Schularbeitsaufgaben

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1 Schularbeitsaufgaben Aufgabe 1. Wann ist eine ganze Zahl teilbar durch 5? (Wir sagen dann auch, dass 5 ein Teiler dieser ganzen Zahl ist.) Gib auch viele Beispiele von ganzen Zahlen, (i) die durch 5 teilbar sind und (ii) die nicht durch 5 teilbar sind. Aufgabe 2. Wenn du die Bruchzahlen 1 24 und 1 30 aufaddierst, suchst du wahrscheinlich einen gemeinsamen Nenner. In diesem Fall auch wohl das kleinste gemeinsame Vielfach von 24 und 30. Die Primfaktorzerlegungen sind 24 = und 30 = Wie findest du das kleinste gemeinsame Vielfach? Finde auch das kleinste gemeinsame Vielfach von 120 und 36. Aufgabe 3. Wenn Z die Menge der ganzen Zahlen ist, was wird man dann wahrscheinlich mit 3Z meinen? Hinweis: es ist auch eine Mengen von ganzen Zahlen, aber welche? Aufgabe 4. Was hat das Vereinfachen einer Bruchzahl mit (i) der Primfaktorzerlegung und mit dem (ii) größsten gemeinsamen Teiler zu tun? Hinweis: Betrachte ein Beispiel: Vereinfache und benutze dabei die anderen Begriffe! Wenn du es noch immer zu schwierig findest, dann machst du 5 andere Beispiele, die du selbst gefunden hast und gibst jeweils an, was die Primfaktorzerlegung von Nenner und Zähler ist und was der größste gemeinsame Teiler von Nenner und Zähler ist. (Also, eine Tabelle machen.) Aufgabe 5. Wie berechnet man den kgv von zwei Primzahlen? Wenn du es nicht siehst, dann bitte viele Beispiele machen! Aufgabe 6. (a) Finde alle Teiler von 4 und 10. (b) Finde alle Teiler von 20. (c) Finde alle Teiler von 25. (d) Finde alle Teiler von 50. (e) Finde alle Teiler von 100. (f) Finde alle Trios von ganzen Zahlen A, B und C mit A B C = 100. Aufgabe 7. Jan hat 100 Zuckerwürfel. Daraus möchte er ein Quader machen mit dem großtmöglichen Volumen.Kannstduihmhelfen?Hinweis:DubrauchstdreiZahlenA,B undc mita B C = 100 warum? Mache eine Tabelle mit allen möglichen Werten von A, B und C und mit dem dazu gehörenden Flächeninhalt. Aufgabe 8. Wir betrachten die Gleichungen 3X+1 = Y. Mache eine Tabelle mit den Werten 1 bis 10 für Y und gib an, für welche Werte von Y diese Gleichung eine Lösung in Z hat. Welchen 1

2 Rest muss Y ergeben, wenn wir durch 3 teilen, sodass die Gleichung 3X +1 = Y eine Lösung in Z hat? Aufgabe 9. (a) Begründe folgende Behauptung: das Quadrat einer ganzen Zahl ist entweder gerade oder durch 4 teilbar. Wenn du es nicht siehst, dann viele Beispiele machen. (b) Das Produkt drei auf einander folgender ganzer Zahlen ist immer durch 6 teilbar. Wahr oder nicht? (c) Jede Primzahl ist ungerade. Wahr oder nicht? (d) Berechne den Rest modulo 3 (also den Rest, wenn man durch 3 dividiert) für: (e) Was ist dann der Rest modulo 3 von 15367? Aufgabe 10. Welche Primzahlen P 1 und P 2 haben die Eigenschaft P 1 P 2 = 899? Aufgabe 11. Beschreibe die Menge der Zahlen Y für welche die Gleichung 5X + 12 = Y Lösungen in Z hat. Aufgabe 12. Warum ist A B ggt(a,b) immer eine ganze Zahl? Aufgabe 13. Zerlege die