Beispielsammlung ET1 UE

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1 Beispielsammlung ET1 UE Inhaltsverzeichnis 1.1 Elektrisches Feld Gleichspannung Helmholtz Filter Knotenspannungsanalyse Leistung Allgemeines zu den Tests Dauer: 90 min 3-4 Beispiele, keine Kategorie doppelt. Erläuterungen zum 1. Test Hilfsmittel: Formelsammlung: 1 A4 Blatt vorne und hinten handbeschrieben (KEINE Kopie) Darf enthalten: Formeln (z.b.: Ohmsches Gesetz, Coulombsches Gesetz) Strom- und Spannungsteiler Konstanten (z.b.: Dielektrizitätskonstante) Darf NICHT enthalten: Durchgerechnete Beispiele Taschenrechner: NICHT erlaubt Geodreieck Erläuterungen zum 2. Test Hilfsmittel: Formelsammlung: 2 A4 Blätter vorne und hinten handbeschrieben (KEINE Kopie) Darf enthalten: Formeln (z.b.: Ohmsches Gesetz, Coulombsches Gesetz) Strom- und Spannungsteiler Konstanten (z.b.: Dielektrizitätskonstante) Darf NICHT enthalten: Durchgerechnete Beispiele Taschenrechner: Erlaubt Geodreieck 1

2 1.1 Elektrisches Feld 1. Elektrisches Feld (33 Punkte) Gegeben sind 3 Punktladungen Q 1 > 0, Q 2 > 0 und Q 3 < 0, die gemäß der nachstehenden Abbildung an den Positionen r 1 = (1,1), r 2 = (1,6) und r 3 = (3,3) platziert sind. Es gilt 1 Teilstrich 1cm. 8 y 7 6 Q Q 3 P 2 1 Q x Hinweis: Die Lösung einer quadratischen Gleichung der Form ax 2 +bx+c = 0 lautet: x 1,2 = b± b 2 4ac. 2a (a) Bestimmen Sie das elektrische Feld E P im Punkt P, r P = (5,3), und fassen Sie im Ergebnis die Terme mit den Einheitsvektoren e x bzw. e y zusammen. ( 2Q1 E P = 4πǫ Q 2 4πǫ125 + Q ) ( 3 Q1 e x + 4πǫ4 4πǫ20 5 3Q ) 2 e y. 4πǫ125 (b) Bestimmen Sie graphisch die Feldvektoren E 1P und E 3P, damit im Punkt P, r P = (5,3), Feldfreiheit herrscht. Geben Sie die Längen der gesuchten Feldvektoren in cm an und zeichnen Sie die Feldvektoren in das obige Koordinatensystem ein. Die Länge des Feldvektors E 2P ist gegeben durch E 2P 1cm. Lösung : 2

3 y Q Q 3 P E 3P E 2P E1P 2 1 Q x E 1P = 1.4cm E 3P = 2cm. (c) An welche Position r 3,neu = (x 3,neu,y 3,neu ) muss die Punktladung Q 3 verschoben werden, damit auf die Punktladung Q 2 keine Kraft wirkt. Nehmen Sie Q 1 = 2Q 3 an. r 3,neu = (1,2.46). 2. Elektrisches Feld (33 Punkte) Gegeben sind drei Punktladungen Q 0 > 0, Q 1 > 0 und Q 2 > 0 mit r 0 = (3,2), r 1 = (1,3) und r 2 = (5,6) in cm. 3

4 y Q Q 1 Q x (a) BestimmenSiedasVerhältnisderLadungenQ 1 undq 2,sodasskeineKraftinx-Richtung auf Q 0 wirkt. ( Q1 E 0 = 1 4πǫ r 10 2e 10 + Q ) 2 r 20 2e 20 [ ] 2 r 10 = r 1 10 = [ ] 2/ 5 5 e 10 = 1/ 5 [ ] 2 r 20 = r 4 20 = [ ] 1/ 5 20 e 20 = 2/ 5 E 3x = 1 ( 2Q1 Q ) 2 = 0 4πǫ Q 2 = 2Q = 8Q 1 55 (b) Platzieren Sie eine Ladung bekannter Größe Q 3 > 0 auf r 3 = (3,y 3 )cm, sodass keine Kraft auf Q 0 wirkt. Verwenden Sie Q 2 aus Punkt (a). Berechnen Sie y 3 zunächst als Funktion von Q 1 und Q 3 (Doppelbruchfrei) und setzen Sie dann Q 1 = 1As und Q 3 = 1/ 5As ein. Hinweis: Sollten Sie kein Ergebnis in (a) gefunden haben, verwenden Sie Q 2 = 2/13Q 1. 4

5 Überlegen Sie sich im Voraus, ob Q 3 über oder unter Q 0 platziert werden muss, und verwenden Sie diese Annahme bei der Berechnung von e 30. y 3 < 2 da Q 3 > 0, man muss nur E y betrachten. E 0 = 1 ( Q1 4πǫ r 10 2e 10 + Q 2 r 20 2e 20 + Q ) 3 r 30 2e 30 [ ] [ ] 0 0 r 30 = r y = y 3 2 e 30 = 1 E 0y = 1 ( Q1 2Q ) 2 Q 3 + 4πǫ (y 3 2) 2 = 0 Q 3 Q y 3 = ± 55 Q 1 + Q +2 = ± +2 2 Q 1 2+Q = ± Q Q 1 +2 = ± y 3 = 1+2 = 1 eingesetzt Q 3 5 Q 1 +2 = Q 3 5 Q 1 +2 da Wurzelausdruck positiv ist, kann nur - vor der Wurzel verwendet werden, um unter Q 0 zu bleiben. (c) Bestimmen Sie graphisch die Kräfte F 20 und F 30, damit keine Kraft auf Q 0 wirkt. Die Ladungen Q 0, Q 1, Q 2 und Q 3 sind an den oben angeführten Positionen platziert. Geben Sie die Längen der gesuchten Kräftevektoren in cm an. Die Länge des Kräftvektors F 10 ist gegeben mit: F 10 = 2cm. Hinweis: Falls Sie y 3 im Punkt (b) nicht lösen konnten, wählen Sie y 3 = 1.3cm. F 10 = 2cm F 20 = 4cm F 30 = 20cm 5

6 y F 30 Q Q 1 Q 0 1 Q 3 F x F Elektrisches Feld (33 Punkte) Gegeben sind vier Punktladungen Q 1, Q 2, Q 3 und Q 4, die sich an den Positionen r 1 = (3,1), r 2 = (1,5), r 3 = (3,9) und r 4 = (6,5) befinden. 6

7 y 10 9 Q Q 2 Q Q x (a) Bestimmen Sie das elektrische Feld E 4 an der Position r 4 und bringen Sie das Ergebnis auf die Form E 4 = A B e x + C D e y (A, B, C und D dürfen keine Brüche enthalten). E 4 = 3Q 1 +5Q 2 +3Q 3 4πǫ125 e x + 4Q 1 4Q 3 4πǫ125 (b) Bestimmen Sie graphisch die Feldstärke E 4 und die Kraft F 4 auf die Ladung Q 4 wenn Q 1,Q 3 > 0 und Q 2,Q 4 < 0, sowie e y. E 14 2cm E 24 2cm E 34 3cm F 4 3cm 7

