1. Was bedeutet kanonisch? 1.1. Definition nach [1] 1.2. Definition nach [3] 1.3. Definition nach [4]

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1 1. Was bedeutet kanonisch? 1.1. Definition nach [1] Def. I: Ein Begriff unter einer Anzahl gleichartiger Begriffe heißt kanonisch, wenn er eine besonders große Bedeutung eine besonders durchsichtige Gestalt hat. 1.. Definition nach [3] Def. II: kanonisch, einer gegebenen Situation oder Problemstellung am besten angepasst 1.3. Definition nach [4] Def.: III kanonisch, auf natürliche Weise logisch ausgezeichnet -1-

2 . Probleme mit der kanonischen Basis des R.1. These ( ) 1 0 Die Standardbasis B : =, des ist in keiner Weise gegenüber der Basis, des logisch ausgezeichnet. B ist im Sinne der Definitionen I, II III 1 0 ( ) nicht kanonisch, sondern willkürlich... Ein Einwand? Es gilt aber doch det, = 1 1 = det,?

3 .3. Lösung Die Definition von ( ) det ist auch nicht kanonisch, sondern willkürlich. Es gilt: a 1,1 a 1, n n det = sgn ( π) a i, π( i ) a S( n) i 1 n,1 a π = n, n Die Willkür in dieser Definition ist die Richtung, in der die Matrix gelesen wird. Es wäre genauso möglich, eine andere Determinante det ( ) wie folgt zu definieren: a n a,1 n, n n a i, π( i ) a π S = 1 1,1 a i 1, n det : = sgn ( π) ( n) Mit dieser det ( ) gilt dann nämlich: det, = 1 1 = det, Die These.1. wird also bestätigt. -3-

4 .4. Ein Versuch Man könnte auf die Idee kommen, den Begriff kanonische Basis des wie folgt zu definieren: v, w (( v w) ), ist die kanonische Basis des : 1 0 v = w = 0 1 Aber das ist willkürlich, denn man könnte genauso gut den Begriff kanonische Basis des anders definieren: v, w (( v w) ), ist die kanonische Basis des : 0 1 v = w = 1 0 Das Einzige, dass möglich ist, ist den Begriff der Standard- Basis des zu definieren: v, w (( v w) ), ist die Standard-Basis des : 1 0 v = w = 0 1 Die Standard-Basis des ist nicht kanonisch, sondern willkürlich definiert. Mit anderen Worten: Die Wahl der Standard-Basis des zwingend. ist günstig, aber nicht -4-

5 3.1. Das neutrale Element einer Gruppe G mit #G ist nicht kanonisch Sei G eine Menge mit # sei G ; eine Gruppe mit neutralem Element e G. Es wird gezeigt werden, dass jedes ϑ G Anlass gibt zu einer Gruppe ( G ; ), die mit ( G ; ) verwandt ist deren neutrales Element ϑ ist. G ( ) Sei also ϑ G : G G G definiert durch a, b G a b : = a ϑ 1 b () Sei weiterhin die Abbildung ϕ : G G definiert durch a G ϕ a : = ϑ a 1 ϑ () ( ) Aus () () folgt dann offenbar: ( ) ( ) a, b, c G a b c = a b c (1) a G a ϑ = a = ϑ a () ( ) ( ) a G a ϕ a = ϑ = ϕ a a (3) Damit ist offenbar gezeigt, dass ( G; ) eine Gruppe mit neutralem Element ϑ ist. Ausserdem ist ϕ : G G die Inversenbildung von ( G ; ) ( ; ) ( G; ). Schliesslich gilt es, die Verwandschaft von G aufzuzeigen. Es gilt nämlich: ( ) a, b G a b = a ϕ e b (4) Fazit: Wegen #G ist das neutrale Element e G von kanonisch. ( ; ) G nicht -5-

6 3.. Das erzeugende Element einer zyklischen Gruppe G mit #G ist nicht kanonisch Sei G eine Menge mit # sei G ; eine zyklische Gruppe mit erzeugendem Element ω G. Es wird gezeigt werden, dass jedes g Anlass gibt zu einer zyklischen Gruppe G ;, die mit ( ; ) G ( ) G ( ) G verwandt ist von der g ein erzeugendes Element ist. Sei also g G. Dann existiert k { 1,, # G } mit g = ω k (1) Wir definieren dann { 0,, # G 1} l ϑ G durch l = k 1 ϑ = ω l () Sei : G G G definiert wie in 3.1.(), d. h. a, b G a b : = a ϑ 1 b (3) Dann gilt nach 3.1.(1) 3.1.(3): ( G ; ) ist eine Gruppe mit neutralem Element ϑ (4) -6-

