TAG DER MATHEMATIK. Kann man die Form einer Trommel hören? Prof. Dr. Daniel Grieser
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- Rudolf Kraus
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1 5. TAG DER MATHEMATIK Kann man die Form einer Trommel hören? Prof. Dr. Daniel Grieser
2 Die 3 Grundgesetze der Schwingungen
3 Die 3 Grundgesetze der Schwingungen 1. Es gibt gewisse elementare Schwingungsformen verschiedener Frequenzen: Bei diesen ist das Profil immer ähnlich zum Anfangsprofil.
4 Die 3 Grundgesetze der Schwingungen 1. Es gibt gewisse elementare Schwingungsformen verschiedener Frequenzen: Bei diesen ist das Profil immer ähnlich zum Anfangsprofil. 2. Jede Schwingungsform ist Summe von mehreren elementaren Schwingungsformen; diese sind in unterschiedlichen Stärken vertreten.
5 Die 3 Grundgesetze der Schwingungen 1. Es gibt gewisse elementare Schwingungsformen verschiedener Frequenzen: Bei diesen ist das Profil immer ähnlich zum Anfangsprofil. 2. Jede Schwingungsform ist Summe von mehreren elementaren Schwingungsformen; diese sind in unterschiedlichen Stärken vertreten. 3. Die Klangfarbe einer Schwingungsform bestimmt sich (hauptsächlich) aus:
6 Die 3 Grundgesetze der Schwingungen 1. Es gibt gewisse elementare Schwingungsformen verschiedener Frequenzen: Bei diesen ist das Profil immer ähnlich zum Anfangsprofil. 2. Jede Schwingungsform ist Summe von mehreren elementaren Schwingungsformen; diese sind in unterschiedlichen Stärken vertreten. 3. Die Klangfarbe einer Schwingungsform bestimmt sich (hauptsächlich) aus: den Frequenzen der in ihr vorkommenden elementaren Schwingungsformen
7 Die 3 Grundgesetze der Schwingungen 1. Es gibt gewisse elementare Schwingungsformen verschiedener Frequenzen: Bei diesen ist das Profil immer ähnlich zum Anfangsprofil. 2. Jede Schwingungsform ist Summe von mehreren elementaren Schwingungsformen; diese sind in unterschiedlichen Stärken vertreten. 3. Die Klangfarbe einer Schwingungsform bestimmt sich (hauptsächlich) aus: den Frequenzen der in ihr vorkommenden elementaren Schwingungsformen deren Stärken
8 Die 3 Grundgesetze der Schwingungen 1. Es gibt gewisse elementare Schwingungsformen verschiedener Frequenzen: Bei diesen ist das Profil immer ähnlich zum Anfangsprofil. 2. Jede Schwingungsform ist Summe von mehreren elementaren Schwingungsformen; diese sind in unterschiedlichen Stärken vertreten. 3. Die Klangfarbe einer Schwingungsform bestimmt sich (hauptsächlich) aus: den Frequenzen der in ihr vorkommenden elementaren Schwingungsformen deren Stärken Eigenfunktionen = Anfangsprofile elementarer Schwingungsformen Eigenfrequenzen = deren Frequenzen (= Obertöne = Resonanzfrequenzen). 1
9 Das Problem Wie beeinflußt die Form eines schwingenden Gegenstandes die Frequenzen der Obertöne und das Profil der Eigenfunktionen? 2
10 Methodik
11 Methodik Physikalische Überlegungen Mathematische Gleichung
12 Methodik Physikalische Überlegungen Mathematische Gleichung Lösen der Gleichung: Formel (ein Glücksfall!)
13 Methodik Physikalische Überlegungen Mathematische Gleichung Lösen der Gleichung: Formel (ein Glücksfall!) Computer (für Einzelfälle nützlich, wenig Verständnis qualitativer Zusammenhänge)
14 Methodik Physikalische Überlegungen Mathematische Gleichung Lösen der Gleichung: Formel (ein Glücksfall!) Computer (für Einzelfälle nützlich, wenig Verständnis qualitativer Zusammenhänge) Kunst der Mathematik: wie man trotzdem etwas erfährt, auch wenn man es nicht genau ausrechnen kann (Intuition, Ideen, Geduld). 3
15 Einige Eigenfrequenzen und Eigenfunktionen Saite: 1 : 2 : 3 : 4 : 5...
16 Einige Eigenfrequenzen und Eigenfunktionen Saite: 1 : 2 : 3 : 4 : 5... Quadratische Trommel: 1 : 1,58 : 2 : 2,54 : 2,91...
17 Einige Eigenfrequenzen und Eigenfunktionen Saite: 1 : 2 : 3 : 4 : 5... Quadratische Trommel: 1 : 1,58 : 2 : 2,54 : 2,91... Runde Trommel: : : : :...
18 Einige Eigenfrequenzen und Eigenfunktionen Saite: 1 : 2 : 3 : 4 : 5... Quadratische Trommel: 1 : 1,58 : 2 : 2,54 : 2,91... Runde Trommel: : : : :... Indische Tabla: : : : :... 4
19 Chladnis Klangfiguren
20 Chladnis Klangfiguren 5
21 Trommeln und Primzahlen
22 Trommeln und Primzahlen Beispiel: Quadrat 0 x π, 0 y π Eigenfunktionen: sin nx sin my mit n, m N Eigenfrequenzen: n 2 + m 2
23 Trommeln und Primzahlen Beispiel: Quadrat 0 x π, 0 y π Eigenfunktionen: sin nx sin my mit n, m N Eigenfrequenzen: n 2 + m 2 Frage: Welche Eigenfrequenzen entstehen aus mehreren Eigenfunktionen?