8 y 10 9 Q F 4 E Q 2 E 34 Q 4 E E 24 1 Q x (c) Bestimmen Sie für Q 3 = Q die Ladungen Q 1 und Q 2 damit keine Kraft auf die Ladung Q 4 wirkt. Q 1 = Q 3 = Q Q 2 = 6 5 Q. 4. Elektrisches Feld (34 Punkte) GegebensindzweiPunktladungenQ 1 = 2QundQ 2 = Q,mitQ < 0,diegemäßnachstehender Abbildung an den Positionen ( 1, 0) und (2, 0) platziert sind. Hinweis: Die Lösung einer quadratischen Gleichung der Form ax 2 +bx+c = 0 lautet: x 1,2 = b± b 2 4ac. 2a (a) Bestimmen Sie das elektrische Feld E 2 an der Position ( 2,0) und bringen Sie das Ergebnis auf die Form E 2 = A B e x (A und B dürfen keine Brüche enthalten). 8

9 E 2 = 33Q 4πǫ16 e x. (b) Bestimmen Sie jene Position (x 0,y 0 ) an der Feldfreiheit herrscht. (x 0,y 0 ) = (5 3 2,0) = (0.76,0). (c) Bestimmen Sie jene Position (x 3,y 3 ) an die eine positive Punktladung Q 3 = Q, mit Q < 0, gesetzt werden muss, damit auf die Punktladung Q 2 keine Kraft wirkt. (x 3,y 3 ) = (2 3/ 2,0) = ( 0.12,0). 5. Elektrisches Feld (33 Punkte) Gegeben sind drei Punktladungen, Q 1 > 0 und Q 2 = Q 3, die gemäß nachstehender Abbildung an den Positionen (1,4), (7,6) und (7,2) platziert sind. In der Ladungsanordnung gilt 1 Teilstrich 1 cm. (a) Bestimmen Sie das Verhältnis zwischen den Ladungen Q 1 und Q 2 damit eine Ladung Q im Punkt P a = (3,4) im Kräftegleichgewicht ist. Schreiben Sie das Ergebnis wie folgt an: Q 2 Q 1 = A B. Hinweis: A und B dürfen keine Brüche enthalten. Der Punkt P b wird in diesem Unterpunkt nicht benötigt. Q 2 = Q

10 (b) Bestimmen Sie graphisch das elektrische Feld E Q und die Kraft F Q für eine Ladung Q, welche sich im Punkt P b = (6,3) befindet. Nehmen Sie an, dass die Ladungen Q 1,Q 2,Q 3 > 0 und dass sich im Punkt P a eine Ladung Q 4 < 0 befindet. Weiters ist bekannt, dass Q < 0 und E Q1 Q 1cm E Q2 Q 1cm E Q3 Q 3cm E Q4 Q 1.5cm F Q 1 2 E Q 10

11 1.2 Gleichspannung 1. Kondensatornetzwerk (33 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung mit C 1 = 10F und C 2 = 15F. Alle Kondensatoren sind zum Zeitpunkt t = 0 ungeladen. Weiters ist der Stromverlauf i(t) = I 0 (1 t 24 ) mit I 0 = 5 2 A bekannt. (a) Gegeben ist der Strom i(t) = I 0 (1 t 24 ) durch C 1 und C 2. Berechnen Sie die Spannung u(t), die Ladung Q(t), die Leistung, p(t) und die Energie w(t) für die Serienschaltung der Kondensatoren C 1 und C 2. Stellen Sie die Verläufe i(t), u(t), Q(t), p(t) und w(t) für den Bereich t = 0s bis t = 24s graphisch dar. Geben Sie für diese Zeitpunkte auch die Werte an. Hinweis: Berechnen Sie zuerst die Ersatzkapazität für die Serienschaltung C 1 und C 2. Achsenbeschriftung nicht vergessen! i(t) u(t) Q(t) p(t) w(t) 2.5 (1 t 24 ) 2.5 t (1 t ) t (1 t ) t ( ) t 48 + t t ( ) t 48 + t

12 (b) Wie lange benötigt die Schaltung um U C = 3.3V zu erreichen? Bringen sie das Ergebnis auf die Form: t 2 +p t+q = 0 Die quadratische Gleichung muss NICHT gelöst werden. t = s (c) Die Kondensatoren sind vollständig geladen (U C = 5V) und i q (t) = 0A (Stromquelle abgeschaltet). Wieviel Energie steht zur Verfügung bis U C = 3.3V erreicht ist? Wie lange dauert es bis die Spannung am Widerstand R Pi bei 5W Verbrauch auf U C = 3.3V gefallen ist? w = 42.33Ws t = 8.466s 12

13 (d) Berechnen Sie für die Serienschaltung von C 1 = 10F und C 2 = 15F für U C = 5V die einzelnen Spannungen U C1 und U C2. Die Spannungsfestigkeit beider Kondensatoren beträgt 2.7 V, wird diese Überschritten? U 1 = 3V U 2 = 2V 2. Kondensatornetzwerk (33 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung mit C 1 = C, C 2 = 4C, C 3 = 3C, C 4 = 2C, C 5 = 6C und C 6 = C, wobei der Kapazitätswert C bekannt ist. Der Kondensator C 6 ist zum Zeitpunkt t = 0 ungeladen und die Stellungen der beiden Schalter S 1 und S 2 sind: t < 0: S 1 geschlossen 1, S 2 offen t 0: S 1 offen 2, S 2 geschlossen (a) i. Bestimmen Sie für t < 0 und U q = 12V die Spannungen U C1, U C2 und U C5. Zu diesem Zeitpunkt befindet sich die Schaltung im eingeschwungenen Zustand. U C1 = U q = 12V C 4 +C 5 C 3 U C2 = U q = C 2 +C 4 +C 5 C 3 U C5 = C 3 C 3 +C 5 Uq 2 = 3C 9C Uq 2 = U q 6 = 2V 4C 4C +4C U q = U q 2 = 6V 13

14 ii. Bestimmen Sie für t < 0 und U q = 12V die Gesamtkapazität C ges (ohne C 6 ) und die Ladung Q ges. C ges = C 1 +C2 (C 4 +C 5 C 3 ) = C +4C (2C +2C) = 3C Q ges = U q C ges = 12V 3C = 36C iii. Bestimmen Sie für t 0 die Spannungen U C6 und Q C6. C 6 ist zum Zeitpunkt t = 0 ungeladen. Q ges = (C ges +C 6 ) U C6 U q 3C = 4C U C6 U C6 = 3 4 U q = 9V Q C6 = C 6 U C6 = 3 4 C U q = 9C Q ges,neu = 4C U C6 = 36C (b) An einem ungeladenen Kondensator C wird eine Stromquelle angeschlossen. Die Stromquelle liefert folgenden Stromverlauf i(t): i. Beschreiben sie mathematisch den Verlauf von i(t). ii. Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf für u(t), p(t), w(t) am Kondensator C. Hinweis: Achsenbeschriftung nicht vergessen. iii. Wann befindet sich der Kondensator im Generatorbetrieb? i(t) u(t) p(t) w(t) 0 < t T 4 4 t C 16 t C 8 t2 C T < t 5T 2 4 T C 2(t T) C 12 T C +4 t C t = T 8 T2 C t = 5T 8 T2 C 14

15 Generatorbetrieb von T bis 3T. 3. Kondensatornetzwerk (33 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung mit C 1 = C, C 2 = 2C, C 3 = C 4 = C und R 1 = R, wobei der Kapazitätswert C und der Widerstandswert R bekannt sind. Die Kondensatoren C 2,C 3,C 4 sind zum Zeitpunkt t = 0 ungeladen und die Stellungen der beiden Schalter S 1 und S 2 sind wie folgt: t < 0: S 1 in Stellung 1, S 2 in Stellung 1 0 t < 2T: S 1 in Stellung 2, S 2 in Stellung 1 t 2T: S 1 in Stellung 3, S 2 in Stellung 2 15

