Vorlesung 9b. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und bedingte Erwartungswerte

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Elly Kohl
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1 Vorlesung 9b Bedingte Wahrscheinlichkeiten und bedingte Erwartungswerte 1

2 Definition. Seien E 1, E 2 Ereignisse. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von E 2, gegeben E 1, definiert als P(E 2 E 1 ) := P(E 2 E 1 ) P(E 1 ) = P(I E2 = 1 I E1 = 1) 2

3 Definition. Seien E 1, E 2 Ereignisse. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von E 2, gegeben E 1, definiert als P(E 2 E 1 ) := P(E 2 E 1 ) P(E 1 ) = P(I E2 = 1 I E1 = 1) 3

4 Definition. Seien E 1, E 2 Ereignisse. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von E 2, gegeben E 1, definiert als P(E 2 E 1 ) := P(E 2 E 1 ) P(E 1 ) = P(I E2 = 1 I E1 = 1)... die Wahrscheinlichkeit von E 2, wenn man schon weiß, dass E 1 eingetreten ist.

5 Alte Regeln (für zweistufige Experimente) im neuen Gewand: Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: P(X 2 A 2 ) = P(X 1 = a 1 )P ( ) X 2 A 2 X 1 = a 1 a 1 S 1 4

6 Bedingter Erwartungswert von h(x 1,X 2 ), gegeben {X 1 = a 1 }: 5

7 Bedingter Erwartungswert von h(x 1,X 2 ), gegeben {X 1 = a 1 }: E [ ] h(x 1,X 2 ) X 1 = a 1 := a 2 S 2 h(a 1,a 2 )P ( X 2 = a 2 X 1 = a 1 )

8 Bedingter Erwartungswert von h(x 1,X 2 ), gegeben {X 1 = a 1 }: E [ ] h(x 1,X 2 ) X 1 = a 1 := a 2 S 2 h(a 1,a 2 )P ( X 2 = a 2 X 1 = a 1 ) Bedingte Erwartung von h(x 1,X 2 ), gegeben X 1 :

9 Bedingter Erwartungswert von h(x 1,X 2 ), gegeben {X 1 = a 1 }: E [ ] h(x 1,X 2 ) X 1 = a 1 := a 2 S 2 h(a 1,a 2 )P ( X 2 = a 2 X 1 = a 1 ) Bedingte Erwartung von h(x 1,X 2 ), gegeben X 1 : E [ h(x 1,X 2 ) X 1 ] := e(x1 ),

10 Bedingter Erwartungswert von h(x 1,X 2 ), gegeben {X 1 = a 1 }: E [ ] h(x 1,X 2 ) X 1 = a 1 := a 2 S 2 h(a 1,a 2 )P ( X 2 = a 2 X 1 = a 1 ) Bedingte Erwartung von h(x 1,X 2 ), gegeben X 1 : E [ h(x 1,X 2 ) X 1 ] := e(x1 ), mit e(a 1 ) := E [ h(x 1,X 2 ) X 1 = a 1 ].

11 Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung: T sei Geom(p)-verteilt. P(T > k +l T > k) = q k+l /q k = q l. 6

12 Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung: T sei Geom(p)-verteilt. P(T > k +l T > k) = q k+l /q k = q l. 7

13 Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung: T sei Geom(p)-verteilt. P(T > k +l T > k) = q k+l /q k = q l. 8

14 Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung: T sei Geom(p)-verteilt. P(T > k +l T > k) = q k+l /q k = q l. Die Kenntnis, dass T einen Wert größer als k annimmt, ändert also die Verteilung für die restliche Wartezeit nicht.

15 Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung Für exponentialverteiltes T zum Parameter λ gilt für r, s > 0 9

16 Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung Für exponentialverteiltes T zum Parameter λ gilt für r, s > 0 P(T > r +s T > r) = e λs.

