Spektraltheorie. 1. Übungsblatt - Lösungsvorschlag PD Dr. Peer Kunstmann M.Sc. Michael Ullmann

Transkript

1 PD Dr Peer Kunstmann MSc Michael Ullmann Spetraltheorie Übungsblatt - Lösungsvorschlag Aufgabe Gegenbeispiele Finden Sie Gegenbeispiele zum Satz vom abgeschlossenen Graphen, falls wir i nur, als einen Banachraum voraussetzen, dh X, X ist nur ein normierter unvollständiger Vetorraum ii nur X, X als einen Banachraum voraussetzen, dh, ist nur ein normierter unvollständiger Vetorraum Lösung von Aufgabe i Setze X, X : C [0, ], C0 [0,],, : C 0 [0, ], C0 [0,] Definiere den linearen Operator T : X f f T ist abgeschlossen: Seien f n n N X, f X und g mit lim f n f in X lim f n T f n g in Laut Analysis I/II ist f C [0, ] mit T f f g, dh T ist abgeschlossen T ist unstetig: Wähle Monom p n x x n C [0, ], n N, mit der Ableitung p nx nx n auf [0, ] Damit gilt: T p n n für n, aber p n X für alle n N ii Wähle nach Lineare Algebra I/II eine algebraische Basis B : b j j I l 2 N vom Vetorraum l 2 N, wobei I überabzählbar ist, mit b j l 2 N für alle j I, dh zu jedem Element x l2 N\0 gibt es eine endliche Indexmenge I I und Koeffizienten α j j I K\0 mit x j I α j b j Setze die Norm Setze X, X : x B : j I α j l 2 N, l2 N,, : l 2 N, B Definiere den linearen Operator T 2 : X, x x T 2 ist abgeschlossen: Es gilt: x X α j b j α j b j X j I j I X α j x T x j I

2 für alle x l 2 N Seien x n n N X und x, y l 2 N mit Dann gilt nach obiger Abschätzung lim x n x in X, lim x n T 2x n y in x y X x x n X + x n y X x x n X + T 2 x n y x x n X + T 2 x n T 2 y x x n X + T 2 x n y , für n, dh x y in l 2 N und T 2 x x y, dh T 2 ist abgeschlossen T 2 ist unstetig: Der Operator T 2 ist bijetiv mit T 2 : X, y y Der Operator T2 ist stetig, denn es gilt für alle y : T 2 y X T2 T2 y y Zu zeigen bleibt, dass ein Banachraum nicht vollständig ist, da sonst nach Aufgabe A2 Satz von der stetigen Inversen folgt, dass X isomorph ist zu, damit wäre vollständig ist nicht vollständig: Sei b N B Setze die Folge x n : 2 b l 2 N α n b mit Koeffizienten Für n, m N mit n > m gilt α n : 2 x n x m falls n 0 sonst m+ m+ 2 b 2 0 für n, m, da die Reihe absolut onvergiert in Annahme: ist vollständig Dann existiert ein x mit lim π2 2 6 <, dh die Folge x n ist eine Cauchy-Folge n N x n x 0 Da x ist, existieren N N, b,, b N B und Koeffizienten α,, α N K mit x N α b OBdA: α 0 für alle,, N, dh x 0 Denn wäre x 0 so würde folgen: 0 x n x π2 6, 2 2 x n 2

