Klausurteil Operations Management Wintersemester 2016/2017

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1 Prof. Dr. Stefan Helber Leibniz Universität Hannover Klausurteil Operations Management Wintersemester 2016/2017 Hinweise: Der Klausurteil besteht aus drei Aufgaben, die alle von Ihnen zu bearbeiten sind. Die erreichbare Punktzahl ist bei jeder Aufgabe angegeben. Als Hilfsmittel ist für diesen Klausurteil ein nicht alpha-numerisch programmierbarer Taschenrechner zulässig. Der Lösungsweg muss erkennbar sein! Wenn Sie zur Beantwortung einer Frage eine Formel verwenden, so geben Sie diese zunächst in allgemeiner Form an! Geben Sie bei Ihren Berechnungen stets die Einheiten der verwendeten Größen an! Zur Beantwortung der Fragen finden Sie genügend Platz in der Klausur. Bitte reißen Sie die Klausur nicht auseinander und verwenden Sie kein eigenes Papier. Tabellenwerke finden Sie im Anhang des Klausurteils. Tragen Sie bitte zuerst Ihre persönlichen Daten ein. Persönliche Daten: Nachname Vorname Matrikelnr. Studienfach Semester Bitte um Zusatzinformationen zur Häufigkeit Ihrer Nutzung der verschiedenen Lehrangebote während des Semesters (bitte freiwillig ankreuzen): Angebot \ Nutzung nie selten gelegentlich oft immer Vorlesung im Hörsaal Vorlesungslivestream im Internet Vorlesungsaufzeichnung bei StudIP Ilias-Tests Präsenztutorium Lehrbuch YouTube-Videos Bewertung der Klausur: Aufg Summe Punkte 1

2 1. Prozessanalyse (10 P.) Zur Analyse eines Bediensystems mit einem Server liegen Ihnen die folgenden Informationen vor: Für die Ankunftsrate gilt λ = 1 20 ZE. Für den Erwartungswert der Servicezeit gilt E[T s ] = 18 ZE. Der Variationskoeffizient der Zwischenankunftszeiten und auch jener der Servicezeiten ist c a = c s = 0,5. Führen Sie die Analyse entlang der folgenden Fragen durch und geben Sie in jeder Rechnung zunächst die generelle Berechnungsformel an! a) Wie groß ist der Erwartungswert der Zwischenankunftszeit E[T a ]? (1 P.) b) Wie groß ist die Bedien- oder Servicerate µ? (1 P.) c) Wie groß ist die Auslastung ρ? (1 P.) 2

3 d) Wie groß ist der Erwartungswert der Durchlaufzeit E[W] durch das System? (2 P.) e) Wie groß ist der Erwartungswert des Bestandes im System E[L]? (2 P.) f) Wie groß ist der Erwartungswert des Bestandes auf dem Server E[L s ]? (1 P.) 3

4 g) Wie groß ist die Varianz Var[T a ] = σ 2 T a der Zwischenankunftszeit? (2 P.). 4

5 2. Einmalige Bestellvorgänge - Zeitungsjungenproblem (12 P.) Betrachtet wird die Bestellung eines verderblichen Gutes. Der Erwartungswert der zufälligen Nachfrage D sei µ D = 300 Mengeneinheiten (ME). Der Kostensatz für Fehlmengen sei c u = 9 Geldeinheiten, der für Restmengen betrage c o = 1 Geldeinheiten. Angestrebt wird die Minimierung der Summe aus Kosten für Fehlmengen sowie für Restmengen. (Erforderliche Tabellenwerke finden Sie im Anhang des Klausurteils.) a) Unterstellen Sie zunächst, die Nachfrage folge einer Normalverteilung und die Standardabweichung betrage σ D = 75 Mengeneinheiten. i. Welche Bestellmenge führt in diesem Fall zum Kostenminimum? (3 P.) 5

6 ii. Welcher β-servicegrad ist mit dieser Bestellmenge verbunden? (3 P.) b) Unterstellen Sie nun, die Standardabweichung der Nachfrage betrage σ D = 0 Mengeneinheiten. Welche Bestellmenge führt in diesem Fall zum Kostenminimum und wie groß ist dieses Kostenminimum? (2 P.) 6