17 Zweistufigkeit - Spieß umgedreht: P(X 1 = a 1 X 2 = a 2 ) = P(X 2=a 2 X 1 =a 1 )P(X 1 =a 1 ) P(X 2 =a 2 ) 10

18 Zweistufigkeit - Spieß umgedreht: P(X 1 = a 1 X 2 = a 2 ) = P(X 2=a 2 X 1 =a 1 )P(X 1 =a 1 ) P(X 2 =a 2 ) Formel von Bayes: P(X 1 = a 1 X 2 = a 2 ) = P(X 2=a 2 X 1 =a 1 )P(X 1 =a 1 ) b S 1 P(X 2 =a 2 X 1 =b)p(x 1 =b)

19 Zweistufigkeit - Spieß umgedreht: P(X 1 = a 1 X 2 = a 2 ) = P(X 2=a 2 X 1 =a 1 )P(X 1 =a 1 ) P(X 2 =a 2 ) Formel von Bayes: P(X 1 = a 1 X 2 = a 2 ) = P(X 2=a 2 X 1 =a 1 )P(X 1 =a 1 ) b S P(X 1 2 =a 2 X 1 =b)p(x 1 =b) P(E 1 E 2 ) = P(E 2 E 1 )P(E 1 ) P(E 2 E 1 )P(E 1 )+P(E 2 E c 1 )P(Ec 1 )

20 Beispiel: Reihenuntersuchungen: Eine kranke Person wird in 100% der Fälle positiv getestet, eine gesunde Person in 1%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person wirklich krank ist? Der Prozentsatz der kranken Personen sei 0.1%. P(E 1 ) = 0.001, P(E 2 E 1 ) = 1, P(E 2 E c 1 ) = Bayes: P(E 1 E 2 ) = Die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Testbefund wirklich krank zu sein, liegt also bei nur 9%! 11

21 0.999 g k 1 p 12

22 0.999 g k 1 p P(X 1 = k,x 2 = p) P(X 2 = p) =

23 0.999 g k 1 p P(X 1 = k,x 2 = p) P(X 2 = p) =

24 Zur Erinnerung: Der (bedingte) Erwartungswert von Y, gegeben X = x 13

25 Zur Erinnerung: Der (bedingte) Erwartungswert von Y, gegeben X = x (Symbol : E[Y X = x] oder E x [Y])

26 Zur Erinnerung: Der (bedingte) Erwartungswert von Y, gegeben X = x (Symbol : E[Y X = x] oder E x [Y]) ist der Erwartungswert unter der bedingten Verteilung.

27 Zur Erinnerung: Der (bedingte) Erwartungswert von Y, gegeben X = x (Symbol : E[Y X = x] oder E x [Y]) ist der Erwartungswert unter der bedingten Verteilung. Im diskreten Fall

28 Zur Erinnerung: Der (bedingte) Erwartungswert von Y, gegeben X = x (Symbol : E[Y X = x] oder E x [Y]) ist der Erwartungswert unter der bedingten Verteilung. y Im diskreten Fall y P(Y = y X = x),

29 Zur Erinnerung: Der (bedingte) Erwartungswert von Y, gegeben X = x (Symbol : E[Y X = x] oder E x [Y]) ist der Erwartungswert unter der bedingten Verteilung. y Im diskreten Fall y P(Y = y X = x), und im Fall von Dichten

30 Zur Erinnerung: Der (bedingte) Erwartungswert von Y, gegeben X = x (Symbol : E[Y X = x] oder E x [Y]) ist der Erwartungswert unter der bedingten Verteilung. y Im diskreten Fall y P(Y = y X = x), und im Fall von Dichten y f(x,y) f 1 (x) dy.

31 Beispiel: Z 1,...,Z 10 sei ein p-münzwurf der Länge 10, K := 10 i=1 Z i. 14

32 Beispiel: Z 1,...,Z 10 sei ein p-münzwurf der Länge 10, K := 10 i=1 Z i. Die Runs in (z 1,...,z n ) sind die Maximalserien aus nur Nullen oder nur Einsen. Z. B. hat (0,1,1,0,0,1,1,0,0,0) fünf Runs.

33 Beispiel: Z 1,...,Z 10 sei ein p-münzwurf der Länge 10, K := 10 i=1 Z i. Die Runs in (z 1,...,z n ) sind die Maximalserien aus nur Nullen oder nur Einsen. Z. B. hat (0,1,1,0,0,1,1,0,0,0) fünf Runs. Sei R die Anzahl der Runs in (Z 1,...,Z 10 ). Gefragt ist nach E[R K = 4].