24 Trommeln und Primzahlen Beispiel: Quadrat 0 x π, 0 y π Eigenfunktionen: sin nx sin my mit n, m N Eigenfrequenzen: n 2 + m 2 Frage: Welche Eigenfrequenzen entstehen aus mehreren Eigenfunktionen? 13 =
25 Trommeln und Primzahlen Beispiel: Quadrat 0 x π, 0 y π Eigenfunktionen: sin nx sin my mit n, m N Eigenfrequenzen: n 2 + m 2 Frage: Welche Eigenfrequenzen entstehen aus mehreren Eigenfunktionen? 13 = = =
26 Trommeln und Primzahlen Beispiel: Quadrat 0 x π, 0 y π Eigenfunktionen: sin nx sin my mit n, m N Eigenfrequenzen: n 2 + m 2 Frage: Welche Eigenfrequenzen entstehen aus mehreren Eigenfunktionen? 13 = = = = =
27 Trommeln und Primzahlen Beispiel: Quadrat 0 x π, 0 y π Eigenfunktionen: sin nx sin my mit n, m N Eigenfrequenzen: n 2 + m 2 Frage: Welche Eigenfrequenzen entstehen aus mehreren Eigenfunktionen? 13 = = = = = Antwort: In der Primfaktorzerlegung müssen mehrere Primzahlen der Form 4k + 1 vorkommen! (50 = 2 5 5, 65 = 5 13) 6
28 Trommeln, Billard und Chaos Ordnung Chaos 7
29 Trommeln, Billard und Chaos Ordnung Chaos 8
30 Trommeln, Billard und Chaos Ordnung Chaos 9
31 Trommeln, Billard und Chaos Ordnung Chaos 10
32 Trommeln, Billard und Chaos Ordnung Chaos 11
33 Ordnung Trommeln, Billard und Chaos Chaos 12
34 Was kann man hören?
35 Was kann man hören? Ein Satz: (mathematisch, d.h. ideale Trommel, ideales Gehör ) Die Eigenfrequenzen einer Trommel bestimmen ihren Flächeninhalt,
36 Was kann man hören? Ein Satz: (mathematisch, d.h. ideale Trommel, ideales Gehör ) Die Eigenfrequenzen einer Trommel bestimmen ihren Flächeninhalt, die Länge des Randes,
37 Was kann man hören? Ein Satz: (mathematisch, d.h. ideale Trommel, ideales Gehör ) Die Eigenfrequenzen einer Trommel bestimmen ihren Flächeninhalt, die Länge des Randes, die Anzahl der Löcher.
38 Was kann man hören? Ein Satz: (mathematisch, d.h. ideale Trommel, ideales Gehör ) Die Eigenfrequenzen einer Trommel bestimmen ihren Flächeninhalt, die Länge des Randes, die Anzahl der Löcher. Beweisidee: Eigenfrequenzen f 1 f 2 f Wie schnell f n? Fläche
39 Was kann man hören? Ein Satz: (mathematisch, d.h. ideale Trommel, ideales Gehör ) Die Eigenfrequenzen einer Trommel bestimmen ihren Flächeninhalt, die Länge des Randes, die Anzahl der Löcher. Beweisidee: Eigenfrequenzen f 1 f 2 f Wie schnell f n? Fläche Fluktuation um erste Näherung Umfang
40 Was kann man hören? Ein Satz: (mathematisch, d.h. ideale Trommel, ideales Gehör ) Die Eigenfrequenzen einer Trommel bestimmen ihren Flächeninhalt, die Länge des Randes, die Anzahl der Löcher. Beweisidee: Eigenfrequenzen f 1 f 2 f Wie schnell f n? Fläche Fluktuation um erste Näherung Umfang Detail der Fluktuation Löcher
41 Was kann man hören? Ein Satz: (mathematisch, d.h. ideale Trommel, ideales Gehör ) Die Eigenfrequenzen einer Trommel bestimmen ihren Flächeninhalt, die Länge des Randes, die Anzahl der Löcher. Beweisidee: Eigenfrequenzen f 1 f 2 f Wie schnell f n? Fläche Fluktuation um erste Näherung Umfang Detail der Fluktuation Löcher Verwandte Probleme: Spektroskopie (Chemie, Astronomie etc.), Seismologie 13
42 Man kann nicht die Form einer Trommel hören. klingen gleich! C. Gordon, D. Webb, S. Wolpert: Inventiones Mathematicae 110 (1992), P. Buser, J. Conway, P. Doyle, K.-D. Semmler: Int.Math.Res.Not
43 Offene Probleme Kann man die Form einer Trommel ohne Ecken, oder einer konvexen Trommel, hören?
44 Offene Probleme Kann man die Form einer Trommel ohne Ecken, oder einer konvexen Trommel, hören? Wie genau zeigt sich Chaos in den Eigenfunktionen?
45 Offene Probleme Kann man die Form einer Trommel ohne Ecken, oder einer konvexen Trommel, hören? Wie genau zeigt sich Chaos in den Eigenfunktionen? Gibt es in jedem Dreieck eine geschlossene Billiardkugelbahn? 15
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Kann man die Form einer Trommel hören? Prof. Dr. Daniel Grieser Grundlagen der Schwingungslehre 1. Frequenz = Tonhöhe Amplitude = Lautstärke Grundlagen der Schwingungslehre 1. Frequenz = Tonhöhe Amplitude
Eine kurze Tabelle soll uns erste Einsichten erleichtern. Der Strich heißt, dass es eine solche Darstellung nicht gibt.
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