Dynamische Niedrigrang-Approximation an die Lösung von Wellengleichungen

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1 Dynamische Niedrigrang-Approximation an die Lösung von Wellengleichungen J. Schweitzer M. Hochbruck Seminar für Angewandte Mathematik ETH Zürich Mathematisches Institut Heinrich Heine Universität Düsseldorf Bad Neuenahr

2 Outline Motivation Modell Numerik Beispiel Zusammenfassung Ausblick

3 Physikalisches Problem 2d Klein Gordon Gleichung mit linearisierter Dichtegleichung 2 t 2 a a = Qn 0 + δn a γ 2 t 2δn + Qn 0δn = n 0 γ γ = 1 + a 2 a Vektorpotential n 0 Dichteprofil δn Dichteschwankun Q Dichtefaktor

4 Beispiel in 2d 2d Simulation in carthesischen Koordinaten (Gautschi Typ Verfahren mit QEA usw.) Ch. Karle

5 10 2 t = 0 Eigenschaften der Daten t = 500 t = 1000 t =

6 Niedrigrangdarstellung A(x, y, t) Y(x, y, t) = U(x, t)s(t)v(y, t) H C m,n U C m,r, V C n,r, S C r,r, U und V haben orthonormale Spalten S invertierbar n r r n r r m = m A: m n komplexe Einträge (Beispiel: m = 2048, n = ) U, S und V: m r + n r + r 2 komplexe Einträge (Beispiel: r = )

7 Bestapproximantion löse das volle System in jedem Schritt berechne nach jedem Schritt eine Singulärwertzerlegung spreichere die ersten r Singulärwerte sowie die rechten und linken Singulärvektoren Problem: man braucht in jedem Schritt die volle Matrix eine Singulärwertzerlegung Ziel: neues System von Gleichungen für U, S und V Dynamische Niedrigrangapproximation (Dynamical Low-Rank approximation)

8 Physikalische Motivation totale Energie des von a(t, r) beschriebenen Systems E = 1 2 Ω ( at 2 + a 2 + G( a 2 ) G(0) ) dr G (x) = g(x) Energieerhaltung d dt E = Re ( a t att a + g( a 2 )a ) dr =! 0 Ω Energie bleibt erhalten, wenn die nichtlineare Wellengleichung erfüllte ist a tt a + g( a 2 )a = 0

9 Formulierung auf Mannigfaltigkeiten Energieerhaltung da Wellengleichung erfüllt ist Re a t, a tt F(a) = 0 δa, a tt F(a) = 0 δa Abschwächung des Modells: Y sei in einer Mannigfaltigkeit M mit Y a δy liegt im Tangentialraum TY M zu M es gilt nicht mehr Ytt f(y) = 0 sondern δy, Y tt f(y) = 0 δy T Y M wobei f auf M definiert ist

10 Wahl der Mannigfaltigkeit Ansatzfunktionen Gauß-Hermite-Wellenpakete Hagedorn-Wellenpakete Für Systeme erster Ordnung: Lubich, Faou, Gradinaru Niedrigrangmatrizen Für Systeme erster Ordnung: Lubich, Koch, Nonnenmacher

11 Unsere Wahl der Mannigfaltigkeit Mannigfaltigkeit der Matrizen mit Rang r M = {Y C m,n : rank(y) = r} = {U C m,r, S C r,r inv., V C n,r : U H U = I r = V H V} S nicht zwingend diagonal Zerlegung nicht eindeutig Aber eindeutige Zerlegung im Tagentialraum δy = δusv H + UδSV H + USδV H δu H U = 0 = δv H V Wahl der Norm auf der Mannigfaltigkeit Bezug zur Energieerhaltung Approximation des Integrals über Ω für die diskretisierte Funktion A, B = i,j a ij b ij, A 2 = i,j a ij 2 = A 2 F

12 DLR Gleichungen δy, Ÿ f(y) = 0 δy T Y M führt auf ein neues System von Gleichungen für U, S und V: die Eigenschaften bleiben erhalten S = U H f(y)v + U H US + S V H V Ü = (I UU H )f(y)vs 1 U U H U 2 UṠS 1 V = (I VV H )f(y) H US H V V H V 2 VṠ H S H U H U = I = V H V and U H U = 0 = V H V

13 Zeitintegration Numerischer Löser (im Moment): schreibe Gleichungen als System erster Ordnung explizites Runge Kutta-Verfahren (DoPri) Fehlerschätzer man interessiert sich nicht für den Fehler von U, S und V man will Y = Y Ŷ kontrollieren Y = USV H ÛŜ V H = USV H + Û SV H + ÛŜ V H Ableitungen analog, deren Fehler wird aber mit h skaliert. Berücksichtigung des Fehlers bei der Erhaltung der Orthogonalität

14 Implementierug Inverse von S für den Fall, dass eine Singularität auftritt Ü = (I UU H )f(y)vs 1 U U H U 2 UṠS 1 Pseudoinverse (Regularisierung) Auswertung von f(y) Laplace: Y(x, y, t) = U(x, t)s(t)v(y, t) H Y = U xx (x, t)s(t)v(y, t) H + U(x, t)s(t)v yy (y, t) H man braucht nicht f(y), sondern nur f(y)v oder f(y) H U Reorthogonalisierung, falls nötig

15 Beispiel: Kubische Wellengleichung ä a = a 2 a Anfangsbedingung: Gauß-Puls (dünn in Ausbreitungsrichtung, breit in transversaler Richtung) periodische Randbedingugen (Ortsableitungen via fft) kleines Beispiel (n = m = 256) Vergleich zu Störmer Verlet / leap frog

16 Ergebnisse Rang Speicher Fehler DLR Fehler BA Speicher für Y: Matrixelemente 10 1 err vs. rank 10 2 err error of DLR error of best rank r approximation rank

17 Ergebnisse

18 Zusammenfassung Wir haben bisher: Gleichungen des DLR-Ansatzes für Wellengleichungen Fehlerschätzer kleines Beispiel, das Mut macht Was wollen wir mehr? angepasstes Zeitintegrationsverfahren Rangsteuerung Anwendung auf wirkliche Laser-Plasma-Probleme Erweiterung auf 3d

19 Rangsteuerung Warum ist das wichtig? Theorie für Gleichungen erster Ordnung besagt, dass Regularisierung nicht schlimm ist. Aber die Zeitschrittweite wird dadurch negativ beeinflusst. Lösung: Rangsteuerung Rang verkleinern leicht S singulär kleine Singulärwerte Plus Vektoren wegschmeissen Rang vergrößern Problem Woher weiss man, dass man den Rang vergrößern muss? Woher kriegt man Anfangsbedingungen für den neuen Rang?

20 Rangerweiterung Ein paar Ideen: Eingebettetes Verfahren Integriere zwei Sets von U, S und V 1. Set: S hat vollen Rang 2. Set: Dimension um z.b. 2 größer Indikator für Rangerhöhung Anfangswerte für erstes Set Es wird nicht beliebig viel regularisiert Anfangswerte für zweites Set? Für Wellengleichung mit einer Ausbreitungsrichtung: Prediktor für transversale Richtung Random Daten scheinen nicht so schlecht zu funktionieren. Frage: Wie kann man das alles zusammenbauen, so dass eine stabile Simulation rauskommt?