7 c) Unterstellen Sie nun, die Nachfrage sei gleichverteilt im Intervall von 0 bis 600 Mengeneinheiten. i. Welche Bestellmenge führt in diesem Fall zum Kostenminimum? (3 P.) ii. Welcher α-servicegrad ist mit dieser Bestellmenge verbunden? (1 P.) 7

8 3. Fließbandabstimmung (8 P.): Betrachten Sie das folgende aus der Vorlesung bekannte Modellfragment zur Fließbandabstimmung: Minimiere Z = u. B. d. R. M m=1 m X I,m (1) M X im = 1, i = 1,..., I (2) m=1 I t i X im c, m = 1,..., M (3) i=1 M m=1 m X im M m=1 m X jm, j = 1,..., I;i V j (4) Beantworten Sie dazu die folgenden Fragen: a) Was wird in Formel (1) durch den Term M m=1 m X I,m ausgedrückt? (1 P.) b) Was wird durch das Restriktionensystem (2) gefordert? (2 P.) 8

9 c) Was wird in Formel (3) durch den Term I i=1 t i X im ausgedrückt? (2 P.) d) Erläutern Sie den Gültigkeitsbereich des Restriktionensystems (3)! (1 P.) e) Was wird durch das Restriktionensystem (4) gefordert? (2 P.) 9

