogen und als Normalfall behandelt werden auch für Schüler/innen mit besonderem Förderbedarf. Das Prinzip des gerechten Verteilens bzw. des gleichmässigen Aufteilens kommt durch das Übrigbleiben eines Rests deutlicher zum Ausdruck. Am underterfeld kann analog zur Multiplikation das Schätzen/ Überschlagen geübt werden, z.b.: Wie viele Vierergruppen kann ich ungefähr bilden? Automatisieren Wenn die Beziehung zwischen Division und Multiplikation verstanden ist, dann kann auf die automatisierten Multiplikationen zurückgegriffen werden, um eine Division erfolgreich zu lösen. ilfreich kann auch das Abrufen innerer Bilder von multiplikativen Strukturen sein. Bei der Division ist das Schätzen/Überschlagen wichtiger als das perfekte Automatisieren. Die Umkehrrechnung (Multiplikation) dient jeweils zur Kontrolle. 57

6 Skript 2 Multiplikation / Division IL SG18 06/2018 Patricia OehriWagner Unterscheidung aufteilen/verteilen Verteilen: ine gegebene Grundmenge wird in eine vorgeschriebene Anzahl von eilmengen so geteilt, dass jede eilmenge (Gruppe) die gleiche, grösst mögliche Anzahl von lementen enthält. s kann ein nicht mehr verteilbar er Rest übrig bleiben. Die Frage lautet: Wie viele lemente sind in einer eilmenge (Gruppe) bzw. wie viele hat ein Kind bekommen? Beispiel: Im Sack hat es 40 äfeli. Die Lehrerin verteilt sie gerecht an acht Kinder. Wie viele äfeli erhält das einzel ne Kind? Das Verteilen kann als fortgesetzte Subtraktion (von der Menge) oder als fortgesetzten Addition (beim mpfänger) verstanden werden. Aufteilen: ine gegebene Grundmenge wird in die grösst mögliche ahl von eilmengen (Gruppen) mit gleicher, vorgeschriebener Grösse aufgeteilt. in diese Grösse unterschreitender Rest kann übrig bleiben. Die Frage lautet: Wie viel Mal ist die eilmenge (der Divisor) in der Grundmenge (dem Dividenden) enthalten? Beispiel: 40 Leute wollen mit Booten auf den See. Pro Boot haben nur 5 Personen Platz. Wie viele Boote werden benötigt? Das Aufteilen kann als Ordnen in gleich grosse Gruppen dargestellt werden. Division Kopfrechnen inmaleins weitgehend automatisiert usammenhang Division Multiplikation verstanden Prinzip des gerechten eilens (aufteilen bzw. verteilen) verstanden Bedeutung des Resultats (Anzahl Gruppen bzw. das, was eine/r bekommt) verstanden äufige Schwierigkeiten Didaktogen: Division wird auf formaler bene als Umkehrung der Multiplikation eingeführt und ist nicht verstanden. Vermischen von Aufteil und Verteilstrategien (z.b. auch durch Lehrperson). Kinder verstehen nicht, warum das Resultat einer Division kl einer ist als der Dividend. s ist nicht klar, dass der Rest immer kleiner als der Divisor sein muss. albschriftliche Division Division (bene Kopfrechnen) verstanden Dezimalsystem verstanden, v.a. ntbündeln ehnerinmaleins anwenden können Überschlagsrechnen Kann über Verteilhandlungen gut mit dem Dienes Material veranschaulicht werden (allerdings wird immer der grösstmögliche Quotient gesucht). Konkrete inweise siehe eilpädagogischer Kommentar zum ahlenbuch 4. 67

7 Skript 2 Multiplikation / Division IL SG18 06/2018 Patricia OehriWagner Schriftliche Division halbschriftliche Division Schriftliche Addition, Subtraktion verstanden und sicher anwenden können inmaleins automatisiert Division (bene Kopfrechnen) verstanden Schwierigkeiten Raumorientierung bei der inhaltung bzw. den Wechseln der Rechenrichtung Vermischen der einzelnen Operationen Reihenfolge bei der Ausführung der diversen Schritte Die schriftliche Division ist ein anspruchsvolles Verfahren, welches verschiedene Rechenoperationen beinhaltet: Bestimmen des eildividenden, Div idieren, Multiplizieren, Subtrahieren. Mit Kindern mit Lernschwächen ist es oft sinnvoller, das Prinzip des Dividierens anhand halbschriftlicher Aufgaben zu erarbeiten und dann den aschenrechner zu benutzen. Falls die Schülerinnen und Schüler motiviert s ind, die schriftliche Division zu lernen, kann diese sehr gut mit dem DienesMaterial und entsprechenden Protokollierungsformen erarbeitet werden. Stellenwerttafel für die schriftliche Division : = 77