16 (a) Bestimmen Sie die Spannung u 1 (t) am Kondensator C 1 bevor der Schalter S 1 in die Stellung 2 schaltet. Zu diesem Zeitpunkt befindet sich die Schaltung im eingeschwungenen Zustand. u 1 (t) = U q (b) Die Stromquelle liefert folgenden Stromverlauf i(t): Geben Sie eine mathematische Beschreibung des Stromverlaufs i(t) an. 0 t < T : i(t) = I q T t T t < 2T : i(t) = I q T t+2i q (c) Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der Spannung u 1 (t) am Kondensator C 1 für das Zeitintervall 0 t < 2T. Hinweis: Achsenbeschriftung nicht vergessen. 0 t < T : u 1 (t) = U q + I q 2CT t2 u 1 (T) = U q + I qt 2C T t < 2T : u 1 (t) = U q I qt C + 2I q C t I q 2CT t2 u 1 (2T) = U q + I qt 2C (d) Welche Spannung u AB (t ) liegt nach dem Umschalten von S 1 in die Stellung 3 und S 2 in die Stellung 2 und dem Ladungsausgleich an? Nehmen Sie an, dass die Spannung 16

17 am Kondensator C 1 beim Umschalten von S 1 8V beträgt, d.h. u 1 (2T) = 8V. Hinweis:DurchdasZusammenfassenvonC 2,C 3 undc 4 vereinfachtsichdieberechnung. u AB (t ) = 2V 4. Kondensatornetzwerk (33 Punkte) (a) Gegeben ist folgende Schaltung mit C 1 = 2/3C, C 2 = 1/2C und C 3 = C, wobei C 1 vor dem Schließen des Schalters S auf die Spannung U = 9V aufgeladen wurde und C 2 und C 3 ungeladen sind. BerechnenSiedieSpannungen U 1,U 2 undu 3 nachdemderschalters geschlossenwurde. Hinweis: Fassen Sie C 2 und C 3 zu einer Ersatzkapazität zusammen. U 1 = 6V; U 2 = 4V; U 3 = 2V. (b) Gegeben ist folgende Schaltung mit U q = 12V. i. Berechnen Sie die Leerlaufspannung U CD zwischen den Klemmen C und D im eingeschwungenen Zustand. U CD = U q = 12V. ii. Schalten Sie folgendes Widerstandsnetzwerk zwischen die Klemmen C und D und berechnen Sie die Spannung U R im eingeschwungenen Zustand. U R = 2V. 17

18 iii. Ersetzen Sie in der Schaltung von Punkt (i) die beiden Kondensatoren durch Widerstände R und berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen C und D. Im Ergebnis dürfen weder Doppelbrüche noch -Symbole vorkommen. R CD = 8 5 R. 5. Kondensatornetzwerk (33 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung mit C 1 = C 2 = C 3 = C und R 1 = R 2 = R, wobei der Kapazitätswert C und der Widerstandswert R bekannt sind. Zum Zeitpunkt t = 0 sind die Kondensatoren C 2 und C 3 ungeladen und die Stellungen des Schalters S 1 sind wie folgt: t < 0: Schalterstellung 0 0 t < t 1 : Schalterstellung 1 t 1 t t 2 : Schalterstellung 2 t > t 2 : Schalterstellung 3 (a) Berechnen Sie die Ladung Q 1 am Kondensator C 1 für den eingeschwungenen Zustand im Zeitintervall 0 t < t 1. Q 1 = U q C 1 = U q C. (b) Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der Spannung u 1 (t) am Kondensator C 1 für das Zeitintervall t 1 t t 2. Hinweis: Achsenbeschriftung nicht vergessen. u 1 (t) = U q I q C 1 (t t 1 ) = U q I q C (t t 1). 18

19 (c) Berechnen Sie die Ladung am Kondensator C 1 zum Zeitpunkt t 2, d.h. vor dem Umschalten auf Schalterstellung 3. Q 1 (t 2 ) = u 1 (t 2 )C 1 = (U q I q C 1 (t 2 t 1 ))C 1 = U q C 1 I q (t 2 t 1 ) = U q C I q (t 2 t 1 ). (d) Welche Spannung u 1 (t ) liegt am Kondensator C 1 nach der Umschaltung auf Schalterstellung 3 und dem Ladungsausgleich an. Hinweis: Durch das Zusammenfassen von C 2 und C 3 vereinfacht sich die Berechnung. u 1 (t ) = 2 3 u 1(t 2 ) = 2 3 (U q I q C (t 2 t 1 )). 6. Kondensatornetzwerk (33 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung, wobei alle Kondensatoren zu Beginn der Betrachtung ungeladen sind. (a) Berechnen Sie die Parameter der Ersatzspannungsquelle von Generator 1 und formen Sie diese dann in eine Ersatzstromquelle um. Skizzieren Sie die Ersatzstromquelle. Hinweis: Verwenden Sie für die Parallelschaltung. Diese müssen in Ihrer Lösung nicht ersetzt werden. ( R4 U L = U 1 R ) 5 R 2 +R 4 R 3 +R 5 R i = R 6 +R 2 R 4 +R 3 R 5 19

20 I K = U L R i (b) Die Ersatzstromquelle liefert den unten gezeichneten Stromverlauf i a an Klemme a. Beschreiben Sie den dargestellten Signalverlauf mathematisch und zeichnen Sie anschließend den Spannungsverlauf u C1 und u C2 an den Kondensatoren C 1 = 10 µf und C 2 = 20 µf. Hinweise: Die Spannungsfestigkeit der Kondensatoren beträgt 50 V mit einer Ausnahme: C 1 hat eine Spannungsfestigkeit von 6, 3 V. Werden die Spannungen an den Kondensatoren größer, als deren Spannungsfestigkeit, werden diese zerstört und erzeugen einen Kurzschluss. Tritt dieser Fall ein, berechnen Sie den Zeitpunkt. Achsenbeschriftung nicht vergessen! 20

21 i a = 0, t < 0 ms I a 2 10 ms t, 0 t < 10 ms I a2, 10 ms t < 20 ms I a2 Ia 2 10 ms (t 20 ms), 20 ms t < 30 ms 0, t 30 ms u C1 (t) = u C1 (10 ms)+ 1 C 1 I a 2 [τ] t 10 ms = 6,3 V u C1 (t) = 2,5 V+ u C1 (t) = 2,5 V As V A s (t )s = 6,3 V V u C1 (t) = 2,5 V+ 1 V 10 V t = 6,3 V s 2 (t )s = 6,3 V t = (6,3 V 2,5 V+5 V) s V t = 17,6 ms (c) Eine 12 V Autobatterie dient in Generator 2 als Versorgung. Zum Zeitpunkt t B = 100 ms befindet sich Generator 2 im eingeschwungenen Zustand. Berechnen Sie die Spannung u cd (t 100 ms), die zwischen den Klemmen c und d anliegt. U cd = U Batt = 12 V (d) Der Kondensator C m stellt ein Modell für einen Füllstandssensor dar. Der Füllstandssensor besteht aus zwei rechteckigen Platten, die in einem Abstand von d voneinander platziert sind. Geben Sie die Kapazität des Kondensators C m in Abhängigkeit des Füllstands h Fl an. C m = b ε 0 d [h+h Fl(ε r 1)] 21

22 (e) Zum Zeitpunkt t B1 = 200 ms wird der Schalter S 1 umgelegt. Beide Teilschalter nehmen die neue Position ein (S 1a = off, S 1b = l). Welche Spannung U tb1 stellt sich am Füllstandssensor nach Umlegen des Schalters ein. U tb1 = U C 2 C 2 +U Batt C m (C m +C 2 ) 22