10 Anhang 1 Tabellenwerte der Standardnormalverteilung Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, es sei also ihr Erwartungswert µ = 0 und ihre Standardabweichung σ = 1. Die folgende Tabelle enthält für 3 x 3 die korrespondierenden Werte der Verteilungsfunktion F X (x). x F X (x) -3,00 0, ,99 0, ,98 0, ,97 0, ,96 0, ,95 0, ,94 0, ,93 0, ,92 0, ,91 0, ,90 0, ,89 0, ,88 0, ,87 0, ,86 0, ,85 0, ,84 0, ,83 0, ,82 0, ,81 0, ,80 0, ,79 0, ,78 0, ,77 0, ,76 0, ,75 0, ,74 0, ,73 0, ,72 0, ,71 0, ,70 0, ,69 0, ,68 0, ,67 0, ,66 0, ,65 0, ,64 0, ,63 0, ,62 0, ,61 0, ,60 0, ,59 0, ,58 0, ,57 0, ,56 0, ,55 0, ,54 0, ,53 0, ,52 0, ,51 0, ,50 0, ,49 0, ,48 0, ,47 0, ,46 0, ,45 0, ,44 0, ,43 0, ,42 0, ,41 0, ,40 0, ,39 0, ,38 0, ,37 0, ,36 0, ,35 0, ,34 0, ,33 0, ,32 0, ,31 0, ,30 0, ,29 0, ,28 0, ,27 0, ,26 0, ,25 0, ,24 0, ,23 0, ,22 0, ,21 0, ,20 0, ,19 0, ,18 0, ,17 0, ,16 0, ,15 0, ,14 0, ,13 0, ,12 0, ,11 0, ,10 0, ,09 0, ,08 0, ,07 0, ,06 0, ,05 0, ,04 0, ,03 0, ,02 0, ,01 0, ,00 0, ,99 0, ,98 0, ,97 0, ,96 0, ,95 0, ,94 0, ,93 0, ,92 0, ,91 0, ,90 0, ,89 0, ,88 0, ,87 0, ,86 0, ,85 0, ,84 0, ,83 0, ,82 0, ,81 0, ,80 0, ,79 0, ,78 0, ,77 0, ,76 0, ,75 0, ,74 0, ,73 0, ,72 0, ,71 0, ,70 0, ,69 0, ,68 0, ,67 0, ,66 0, ,65 0, ,64 0, ,63 0, ,62 0, ,61 0, ,60 0, ,59 0, ,58 0, ,57 0, ,56 0, ,55 0, ,54 0, ,53 0, ,52 0, ,51 0, ,50 0, ,49 0, ,48 0, ,47 0, ,46 0, ,45 0, ,44 0, ,43 0, ,42 0, ,41 0, ,40 0, ,39 0, ,38 0, ,37 0, ,36 0, ,35 0, ,34 0, ,33 0, ,32 0, ,31 0, ,30 0, ,29 0, ,28 0, ,27 0, ,26 0, ,25 0, ,24 0, ,23 0, ,22 0, ,21 0, ,20 0, ,19 0, ,18 0, ,17 0, ,16 0, ,15 0, ,14 0, ,13 0, ,12 0, ,11 0, ,10 0, ,09 0, ,08 0, ,07 0, ,06 0, ,05 0, ,04 0, ,03 0, ,02 0, ,01 0, ,00 0, ,99 0, ,98 0, ,97 0, ,96 0, ,95 0, ,94 0, ,93 0, ,92 0, ,91 0, ,90 0, ,89 0, ,88 0, ,87 0, ,86 0, ,85 0, ,84 0, ,83 0, ,82 0, ,81 0, ,80 0, ,79 0, ,78 0, ,77 0, ,76 0, ,75 0, ,74 0, ,73 0, ,72 0, ,71 0, ,70 0, ,69 0, ,68 0, ,67 0, ,66 0, ,65 0, ,64 0, ,63 0, ,62 0, ,61 0, ,60 0, ,59 0, ,58 0, ,57 0, ,56 0, ,55 0, ,54 0, ,53 0, ,52 0, ,51 0, ,50 0, ,49 0, ,48 0, ,47 0, ,46 0, ,45 0, ,44 0, ,43 0, ,42 0, ,41 0, ,40 0, ,39 0, ,38 0, ,37 0, ,36 0, ,35 0, ,34 0, ,33 0, ,32 0, ,31 0, ,30 0, ,29 0, ,28 0, ,27 0, ,26 0, ,25 0, ,24 0, ,23 0, ,22 0, ,21 0, ,20 0, ,19 0, ,18 0, ,17 0, ,16 0, ,15 0, ,14 0, ,13 0, ,12 0, ,11 0, ,10 0, ,09 0, ,08 0, ,07 0, ,06 0, ,05 0, ,04 0, ,03 0, ,02 0, ,01 0, ,00 0, ,01 0, ,02 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,10 0, ,11 0, ,12 0, ,13 0, ,14 0, ,15 0, ,16 0, ,17 0, ,18 0, ,19 0, ,20 0, ,21 0, ,22 0, ,23 0, ,24 0, ,25 0, ,26 0, ,27 0, ,28 0, ,29 0, ,30 0, ,31 0, ,32 0, ,33 0, ,34 0, ,35 0, ,36 0, ,37 0, ,38 0, ,39 0, ,40 0, ,41 0, ,42 0, ,43 0, ,44 0, ,45 0, ,46 0, ,47 0, ,48 0, ,49 0, ,50 0, ,51 0, ,52 0, ,53 0, ,54 0, ,55 0, ,56 0, ,57 0, ,58 0, ,59 0, ,60 0, ,61 0, ,62 0, ,63 0, ,64 0, ,65 0, ,66 0, ,67 0, ,68 0, ,69 0, ,70 0, ,71 0, ,72 0, ,73 0, ,74 0, ,75 0, ,76 0, ,77 0, ,78 0, ,79 0, ,80 0, ,81 0, ,82 0, ,83 0, ,84 0,