3 dies wäre ein Widerspruch, also ist x 0 Fall : Es existiert ein j 0,, N mit b j0 b für alle N Setze J : j,, N: b j b für ein N Dann definiere Koeffizienten Dann würde gelten: dies ist aber ein Widerspruch zu 0 < lim β : x n x α j für j J mit b j b 0 sonst α n β + α j0 > 0 j,,n\j α j x n x 0, dh Fall ann nicht auftreten Fall 2: Für alle j,, N existiert ein N mit b j b Ist b b,, b N setze α : α, sonst α : 0 für N Dann ist x α b Beachte, dass dies eine endliche Summe ist! Weiter gilt für alle N: für n Damit ist für alle N: α α n α l α n l x x n 0 α αn 2, was ein Widerspruch zu α 0 ist für alle N bis auf endlich viele Dh Der Raum, 2 ist nicht vollständig und damit ist es ein Banachraum Aufgabe 2 Satz von der stetigen Inversen Beweisen Sie den Satz von der stetigen Inversen und begründen Sie den Namen: Seien X, X,,, Z, Z Banachräume, T : X und J : Z lineare Operatoren Weiter seien J injetiv und stetig, sowie JT : X Z stetig Dann ist auch T stetig Lösung von Aufgabe 2 Seien x n n N X, x X und y mit lim x n x in X und lim T x n y in Dann folgt aus der Stetigeit von JT bzw J: lim JT x n JT x rangej in Z lim JT x n Jy rangej in Z Aus der Injetivität von J folgt: T x y, dh T : X ist abgeschlossen Aus dem Satz vom abgeschlossenen Graphen erhalten wir die Stetigeit von T Als Folgerung erhalten wir den Satz von der stetigen Inversen: Folgerung: Satz von der stetigen Inversen Seien X, zwei Banachräume und A: X eine lineare, stetige Bijetion Dann ist auch die Inverse A : X stetig l Beweis: Setze J : A und T A, sowie Z X Dann ist JT Id X, also trivialerweise stetig Laut der Aufgabe A2 gilt nun, dass A T stetig ist 3

4 Aufgabe 3 Seien X, X, X, X, X2, X2,,, 2, 2 Banachräume mit X X 2 X abgeschlossene Untervetorräume, x X c x X für alle x X für ein c > 0 und T i : X i i lineare Operatoren mit abgeschlossenem Graphen in X i für i, 2 Zeigen Sie, dass es eine Konstante C > 0 gibt mit T 2 x 2 C T x + x X für alle x X Lösung von Aufgabe 3 Wir setzen die linearen Abbildungen J : X graph T X,x x, T x J 2 : graph T X 2, x, T x T 2 x Wir statten den Produtraum X i mit der Produttopologie und der Norm x, y X i x X + y i für i, 2 Der Operator J ist bijetiv Weiter ist dieser stetig, denn wähle die Projetion π : graph T X X, x, T x x Dann ist wegen der geforderten Abschätzung an die X die Abbildung π stetig: π x, T x X x x c x X c x, T x X für alle x X Weiter ist die Verettung Id X π J : X X offensichtlich stetig Damit ist nach Aufgabe A2 die Abbildung J stetig da graph T, X ein Banachraum ist Wegen der Bijetivität von J und der Folgerung Satz von der stetigen Inversen aus Aufgabe A2 wissen wir nun auch, dass J : graph T X X stetig ist Betrachten wir nun die Verettung J 2 J : X 2, x T 2 x Dies ist abgeschlossen, denn für eine Folge x n n N X, x X und y 2 mit Wissen wir aus der Stetigeit von J, dass lim x n x in X, lim T 2x n y in 2 0 J x n J x X x n x X + T x n T x, z X z X + T z J z X C z X für alle z X und für eine Konstante C > 0, dh lim x n x in X Da der Graph von T 2 abgeschlossen ist in X 2 folgt, dass y T 2x n T 2 x in ist, dh J 2 J ist abgeschlossen Aus de Satz vom abgeschlossenen Graphen folgt nun, dass J 2 J stetig ist Nun ist aber als Verettung stetiger Funtionen auch die Abbildung J 2 stetig: dh für alle x X gilt: J 2 J 2 J J, für eine Konstante C > 0 T 2 x 2 J 2 x, T x 2 C x, T x X C T x + x X C T x + C x X C T C max, x + x X 4

5 Aufgabe 4 Schwache Ableitungen Seien R d ein Gebiet, α N d 0 ein Multiindex und p, q < Zeigen Sie, dass der schwache Ableitungsoperator α x α : D x α : u L p : α u x α Lq L p L q ein linearer, dicht definierter und abgeschlossener Operator ist Lösung von Aufgabe 4 x dicht definiert: Es ist C α c D x und C α c ist dicht in L p, da p [, ist x abgeschlossen: Seien u α n n N D x, u L p und v L q mit α lim u n u in L p u n x α v in Lq lim Dann gilt mit der Definition der schwachen Ableitung: ux α ϕ xdx xα u n x α ϕ x α xdx α u n α x α xϕxdx α vxϕxdx für alle ϕ C c, dh u D x α mit u x α v 5