23 1.3 Helmholtz 1. Helmholtz (34 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung, wobei die Widerstände, die Quellenspannungen U q1, U q2 und der Quellenstrom I q1 bekannt sind. (a) Berechnen Sie die Spannung U x und den Strom I y unter Verwendung des Überlagerungssatzes von Helmholtz. Hinweise: Das Ergebnis muss eine Funktion von U q1, U q2, I q1 und den Bauteilwerten sein. Im Ergebnis dürfen weder Doppelbrüche noch -Symbole vorkommen. U x = U x,uq1 +U x,uq2 +U x,iq1 = 2 9 U q U q2 R 6 I q1 I y = 0 2. Ersatzspannungsquelle mit Helmholtz (34 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung, wobei die Widerstände, die Quellenströme (I q1, I q2 ) und die Quellenspannung (U q3 ) bekannt sind. (a) Berechnen Sie für den grau hinterlegten Teil der Schaltung mit Hilfe des Verfahrens von Helmholtz die Ersatzspannungsquelle bzgl. der Klemmen A und B. Skizzieren Sie die Grundschaltung der Ersatzspannungsquelle und zeichnen Sie die errechneten Größen in die Schaltung der Ersatzspannungsquelle ein. Hinweis: 23

24 Verwenden Sie für die Parallelschaltung. Diese müssen in Ihrer Lösung nicht ersetzt werden. I R8 R 3 = I q1 R 3 +R 7 +R 8 U L1 = I R8 R 8 U L2 = 0 I R8 = U q3 R 3 +R 8 +R 7 U L3 = I R8 R 8 U L = U L1 +U L2 +U L3 R i = (R 8 (R 3 +R 7 ))+R 9 (b) Verwenden Sie nun anstatt der Originalschaltung (grau hinterlegter Teil) die Ersatzspannungsquelle. Die nachfolgende Skizze zeigt den Aufbau des kapazitiven Füllstandssensors S. Skizzieren Sie die elektrische Ersatzschaltung für den kapazitiven Füllstandssensor. Bestimmen Sie die Kapazität des Sensors unter der Annahme, dass dieser zu 75% mit Wasser gefüllt ist. Bestimmen Sie die Spannung U S am Sensor. 24

25 Hinweise: Zeichnen Sie mögliche Hilfsgrößen in die Schaltung (inkl. Richtungspfeil) ein. Betrachten Sie die Schaltung im eingeschwungenen Zustand. C L = ε 0 0,25 h b d C W = ε 0 ε r 0,75 h b d C S = C L +C W R v U AB = U L R i +R v C v U S = U AB C v +C S (c) Die Spannung am Füllstandssensor ist zu hoch, um diese für die Auswertung verwenden zu können. Skizzieren Sie zwei Möglichkeiten für Block?, um U A < U S zu erreichen, oder die Sensorspannung U S zu verringern. Möglichkeit 1: Mit ohmschem Spannungsteiler erweitern Möglichkeit 2: Den bereits existierenden kapazitiven Spannungsteiler mit einem Kondensator erweitern. 3. Schaltungsvereinfachung mit Hopkins (34 Punkte) GegebenistfolgendeSchaltung,wobeidieWiderstände,dieQuellenspannungen(U q1 = U q2 = U q ) und die Quellenströme (I q1 = Uq R, I q2 = 3Uq R ) bekannt sind. 25

26 (a) Berechnen Sie für den grau hinterlegten Teil der Schaltung mit Hilfe des Hopkinschen Prinzips die Ersatzspannungsquelle und die Ersatzstromquelle. Geben sie R i, U L und I k an. Hinweis: Das Ergebnis muss eine Funktion der Bauteilwerte (R) und der Quellenspannung (U q ) sein. Verwenden sie folgende Zusammenhänge: I q1 = Uq R, I q2 = 3Uq R und U q1 = U q2 = U q. R i = 2R 2R = 2R 2R 2R+2R = R U q3 = ( I q1 +I q2 ) 2R = ( U q R + 3U q R U q4 = U q1 +U q3 = U q +4U q = 5U q I q4 = U q4 2R = 5U q 2R I q2 = U q 2R I K = I q2 +I q4 = U q +5U q 2R U L = I K R i = 3U q R R = 3U q = 3U q R ) 2R = 4U q (b) Zeichnen Sie die Schaltung und ersetzen den grau hinterlegten Teil mit einer Ersatzstromquelle. Diese Quelle darf nicht in eine Ersatzspannungsquelle umgewandelt werden. Berechnen Sie dann die Ströme I x und I y. Hinweis: Falls Sie (a) nicht gelöst haben verwenden sie folgende Werte: I K = Uq R und 26

27 R i = R. R ges = 3R+[12R (4R 4R+4R)] = 3R+12R 6R = 7R 12R 6R = 12R 6R 18R = 12R = 4R 3 I x = I K R R ges R ges = I K I x = I K I y = 0A R R+R ges = I K 1R 7R 8R 7R = I K 8 = 3 8R U q oder 1 8R U q R R+7R = I K 8 = 3 8R U q oder 1 8R U q (c) Zeichnen Sie die Schaltung und ersetzen den grau hinterlegten Teil mit einer Ersatzspannungsquelle. Diese Quelle darf nicht in eine Ersatzstromquelle umgewandelt werden. Berechnen Sie dann die Spannung U x. Hinweis: Falls Sie (a) nicht gelöst haben verwenden sie folgende Werte: U L = U q und R i = R. 27

28 [12R (4R+4R 4R)] U 1 = U L R+3R+[12R (4R+4R 4R)] = U 12R 6R L 4R+12R 6R = U L 4R 8R = U L 2 = 3 2 U q 2R U x = U 1 2R+4R = 3 2 U q 2R 6R = U q 2 oder U L 6 I x = U x 4R = U q 8R oder U L 24R 4. Überlagerungssatz von Helmholtz (34 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung, wobei die Quellenspannungen U q1, U q2 und U q3 bekannt sind. Und die Widerstandswerte (R 1,...,R 5 ) wie folgt gegeben sind: R 1 = R 2 = 4R R 3 = R 4 = 2R R 5 = 1R Hinweis: Strom bzw. Spannungsquellen dürfen nur in äquivalente Spannungs- bzw. Stromquellen umgewandelt werden wenn dies gefordert ist, siehe Punkt (b). (a) Berechnen Sie für die gesamte Schaltung den Widerstand R AB bezüglich der Klemmen A und B, verwenden Sie für das Ergebnis die gegebenen Bauteilwerte. Hinweis: Im Ergebnis dürfen weder Doppelbrüche noch -Symbole vorkommen. R AB = R 1 R 2 [R 5 +(R 3 R 4 )] = [(R 3 +R 4 )R 5 +R 3 R 4 ]R 1 R 2 R 1 R 2 (R 3 +R 4 )+(R 1 +R 2 )[(R 3 +R 4 )R 5 +R 3 R 4 ] = 1R (b) Berechnen Sie für den grau schattierten Teil die Ersatzstromsquelle (I q, R i ) bezüglich der Klemmen A und B. Geben Sie die für die Berechnung notwendige(n) Schaltung(en) an. Hinweis: Die Ergebnisse müssen Funktionen von U q1, U q2 und den Bauteilwerten sein und dürfen keine Doppelbrüche enthalten. I q = U q1 + U q2 = U q1 +U q2, R 1 R 2 4R R i = R 1 R 2 = 2R. 28