folgenden Zahlen in Primfaktoren (a) 6642 (b) (c) (d) 1189 Aufgabe 14. Jan geht jeden dritten Tag Fussball spielen. Oskar spielt beim selben Verein und zur selben Zeit, aber kann nur jeden siebten Tag kommen. Wie viel Tagen müssen sie immer warten, bevor sie wieder zusammen spielen? (Hinweis, stell dir vor, heute spielten sie zusammen.) Aufgabe 15. Bestimme ggt(25,20), ggt(100,75), kgv(25,20), kgv(100,80). Aufgabe 16. Suche heraus ob folgende Gleichungen Lösungen in Z haben: (a) 3X+1 = 7, (b) 3X +1 = 14, (c) X 2 +5 = 9, (d) X 2 +9 = 5, (e) X 3 = 9. Aufgabe17. Kaninchensinddafürbekannt,dasssiesichschnellfortpflanzenkönnen.SeiA n die Anzahl der Kaninchen auf der Insel Eeschmee im Jahr n. Also, wenn z.b. A 2011 = 3 heisst dies, dass es im Jahr 2011 drei Kaninchen gab. Eine Gruppe von Biologen ist darauf gekommen, dass die Anzahl der Kaninchen im nächsten Jahr wie folgt berechnet werden kann: Man multipliziert die Kaninchenanzahl von heuer mit 2 und addiert dan 10. Also, A n+1 = 2A n (i) Wenn A 2000 = 20, wie viele Kaninchen gibt es dann in 2011? (ii) Wenn A 2011 = 6350, wie viele Kaninchen gab es dann in 2006? Aufgabe 18. Bei einem Geburtstag von Heinz, der jetzt 83 wird, kommen seine drei besten Freunde zusammen. Das Produkt der Alter der drei Freunde ist (a) Reicht diese Information, heraus zu finden, wie alt die drei Freunde sind? Was brauchst du noch? Gib einige Möglichkeiten (also, zwei oder mehr) an Zusatzinformation, sodass die Aufgabe zu lösen ist. 2

3 (b) Wenn gegeben ist, dass der jüngste Freund vier Jahre jünger ist als der älteste und der mittlere 1 Jahr älter als Heinz ist, dann solltest du die Aufgabe lösen können? (c) Beschreibe in Worten genau, wie du die Lösung gefunden hast. Was hast du alles benutzt, welches Wissen? Die Primfaktorzerlegung? Aufgabe 19. Zwei MathematikstudentInnen debatieren über Primzahlen. Nennen wir sie X und Y. X behauptet, es gibt nur 100 Primzahlen. Darauf fängt Y an, eine Liste von Primzahlen zumachen,undfindet,dassesaufjedenfall101gibt.beidebetrachtendielistevonprimzahlen p 1, p 2,..., p 101 von 101 verschiedenen Primzahlen. Jetzt möchten X und Y wissen, ob dies dann alle Primzahlen sind. Weil es nicht leicht ist, zu kontrollieren ob eine große Zahl eine Primzahl ist, überlegt X jetzt einen Trick: Wenn eine Zahl keine Primzahl ist, dann ist sie durch eine Primzahl teilbar. Wenn eine Zahl also nicht durch eine Primzahl teilbar ist, ist sie eine Primzahl. Glücklicherweise sind alle Teiler einer Zahl immer kleiner als die Zahl selbst. Darum muss man für eine Zahl z nur kontrollieren, ob sie durch alle Primzahlen kleiner als z teilbar ist, um zu sehen, ob sie eine Primzahl ist. Aber, so behauptet X, dann muss die Zahl v = p 1 p 2 p 3 p eine Primzahl sein, wenn es nur 101 gibt, aber das geht dann also nicht oder? (a) Anscheinend hatte X am Anfang nicht recht, dass es nur 100 Primzahlen gibt. Wieso? (b) Erkläre den Satz: Wenn eine Zahl keine Primzahl ist, dann ist sie durch eine Primzahl