7 Dabei gilt nach (1), () (3): m { 1,, # G} m g = g m ϑ ( m 1) = ω mk ( m 1) l i= 1 (5) Dann bleibt nur noch zu zeigen, daß ( G ; ) eine zyklische Gruppe ist daß g G ein erzeugendes Element von ( G ; ) ist. Dazu genügt es wegen (4) zu zeigen, daß gilt: n n { 1,,# G} ϑ = g n = # G i= 1 (6) Beweis von (6): n Sei n { 1,, # G } mit ϑ = g. Wegen (), (5) folgt dann: i= 1 ( 1) ω l = ϑ = ω nk n l = ω n k nl + l ( G ; ) Sei nun e G das neutrale Element von ():. Dann folgt mit e ( ) = ω l ω # G l = ω nk nl+ l+ # G l = ω nk nl = ω nk l = ω n Da ω G ein erzeugedes Element von ( G ; ) ist, folgt schließlich: n = # G Fazit: Wegen 3.1.(4) # G ist das erzeugende Element ω G von G ; nicht kanonisch. ( ) -7-

8 4. Dualräume 4.1. Benötigte Definitionen Def.: Sei n +. Sei V ein n -dimensionaler -Vektorraum. 1. Wir definieren dann V : = f : : ist -linear Offenbar gilt: { V f } V ist ein n -dimensionaler -Vektorraum V heißt der Dualraum von V.. Sei eine Norm auf V. Wir definieren dann eine Norm auf V durch ( x) f f V f : = sup : x V x 0 x = sup : 1 { f( x) x V x = } heißt die von auf V induzierte Operatornorm. -8-

9 3. Sei < ; > ein Skalarprodukt auf V. Wir definieren dann eine -lineare Abbildung Θ < : durch ; >,V V V ( ) x V Θ < > =< > ;, V x : x; Durch < ; > wird eine Norm auf V induziert. Dabei gilt: x V x = < x; x > ( V ) ( V ) Θ < ; >, :, V, ist eine -lineare Isometrie von normierten -Vektorräumen 4. ( ) Nach 1.. sind dann V = V ( ) = ebenfalls definiert. V heißt der Bidualraum von V. 5. Wir definieren eine Abbildung Q : V V V durch ( ) x V Q V x V : = f f ( ) x V Dann gilt nach []: Q : V V V ist -linear bijektiv Außerdem gilt nach [] für jede Norm auf V : ( ) ( V ) Q : V,, ist eine -lineare V Isometrie von normierten -Vektorräumen -9-

10 4.. Hauptsatz I Hauptsatz: Vor.: Beh.: Sei < ; > ein Skalarprodukt auf. Sei die durch < ; > auf induzierte Norm. Θ :,, eine Isometrie von normierten -Vektorräumen. Sei Φ : eine Abbildung. Sei ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ :,, ist eine -lineare Isometrie von normierten -Vektorräumen Φ f Es existiert eine -lineare Isometrie : : ( ) g : (, ) (, ) mit f = Θ g -lineare -10-

11 Es gilt: ( ) ( ) Θ :,, ist eine < ; >, -lineare Isometrie von normierten -Vektorräumen ( ) ( ) Θ :,, ist eine < ; >, -lineare Isometrie von normierten -Vektorräumen Θ = Θ id < ; >, < ; >, Θ = Θ id < ; >, < ; >, Θ Θ < ; >, < ; >, Damit ist klar: Θ < ; >, ist nicht kanonisch -11-

12 4.3. Hauptsatz II Hauptsatz: Vor.: Sei Φ : ( ) eine Abbildung. Beh.: Für jede Norm auf gilt: Φ : (, ) ( ), ist eine -lineare Isometrie von normierten -Vektorräumen Φ Q, Q Bew.: ausgelassen -1-

13 Es gilt: Für jede Norm auf gilt: Q ( ) ( ) :,, ist eine -lineare Isometrie von normierten -Vektorräumen Für jede Norm auf gilt: Q ( ) ( ) :,, ist eine -lineare Isometrie von normierten -Vektorräumen Q = Q id Q = Q id Q Q Damit ist klar: Q ist nicht kanonisch -13-

14 5. Literaturverzeichnis [1] Der große Brockhaus (16. Auflage) F. A. Brockhaus Wiesbaden 1955 [] Graduate Texts in Mathematics 96 John B. Conway, A Course in Functional Analysis Second Edition Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York [3] Lexikon der Mathematik Spektrum Akademischer Verlag GmbH Heidelberg 001 [4] Vorlesungen über Mathematik Universität zu Köln -14-