29 (c) BerechnenSiedenStromI R4 unterverwendungdesüberlagerungssatzesvonhelmholtz. Verwenden Sie für den grau schattierten Teil die in Punkt (b) berechnete Ersatzstromquelle (I q, R i ). Hinweise: Das Ergebnis muss eine Funktion von U q1, U q2, U q3 und den Bauteilwerten sein. Im Ergebnis dürfen weder Doppelbrüche noch -Symbole vorkommen. Falls Sie Punkt (b) nicht lösen können muss das Ergebnis eine Funktion von U q3, I q, R i und den Bauteilwerten sein. 1 I R4 = 1 4 I q R U q3 = U q1 +U q2 +3U q3, 16R I R4 = R 3R i I q +R 4 (R i +R 5 )U q3 R 3 R 4 +(R 3 +R 4 )(R i +R 5 ). 5. Überlagerungssatz von Helmholtz (34 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung, wobei der Widerstandswert R, der Lastwiderstand R Last, die Quellenspannung U q, sowie die Quellenströme I q1 und I q2 bekannt sind. Hinweis: Strom bzw. Spannungsquellen dürfen nicht in äquivalente Spannungs- bzw. Stromquellen umgewandelt werden. (a) Berechnen Sie für den grau schattierten Teil die Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B. Verwenden Sie hierfür den Überlagerungssatz von Helmholtz und geben Sie die für die Berechnung notwendigen Schaltungen an. Hinweis: Die Ergebnisse müssen Funktionen von I q1, I q2, U q und R sein und dürfen keine Doppelbrüche enthalten. U L = 1 6 U q R(I q1 2I q2 ), R i = R. 1 Diese Werte entsprechen NICHT der Lösung von Punkt (b)! 29

30 (b) Wie groß muss I q1 sein, damit kein Spannungsabfall an R Last (> 0Ω) entsteht? Hinweise: Verwenden Sie für Ihre Berechnung die in (a) ermittelte Ersatzspannungsquelle. Falls Sie (a) nicht lösen können verwenden Sie folgende Parameter 2 : * U L = 2U q +2R(2I q1 +3I q2 ) * R i = 7R Mit Lösung aus (a): Ohne Lösung aus (a): I q1 = U q 2R +2I q2. I q1 = U q 2R 3 2 I q2. 6. Überlagerungssatz von Helmholtz (34 Punkte) Gegeben ist folgende Schaltung, wobei die Widerstände (R 1,...,R 9 ), die Quellenströme (I q1, I q2 ) und die Quellenspannungen (U q1, U q2 ) bekannt sind. Hinweise: Verwenden Sie für die Parallelschaltung. Diese müssen in Ihrer Lösung nicht ersetzt werden. Strom bzw. Spannungsquellen dürfen nicht in äquivalente Spannungs- bzw. Stromquellen umgewandelt werden. (a) Berechnen Sie die Spannung U C1 für den eingeschwungenen Zustand, unter Verwendung des Überlagerungssatzes von Helmholtz. Geben Sie die für die Berechnung notwendigen Schaltungen an. Hinweis: Das Ergebnis muss eine Funktion der Bauteilwerte, der Quellenströme und der 2 Diese Parameter entsprechen NICHT der Lösung von (a)! 30

31 Quellenspannungen sein. R 2 (R 3 +R 4 +R 6 +R 8 ) R 3 +R 4 U C1 =U q1 R 1 +R 2 (R 3 +R 4 +R 6 +R 8 ) R 3 +R 4 +R 6 +R }{{ 8 } U C1,U q1 ODER (äquivalente Lösung) R 6 +R 8 +( I q1 ) (R 3 +R 4 ) R 1 R 2 +R 3 +R 4 +R 6 +R }{{ 8 } U C1,I q1 R 1 R 2 +R 8 +I q2 (R 3 +R 4 ). R 1 R 2 +R 3 +R 4 +R 6 +R }{{ 8 } U C1,I q2 R 2 (R 3 +R 4 +R 6 +R 8 ) R 3 +R 4 U C1 =U q1 R 1 +R 2 (R 3 +R 4 +R 6 +R 8 ) R 3 +R 4 +R 6 +R }{{ 8 } U C1,U q1 +( I q1 ) (R 1 R 2 +R 3 +R 4 ) (R 6 +R 8 ) (R 3 +R 4 ) R 1 R 2 +R 3 +R }{{ 4 } U C1,I q1 (R 1 R 2 +R 8 ) (R 3 +R 4 +R 6 ) +I q2 (R 3 +R 4 ). R 3 +R 4 +R }{{ 6 } U C1,I q2 (b) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand R AB bezüglich der Klemmen A und B unter der Annahme, dass C 1 durch einen Kurzschluss ersetzt wird. R AB = (R 1 R 2 +R 6 +R 8 ) (R 3 +R 4 ) R 5. 31

32 1.4 Filter 1. Komplexe Wechselstromrechnung (34 Punkte) (a) Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung: i. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion T(Ω) = U a U mit Hilfe von Spannungsteilern und Ersetzen Sie hierfür R 2 durch einen Kurzschluss und R 3 durch einen e Leerlauf. Verwenden Sie zur Berechnung die normierte Kreisfrequenz Ω = ωr 1 C und bringen Sie das Ergebnis auf die Form T(Ω) = A+jB C+jD. Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen. T(Ω) = A+jB C +jd = A {}}{ Ω 2 +j B {}}{ 0 (1 Ω 2. ) +j 3Ω }{{}}{{} C D ii. Bestimmen Sie T(Ω = 0) und T(Ω ) der ursprünglichen Schaltung (mit R 2 und R 3 ) und skizzieren Sie die entsprechenden Schaltungen. Wie muss das Widerstandsverhältnis R 2 /R 3 gewählt werden, damit T(Ω ) = 1/3 gilt. (b) Gegeben ist folgendes U/I-Zeigerdiagramm: T(Ω = 0) = 0, R 3 T(Ω ) =, R 2 +R 3 R 2 /R 3 = 2. 32

33 Die Zeigerlängen sind gegeben mit I = 4cm bzw. U = 6cm und die Phasenwinkel sind ϕ i = π/3 bzw. ϕ u = π/6. Der Maßstab beträgt 1cm =1V bzw. 1A. Berechnen Sie die Bauelemente einer Parallelersatzschaltung die zum gegeben Zeigerdiagramm passen für f = 100kHz. 2. Filter (34 Punkte) Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung: R p = 1.7Ω, C p = 0.53µF. (a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion T(Ω) = U a U mit Hilfe von Spannungsteilern. e Verwenden Sie hierfür die normierte Kreisfrequenz Ω = ωrc und bringen Sie das Ergebnis auf die Form T(Ω) = A+jB C+jD. Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen. T(Ω) = A+jB C +jd = A {}}{ B {}}{ 0 1 +j (1 Ω 2. ) +j 3Ω }{{}}{{} C D (b) Berechnen Sie allgemein den Betrag T(Ω) und die Phase arg(t(ω)) der Übertragungsfunktion. Es darf nicht konjugiert komplex erweitert werden. Hinweis: Verwenden Sie T(Ω) = A+jB C+jD wenn Sie Punkt (a) nicht lösen können. 1 T(Ω) = (1 Ω 2 ) 2 +(3Ω) ( ) 2, 3Ω arg(t(ω)) = arctan 1 Ω 2. (c) Ein Filter welcher Art und welcher Ordnung stellt die obige Schaltung dar? Tiefpass 2. Ordnung 33