teilbar. (c) Erkläre den Satz: alle Teiler einer Zahl [sind] immer kleiner als die Zahl selbst. (d) Was ist der Rest wenn man v durch p 1 teilt? Was ist der Rest wenn man v durch p 2 teilt? Hinweis: man kann schreiben v = u p 1 +1, wobei u das Produkt der Primzahlen p 2 bis zu p 101 ist. (e) Wieso muss es auf jeden Fall 102 Primzahlen geben? (f) Kannst du dieses Argument vervollständigen und zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt? Aufgabe 20. A B A B kgv(a,b) ggt(a,b) kgv(a,b) ggt(a,b) (a) Übernimm die Tabelle in dein Heft (!) und fülle sie aus. (b) Was fällt dir dabei auf? Kannst du eine Hypothese aufstellen? Welche Formel für das Produkt von kgv(a,b) und ggt(a,b) erwartest du im Allgemeinen? (c) Kontrolliere deine Hypothese mit noch 4 weiteren selbst gewählten Beispielen. (d) Wenn deine Hypothese sich in diesen Beispielen auch als richtig erwiesen hat, beweise deine Vermutung!!! (Hinweis: benutze die Primfaktorzerlegung.) Aufgabe 21. In der zweiten Klasse lernen sie gerade auch etwas von Primzahlen, ggt, kgv und so weiter. Natürlich finden sie in der zweiten Klasse Bruchzahlen noch etwas schwierig. Kannst du ihnen und mir helfen? Schreibe einen Essay (einen erklärenden Text in diesem Fall), in dem du erklärst, wie man beim Vereinfachen von Bruchzahlen und bei der Addition von Bruchzahlen die Primfaktorzerlegung, das kgv und den ggt benutzen kann? Dann verknüpfen 3

4 die SchülerInnen aus der zweiten Klasse ihr altes Wissen mit dem Neuen und so festigt sich das Wissen besser. Also, bitte schreibe mir einen schönen, gut lesbaren Essay, den ich in der zweiten Klasse austeilen kann! Aufgabe 22. Vereinfache Aufgabe 23. Aus dem Internet: Sheila has 30 apples, 24 bananas and 12 oranges. She wants to put the pieces of fruit into baskets, such that all baskets have equal amount of apples, bananas and oranges. What is the greatest number of baskets she can fill? Aufgabe 24. (i) Gib die Primfaktorzerlegungen von 45 und 300. (ii) Nimm alles aus den beiden Primfaktorzerlegungen, was den beiden gemeinsam ist. Welche Zahl bekommst du, und was hat sie mit 45 und 300 zu tun. Aufgabe 25. Schreibe in etwa 5 Sätzen auf, wie du den ggt und das kgv zweier Zahlen ausrechnest. Aufgabe 26. Über die Kaninchenaufgabe: (i) Kannst du die Formel A n+1 = 2A n +50 jetzt richtig interpretieren? Erkläre in Worten, was die Formel besagt. (ii) Erkläre in Worten, wie du A 2006 berechnet hast. Aufgabe 27. Gegeben sind zwei Primfaktorzerlegungen: x = p 1 p 2 p 3 p 4 und y = p 3 p 4 p 5 p 6 p 7, bei dem die p 1,...,p 7 Primzahlen sind. Kannst du ggt(x,y) kgv(x,y) in den p 1,...,p 7 ausdrücken? Vergleiche mit x y. Kannst du dies vielleicht benutzen, im allgemeinen zu zeigen, dass kgv(a,b) ggt(a,b) = A B? Aufgabe 28. Bei einem heftigen Gewitter regnet es so schlimm, dass jede Minutee 3 5 Liter pro Quadratmeter Wasser herunter fällt. Sei Q(t) die Menge Wasser pro Quadratmeter nach t Minuten, wobei t also die Anzahl der Minuten nach Anfang