34 R = n i=1 I {beimi tenwurf beginnteinrun} 15

35 R = n i=1 I {beimi tenwurf beginnteinrun} = 1+ 9 i=1 I {Zi Z i+1 }.

36 R = n i=1 I {beimi tenwurf beginnteinrun} = 1+ 9 i=1 I {Zi Z i+1 }. Und die bedingte Verteilung von (Z 1,...,Z 10 ) gegeben K = 4 entsteht so, dass man aus den Plätzen 1,...,10 rein zufällig 4 auswählt, auf die man die 4 Einsen setzt.

37 R = n i=1 I {beimi tenwurf beginnteinrun} = 1+ 9 i=1 I {Zi Z i+1 }. Und die bedingte Verteilung von (Z 1,...,Z 10 ) gegeben K = 4 entsteht so, dass man aus den Plätzen 1,...,10 rein zufällig 4 auswählt, auf die man die 4 Einsen setzt. P(Z i Z i+1 K = 4) = (warum?),

38 R = n i=1 I {beimi tenwurf beginnteinrun} = 1+ 9 i=1 I {Zi Z i+1 }. Und die bedingte Verteilung von (Z 1,...,Z 10 ) gegeben K = 4 entsteht so, dass man aus den Plätzen 1,...,10 rein zufällig 4 auswählt, auf die man die 4 Einsen setzt. P(Z i Z i+1 K = 4) = (warum?), also ist der gesuchte Wert gleich = 29 5.

39 Beispiel: Z 1,Z 2,... sei ein Münzwurf mit uniform auf [0,1] verteiltem zufälligem Erfolgsparameter U, 16

40 Beispiel: Z 1,Z 2,... sei ein Münzwurf mit uniform auf [0,1] verteiltem zufälligem Erfolgsparameter U, X n sei die Anzahl der Erfolge in den ersten n Versuchen.

41 Beispiel: Z 1,Z 2,... sei ein Münzwurf mit uniform auf [0,1] verteiltem zufälligem Erfolgsparameter U, X n sei die Anzahl der Erfolge in den ersten n Versuchen. Gefragt ist nach E[U X n = k].

42 Beispiel: Z 1,Z 2,... sei ein Münzwurf mit uniform auf [0,1] verteiltem zufälligem Erfolgsparameter U, X n sei die Anzahl der Erfolge in den ersten n Versuchen. Gefragt ist nach E[U X n = k]. Wir wissen schon:

43 Beispiel: Z 1,Z 2,... sei ein Münzwurf mit uniform auf [0,1] verteiltem zufälligem Erfolgsparameter U, X n sei die Anzahl der Erfolge in den ersten n Versuchen. Gefragt ist nach E[U X n = k]. Wir wissen schon: Die bedingte Dichte von U gegeben {X n = k} ist

44 Beispiel: Z 1,Z 2,... sei ein Münzwurf mit uniform auf [0,1] verteiltem zufälligem Erfolgsparameter U, X n sei die Anzahl der Erfolge in den ersten n Versuchen. Gefragt ist nach E[U X n = k]. Wir wissen schon: Die bedingte Dichte von U gegeben {X n = k} ist P k (U du) = 1 1 n+1 ( ) n k u k (1 u) n k du

45 E[U X n = k] = 1 1 n+1 ( ) n k u k+1 (1 u) n k du 17

46 E[U X n = k] = 1 1 n+1 ( ) n k u k+1 (1 u) n k du = k +1 n n+2 ( n+1 k +1 ) u k+1 (1 u) (n+1) (k+1) du = k +1 n+2.

47 E[U X n = k] = 1 1 n+1 ( ) n k u k+1 (1 u) n k du = k +1 n n+2 ( n+1 k +1 ) u k+1 (1 u) (n+1) (k+1) du = k +1 n+2. Man nennt dies auch den Bayes-Schätzer für die Erfolgswahrscheinlichkeit (bei a priori uniform verteilter Erfolgswahrscheinlichkeit).

48 E[U X n = k] = 1 1 n+1 ( ) n k u k+1 (1 u) n k du = k +1 n n+2 ( n+1 k +1 ) u k+1 (1 u) (n+1) (k+1) du = k +1 n+2. Man nennt dies auch den Bayes-Schätzer für die Erfolgswahrscheinlichkeit (bei a priori uniform verteilter Erfolgswahrscheinlichkeit).

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