34 (d) Berechnen Sie die 3dB Grenzfrequenz Ω g mit T max = T(Ω 0). Hinweis: Die Lösung der quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c = 0 lautet: x 1,2 = b± b 2 4ac. 2a Ω g = (e) Mit den Bauteilwerten R = 1kΩ und C = 1nF erhält man bei ω = 10 6 s 1 die Übertragungsfunktion T(Ω) = 1/3exp( jπ/2). Berechnen Sie die Ausgangsspannung u a (t) für eine gegebene Eingangsspannung u e (t) = 6 2Vcos(ωt+π/4). 3. Filter (34 Punkte) Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung: u a (t) = 2 2Vcos(ωt π/4). (a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion T(ω) = U AB U und bringen Sie das Ergebnis auf q die Form T(ω) = A+jB C+jD. Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen. T(ω) = A {}}{ ω 2 R 3 LC+j B {}}{ (ωl) R 1 ω 2 LC(R 1 +R 2 +R 3 ) +j(ωl+ωcr }{{} 1 R 2 +ωcr 1 R 3 ) }{{} C D. (b) Geben Sie Ersatzschaltungen für ω = 0 und ω an und bestimmen Sie den Wert der Übertragungsfunktion für diese Grenzfälle. T(ω = 0) = 0, R 3 T(ω ) =. R 1 +R 2 +R 3 34

35 (c) Im Zeigerdriagramm beträgt das Längenverhältnis zwischen den Spannungen U C / U R3 = 5/8. Die Zeigerlänge der Spannung U AB beträgt 10cm. Die Spannungen U R1 und U R2 besitzen die Zeigerlängen 2cm und 4cm. Weiters haben die Ströme I R3 und I L eine Zeigerlänge von 6cm. Bestimmen Sie den Phasenwinkel ϕ zwischen U R3 und U AB. ϕ UR3 ϕ UAB = 32. Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie U q einzeichnen können. 4. Filter (36 Punkte) Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung: (a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion T(Ω). Verwenden Sie hierfür die normierte Kreisfrequenz Ω = ωl A R und bringen Sie das Ergebnis auf die Form T(Ω) = B+jC. Im Ergebnis dürfen keine Doppelbrüche vorkommen. 35

36 T(Ω) = A C +jb = A {}}{ Ω 2 (1 Ω) 2 }{{} B +j 3Ω }{{} C (b) Berechnen Sie die 3dB Grenzfrequenz Ω g mit T max = T(Ω ). Hinweis: Die Lösung der quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c = 0 lautet: x 1,2 = b± b 2 4ac. 2a Ω g = 2.67 (c) Ein Filter welcher Art und welcher Ordnung stellt die Schaltung dar? Hochpass 2. Ordnung (d) Skizzieren Sie einen Tiefpass 3. Ordnung. Verwenden Sie hierfür ausschließlich ohmsche Widerstände R und Induktivitäten L. (e) Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie U e einzeichnen können. Die Zeigerlängen der Spannungen U L1 und U R1 betragen 8cm und 4cm. Der Phasenwinkel zwischen U L2 und U L1 beträgt π/3, d.h. ϕ UL2 ϕ UL1 = π/3. Weiters besitzen die Ströme I L2 und I L1 die Zeigerlängen 4cm und 2cm. 36

37 5. Filter (34 Punkte) Gegeben ist folgende Wechselstromschaltung: (a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion T(ω) und bringen Sie das Ergebnis auf die Form T(ω) = 1 A+jB. T(ω) = }{{} 3 A ( +j 1 ωrc 1 ). ωrc }{{} B (b) Berechnen Sie den Betrag T(ω) und die Phase ϕ(ω) (in Grad) der Übertragungsfunktion T(ω) für R = 1GΩ, C = 1nF und f = (6π) 1. T(ω) = 0.25, ϕ(ω) = (c) Bestimmen Sie allgemein diejenige Kreisfrequenz ω max, für welche der Betrag der Übertragungsfunktion T(ω) ein Maximum annimmt. Wie groß ist der Wert von T(ω) bei dieser Frequenz? Hinweise: 37

38 Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein. Es muss keine Extremwertaufgabe gelöst werden. ω max = 1 RC, T(ω max ) = 1 3. (d) Berechnen Sie die Impedanz Z CD bezüglich der Klemmen C und D. Hinweis: Verwenden Sie für die Parallelschaltung. Diese müssen am Ende nicht ersetzt werden. ( ) 1 1 Z CD = R+R jωc jωc. 38

39 (e) Ergänzen Sie das Zeigerdiagramm, sodass Sie U e einzeichnen können. Die Zeigerlängen der Spannungen U R1 und U C1 betragen 8cm und 4cm. Der Phasenwinkel zwischen U R2 und U R1 beträgt 30, d.h. ϕ UR2 ϕ UR1 = 30. Weiters besitzen die Ströme I C2 und I R1 eine Zeigerlänge von 3 cm. (f) Die Angabeschaltung entspricht einem Bandpass. Tauschen Sie in dieser Schaltung ein Bauelement um einen Hochpass mit folgenden Anforderungen zu erhalten: T(ω = 0) = 0 T(ω ) = 2 3 Skizzieren Sie die neue Schaltung und berechnen Sie allgemein die Übertragungsfunktion T(ω). Bringen Sie das Ergebnis auf die Form T(ω) = 1 A+jB. Hinweis: Überprüfen Sie mit Ihrem Ergebnis ob die Anforderungen für T(ω = 0) und T(ω ) erfüllt sind. T(ω) = 1 ( 3/2 +j 2 ). }{{} ωrc A }{{} B 39

40 1.5 Knotenspannungsanalyse 1. Knotenspannungsanalyse (33 Punkte) Gegeben ist nachfolgende Schaltung mit den Eingangsspannungen U q1, U q2 und der Ausgangsspannung U a. Der Bezugsknoten ist mit K0 angegeben. U q2 K1 U 3 R 1 R 2 R 3 R 4 R R 8 7 U q1 R 5 R 6 U a 20 U 3 R 9 K0 R 10 (a) Bereiten Sie die Schaltung auf die Knotenspannungsanalyse vor, unter der Voraussetzung, dass U a als Knotenspannung verwendet werden muss. Hinweise: Vereinfachen Sie die Schaltung schrittweise und skizzieren Sie jeden Schritt. Quellen dürfen verschoben werden, jedoch nicht über K0 und K1. Zeichnen Sie alle Knoten und Knotenspannungen ein. Zeichnen Sie alle Zweigströme, welche durch Widerstände gehen, ein (in die Originalschaltung). U3 K1 K2 K3 K4 U3 K1 K2 K3 K4 R1 R2 R3 R4 R2 R3 R4 Uq2 Uq2 R5 R6 R7 20 U3G7 R8+R9 Ua Uq1 Uq2 R5 R6 R7 20 U3G7 R8+R9 Ua Uq1 K0 K0 +Zweigströme in Originalschaltung einzeichnen. (b) Stellen Sie das Gleichungssystem der Knotenspannungsanalyse in Matrixschreibweise auf. Wählen Sie K0 als Bezugsknoten. Hinweis: Matrix- und Vektoreinträge dürfen nur noch von Eingangs- und Knotenspannungen abhängen G 2 G 2 +G 3 +G 6 G G 3 G 3 +G 7 +G 4 G G 4 G 4 +G 8 U 10 U 20 U 30 U 40 = U q1 U q2 0 20U 3 G