11 0,85 0, ,86 0, ,87 0, ,88 0, ,89 0, ,90 0, ,91 0, ,92 0, ,93 0, ,94 0, ,95 0, ,96 0, ,97 0, ,98 0, ,99 0, ,00 0, ,01 0, ,02 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,10 0, ,11 0, ,12 0, ,13 0, ,14 0, ,15 0, ,16 0, ,17 0, ,18 0, ,19 0, ,20 0, ,21 0, ,22 0, ,23 0, ,24 0, ,25 0, ,26 0, ,27 0, ,28 0, ,29 0, ,30 0, ,31 0, ,32 0, ,33 0, ,34 0, ,35 0, ,36 0, ,37 0, ,38 0, ,39 0, ,40 0, ,41 0, ,42 0, ,43 0, ,44 0, ,45 0, ,46 0, ,47 0, ,48 0, ,49 0, ,50 0, ,51 0, ,52 0, ,53 0, ,54 0, ,55 0, ,56 0, ,57 0, ,58 0, ,59 0, ,60 0, ,61 0, ,62 0, ,63 0, ,64 0, ,65 0, ,66 0, ,67 0, ,68 0, ,69 0, ,70 0, ,71 0, ,72 0, ,73 0, ,74 0, ,75 0, ,76 0, ,77 0, ,78 0, ,79 0, ,80 0, ,81 0, ,82 0, ,83 0, ,84 0, ,85 0, ,86 0, ,87 0, ,88 0, ,89 0, ,90 0, ,91 0, ,92 0, ,93 0, ,94 0, ,95 0, ,96 0, ,97 0, ,98 0, ,99 0, ,00 0, ,01 0, ,02 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,10 0, ,11 0, ,12 0, ,13 0, ,14 0, ,15 0, ,16 0, ,17 0, ,18 0, ,19 0, ,20 0, ,21 0, ,22 0, ,23 0, ,24 0, ,25 0, ,26 0, ,27 0, ,28 0, ,29 0, ,30 0, ,31 0, ,32 0, ,33 0, ,34 0, ,35 0, ,36 0, ,37 0, ,38 0, ,39 0, ,40 0, ,41 0, ,42 0, ,43 0, ,44 0, ,45 0, ,46 0, ,47 0, ,48 0, ,49 0, ,50 0, ,51 0, ,52 0, ,53 0, ,54 0, ,55 0, ,56 0, ,57 0, ,58 0, ,59 0, ,60 0, ,61 0, ,62 0, ,63 0, ,64 0, ,65 0, ,66 0, ,67 0, ,68 0, ,69 0, ,70 0, ,71 0, ,72 0, ,73 0, ,74 0, ,75 0, ,76 0, ,77 0, ,78 0, ,79 0, ,80 0, ,81 0, ,82 0, ,83 0, ,84 0, ,85 0, ,86 0, ,87 0, ,88 0, ,89 0, ,90 0, ,91 0, ,92 0, ,93 0, ,94 0, ,95 0, ,96 0, ,97 0, ,98 0, ,99 0, ,00 0,