des Gewitter ist. Gib eine Formel für Q(t) so eine Formel nennt man in diesem Fall auch wohl eine Termdarstellung. Aufgabe 29. Schreibe die Zahl in normaler Dezimalform auf. Aufgabe 30. Die Atome und Moleküle, aus denen wir alle gemacht sind, sind so unglaublich klein, dass man sich das fast nicht vorstellen kann. Die folgende Information werden wir demnächst benutzen, uns doch eine Vorstellung zu machen: 18 Gramm Wasser enthalten etwa 6, Wassermoleküle. Auf der Erde gibt es ungefähr sechs Millard Menschen (also, Menschen). (a) Wenn wir 18 Gramm Wasser über die Weltbevölkerung verteilen würden, wie viel Wassermoleküle bekäme jede(r) dann? (b) Wenn wir von jedem Menschen 1 Wassermolekül abnehmen und in einen Eimer tun, wie viel Gramm Wasser wird dieser Eimer dann enthalten? Aufgabe 31. Schätze wie viel Wasser in Wien pro Tag verbraucht wird. Überlege, für welche Sachen wir alle Wasser benutzen und wie viel Wasser wir dabei verwenden. Aufgabe 32. Schreibe als ein Produkt von einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Potenz von 10. 4

5 Aufgabe 33. Im Alltag benutzen wir das Verb sein anders als in der Mathematik. In der Mathematik schreiben wir oft =, aber das ist nicht dasselbe wie ist so wie wir dies im Alltag benutzen. Nenne einige Unterschiede zwischen folgende Gebrauchsweisen von ist? (I) A + A + A = 3A und (II) Eine Ente ist ein Vogel. Aufgabe 34. Löse nach A: (a) A = 10 8 : 10 2 (b) 10 7 A+10 5 = Aufgabe 35. Die Distanz Sonne-Erde ist etwa 1, Kilometer. Das Licht hat eine Geschwindigkeit von Meter pro Sekunde. Wie lange dauert es, bevor das Licht der Sonne die Erde erreicht? Aufgabe 36. Eine Bakterienart pflanzt sich so schnell fort, dass die Population jede Stunde um einen Faktor 3 größer wird. Bestimme, nach wie vielen Stunden eine Bakterienpopulation um einen Faktor 100 gewachsen ist. Aufgabe 37. Wie viele Ziffern hat die Zahl ? Hinweis: Beantworte zu erst die Frage, wie viele Ziffern hat die Zahl 10 X? Aufgabe 38. In einer trockenen Gegend liegt eine Stadt, Brazalena, mit Einwohnern. Im Sommer fällt dakein Regen:währendder MonateJuni, Juli und August fällt dakein Tropfen Regen. Glücklich liegt ein See in der Nähe und dieser enthält etwa Liter Wasser, sodass die Stadt in den Sommermonaten diesen See für die Wasserversorgung benutzt. Ein Mensch braucht etwa 10 Liter Wasser am Tag für Essen, Trinken, sich waschen, Klo,. (a) Ist genügend Wasser im See? (b) Wie viele Einwohner kann die Stadt maximal haben, sodass es sich mit dem Wasser in jenem See ausgeht? Aufgabe 39. M8-AUFGABE!!! Herr Wagner wohnt auf 5 Kilometer von Tankstelle X, wo Benzin 1,05 Euro pro Liter kostet, und auf 10 Kilometer von Tankstelle Y, wo Benzin 1,00 Euro pro Liter kostet. Sein Auto braucht für jede 15 Kilometer einen Liter Benzin. Geht es sich aus, um nach Tankstelle Y zu fahren, weil dort der Benzin billiger ist? Aufgabe40. LösenachA: (i)5 A 10 7 = 10 5,(ii)10 3 (A 10 2 ) = 10 7,(iii)5 A 10 8 = ( ) 2, (iv) 10 A 3 = 10 2 A :