41 mit G 8 = 1 R 8 +R 9. Einsetzen von U 3 = U 20 U 30 ergibt: G 2 G 2 +G 3 +G 6 G G 3 20G 7 G 3 +21G 7 +G 4 G G 4 G 4 +G 8 U 10 U 20 U 30 U 40 = U q1 U q2 (c) Nehmen Sie an, dass die Knotenspannungen U 10, U 20,..., aus (b) gelöst wurden. Berechnen Sie nun die Zweigströme durch die Widerstände R 1, R 2, R 5, R 7. Bei Annahme, dass alle horizontalen Ströme nach rechts zeigen, und alle vertikalen Ströme nach unten: I 1 = U q2 G 1 I 2 = (U 10 U 20 )G 2 I 5 = U 10 G 5 I 7 = (U 30 20U 3 )G 7 = ( 20U U 30 ) Knotenspannungsanalyse (33 Punkte) Gegeben ist die folgende Gleichstromschaltung, wobei der Widerstandswert (R), die Quellenspannungen (U q1,u q3 ) und der Quellstrom (I q2 ) bekannt sind. (a) Bereiten Sie das Netzwerk auf die Knotenspannungsanalyse vor, indem Sie, wenn möglich, Quellen entsprechend umwandeln und Widerstände zusammenfassen. Der Bezugsknoten ist so zu wählen, dass der Bereich K0 darin vorkommt. Skizzieren Sie die resultierende Schaltung und zeichnen Sie die von Ihnen gewählten Knoten und die Knotenspannungen ein. 41

42 (b) Geben Sie das Gleichungssystem der Knotenspannungsanalyse in Matrixschreibweise an. Die Matrix und der Vektor auf der rechten Seite des Gleichungssystems dürfen nur bekannte Größen enthalten. [ G( ) 0 0 G( ) ][ U10 U 20 ] = [ ] G Iq2 U q1 2 U q3 G (c) Nehmen Sie nun an, dass Quelle 3 durch U R gesteuert ist, also dass U q3 = ku R. Geben Sie das daraus entstehende Gleichungssystem der Knotenspannungsanalyse an. Lösen Sie dieses auf und berechnen Sie die Ausgangsspannung U a als Funktion der Bauteilwerte und der Quellgrößen. U R = U 10 U a = U 20 [ G( ) 0 kg G( ) ][ U10 U 20 ] = [ ] G Iq2 U q1 2 0 U a = U 10 4k 7 = Iq2 G U q k 7 = (Iq2 G U q1 7 2 )k (d) Geben Sie die Gleichungen für die Berechnung der Zweigströme I 1,I 2,I 3,I 4 an. Die in Punkt (a) definierten Knotenspannungen sind als gegeben anzunehmen und müssen nicht explizit berechnet werden (Lösung aus (c) nicht einsetzen). Hinweis: Die Ergebnisse müssen eine Funktion der Knotenspannungen, der Quellengrößen und der Bauteilwerte sein. I 1 = (U 10 +U q1 ) G 2 I 2 = U 20 G 4 I 3 = (U 20 ku 10 )G I 4 = U 20 G 2 3. Knotenspannungsanalyse (33 Punkte) Gegeben ist die folgende Gleichstromschaltung, wobei die Widerstände (R 1,...,R 6 ) und die Quellenspannungen (U q1,u q2 ) bekannt sind. Der Quellenstrom ergibt sich aus der Spannung U 3 multipliziert mit der bekannten Konduktanz g (spannungsgesteuerte Stromquelle). 42

43 (a) Bereiten Sie das Netzwerk auf die Knotenspannungsanalyse vor, indem Sie, wenn möglich, Quellen entsprechend umwandeln und Widerstände zusammenfassen. Der Bezugsknoten ist so zu wählen, dass keine Quellen verschoben werden müssen. Skizzieren Sie die resultierende Schaltung und zeichnen Sie den gewählten Bezugsknoten und die Knotenspannungen ein. (b) Geben Sie das Gleichungssystem der Knotenspannungsanalyse in Matrixschreibweise an. Die Matrix und der Vektor auf der rechten Seite des Gleichungssystems dürfen nur bekannte Größen enthalten. [ 1 0 ( G 4 +G 5 +G 6 ) (G 3 +G 4 +G 5 +G 6 ) g ][ U10 U 20 ] = [ Uq2 U q1 G 6 ] (c) Geben Sie die Gleichungen für die Berechnung der Zweigströme I 1,2,I 3...,I 8 an. Die in Punkt (a) definierten Knotenspannungen sind als gegeben anzunehmen und müssen nicht explizit berechnet werden (Gleichungssystem aus Punkt (b) nicht lösen). Hinweis: Die Ergebnisse müssen eine Funktion der Knotenspannungen, der Quellengrößen und der Bauteilwerte sein. 43

44 I 1,2 = gu 20 I 3 = U 20 G 3 I 4 = (U 10 U 20 )G 4 I 5 = (U 10 U 20 )G 5 I 6 = ((U 10 U 20 ) U q1 )G 6 I 7 = (I 1,2 +I 3 ) = U 20 (G 3 g) I 8 = I 7 I 4 = U 20 (G 3 +G 4 g)+u 10 ( G 4 ) 4. Knotenspannungsanalyse (33 Punkte) Gegeben ist die folgende Gleichstromschaltung: (a) Geben Sie das Gleichungssystem für die Knotenspannungsanalyse in Matrixschreibweise an. Der Knoten K0 muss als Bezugsknoten verwendet werden! 44

45 G 4 +G 5 G 4 0 G 4 G 2 +G 3 +G 4 +G 6 +G 7 G 2 G U 10 U 20 U 40 = 0 U q2 G 7 +U q2 (G 2 +G 3 ) U q3 U 30 = U 20 U q2 (b) Geben Sie, mit Hilfe der im Punkt (a) definierten Knotenspannungen, die Gleichungen für die Berechnung der Ströme (I R1,..., I R7 ) durch alle Widerständen an. Die Knotenspannungen sind als gegeben anzunehmen und müssen nicht explizit berechnet werden (Gleichungssystem nicht lösen). Hinweis: Beachten Sie die Richtung der eingezeichneten Strompfeile! I R1 = U q 1 +U q2 R 1 I R2 = U 40 U 30 R 2 I R3 = U 40 U 30 R 3 I R4 = U 20 U 10 R 4 I R5 = U 10 R 5 I R6 = U 20 R 6 I R7 = U 30 R 7 (c) Skizzieren Sie für die angegebene Schaltung die Spannungsersatzschaltung und die Stromersatzschaltung. Bestimmen Sie dafür die Leerlaufspannung U L, den Kurzschlussstrom I K und den Innenwiderstand R i der entsprechenden Ersatzschaltung an den Klemmen A u. B. Hinweise: Bestimmen Sie die Leerlaufspannung U L mit Hilfe der Knotenspannungen aus (a). Bei der Bestimmung von R i verwenden Sie für die Parallelschaltung. Diese müssen am Ende nicht ersetzt werden. R i = R 5 [R 4 +(R 2 R 3 R 6 R 7 )] U L = U 10 I K = U L R i 45

46 1.6 Leistung 1. Leistungsberechnung (33 Punkte) Drei Motoren liegen parallel an einer Klemmenspannung von U = 230V (50Hz). Folgende Daten sind gegeben: I [A] cos ϕ P [kw] Q [kvar] S [kva] M M M M ges (a) Berechnen Sie die fehlenden Daten und tragen Sie diese in die Tabelle ein. M ges bezeichnet die Daten für die Parallelschaltung der 3 Motoren. I [A] cos ϕ P [kw] Q [kvar] S [kva] M M , M M ges S = UI = P 2 +Q 2 P = UIcosϕ Q = UIsinϕ cosφ = P S (b) Zeichnen und berechnen Sie die Reihenersatzschaltung für die gegebene Schaltung.(Nicht für die einzelnen Motoren!) Hinweis: Wenn Sie Punkt (a) nicht lösen können verwenden Sie folgende Werte: I [A] cos ϕ P [kw] Q [kvar] S [kva] M ges Z = R s +jx s R s = P I 2 = 0,8464Ω X s = Q I 2 = 0,6348Ω L s = X s ω = 2,02mH 46