12 2 Standardisierte Fehlmengenerwartungswerte Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, folglich gilt für ihre Dichtefunktion f X (x) = 1 2π e x2 2. (5) Man kann nun die Frage stellen, wie groß der Erwartungswert jenes Betrages ist, um den die standardnormalverteilte Zufallsvariable X einen vorgegebenen Wert v überschreitet, und dafür das Symbol Φ 1 (v) definieren: Φ 1 (v) = E[max(0,X v)] = = x= x= x= x=v max(0,x v) (x v) 1 2π e x2 2 dx 1 2π e x2 2 dx (6) Diese Größe wird als standardisierter Fehlmengenerwartungswert oder auch als Verlustfunktion erster Ordnung bezeichnet, weil man mit ihr abbilden kann, um wie viel eine zufällige standardnormalverteilte Nachfrage X einen vorhandenen Bestand oder eine beschaffte Menge v im Mittel überschreitet. Die folgende Tabelle enthält für 3 v 3 die korrespondierenden standardisierten Fehlmengenerwartungswerte Φ 1 (v). v Φ 1 (v) -3,00 3, ,99 2, ,98 2, ,97 2, ,96 2, ,95 2, ,94 2, ,93 2, ,92 2, ,91 2, ,90 2, ,89 2, ,88 2, ,87 2, ,86 2, ,85 2, ,84 2, ,83 2, ,82 2, ,81 2, ,80 2, ,79 2, ,78 2, ,77 2, ,76 2, ,75 2, ,74 2, ,73 2, ,72 2, ,71 2, ,70 2, ,69 2, ,68 2, ,67 2, ,66 2, ,65 2, ,64 2, ,63 2, ,62 2, ,61 2, ,60 2, ,59 2, ,58 2, ,57 2, ,56 2, ,55 2, ,54 2, ,53 2, ,52 2, ,51 2, ,50 2, ,49 2, ,48 2, ,47 2, ,46 2, ,45 2, ,44 2, ,43 2, ,42 2, ,41 2, ,40 2, ,39 2, ,38 2, ,37 2, ,36 2, ,35 2, ,34 2, ,33 2, ,32 2, ,31 2, ,30 2, ,29 2, ,28 2, ,27 2, ,26 2, ,25 2, ,24 2, ,23 2, ,22 2, ,21 2, ,20 2, ,19 2, ,18 2, ,17 2, ,16 2, ,15 2, ,14 2, ,13 2, ,12 2, ,11 2, ,10 2, ,09 2, ,08 2, ,07 2, ,06 2, ,05 2, ,04 2, ,03 2, ,02 2, ,01 2, ,00 2, ,99 1, ,98 1, ,97 1, ,96 1, ,95 1, ,94 1, ,93 1, ,92 1, ,91 1, ,90 1, ,89 1, ,88 1, ,87 1, ,86 1, ,85 1, ,84 1, ,83 1, ,82 1, ,81 1, ,80 1, ,79 1, ,78 1, ,77 1, ,76 1, ,75 1, ,74 1, ,73 1, ,72 1, ,71 1, ,70 1, ,69 1, ,68 1, ,67 1, ,66 1, ,65 1, ,64 1, ,63 1, ,62 1, ,61 1, ,60 1, ,59 1, ,58 1, ,57 1, ,56 1, ,55 1, ,54 1, ,53 1, ,52 1, ,51 1, ,50 1, ,49 1, ,48 1, ,47 1, ,46 1, ,45 1, ,44 1, ,43 1, ,42 1, ,41 1, ,40 1, ,39 1, ,38 1, ,37 1, ,36 1, ,35 1, ,34 1, ,33 1, ,32 1, ,31 1, ,30 1, ,29 1, ,28 1, ,27 1, ,26 1, ,25 1, ,24 1, ,23 1, ,22 1, ,21 1, ,20 1, ,19 1, ,18 1, ,17 1, ,16 1, ,15 1, ,14 1, ,13 1, ,12 1, ,11 1, ,10 1, ,09 1, ,08 1, ,07 1, ,06 1, ,05 1, ,04 1, ,03 1, ,02 1, ,01 1, ,00 1, ,99 1, ,98 1, ,97 1, ,96 1, ,95 1, ,94 1, ,93 1, ,92 1, ,91 1, ,90 1, ,89 0, ,88 0, ,87 0, ,86 0, ,85 0, ,84 0, ,83 0, ,82 0, ,81 0, ,80 0, ,79 0, ,78 0, ,77 0, ,76 0, ,75 0, ,74 0, ,73 0, ,72 0, ,71 0, ,70 0, ,69 0, ,68 0, ,67 0, ,66 0, ,65 0, ,64 0, ,63 0, ,62 0, ,61 0, ,60 0, ,59 0, ,58 0, ,57 0, ,56 0, ,55 0, ,54 0, ,53 0, ,52 0, ,51 0,

13 -0,50 0, ,49 0, ,48 0, ,47 0, ,46 0, ,45 0, ,44 0, ,43 0, ,42 0, ,41 0, ,40 0, ,39 0, ,38 0, ,37 0, ,36 0, ,35 0, ,34 0, ,33 0, ,32 0, ,31 0, ,30 0, ,29 0, ,28 0, ,27 0, ,26 0, ,25 0, ,24 0, ,23 0, ,22 0, ,21 0, ,20 0, ,19 0, ,18 0, ,17 0, ,16 0, ,15 0, ,14 0, ,13 0, ,12 0, ,11 0, ,10 0, ,09 0, ,08 0, ,07 0, ,06 0, ,05 0, ,04 0, ,03 0, ,02 0, ,01 0, ,00 0, ,01 0, ,02 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,10 0, ,11 0, ,12 0, ,13 0, ,14 0, ,15 0, ,16 0, ,17 0, ,18 0, ,19 0, ,20 0, ,21 0, ,22 0, ,23 0, ,24 0, ,25 0, ,26 0, ,27 0, ,28 0, ,29 0, ,30 0, ,31 0, ,32 0, ,33 0, ,34 0, ,35 0, ,36 0, ,37 0, ,38 0, ,39 0, ,40 0, ,41 0, ,42 0, ,43 0, ,44 0, ,45 0, ,46 0, ,47 0, ,48 0, ,49 0, ,50 0, ,51 0, ,52 0, ,53 0, ,54 0, ,55 0, ,56 0, ,57 0, ,58 0, ,59 0, ,60 0, ,61 0, ,62 0, ,63 0, ,64 0, ,65 0, ,66 0, ,67 0, ,68 0, ,69 0, ,70 0, ,71 0, ,72 0, ,73 0, ,74 0, ,75 0, ,76 0, ,77 0, ,78 0, ,79 0, ,80 0, ,81 0, ,82 0, ,83 0, ,84 0, ,85 0, ,86 0, ,87 0, ,88 0, ,89 0, ,90 0, ,91 0, ,92 0, ,93 0, ,94 0, ,95 0, ,96 0, ,97 0, ,98 0, ,99 0, ,00 0, ,01 0, ,02 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,10 0, ,11 0, ,12 0, ,13 0, ,14 0, ,15 0, ,16 0, ,17 0, ,18 0, ,19 0, ,20 0, ,21 0, ,22 0, ,23 0, ,24 0, ,25 0, ,26 0, ,27 0, ,28 0, ,29 0, ,30 0, ,31 0, ,32 0, ,33 0, ,34 0, ,35 0, ,36 0, ,37 0, ,38 0, ,39 0, ,40 0, ,41 0, ,42 0, ,43 0, ,44 0, ,45 0, ,46 0, ,47 0, ,48 0, ,49 0, ,50 0, ,51 0, ,52 0, ,53 0, ,54 0, ,55 0, ,56 0, ,57 0, ,58 0, ,59 0, ,60 0, ,61 0, ,62 0, ,63 0, ,64 0, ,65 0, ,66 0, ,67 0, ,68 0, ,69 0, ,70 0, ,71 0, ,72 0, ,73 0, ,74 0, ,75 0, ,76 0, ,77 0, ,78 0, ,79 0, ,80 0, ,81 0, ,82 0, ,83 0, ,84 0, ,85 0, ,86 0, ,87 0, ,88 0, ,89 0, ,90 0, ,91 0, ,92 0, ,93 0, ,94 0, ,95 0, ,96 0, ,97 0, ,98 0, ,99 0, ,00 0, ,01 0, ,02 0, ,03 0, ,04 0, ,05 0, ,06 0, ,07 0, ,08 0, ,09 0, ,10 0, ,11 0, ,12 0, ,13 0, ,14 0, ,15 0, ,16 0, ,17 0, ,18 0, ,19 0, ,20 0, ,21 0, ,22 0, ,23 0, ,24 0, ,25 0, ,26 0, ,27 0, ,28 0, ,29 0, ,30 0, ,31 0, ,32 0, ,33 0, ,34 0, ,35 0, ,36 0, ,37 0, ,38 0, ,39 0, ,40 0, ,41 0, ,42 0, ,43 0, ,44 0, ,45 0, ,46 0, ,47 0, ,48 0, ,49 0, ,50 0, ,51 0, ,52 0, ,53 0, ,54 0, ,55 0, ,56 0, ,57 0, ,58 0, ,59 0, ,60 0, ,61 0, ,62 0, ,63 0, ,64 0, ,65 0, ,66 0, ,67 0, ,68 0, ,69 0, ,70 0, ,71 0, ,72 0, ,73 0, ,74 0, ,75 0, ,76 0, ,77 0, ,78 0, ,79 0, ,80 0, ,81 0, ,82 0, ,83 0, ,84 0, ,85 0, ,86 0, ,87 0, ,88 0, ,89 0, ,90 0, ,91 0, ,92 0, ,93 0, ,94 0, ,95 0, ,96 0, ,97 0, ,98 0, ,99 0, ,00 0,