47 (c) Das EVU (Elektrizitätsversorgungsunternehmen) schreibt zum Betrieb der Motoren einen cosϕ > 0.95 vor. Zur Blindleistungskompensation stehen Kondensatoren in 3 verschiedenen Leistungsstufen zur Verfügung (Q c = [ 15kvar, 25kvar, 35kvar]). Berechnen Sie cosϕ für alle Varianten und erklären Sie welche die Beste ist! Hinweis: Wenn Sie Punkt (a) nicht lösen können verwenden Sie die alternativ Werte von (c), außerdem besitzen die Kondensatoren dann folgende Leistungsstufen: (Q c = [ 150 kvar, 250 kvar, 350 kvar]) Q komp = Q ges +[ 15, 25, 35] = [15,5, 5]kvar S komp = P 2 +Q 2 = [42.72,40.31,40.31]kvar cosϕ komp = P S komp = [0.936,0.992,0.992] 2. Leistungsberechnung (33 Punkte) Hinweis: Punkt (a) und (b) können getrennt berechnet werden. (a) Zwei Motoren liegen parallel an einer Klemmenspannung von U = 500 V (50 Hz). Motor1(M 1 )leistet33kwmechanischeleistungmiteinemwirkungsgradvonη 1 = 0.82 und einem Leistungsfaktor von cos(ϕ 1 ) = Motor 2 (M 2 ) leistet 26kW mechanische Leistung bei η 2 = Der Gesamtleistungsfaktor beträgt cos(ϕ ges ) = 0.5. i. Berechnen Sie I 1 und I ges. ii. Zeichen Sie das Zeigerdiagramm für I 1, I 2, I ges und U. iii. Bestimmen sie I 2. (Z.B. graphisch aus der maßstabsgetreuen Zeichnung oder nutzen Sie den unten gegebenen Kongruenzsatz zur exakten Berechnung von I 2 oder durch direkte Berechnung.) iv. Berechnen Sie cos(ϕ 2 ). Kongruenzsatz: a = (b 2 +c 2 ) 2bccos(α) 47

48 P 1 = P 1,mech η 1 P 2 = P 2,mech I 1 = η 2 = 40,24kW = 33,33kW P 1 U cos(ϕ 1 ) = 123,82A I ges = P 1 +P 2 U cos(ϕ ges ) = 294,3A α = φ ges ϕ 1 = 10,54 I 2 = (I 2 1 +I2 ges) 2I1 I ges cos(α) = 174,05A cos(ϕ 2 ) = P 2 UI 2 (b) An einem mit 150kVA belastbaren Transformator ist ein Motor (M 1 ) mit 120kW elektrischer Leistung und cos(ϕ 1 ) = 0.6 angeschlossen und dadurch bereits überlastet (S M1 > S Trafo ). Um noch einen zweiten Motor (M 2 ) von 30kW elektrischer Leistung und cos(ϕ 2 ) = 0.7 anzuschließen muss ein Teil der Blindleistung kompensiert werden. i. ZeigenSie,dassderTransformatormitM 1 bereitsüberlastetist,alsodasss Trafo < S M1 gilt. (S 1 offen, ohne C). ii. Bei Verwendung beider Motoren (S 1 geschlossen, ohne C) müssen wieviel kvar mindestens kompensiert werden damit der Transformator nicht überlastet ist (S Trafo S ges 3 )? iii. Wie groß muss eine Kapazität C sein damit bei U = 500V (50Hz) genügend Blindleistung kompensiert wird (S 1 geschlossen, mit C)? Wie groß ist der Strom (I C ) durch diese (parallel geschaltete) Kapazität? 3 S ges bezeichnet die gesamte Scheinleistung der beiden Motoren M 1 und M 2. 48

49 S 1 = P 1 cos(φ 1 ) = 200kVA > 150kVA = S Trafo Q 1 = S 1 sin(φ 1 ) = 160kvar S 2 = P 2 cos(φ 2 ) = 42,85VA Q 2 = S 2 sin(φ 2 ) = 30,606kvar P ges = P 1 +P 2 = 150kW ˆ=150kVA = S Trafo Q ges = Q 1 +Q 2 = 192,606kvar Q ges = U 2 ωc C = Q ges U 2 ω = 2,4mF I C = UωC = 376,99A 3. Leistung (33 Punkte) An die Spannungsversorgung einer Hütte (U = 230V, f = 50Hz) sind eine Pumpe und ein Elektroofen mit folgenden Kennwerten angeschlossen: Pumpe: (Mech.) Pumpleistung P P = 1kW, η p = 0.8, I P = 7A Elektroofen: Heizleistung P O = 2kW, η O = 1, cosϕ O = 1 (a) Berechnen Sie cosϕ H des Verbrauchers Hütte. cosϕ H = (b) Stellen Sie die Wirk-, Blind-, und Scheinleistung von Pumpe, Elektroofen und Hütte maßstabsgetreu in der komplexen Ebene dar. Zeichnen Sie den in Punkt (a) berechneten Winkel ϕ H in ihre Skizze ein. Hinweis: 1kW = 4cm; 1kvar = 4cm; 1kVA = 4cm. (c) Wieviele Glühlampen mit einer Wirkleistung pro Lampe von P Gl = 100W müssen mindestens parallel zur Pumpe und zum Elektroofen geschaltet werden, um beim Verbraucher Hütte ein cosϕ H > 0.96 zu erreichen? n = 3 4. Leistung in Wechselstromschaltungen (33 Punkte) Gegeben ist folgendes RLC-Netzwerk mit R = 10Ω, L = 50mH und C = 1µF. Die Schaltung wird mit einer Wechselspannung mit U = 230V und f = 50Hz gespeist. 49

50 (a) Berechnen Sie die Wirkleistung P, die Blindleistung Q und die Scheinleistung S für das RLC-Netzwerk. P = 1.53kW Q = 2.4kvar S = 2.84kVA (b) Berechnen Sie die Bauelemente (R s, L s ) der Serienersatzschaltung des RLC-Netzwerks. R s = 10Ω L s = 50mH. (c) BerechnenSiedieBauelemente(R p,l p )derparallelersatzschaltungdesrlc-netzwerks. R p = 34.58Ω L p = 70.2mH. (d) Um cos ϕ = 1 zu erreichen soll die Induktivität L = 50 mh durch eine neue ersetzt werden. Berechnen Sie den Wert der neuen Induktivität L neu. L neu = 100µH 5. Leistung in Wechselstromschaltungen (33 Punkte) Durch Blindleistungskompensation eines Motors mit einem Parallelkondensator C p = 10µF, ergibt sich ein Gesamtstrom I k = 2A bei einer Spannung U = 230V und einer Frequenz f = 50Hz. Der Leistungsfaktor beträgt cosϕ k = 0.9. (a) Berechnen Sie die Scheinleistung S des nicht kompensierten Motors. S = VA. 50

51 (b) Berechnen Sie die Bauelemente (R p, L p ) der Parallelersatzschaltung des nicht kompensierten Motors. R p = Ω L p = 459.2mH. (c) Skizzieren Sie qualitativ die Ortskurven des kompensierten Motors (Parallelschaltung R p, L p und C p ) in der Z- und Y-Ebene. Hinweis: Achsenbeschriftung, charakteristische Punkte und Frequenzinformationen nicht vergessen. 51